સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ એ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે?

રેખા $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ ને સમાવતા અને રેખાઓ $\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ અને $\frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો:

બિંદુ $P(3,4,4)$ નું બિંદુઓ $Q(3,-4,-5)$ અને $R(2,-3,1)$ ને જોડતી રેખા અને સમતલ $2x+y+z=7$ ના છેદબિંદુથી અંતર કેટલું છે ($\text{એકમ}$ માં)?

જો ત્રણ સમતલો $x = 5$,$2x - 5ay + 3z - 2 = 0$ અને $3bx + y - 3z = 0$ એક સામાન્ય રેખામાંથી પસાર થતા હોય,તો $(a, b)$ ની કિંમત શોધો.

એક રેખા $L$ એ બિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે જેનો સ્થાન સદિશ $\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ છે અને તે સદિશ $2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ ને સમાંતર છે. એક સમતલ $\pi$ એ બિંદુઓ $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\hat{i}-2 \hat{j}$ ને સમાંતર છે. તો જે બિંદુએ આ સમતલ $\pi$ રેખા $L$ ને મળે છે તે બિંદુ કયું છે?

ધારો કે બિંદુ $A(4, 3, 1)$ માંથી સમતલ $P: x - y + 2z + 3 = 0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $N$ છે. જો $B(5, \alpha, \beta)$,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$,એ સમતલ $P$ પરનું બિંદુ હોય અને ત્રિકોણ $ABN$ નું ક્ષેત્રફળ $3\sqrt{2}$ હોય,તો $\alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta$ ની કિંમત $...........$ થાય.