Line and Plane Questions in Hindi

(C) माना कि $xy$-समतल बिंदुओं $A(-1, 3, 4)$ और $B(2, -5, 6)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन बिंदु के निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$P = \left( \frac{2\lambda - 1}{\lambda + 1}, \frac{-5\lambda + 3}{\lambda + 1}, \frac{6\lambda + 4}{\lambda + 1} \right)$
चूंकि यह बिंदु $xy$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $z$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{6\lambda + 4}{\lambda + 1} = 0$
$\lambda$ के लिए हल करने पर:
$6\lambda + 4 = 0$
$6\lambda = -4$
$\lambda = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$
चूंकि $\lambda$ ऋणात्मक है,इसलिए विभाजन $2 : 3$ के अनुपात में बाह्य विभाजन है।

(C) $xy$-समतल का समीकरण $z = 0$ है। $xy$-समतल का अभिलंब सदिश $\vec{k} = (0, 0, 1)$ है।
दिक् अनुपात $(l, m, n)$ वाली रेखा जब अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल के समांतर होती है,तो रेखा के दिशा सदिश और समतल के अभिलंब सदिश का अदिश गुणनफल शून्य होता है।
अतः,$(l, m, n) \cdot (0, 0, 1) = 0$.
यह $n = 0$ में सरल हो जाता है।
इसलिए,यदि $n = 0$ है तो रेखा $xy$-समतल के समांतर होती है।

(A) बिंदु $(3, 2, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $A(x - 3) + B(y - 2) + C(z - 0) = 0 \dots (i)$ है।
चूंकि समतल रेखा $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{5} = \frac{z - 4}{4}$ को समाहित करता है,इसलिए यह रेखा पर स्थित बिंदु $(3, 6, 4)$ से भी गुजरता है।
$(3, 6, 4)$ को $(i)$ में रखने पर,$A(3 - 3) + B(6 - 2) + C(4 - 0) = 0$,जो $4B + 4C = 0$ अर्थात $B + C = 0 \dots (ii)$ देता है।
साथ ही,समतल का अभिलंब सदिश $(A, B, C)$ रेखा के दिशा सदिश $(1, 5, 4)$ के लंबवत होता है। अतः,$1A + 5B + 4C = 0 \dots (iii)$।
$(ii)$ से,$C = -B$। इसे $(iii)$ में रखने पर,$A + 5B - 4B = 0$,अर्थात $A = -B$।
मान लीजिए $B = -1$,तो $A = 1$ और $C = 1$।
इन मानों को $(i)$ में रखने पर,$1(x - 3) - 1(y - 2) + 1(z - 0) = 0$,जिसका सरल रूप $x - y + z = 1$ प्राप्त होता है।

(B) एक रेखा जिसके दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ हैं और एक समतल जिसका अभिलंब सदिश $(a', b', c')$ है,के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|aa' + bb' + cc'|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,रेखा के दिक्-अनुपात $(2, 3, 4)$ हैं और समतल का अभिलंब सदिश $(3, 2, -3)$ है।
दिक्-अनुपातों और अभिलंब सदिश का अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करने पर:
$aa' + bb' + cc' = (2)(3) + (3)(2) + (4)(-3) = 6 + 6 - 12 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\sin \theta = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\theta = 0^o$.
अतः,रेखा समतल के समांतर है।

(D) दी गई रेखाएँ हैं:
रेखा $1$: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{-\lambda} = \frac{z - 1}{\lambda} = s$
रेखा $2$: $\frac{x - 0}{1/2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{-1} = t$
रेखाओं पर बिंदु $P_1(1, -3, 1)$ और $P_2(0, 1, 2)$ हैं। दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, -\lambda, \lambda)$ और $\vec{v_2} = (1/2, 1, -1)$ हैं।
दो रेखाएँ समतलीय होती हैं यदि बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दोनों दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो:
$\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = 0$
मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(\lambda - \lambda) - 4(-1 - \lambda/2) + 1(1 + \lambda/2) = 0$
$0 + 4 + 2\lambda + 1 + \lambda/2 = 0$
$5 + 5\lambda/2 = 0$
$5\lambda/2 = -5$
$\lambda = -2$.

(A) समतलों $P_1: 3x - y - 4z = 0$ और $P_2: x + 3y + 6 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(3x - y - 4z) + \lambda(x + 3y + 6) = 0$
$(3 + \lambda)x + (3\lambda - 1)y - 4z + 6\lambda = 0$ ... $(i)$
इस समतल की मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $1$ दी गई है। समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की मूल बिंदु से दूरी का सूत्र $\frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है।
$\frac{|6\lambda|}{\sqrt{(3 + \lambda)^2 + (3\lambda - 1)^2 + (-4)^2}} = 1$
$|6\lambda| = \sqrt{(9 + 6\lambda + \lambda^2) + (9\lambda^2 - 6\lambda + 1) + 16}$
$|6\lambda| = \sqrt{10\lambda^2 + 26}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $36\lambda^2 = 10\lambda^2 + 26$
$26\lambda^2 = 26 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$.
स्थिति $1$: यदि $\lambda = 1$,तो समीकरण $(i)$ बनता है $(3+1)x + (3-1)y - 4z + 6 = 0 \implies 4x + 2y - 4z + 6 = 0 \implies 2x + y - 2z + 3 = 0$.
स्थिति $2$: यदि $\lambda = -1$,तो समीकरण $(i)$ बनता है $(3-1)x + (-3-1)y - 4z - 6 = 0 \implies 2x - 4y - 4z - 6 = 0 \implies x - 2y - 2z - 3 = 0$.
अतः,अभीष्ट समतल $x - 2y - 2z - 3 = 0$ और $2x + y - 2z + 3 = 0$ हैं।

(C) समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरता है और रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{4}$ को समाहित करता है।
चूंकि समतल रेखा को समाहित करता है,इसलिए यह रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु से गुजरना चाहिए। रेखा पर एक बिंदु $(1, -1, 0)$ है।
समतल के समीकरण $4x + 4y - kz = 0$ में,रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (2, 3, 4)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (4, 4, -k)$ है।
चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए दिशा सदिश $\vec{v}$ अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के लंबवत है,अतः $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0.$
$(4)(2) + (4)(3) + (-k)(4) = 0$
$8 + 12 - 4k = 0$
$20 - 4k = 0$
$4k = 20$
$k = 5.$

(A) रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-6}$ दी गई है। इसके दिक अनुपात $(2, 3, -6)$ हैं।
दिशाह सदिश का परिमाण $\sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
अतः,दिक कोज्याएँ $(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{-6}{7})$ हैं।
बिंदु $(1, -2, 3)$ से गुजरने वाली और दी गई रेखा के समांतर रेखा पर कोई भी बिंदु $(1 + \frac{2r}{7}, -2 + \frac{3r}{7}, 3 - \frac{6r}{7})$ है,जहाँ $r$ दूरी है।
यह बिंदु समतल $x - y + z = 5$ पर स्थित है। निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + \frac{2r}{7}) - (-2 + \frac{3r}{7}) + (3 - \frac{6r}{7}) = 5$
$1 + \frac{2r}{7} + 2 - \frac{3r}{7} + 3 - \frac{6r}{7} = 5$
$6 - \frac{7r}{7} = 5$
$6 - r = 5$
$r = 1$.
अतः,दूरी $1$ है।

(A) माना रेखा $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z - 5}{2} = r$ पर कोई बिंदु $(r + 3, 2r + 4, 2r + 5)$ है।
चूँकि यह बिंदु समतल $x + y + z = 17$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(r + 3) + (2r + 4) + (2r + 5) = 17$
$5r + 12 = 17$
$5r = 5 \Rightarrow r = 1$.
$r = 1$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1 + 3, 2(1) + 4, 2(1) + 5) = (4, 6, 7)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(4, 6, 7)$ और $(3, 4, 5)$ के बीच की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d = \sqrt{(4 - 3)^2 + (6 - 4)^2 + (7 - 5)^2}$
$d = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

(C) दो रेखाओं के समतलीय होने की शर्त उनके बिंदुओं के अंतर और दिशा सदिशों के सारणिक द्वारा दी जाती है:
$\begin{vmatrix} a-d-b+c & a-b & a+d-b-c \\ \alpha-\delta & \alpha & \alpha+\delta \\ \beta-\gamma & \beta & \beta+\gamma \end{vmatrix} = 0$
तीसरे स्तंभ को पहले स्तंभ में जोड़ने पर,हमें पहला स्तंभ $2(a-b), 2\alpha, 2\beta$ प्राप्त होता है,जो दूसरे स्तंभ का दोगुना है। अतः,सारणिक शून्य है,जो पुष्टि करता है कि वे समतलीय हैं।
इन रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण है:
$\begin{vmatrix} x-a+d & y-a & z-a-d \\ \alpha-\delta & \alpha & \alpha+\delta \\ \beta-\gamma & \beta & \beta+\gamma \end{vmatrix} = 0$
पहले और तीसरे स्तंभ को जोड़ने और दूसरे स्तंभ के दोगुने को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{vmatrix} x+z-2y & y-a & z-a-d \\ 0 & \alpha & \alpha+\delta \\ 0 & \beta & \beta+\gamma \end{vmatrix} = 0$
पहले स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$(x+z-2y) \cdot [\alpha(\beta+\gamma) - \beta(\alpha+\delta)] = 0$
$(x+z-2y) \cdot [\alpha\beta + \alpha\gamma - \beta\alpha - \beta\delta] = 0$
यह मानते हुए कि कोष्ठक में पद शून्य नहीं है,हमें $x - 2y + z = 0$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
रेखा बिंदु $(3, 4, 5)$ से होकर गुजरती है। इसे समतल के समीकरण $4x + 4y - kz - d = 0$ में रखने पर:
$4(3) + 4(4) - k(5) - d = 0$
$12 + 16 - 5k - d = 0$
$28 - 5k - d = 0 \implies 5k + d = 28$ $(i)$
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है। चूंकि रेखा समतल में है,इसलिए समतल का अभिलंब $\vec{n} = 4\hat{i} + 4\hat{j} - k\hat{k}$ रेखा के लंबवत होना चाहिए,अतः $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$:
$(2)(4) + (3)(4) + (4)(-k) = 0$
$8 + 12 - 4k = 0$
$20 - 4k = 0 \implies k = 5$
$k = 5$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$5(5) + d = 28$
$25 + d = 28 \implies d = 3$
अतः,$k = 5$ और $d = 3$ है।

(A) समतल $lx + my = 0$ और $z = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $lx + my + \lambda z = 0$ है।
प्रथम समतल $lx + my = 0$ का अभिलंब $\vec{n_1} = (l, m, 0)$ है।
नए समतल $lx + my + \lambda z = 0$ का अभिलंब $\vec{n_2} = (l, m, \lambda)$ है।
दो समतलों के बीच का कोण $\alpha$ है,जो उनके अभिलंबों के बीच के कोण के बराबर होता है। अभिलंबों के बीच के कोण का कोज्या (cosine) इस प्रकार है:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|l^2 + m^2|}{\sqrt{l^2 + m^2} \sqrt{l^2 + m^2 + \lambda^2}}$
$\cos \alpha = \sqrt{\frac{l^2 + m^2}{l^2 + m^2 + \lambda^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\cos^2 \alpha = \frac{l^2 + m^2}{l^2 + m^2 + \lambda^2}$
$\lambda^2 = (l^2 + m^2) \tan^2 \alpha$
$\lambda = \pm \sqrt{l^2 + m^2} \tan \alpha$
अतः,अभीष्ट समीकरण $lx + my \pm z\sqrt{l^2 + m^2} \tan \alpha = 0$ है।

(B) रेखा का समीकरण $r = (1 + t)i + (-1 + t)j + (1 + t)k$ है।
रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(1 + t, -1 + t, 1 + t)$ हैं।
समतल का समीकरण $r \cdot (i + j + k) = 5$ है,जो कार्तीय रूप में $x + y + z = 5$ है।
चूंकि बिंदु समतल पर स्थित है,इसलिए निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + t) + (-1 + t) + (1 + t) = 5$
$3t + 1 = 5$
$3t = 4$
$t = 4/3$।
यदि हम विकल्प $B$ $(5i + 3j - 3k)$ की जाँच करें,तो $t=4$ रखने पर बिंदु $(5, 3, -3)$ प्राप्त होता है।
इस बिंदु को समतल $r \cdot (i + j + k) = 5$ में रखने पर $5 + 3 - 3 = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,सही उत्तर $5i + 3j - 3k$ है।

(D) रेखा $r = a + \lambda b$ और समतल $r \cdot n = p$ के बीच की दूरी का सूत्र है: $d = \left| \frac{p - a \cdot n}{|n|} \right|$.
यहाँ $a = 2i - 2j + 3k$,$b = i - j + 4k$,$n = i + 5j + k$,और $p = 5$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $a \cdot n = (2)(1) + (-2)(5) + (3)(1) = 2 - 10 + 3 = -5$ ज्ञात करें।
इसके बाद,परिमाण $|n| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 25 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ ज्ञात करें।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \left| \frac{5 - (-5)}{3\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{10}{3\sqrt{3}} \right| = \frac{10}{3\sqrt{3}}$.

(B) दो समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा दोनों समतलों के अभिलंब सदिशों के लंबवत होती है। मान लीजिए अभिलंब सदिश $n_1 = i - 3j + k$ और $n_2 = 2i + 5j - 3k$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $v$,अभिलंब सदिशों के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा प्राप्त होता है: $v = n_1 \times n_2$.
$v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & -3 \end{vmatrix}$
$v = i((-3)(-3) - (1)(5)) - j((1)(-3) - (1)(2)) + k((1)(5) - (-3)(2))$
$v = i(9 - 5) - j(-3 - 2) + k(5 + 6)$
$v = 4i + 5j + 11k$
अतः,प्रतिच्छेदन रेखा $4i + 5j + 11k$ सदिश के समांतर है.

(C) समतल बिंदु $a$ से गुजरता है और रेखा $r = b + \lambda c$ को समाहित करता है। रेखा की दिशा $c$ है और $a$ से $b$ को जोड़ने वाला सदिश $(b - a)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $n$,समतल में स्थित दो सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा दिया जाता है:
$n = (b - a) \times c = b \times c - a \times c = b \times c + c \times a$.
समतल का समीकरण $(r - a) \cdot n = 0$ है,जिसे $r \cdot n = a \cdot n$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$n = b \times c + c \times a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r \cdot (b \times c + c \times a) = a \cdot (b \times c + c \times a) = [a, b, c]$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $r \cdot n = d$ पर डाले गए लंब की लंबाई $\frac{|d|}{|n|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$d = [a, b, c]$ और $n = b \times c + c \times a$ है।
अतः,लंब की लंबाई $\frac{[a, b, c]}{|b \times c + c \times a|}$ है।

(D) दो समतलों $\vec{r} \cdot \vec{n}_1 = d_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{n}_2 = d_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (\vec{n}_1 + \lambda \vec{n}_2) = d_1 + \lambda d_2$ होता है।
यहाँ,$\vec{n}_1 = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$d_1 = 1$,$\vec{n}_2 = \hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$,और $d_2 = 2$ है।
समीकरण $\vec{r} \cdot ((3+\lambda)\hat{i} + (-1+4\lambda)\hat{j} + (1-2\lambda)\hat{k}) = 1 + 2\lambda$ होगा।
चूंकि समतल बिंदु $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ से गुजरता है,इसलिए $\vec{r} = \vec{a}$ रखने पर:
$(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot ((3+\lambda)\hat{i} + (-1+4\lambda)\hat{j} + (1-2\lambda)\hat{k}) = 1 + 2\lambda$.
$(3+\lambda) + 2(-1+4\lambda) - (1-2\lambda) = 1 + 2\lambda$.
$3 + \lambda - 2 + 8\lambda - 1 + 2\lambda = 1 + 2\lambda$.
$11\lambda = 1 + 2\lambda \implies 9\lambda = 1 \implies \lambda = 1/9$.
$\lambda = 1/9$ को समीकरण में रखने पर:
$\vec{r} \cdot (\frac{28}{9}\hat{i} - \frac{5}{9}\hat{j} + \frac{7}{9}\hat{k}) = \frac{11}{9}$.
$\vec{r} \cdot (28\hat{i} - 5\hat{j} + 7\hat{k}) = 11$.

(B) रेखा बिंदु $(1, 2, 3)$ से होकर गुजरती है।
चूंकि रेखा समतल $3x + 4y - 5z = 6$ के लंबवत है,इसलिए रेखा की दिशा समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (3, 4, -5)$ के समान होगी।
$(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{-5}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{3 - z}{5}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(C) रेखा $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x + 1) + b(y - 3) + c(z + 2) = 0$ है,जहाँ $-3a + 2b + c = 0$ $(i)$ है।
चूँकि समतल बिंदु $(0, 7, -7)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $a(0 + 1) + b(7 - 3) + c(-7 + 2) = 0$,जो सरल होकर $a + 4b - 5c = 0$ (ii) देता है।
समीकरण $(i)$ और (ii) को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर: $\frac{a}{(2)(-5) - (1)(4)} = \frac{b}{(1)(1) - (-3)(-5)} = \frac{c}{(-3)(4) - (2)(1)}$,जिससे $\frac{a}{-14} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{-14}$ प्राप्त होता है।
यह अनुपात $a:b:c = 1:1:1$ देता है।
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर: $1(x + 1) + 1(y - 3) + 1(z + 2) = 0$,जो $x + y + z = 0$ के रूप में प्राप्त होता है।

(A) माना रेखा पर स्थित बिंदु $(3k + 2, 4k - 1, 12k + 2)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x - y + z = 5$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(3k + 2) - (4k - 1) + (12k + 2) = 5$
$3k + 2 - 4k + 1 + 12k + 2 = 5$
$11k + 5 = 5$
$11k = 0 \implies k = 0$.
$k = 0$ को रेखा के निर्देशांकों में रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -1, 2)$ प्राप्त होता है।
अब,दूरी सूत्र का उपयोग करके $(-1, -5, -10)$ और $(2, -1, 2)$ के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं:
$d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - (-5))^2 + (2 - (-10))^2}$
$d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2 + (12)^2}$
$d = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

(D) यहाँ रेखा $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{2}$ है,जिसका दिशा सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
समतल $2x + 2y - z = 6$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या रेखा समतल के समांतर है: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (-2)(2) + (2)(-1) = 6 - 4 - 2 = 0$। चूँकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए रेखा समतल के समांतर है।
रेखा पर एक बिंदु $P(1, -2, 1)$ लीजिए। बिंदु $P$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
मान रखने पर: $d = \frac{|2(1) + 2(-2) - 1(1) - 6|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 4 - 1 - 6|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$।

(B) रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ है और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।
$\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (4)(-3) + (2)(1) = 6 - 12 + 2 = -4$.
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{|-4|}{\sqrt{29} \sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{406}}$.
इस प्रकार,$\theta = \sin^{-1} \left( \frac{4}{\sqrt{406}} \right)$.

(B) यहाँ समतल का समीकरण $2x + 4y - 5z = 10$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\bar{n} = (2, 4, -5)$ है।
समतल पर लंब रेखा की दिशा उसके अभिलंब सदिश की दिशा में ही होती है।
चूँकि रेखा मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए रेखा का सदिश समीकरण $\bar{r} = \bar{a} + k\bar{b}$ के रूप में होगा,जहाँ $\bar{a} = (0, 0, 0)$ और $\bar{b} = (2, 4, -5)$ है।
अतः,रेखा का समीकरण $\bar{r} = (0, 0, 0) + k(2, 4, -5)$ होगा,जिसे सरल करने पर $\bar{r} = (2k, 4k, -5k)$ प्राप्त होता है,जहाँ $k \in R$ है।

(B) दी गई रेखाएँ $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ और $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ हैं।
ये रेखाएँ बिंदु $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ से गुजरती हैं और सदिशों $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ के समांतर हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \times (-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश के रूप में $\vec{n}' = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ ले सकते हैं ($-3$ से विभाजित करने पर)।
समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n}' = 0$ है,जिसका अर्थ है $\vec{r} \cdot \vec{n}' = \vec{a} \cdot \vec{n}'$.
$\vec{a} \cdot \vec{n}' = (\hat{i} + \hat{j}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 1 - 1 + 0 = 0$.
अतः,समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 0$ है।

(C) समतल का समीकरण $x + 7y - 5z + 10 = 0$ है।
बिंदु $(-1, -2, -1)$ से समतल की दूरी का सूत्र $d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ का उपयोग करने पर,
$d = \frac{|1(-1) + 7(-2) - 5(-1) + 10|}{\sqrt{1^2 + 7^2 + (-5)^2}} = \frac{|-1 - 14 + 5 + 10|}{\sqrt{1 + 49 + 25}} = \frac{13}{\sqrt{75}}$।

(C) समतलों $x + 2y + 3z - 4 = 0$ और $2x + y - z + 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(x + 2y + 3z - 4) + \lambda (2x + y - z + 5) = 0$ है।
$(1 + 2\lambda)x + (2 + \lambda)y + (3 - \lambda)z + (5\lambda - 4) = 0$
चूंकि यह समतल,समतल $5x + 3y + 6z + 8 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंबों का डॉट गुणनफल शून्य होगा।
अभिलंब $\vec{n_1} = (1 + 2\lambda, 2 + \lambda, 3 - \lambda)$ और $\vec{n_2} = (5, 3, 6)$ हैं।
$5(1 + 2\lambda) + 3(2 + \lambda) + 6(3 - \lambda) = 0$
$5 + 10\lambda + 6 + 3\lambda + 18 - 6\lambda = 0$
$7\lambda + 29 = 0 \implies \lambda = -\frac{29}{7}$
$\lambda = -\frac{29}{7}$ को समीकरण में रखने पर:
$(x + 2y + 3z - 4) - \frac{29}{7}(2x + y - z + 5) = 0$
$7x + 14y + 21z - 28 - 58x - 29y + 29z - 145 = 0$
$-51x - 15y + 50z - 173 = 0$
$51x + 15y - 50z + 173 = 0$

(A) किसी बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d$ का सूत्र इस प्रकार है:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
यहाँ दिया गया बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$ और समतल $3x - 6y + 2z + 11 = 0$ है।
यहाँ,$A = 3, B = -6, C = 2, D = 11$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \frac{|3(2) - 6(3) + 2(4) + 11|}{\sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2}}$
$d = \frac{|6 - 18 + 8 + 11|}{\sqrt{9 + 36 + 4}}$
$d = \frac{|7|}{\sqrt{49}}$
$d = \frac{7}{7} = 1$
अतः,दूरी $1$ इकाई है।

(D) माना रेखा $L: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3} = k$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $P(k, 2k+1, 3k+2)$ है।
यदि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,जहाँ $A(1, 0, 7)$ और $B(1, 6, 3)$ है,तो मध्य-बिंदु $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+6}{2}, \frac{7+3}{2}) = (1, 3, 5)$ है।
$P = M$ रखने पर,$k=1, 2k+1=3 \Rightarrow k=1, 3k+2=5 \Rightarrow k=1$ प्राप्त होता है। अतः,$M$ रेखा पर स्थित है।
$AB$ का दिशा सदिश $\vec{AB} = (1-1, 6-0, 3-7) = (0, 6, -4)$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 2, 3)$ है।
रेखा के लंब समद्विभाजक होने के लिए $\vec{AB} \cdot \vec{v} = 0$ होना चाहिए।
$(0)(1) + (6)(2) + (-4)(3) = 0 + 12 - 12 = 0$।
चूंकि मध्य-बिंदु रेखा पर स्थित है और रेखा $AB$ के लंबवत है,इसलिए कथन-$2$ सत्य है।
चूंकि कथन-$2$ सत्य है,$A$,रेखा में $B$ का प्रतिबिंब है,इसलिए कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{-\lambda} = \frac{z - 1}{\lambda} = s$ और $L_2: \frac{x - 0}{1/2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{-1} = t$ हैं।
दो रेखाओं के समतलीय होने के लिए,रेखाओं पर स्थित बिंदुओं के अंतर और उनके दिशा सदिशों द्वारा निर्मित सारणिक का मान शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = 0$
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (1, -3, 1)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (0, 1, 2)$ है।
अतः,$(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (-1, 4, 1)$ है।
दिशा सदिश $(1, -\lambda, \lambda)$ और $(1/2, 1, -1)$ हैं।
सारणिक में मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(\lambda - \lambda) - 4(-1 - \lambda/2) + 1(1 + \lambda/2) = 0$
$0 + 4 + 2\lambda + 1 + \lambda/2 = 0$
$5 + 5\lambda/2 = 0$
$5\lambda/2 = -5$
$\lambda = -2$.

(C) रेखा $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ और समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ के बीच का कोण $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$
यहाँ,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ लेने पर (दिए गए विकल्पों के अनुसार):
$\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (-1)(-1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 = 4$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$\sin \theta = \frac{4}{\sqrt{3}\sqrt{6}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$.

(D) माना रेखा पर स्थित एक सामान्य बिंदु $P(6 - \lambda, -1, -3 + 4\lambda)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x + y - z = 3$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(6 - \lambda) + (-1) - (-3 + 4\lambda) = 3$
$6 - \lambda - 1 + 3 - 4\lambda = 3$
$8 - 5\lambda = 3$
$5\lambda = 5$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ को बिंदु $P$ में रखने पर:
$x = 6 - 1 = 5$
$y = -1$
$z = -3 + 4(1) = 1$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक $(5, -1, 1)$ हैं।

(A) रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1}$ का दिशा सदिश $\bar{l} = (2, 1, -1)$ है।
समतल $\bar{r} \cdot (1, 2, 1) = 1$ का अभिलंब सदिश $\bar{n} = (1, 2, 1)$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\alpha$ ज्ञात करने का सूत्र $\sin \alpha = \frac{|\bar{l} \cdot \bar{n}|}{|\bar{l}| |\bar{n}|}$ है।
अदिश गुणनफल: $\bar{l} \cdot \bar{n} = (2)(1) + (1)(2) + (-1)(1) = 2 + 2 - 1 = 3$.
परिमाण: $|\bar{l}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$ और $|\bar{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
मान रखने पर: $\sin \alpha = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\alpha = \sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

(D) माना रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12} = r$ पर किसी बिंदु के निर्देशांक $(3r + 2, 4r - 1, 12r + 2)$ हैं।
चूंकि यह बिंदु समतल $x - y + z = 5$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(3r + 2) - (4r - 1) + (12r + 2) = 5$
$3r - 4r + 12r + 2 + 1 + 2 = 5$
$11r + 5 = 5$
$11r = 0 \implies r = 0$.
$r = 0$ को निर्देशांकों में रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -1, 2)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(-1, -5, -10)$ और प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -1, 2)$ के बीच की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - (-5))^2 + (2 - (-10))^2}$
$d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2 + (12)^2}$
$d = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

(C) दो रेखाओं के समतलीय होने की शर्त यह है कि प्रत्येक रेखा पर एक बिंदु के निर्देशांक और उनके दिशा अनुपात का सारणिक शून्य होना चाहिए।
रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x - a + d & y - a & z - a - d \\ \alpha - \delta & \alpha & \alpha + \delta \\ \beta - \gamma & \beta & \beta + \gamma \end{vmatrix} = 0$
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_3$ करने पर:
$\begin{vmatrix} x + z - 2a & y - a & z - a - d \\ 2\alpha & \alpha & \alpha + \delta \\ 2\beta & \beta & \beta + \gamma \end{vmatrix} = 0$
अब,$C_1 \to C_1 - 2C_2$ करने पर:
$\begin{vmatrix} x + z - 2y & y - a & z - a - d \\ 0 & \alpha & \alpha + \delta \\ 0 & \beta & \beta + \gamma \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x + z - 2y) [\alpha(\beta + \gamma) - \beta(\alpha + \delta)] = 0$
यह मानते हुए कि दिशा सदिश समानांतर नहीं हैं,कोष्ठक में दिया गया पद शून्य नहीं है।
अतः,$x + z - 2y = 0$,जो कि $x - 2y + z = 0$ है।

(B) रेखा के दिक अनुपात $(l, m, n)$ हैं और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है।
यदि रेखा समतल के समांतर है,तो रेखा को समतल के अभिलंब सदिश के लंबवत होना चाहिए।
इसलिए,रेखा के दिक अनुपात और समतल के अभिलंब सदिश का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$(l, m, n) \cdot (a, b, c) = 0$
$al + bm + cn = 0$.

(B) माना कि अभीष्ट अनुपात $k : 1$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$(-2, 4, 7)$ और $(3, -5, 8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k : 1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं:
$\left( \frac{3k - 2}{k + 1}, \frac{-5k + 4}{k + 1}, \frac{8k + 7}{k + 1} \right)$
चूंकि यह बिंदु समतल $x - 2y + 3z = 17$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left( \frac{3k - 2}{k + 1} \right) - 2 \left( \frac{-5k + 4}{k + 1} \right) + 3 \left( \frac{8k + 7}{k + 1} \right) = 17$
दोनों पक्षों को $(k + 1)$ से गुणा करने पर:
$(3k - 2) - 2(-5k + 4) + 3(8k + 7) = 17(k + 1)$
पदों का विस्तार करने पर:
$3k - 2 + 10k - 8 + 24k + 21 = 17k + 17$
समान पदों को जोड़ने पर:
$37k + 11 = 17k + 17$
$37k - 17k = 17 - 11$
$20k = 6$
$k = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $k : 1 = 3 : 10$ है।

(B) दी गई रेखा $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - k}{2}$ है। रेखा के दिक-अनुपात $(1, 1, 2)$ हैं और यह बिंदु $(4, 2, k)$ से होकर गुजरती है।
समतल का समीकरण $2x - 4y + z = 7$ है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -4, 1)$ है।
रेखा के समतल में स्थित होने के लिए,रेखा को समतल के समानांतर होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि रेखा के दिक-सदिश और समतल के अभिलंब सदिश का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(1)(2) + (1)(-4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखा समतल के समानांतर है।
इसके अतिरिक्त,रेखा पर स्थित बिंदु $(4, 2, k)$ को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए ताकि रेखा पूरी तरह से समतल के भीतर स्थित हो सके:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$.

(B) दो समतलों $P_1$ और $P_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $(2x - y + z - 2) + \lambda (x + 2y - z - 3) = 0$.
चूंकि समतल बिंदु $(3, 2, 1)$ से गुजरता है,इसलिए हम समीकरण में $x=3, y=2, z=1$ रखते हैं:
$(2(3) - 2 + 1 - 2) + \lambda (3 + 2(2) - 1 - 3) = 0$.
$(6 - 2 + 1 - 2) + \lambda (3 + 4 - 1 - 3) = 0$.
$3 + \lambda (3) = 0$.
$3\lambda = -3$,जिससे $\lambda = -1$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -1$ को मूल समीकरण में रखने पर:
$(2x - y + z - 2) - 1(x + 2y - z - 3) = 0$.
$2x - x - y - 2y + z + z - 2 + 3 = 0$.
$x - 3y + 2z + 1 = 0$.

(D) दो समतलों $P_1: x + y + z - 6 = 0$ और $P_2: 2x + 3y + 4z = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(x + y + z - 6) + \lambda(2x + 3y + 4z) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि समतल बिंदु $(4, 4, 4)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(4 + 4 + 4 - 6) + \lambda(2(4) + 3(4) + 4(4)) = 0$
$6 + \lambda(8 + 12 + 16) = 0$
$6 + 36\lambda = 0$
$36\lambda = -6 \implies \lambda = -1/6$.
$\lambda = -1/6$ को समीकरण में वापस रखने पर:
$(x + y + z - 6) - \frac{1}{6}(2x + 3y + 4z) = 0$
$6(x + y + z - 6) - (2x + 3y + 4z) = 0$
$6x + 6y + 6z - 36 - 2x - 3y - 4z = 0$
$4x + 3y + 2z = 36$.
अतः,कथन में दिया गया समीकरण $29x + 23y + 17z = 276$ गलत है। इसलिए,$A$ गलत है। कारण $R$ एक मानक सैद्धांतिक परिणाम है और यह सही है।

(A) समतलों $P_1: x + 2y + 3z - 2 = 0$ और $P_2: x - y + z - 3 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + 2y + 3z - 2) + \lambda(x - y + z - 3) = 0$
$(1 + \lambda)x + (2 - \lambda)y + (3 + \lambda)z - (2 + 3\lambda) = 0$
इस समतल की बिंदु $(3, 1, -1)$ से दूरी $\frac{2}{\sqrt{3}}$ दी गई है।
दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{|(1 + \lambda)(3) + (2 - \lambda)(1) + (3 + \lambda)(-1) - (2 + 3\lambda)|}{\sqrt{(1 + \lambda)^2 + (2 - \lambda)^2 + (3 + \lambda)^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$|3 + 3\lambda + 2 - \lambda - 3 - \lambda - 2 - 3\lambda| = | -2\lambda |$
हर: $\sqrt{1 + 2\lambda + \lambda^2 + 4 - 4\lambda + \lambda^2 + 9 + 6\lambda + \lambda^2} = \sqrt{3\lambda^2 + 4\lambda + 14}$
अतः,$\frac{|-2\lambda|}{\sqrt{3\lambda^2 + 4\lambda + 14}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4\lambda^2}{3\lambda^2 + 4\lambda + 14} = \frac{4}{3}$
$3\lambda^2 = 3\lambda^2 + 4\lambda + 14$
$4\lambda = -14 \Rightarrow \lambda = -\frac{7}{2}$
$\lambda = -\frac{7}{2}$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$(1 - \frac{7}{2})x + (2 + \frac{7}{2})y + (3 - \frac{7}{2})z - (2 - \frac{21}{2}) = 0$
$-\frac{5}{2}x + \frac{11}{2}y - \frac{1}{2}z + \frac{17}{2} = 0$
$-5x + 11y - z + 17 = 0 \Rightarrow 5x - 11y + z = 17$.

(D) समतल $ax + by + cz + d = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x', y', z')$ का प्रतिबिंब $(x, y, z)$ ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{x - x'}{a} = \frac{y - y'}{b} = \frac{z - z'}{c} = \frac{-2(ax' + by' + cz' + d)}{a^2 + b^2 + c^2}$
यहाँ समतल $x - 2y + 0z + 0 = 0$ और बिंदु $(-1, 3, 4)$ दिया गया है:
$\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 4}{0} = \frac{-2((-1) - 2(3) + 0(4) + 0)}{1^2 + (-2)^2 + 0^2}$
$\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 4}{0} = \frac{-2(-1 - 6)}{1 + 4} = \frac{-2(-7)}{5} = \frac{14}{5}$
प्रत्येक भाग की तुलना करने पर:
$x + 1 = \frac{14}{5} \implies x = \frac{14}{5} - 1 = \frac{9}{5}$
$\frac{y - 3}{-2} = \frac{14}{5} \implies y - 3 = \frac{-28}{5} \implies y = 3 - \frac{28}{5} = \frac{15 - 28}{5} = \frac{-13}{5}$
$z - 4 = 0 \implies z = 4$
अतः,प्रतिबिंब $\left( \frac{9}{5}, \frac{-13}{5}, 4 \right)$ है।

(C) समतलों $ax + by + cz + d = 0$ और $a'x + b'y + c'z + d' = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण:
$(ax + by + cz + d) + \lambda(a'x + b'y + c'z + d') = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x(a + \lambda a') + y(b + \lambda b') + z(c + \lambda c') + (d + \lambda d') = 0 \quad \dots(i)$
चूंकि समतल $x$-अक्ष $(y=0, z=0)$ के समांतर है,इसलिए इसके अभिलंब का $x$-अक्ष की दिशा $(1, 0, 0)$ के साथ डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$1(a + \lambda a') + 0(b + \lambda b') + 0(c + \lambda c') = 0$
$a + \lambda a' = 0 \implies \lambda = -\frac{a}{a'}$
$\lambda$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(ax + by + cz + d) - \frac{a}{a'}(a'x + b'y + c'z + d') = 0$
$a'ax + a'by + a'cz + a'd - aa'x - ab'y - ac'z - ad' = 0$
$(a'b - ab')y + (a'c - ac')z + (a'd - ad') = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$(ab' - a'b)y + (ac' - a'c)z + (ad' - a'd) = 0$

(B) चूंकि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक्कोसाइन समान हैं। मान लीजिए दिक्कोसाइन $l, m, n$ हैं। तो $l = m = n$ होगा।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,इसलिए $3l^2 = 1$,जिससे $l = m = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
रेखा के दिक अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती हैं।
बिंदु $P(2, -1, 2)$ से गुजरने वाली और $(1, 1, 1)$ दिक अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $Q$,$(r+2, r-1, r+2)$ के रूप में दिया गया है।
चूंकि $Q$ समतल $2x + y + z = 9$ पर स्थित है,हम $Q$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9$
$4r = 4 \implies r = 1$.
$Q$ के निर्देशांक $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ हैं।
$PQ$ की लंबाई $P(2, -1, 2)$ और $Q(3, 0, 3)$ के बीच की दूरी है:
$PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

(C) बिंदुओं $(5, 1, a)$ और $(3, b, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x - 5}{3 - 5} = \frac{y - 1}{b - 1} = \frac{z - a}{1 - a} = k$
$\frac{x - 5}{-2} = \frac{y - 1}{b - 1} = \frac{z - a}{1 - a} = k$
रेखा पर कोई भी बिंदु $(5 - 2k, 1 + k(b - 1), a + k(1 - a))$ है।
चूंकि रेखा $(0, \frac{17}{2}, -\frac{13}{2})$ से गुजरती है,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$5 - 2k = 0 \implies k = \frac{5}{2}$
$y$-निर्देशांक के लिए: $1 + \frac{5}{2}(b - 1) = \frac{17}{2}$
$1 + \frac{5}{2}b - \frac{5}{2} = \frac{17}{2} \implies \frac{5}{2}b = \frac{17}{2} + \frac{3}{2} = 10 \implies b = 4$
$z$-निर्देशांक के लिए: $a + \frac{5}{2}(1 - a) = -\frac{13}{2}$
$a + \frac{5}{2} - \frac{5}{2}a = -\frac{13}{2} \implies -\frac{3}{2}a = -\frac{13}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{18}{2} = -9$
$a = 6$
अतः,$a = 6$ और $b = 4$।

(C) रेखा वक्र को उस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है जहाँ $z = 0$ है। रेखा के समीकरण में $z = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{0 - 1}{-1}$
$\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = 1$
इससे हमें प्राप्त होता है:
$x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5$
$y + 1 = 2 \Rightarrow y = 1$
अब,इन निर्देशांकों को वक्र के समीकरण $xy = c^2$ में रखने पर:
$(5)(1) = c^2$
$c^2 = 5$
$c = \pm \sqrt{5}$

(C) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1) = (2, -3, 1)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (3, -4, -5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1} = \lambda$ है।
मान रखने पर,हमें मिलता है $\frac{x-2}{3-2} = \frac{y-(-3)}{-4-(-3)} = \frac{z-1}{-5-1} = \lambda$।
यह सरल होकर $\frac{x-2}{1} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-1}{-6} = \lambda$ हो जाता है।
अतः,रेखा पर स्थित सामान्य बिंदु $(x, y, z) = (\lambda + 2, -\lambda - 3, -6\lambda + 1)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x + y + z = 7$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(\lambda + 2) + (-\lambda - 3) + (-6\lambda + 1) = 7$।
$2\lambda + 4 - \lambda - 3 - 6\lambda + 1 = 7$।
$-5\lambda + 2 = 7$।
$-5\lambda = 5 \implies \lambda = -1$।
$\lambda = -1$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = -1 + 2 = 1$,
$y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2$,
$z = -6(-1) + 1 = 6 + 1 = 7$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, -2, 7)$ है।

(B) एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $ax + by + cz + d = 0$ से दूरी $d$ का सूत्र इस प्रकार है:
$d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
दिया गया बिंदु $(2, 1, 0)$ है और समतल $2x + y + 2z + 5 = 0$ है।
यहाँ,$a = 2, b = 1, c = 2, d = 5$ और $x_1 = 2, y_1 = 1, z_1 = 0$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$d = \frac{|2(2) + 1(1) + 2(0) + 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}}$
$d = \frac{|4 + 1 + 0 + 5|}{\sqrt{4 + 1 + 4}}$
$d = \frac{|10|}{\sqrt{9}}$
$d = \frac{10}{3}$
अतः,दूरी $10/3$ इकाई है।

(B) बिंदु $P(1, -5, 9)$ से गुजरने वाली और रेखा $x = y = z$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y+5}{1} = \frac{z-9}{1} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(r+1, r-5, r+9)$ के रूप में है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x - y + z = 5$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(r+1) - (r-5) + (r+9) = 5$.
$r + 1 - r + 5 + r + 9 = 5$.
$r + 15 = 5 \Rightarrow r = -10$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ का मान $(-10+1, -10-5, -10+9) = (-9, -15, -1)$ है।
दूरी $AP$ बिंदु $P(1, -5, 9)$ और $A(-9, -15, -1)$ के बीच की दूरी है:
$AP = \sqrt{(-9-1)^2 + (-15 - (-5))^2 + (-1-9)^2}$.
$AP = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 + 100 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ इकाई।

(A) बिंदुओं $Q(2, 3, 5)$ और $R(1, -1, 4)$ से गुजरने वाली रेखा $QR$ का समीकरण $\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-3}{-1-3} = \frac{z-5}{4-5} \Rightarrow \frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z-5}{-1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(\lambda+2, 4\lambda+3, \lambda+5)$ है।
चूंकि $P$ समतल $5x - 4y - z = 1$ पर स्थित है,इसलिए $5(\lambda+2) - 4(4\lambda+3) - (\lambda+5) = 1$.
$5\lambda + 10 - 16\lambda - 12 - \lambda - 5 = 1 \Rightarrow -12\lambda - 7 = 1 \Rightarrow -12\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = -\frac{2}{3}$.
अतः,$P = (-\frac{2}{3}+2, 4(-\frac{2}{3})+3, -\frac{2}{3}+5) = (\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{13}{3})$.
अब,मान लीजिए $S$ बिंदु $T(2, 1, 4)$ से रेखा $QR$ पर लंब का पाद है। मान लीजिए $S = (\mu+2, 4\mu+3, \mu+5)$.
$TS$ के दिक अनुपात $(\mu+2-2, 4\mu+3-1, \mu+5-4) = (\mu, 4\mu+2, \mu+1)$ हैं।
चूंकि $TS \perp QR$,इसलिए $TS$ और $QR(1, 4, 1)$ के दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य है: $1(\mu) + 4(4\mu+2) + 1(\mu+1) = 0$.
$\mu + 16\mu + 8 + \mu + 1 = 0 \Rightarrow 18\mu = -9 \Rightarrow \mu = -\frac{1}{2}$.
अतः,$S = (-\frac{1}{2}+2, 4(-\frac{1}{2})+3, -\frac{1}{2}+5) = (\frac{3}{2}, 1, \frac{9}{2})$.
लंबाई $PS = \sqrt{(\frac{3}{2}-\frac{4}{3})^2 + (1-\frac{1}{3})^2 + (\frac{9}{2}-\frac{13}{3})^2} = \sqrt{(\frac{1}{6})^2 + (\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{16}{36} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{18}{36}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) माना बिंदु $P(7, 14, 5)$ है और समतल $2x + 4y - z - 2 = 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $ax + by + cz + d = 0$ पर लंब की लंबाई $d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|2(7) + 4(14) - 1(5) - 2|}{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{|14 + 56 - 5 - 2|}{\sqrt{4 + 16 + 1}} = \frac{63}{\sqrt{21}} = 3\sqrt{21}$.
माना $M$ लंबपाद है। बिंदु $P$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा के दिक्-अनुपात $(2, 4, -1)$ हैं।
रेखा का समीकरण $\frac{x - 7}{2} = \frac{y - 14}{4} = \frac{z - 5}{-1} = r$ है।
अतः,$x = 2r + 7, y = 4r + 14, z = -r + 5$.
चूंकि $M$ समतल $2x + 4y - z = 2$ पर स्थित है,इसलिए $2(2r + 7) + 4(4r + 14) - (-r + 5) = 2$.
$4r + 14 + 16r + 56 + r - 5 = 2 \implies 21r + 65 = 2 \implies 21r = -63 \implies r = -3$.
$r = -3$ रखने पर,$x = 2(-3) + 7 = 1$,$y = 4(-3) + 14 = 2$,$z = -(-3) + 5 = 8$.
अतः,लंबपाद के निर्देशांक $(1, 2, 8)$ हैं।