Line and Plane Questions in Gujarati

(A) રેખાનું સમીકરણ $r = (i + 2j - k) + \lambda (i - j + k)$ છે. રેખાની દિશાનો સદિશ $b = i - j + k$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $r \cdot (2i - j + k) = 4$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $n = 2i - j + k$ છે.
રેખા અને અભિલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|b \cdot n|}{|b| |n|}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર: $b \cdot n = (1)(2) + (-1)(-1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 = 4$.
માન: $|b| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ અને $|n| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{3} \sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)$.
પરંતુ,વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $\sin^{-1} \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)$ છે.

(A) સ્થાન સદિશ $\vec{a}$ ધરાવતા બિંદુ $P$ નું સમતલ $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ થી લંબ અંતર શોધવાનું સૂત્ર: $D = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} - d|}{|\vec{n}|}$ છે.
અહીં બિંદુ $\vec{a} = 2i + j - k$ અને સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (i - 2j + 4k) = 9$ આપેલ છે,તેથી $\vec{n} = i - 2j + 4k$ અને $d = 9$ થાય.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (1)(-2) + (-1)(4) = 2 - 2 - 4 = -4$ શોધો.
ત્યારબાદ,અભિલંબ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$ શોધો.
આ કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા: $D = \frac{|-4 - 9|}{\sqrt{21}} = \frac{|-13|}{\sqrt{21}} = \frac{13}{\sqrt{21}}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $r \cdot (i + 2j + 2k) = 15$ છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $n = i + 2j + 2k$ છે.
ગોલકનું સમીકરણ $|r - (j + 2k)| = 4$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C_0 = (0, 1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $R = 4$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર એ ગોલકના કેન્દ્ર $C_0$ નો સમતલ પરનો પ્રક્ષેપ છે.
$C_0$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાનું સમીકરણ $r = (j + 2k) + \lambda (i + 2j + 2k) = \lambda i + (1 + 2\lambda) j + (2 + 2\lambda) k$ છે.
આને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $(\lambda i + (1 + 2\lambda) j + (2 + 2\lambda) k) \cdot (i + 2j + 2k) = 15$.
$\lambda + 2(1 + 2\lambda) + 2(2 + 2\lambda) = 15$.
$\lambda + 2 + 4\lambda + 4 + 4\lambda = 15 \Rightarrow 9\lambda + 6 = 15 \Rightarrow 9\lambda = 9 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા,વર્તુળનું કેન્દ્ર $1i + (1 + 2(1))j + (2 + 2(1))k = i + 3j + 4k$ મળે છે,જે યામ $(1, 3, 4)$ દર્શાવે છે.

(C) આપેલા બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $a = i - j + 3k$ અને $b = 3i + 3j + 3k$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $r \cdot (5i + 2j - 7k) + 9 = 0$ છે. ધારો કે $f(r) = r \cdot (5i + 2j - 7k) + 9$.
બિંદુ $A$ માટે,આપણે $f(a) = (i - j + 3k) \cdot (5i + 2j - 7k) + 9 = (1)(5) + (-1)(2) + (3)(-7) + 9 = 5 - 2 - 21 + 9 = -9$ ગણીએ છીએ.
$f(a) < 0$ હોવાથી,બિંદુ $A$ સમતલની એક બાજુએ આવેલું છે.
બિંદુ $B$ માટે,આપણે $f(b) = (3i + 3j + 3k) \cdot (5i + 2j - 7k) + 9 = (3)(5) + (3)(2) + (3)(-7) + 9 = 15 + 6 - 21 + 9 = 9$ ગણીએ છીએ.
$f(b) > 0$ હોવાથી,બિંદુ $B$ સમતલની બીજી બાજુએ આવેલું છે.
$f(a)$ અને $f(b)$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવાથી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ સમતલની વિરુદ્ધ બાજુએ આવેલા છે.

(A) સમતલો $P_1: r \cdot n_1 = d_1$ અને $P_2: r \cdot n_2 = d_2$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(r \cdot n_1 - d_1) + \lambda (r \cdot n_2 - d_2) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n_1 = i + 3j - k$,$d_1 = 0$,$n_2 = j + 2k$,અને $d_2 = 0$ છે.
તેથી,સમીકરણ $(r \cdot (i + 3j - k)) + \lambda (r \cdot (j + 2k)) = 0$ થશે ..... $(i)$
આ સમતલ બિંદુ $(2, 1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે,જેનો સ્થાન સદિશ $a = 2i + j - k$ છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $r = 2i + j - k$ મૂકતા:
$((2i + j - k) \cdot (i + 3j - k)) + \lambda ((2i + j - k) \cdot (j + 2k)) = 0$
$(2(1) + 1(3) + (-1)(-1)) + \lambda (2(0) + 1(1) + (-1)(2)) = 0$
$(2 + 3 + 1) + \lambda (0 + 1 - 2) = 0$
$6 + \lambda (-1) = 0 \Rightarrow \lambda = 6$
હવે $\lambda = 6$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$r \cdot (i + 3j - k) + 6(r \cdot (j + 2k)) = 0$
$r \cdot (i + 3j - k + 6j + 12k) = 0$
$r \cdot (i + 9j + 11k) = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સમતલો $r \cdot (3i - j + k) = 1$ અને $r \cdot (i + 4j - 2k) = 2$ ની છેદરેખા એ સદિશ $n = n_1 \times n_2$ ને સમાંતર છે,જ્યાં $n_1 = 3i - j + k$ અને $n_2 = i + 4j - 2k$ છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $n = n_1 \times n_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = i(2 - 4) - j(-6 - 1) + k(12 + 1) = -2i + 7j + 13k$.
સમતલ આ રેખાને લંબ છે,તેથી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $n = -2i + 7j + 13k$ છે.
સમતલ $a = i + 2j - k$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
સમતલનું સમીકરણ $(r - a) \cdot n = 0$ છે,જે $r \cdot n = a \cdot n$ તરીકે લખી શકાય.
$r \cdot (-2i + 7j + 13k) = (i + 2j - k) \cdot (-2i + 7j + 13k) = -2 + 14 - 13 = -1$.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $r \cdot (2i - 7j - 13k) = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $r = (i + j) + \lambda (i + 2j - k)$ અને $r = (i + j) + \mu (-i + j - 2k)$ છે.
બંને રેખાઓ બિંદુ $a = i + j$ માંથી પસાર થાય છે.
આ રેખાઓ અનુક્રમે સદિશો $b = i + 2j - k$ અને $c = -i + j - 2k$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $n$ એ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $n = b \times c$ દ્વારા મળે છે.
$n = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = i(-4 + 1) - j(-2 - 1) + k(1 + 2) = -3i + 3j + 3k$.
અભિલંબ સદિશને $-3$ વડે ભાગીને સરળ બનાવી શકાય,તેથી $n' = i - j - k$.
સમતલનું સમીકરણ $(r - a) \cdot n' = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(r - (i + j)) \cdot (i - j - k) = 0$.
$r \cdot (i - j - k) - (i + j) \cdot (i - j - k) = 0$.
$r \cdot (i - j - k) - (1 - 1 + 0) = 0$.
$r \cdot (i - j - k) = 0$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $r = a + \lambda b$ છે,જ્યાં $b = -i + j + k$.
સમતલનું સમીકરણ $r \cdot n = d$ છે,જ્યાં $n = 3i + 2j - k$.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|b \cdot n|}{|b||n|}$ છે.
અહીં,$b \cdot n = (-1)(3) + (1)(2) + (1)(-1) = -3 + 2 - 1 = -2$.
$|b| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$|n| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{|-2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{42}}$.
આમ,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{42}}\right)$.

(B) $A = i - 2j + k$ અને $B = -2j + 3k$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $r = A + \lambda(B - A)$ છે.
$r = (i - 2j + k) + \lambda(-i + 2k) = (1 - \lambda)i - 2j + (1 + 2\lambda)k$ ... $(i)$
સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$,$P = 4j$ અને $Q = 2i + k$ માંથી પસાર થાય છે. સમતલનો અભિલંબ સદિશ $n = P \times Q = (4j) \times (2i + k) = 8(j \times i) + 4(j \times k) = -8k + 4i = 4i - 8k$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $r \cdot (4i - 8k) = 0$ છે ... $(ii)$
$(i)$ માંથી બિંદુને $(ii)$ માં મૂકતા:
$((1 - \lambda)i - 2j + (1 + 2\lambda)k) \cdot (4i - 8k) = 0$
$4(1 - \lambda) - 8(1 + 2\lambda) = 0$
$4 - 4\lambda - 8 - 16\lambda = 0$
$-4 - 20\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{5}$
$\lambda = -\frac{1}{5}$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$r = (i - 2j + k) - \frac{1}{5}(-i + 2k) = i - 2j + k + \frac{1}{5}i - \frac{2}{5}k = \frac{6}{5}i - 2j + \frac{3}{5}k = \frac{1}{5}(6i - 10j + 3k)$.

(A) આપેલ રેખા $r = (i + j) + \lambda (2i + j + 4k)$ છે.
આ રેખા બિંદુ $P(1, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $v = 2i + j + 4k$ ને સમાંતર છે.
આ રેખાને સમાવતા સમતલ માટે શરત એ છે કે બિંદુ $P(1, 1, 0)$ સમતલ પર હોવું જોઈએ અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ $n$ એ રેખાના દિશા સદિશ $v$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $r \cdot n = d$ છે.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $r \cdot (i + 2j - k) = 3$.
$1$. બિંદુ $P(1, 1, 0)$ સમતલ પર છે કે નહીં તે તપાસો: $(i + j) \cdot (i + 2j - k) = (1)(1) + (1)(2) + (0)(-1) = 1 + 2 = 3$. આ શરત સંતોષાય છે.
$2$. રેખા સમતલને સમાંતર છે કે નહીં તે તપાસો: અભિલંબ સદિશ $n = i + 2j - k$ એ રેખાના દિશા સદિશ $v = 2i + j + 4k$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
$n \cdot v = (i + 2j - k) \cdot (2i + j + 4k) = (1)(2) + (2)(1) + (-1)(4) = 2 + 2 - 4 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
આમ,સમતલ $r \cdot (i + 2j - k) = 3$ આપેલ રેખાને સમાવે છે.

(D) રેખા $r = a + \lambda b$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2i - 2j + 3k$ અને $b = i - j + 4k$ છે.
સમતલ $r \cdot n = d$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $n = i + 5j + k$ અને $d = 5$ છે.
પ્રથમ,$b \cdot n$ શોધીને ચકાસો કે રેખા સમતલને સમાંતર છે કે નહીં:
$b \cdot n = (i - j + 4k) \cdot (i + 5j + k) = (1)(1) + (-1)(5) + (4)(1) = 1 - 5 + 4 = 0$.
$b \cdot n = 0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખા અને સમતલ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર:
$Distance = \left| \frac{d - a \cdot n}{|n|} \right|$
$a \cdot n = (2i - 2j + 3k) \cdot (i + 5j + k) = (2)(1) + (-2)(5) + (3)(1) = 2 - 10 + 3 = -5$.
$|n| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 25 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
$Distance = \left| \frac{5 - (-5)}{3\sqrt{3}} \right| = \left| \frac{10}{3\sqrt{3}} \right| = \frac{10}{3\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે $Q$ એ સમતલ $\vec{r} \cdot (\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}) = 1$ માં બિંદુ $P(\vec{i} + 3\vec{k})$ નું પ્રતિબિંબ છે. તો રેખા $PQ$ એ સમતલને લંબ છે.
રેખા $PQ$ એ $P$ માંથી પસાર થાય છે અને આપેલ સમતલને લંબ હોવાથી,રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (\vec{i} + 3\vec{k}) + \lambda(\vec{i} + \vec{j} + \vec{k})$ છે.
$Q$ એ રેખા $PQ$ પર આવેલું હોવાથી,$Q$ નો સ્થાન સદિશ $(1 + \lambda)\vec{i} + \lambda\vec{j} + (3 + \lambda)\vec{k}$ લો.
ધારો કે $R$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. $R$ નો સ્થાન સદિશ $\frac{(\vec{i} + 3\vec{k}) + ((1 + \lambda)\vec{i} + \lambda\vec{j} + (3 + \lambda)\vec{k})}{2} = (\frac{\lambda + 2}{2})\vec{i} + (\frac{\lambda}{2})\vec{j} + (\frac{\lambda + 6}{2})\vec{k}$ છે.
$R$ એ સમતલ $\vec{r} \cdot (\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}) = 1$ પર આવેલું હોવાથી:
$(\frac{\lambda + 2}{2} + \frac{\lambda}{2} + \frac{\lambda + 6}{2}) = 1$
$\frac{3\lambda + 8}{2} = 1$
$3\lambda + 8 = 2$
$3\lambda = -6 \implies \lambda = -2$.
$Q$ ના સ્થાન સદિશમાં $\lambda = -2$ મૂકતા:
$Q = (1 - 2)\vec{i} + (-2)\vec{j} + (3 - 2)\vec{k} = -\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$.

(B) રેખાનું સમીકરણ $r = (i - j + k) + t(i + j - k)$ છે.
આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુને $(1 + t, -1 + t, 1 - t)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
સમતલનું સમીકરણ $r \cdot (i + j + k) = 5$ છે,જે કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં $x + y + z = 5$ થાય છે.
બિંદુ સમતલ પર હોવાથી,તે સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(1 + t) + (-1 + t) + (1 - t) = 5$
$1 + t = 5$
$t = 4$
$t = 4$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા:
$x = 1 + 4 = 5$
$y = -1 + 4 = 3$
$z = 1 - 4 = -3$
આમ,બિંદુ $(5, 3, -3)$ છે અને તેનો સ્થાન સદિશ $5i + 3j - 3k$ છે.

(B) સમતલો $r \cdot (i - 3j + k) = 1$ અને $r \cdot (2i + 5j - 3k) = 2$ ની છેદરેખા એ બંને અભિલંબ સદિશો $n_1 = i - 3j + k$ અને $n_2 = 2i + 5j - 3k$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,આ રેખા $n_1 \times n_2$ સદિશને સમાંતર છે.
$n_1 \times n_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -3 & 1 \\ 2 & 5 & -3 \end{vmatrix}$
$= i((-3)(-3) - (1)(5)) - j((1)(-3) - (1)(2)) + k((1)(5) - (-3)(2))$
$= i(9 - 5) - j(-3 - 2) + k(5 + 6)$
$= 4i + 5j + 11k$.

(D) $XOZ$ સમતલનું સમીકરણ $y = 0$ છે.
ધારો કે $y = 0$ સમતલ,બિંદુઓ $A(1, -1, 5)$ અને $B(2, 3, 4)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુનો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે:
$y = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$0 = \frac{\lambda(3) + 1(-1)}{\lambda + 1}$
$0 = 3\lambda - 1$
$3\lambda = 1$
$\lambda = \frac{1}{3}$
આમ,ગુણોત્તર $\frac{1}{3} : 1$ છે.

(A) રેખા એ બે સમતલોના છેદથી બને છે: $x - y + z - 5 = 0$ અને $x - 3y - 6 = 0$.
ધારો કે રેખાના દિકગુણોત્તરો $(l, m, n)$ છે.
સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, -1, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, -3, 0)$ છે.
રેખાની દિશા બંને અભિલંબને લંબ હોય છે,તેથી તે સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-3)) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(-3 - (-1))$
$\vec{v} = 3\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તરો $(3, 1, -2)$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) બે રેખાઓ $\frac{x - x_1}{l_1} = \frac{y - y_1}{m_1} = \frac{z - z_1}{n_1}$ અને $\frac{x - x_2}{l_2} = \frac{y - y_2}{m_2} = \frac{z - z_2}{n_2}$ સમતલીય હોય જો $\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = 0$ થાય.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$ છે.
તેથી,$x_2 - x_1 = -1$,$y_2 - y_1 = 1$,$z_2 - z_1 = 1$ મળે.
શરત મુજબ $\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$ થાય.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 1(2 - k) = 0$
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$
$-k^2 - 3k = 0$
$k(k + 3) = 0$
આમ,$k = 0$ અથવા $k = -3$ મળે.

(C) બિંદુ $P(1, 1, 1)$ નું ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી અંતર $d_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{3}$ છે.
બિંદુ $P(1, 1, 1)$ નું સમતલ $x - y + z + k = 0$ થી અંતર $d_2 = \frac{|1 - 1 + 1 + k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|1 + k|}{\sqrt{3}}$ છે.
અંતરનો ગુણાકાર $d_1 \times d_2 = 5$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\sqrt{3} \times \frac{|1 + k|}{\sqrt{3}} = 5$ મળે છે.
આથી $|1 + k| = 5$ થાય.
કિસ્સો $1$: $1 + k = 5 \implies k = 4$.
કિસ્સો $2$: $1 + k = -5 \implies k = -6$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચી કિંમત $k = 4$ છે.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
અહીં આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$ અને સમતલ $3x - 6y + 2z + 11 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|3(2) - 6(3) + 2(4) + 11|}{\sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2}}$
$d = \frac{|6 - 18 + 8 + 11|}{\sqrt{9 + 36 + 4}}$
$d = \frac{|7|}{\sqrt{49}}$
$d = \frac{7}{7} = 1$
આમ,અંતર $1$ એકમ છે.

(A) બે સમતલો $P_1: 2x - y = 0$ અને $P_2: y - 3z = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x - y) + \lambda(y - 3z) = 0$
$2x + (\lambda - 1)y - 3\lambda z = 0$ --- $(i)$
આ સમતલ,સમતલ $4x + 5y - 3z - 8 = 0$ ને લંબ છે.
આ બે સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 2\hat{i} + (\lambda - 1)\hat{j} - 3\lambda\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સમતલો લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.
$2(4) + (\lambda - 1)(5) + (-3\lambda)(-3) = 0$
$8 + 5\lambda - 5 + 9\lambda = 0$
$14\lambda + 3 = 0$
$\lambda = -\frac{3}{14}$
$\lambda = -\frac{3}{14}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મુકતા:
$(2x - y) - \frac{3}{14}(y - 3z) = 0$
$28x - 14y - 3y + 9z = 0$
$28x - 17y + 9z = 0$.

(B) બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માંથી સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ પર દોરેલી લંબ રેખા બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માંથી પસાર થાય છે.
આ રેખા સમતલને લંબ હોવાથી,તેના દિશા ગુણોત્તર (direction ratios) સમતલના અભિલંબ સદિશ સમાન એટલે કે $(a, b, c)$ હશે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને $(a, b, c)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે.
આપેલ બિંદુની કિંમત મૂકતા,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - \alpha}{a} = \frac{y - \beta}{b} = \frac{z - \gamma}{c}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમતલો $P_1: x + y + z - 1 = 0$ અને $P_2: 2x + 3y - z + 4 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + y + z - 1) + \lambda(2x + 3y - z + 4) = 0$
$(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 - \lambda)z + (4\lambda - 1) = 0$ ... $(i)$
સમતલ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $x$-અક્ષ (જેનો દિશા સદિશ $\vec{i} = (1, 0, 0)$ છે) ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$x$ નો સહગુણક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$1 + 2\lambda = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{2}$
સમીકરણ $(i)$ માં $\lambda = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$(1 + 2(-\frac{1}{2}))x + (1 + 3(-\frac{1}{2}))y + (1 - (-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2}) - 1) = 0$
$0x + (1 - \frac{3}{2})y + (1 + \frac{1}{2})z + (-2 - 1) = 0$
$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$
$-2$ વડે ગુણતા,આપણને $y - 3z + 6 = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે $M$ એ બિંદુ $P(7, 14, 5)$ થી આપેલ સમતલ $2x + 4y - z = 2$ પરનો લંબપાદ છે. રેખા $PM$ એ સમતલને લંબ છે,તેથી તેના દિકગુણોત્તર $(2, 4, -1)$ છે.
બિંદુ $(7, 14, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PM$ નું સમીકરણ $\frac{x - 7}{2} = \frac{y - 14}{4} = \frac{z - 5}{-1} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(2r + 7, 4r + 14, -r + 5)$ છે.
ચૂંક $M$ એ સમતલ $2x + 4y - z = 2$ પર આવેલું છે,તેથી:
$2(2r + 7) + 4(4r + 14) - (-r + 5) = 2$
$4r + 14 + 16r + 56 + r - 5 = 2$
$21r + 65 = 2$
$21r = -63$
$r = -3$
$r = -3$ ને $M$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 2(-3) + 7 = 1$
$y = 4(-3) + 14 = 2$
$z = -(-3) + 5 = 8$
તેથી,લંબપાદ $M(1, 2, 8)$ છે.
લંબની લંબાઈ $PM$ એ $(7, 14, 5)$ અને $(1, 2, 8)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$PM = \sqrt{(1 - 7)^2 + (2 - 14)^2 + (8 - 5)^2}$
$PM = \sqrt{(-6)^2 + (-12)^2 + (3)^2}$
$PM = \sqrt{36 + 144 + 9} = \sqrt{189} = 3\sqrt{21}$.
આમ,લંબની લંબાઈ $3\sqrt{21}$ અને લંબપાદ $(1, 2, 8)$ છે.

(A) સમતલો $P_1: x + y + z - 6 = 0$ અને $P_2: 2x + 3y + 4z + 5 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + y + z - 6) + \lambda(2x + 3y + 4z + 5) = 0$.
આ સમતલ બિંદુ $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x = 1, y = 1, z = 1$ મૂકીએ છીએ:
$(1 + 1 + 1 - 6) + \lambda(2(1) + 3(1) + 4(1) + 5) = 0$.
$(-3) + \lambda(2 + 3 + 4 + 5) = 0$.
$-3 + 14\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{14}$.
હવે $\lambda = \frac{3}{14}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x + y + z - 6) + \frac{3}{14}(2x + 3y + 4z + 5) = 0$.
$14(x + y + z - 6) + 3(2x + 3y + 4z + 5) = 0$.
$14x + 14y + 14z - 84 + 6x + 9y + 12z + 15 = 0$.
$20x + 23y + 26z - 69 = 0$.

(C) ધારો કે સમતલ $x - 2y + 3z - 17 = 0$ એ બિંદુઓ $A(-2, 4, 7)$ અને $B(3, -5, 8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુના યામ $\left( \frac{3k - 2}{k + 1}, \frac{-5k + 4}{k + 1}, \frac{8k + 7}{k + 1} \right)$ મળે.
આ બિંદુ સમતલ $x - 2y + 3z = 17$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\left( \frac{3k - 2}{k + 1} \right) - 2\left( \frac{-5k + 4}{k + 1} \right) + 3\left( \frac{8k + 7}{k + 1} \right) = 17$
$(k + 1)$ વડે ગુણતા:
$(3k - 2) - 2(-5k + 4) + 3(8k + 7) = 17(k + 1)$
$3k - 2 + 10k - 8 + 24k + 21 = 17k + 17$
$37k + 11 = 17k + 17$
$20k = 6$
$k = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $3:10$ છે.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
અહીં બિંદુ $(2, 3, -5)$ અને સમતલ $x + 2y - 2z - 9 = 0$ આપેલ છે,તેથી $A=1, B=2, C=-2, D=-9$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|(1)(2) + (2)(3) + (-2)(-5) - 9|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}}$
$d = \frac{|2 + 6 + 10 - 9|}{\sqrt{1 + 4 + 4}}$
$d = \frac{|9|}{\sqrt{9}}$
$d = \frac{9}{3} = 3$
આમ,અંતર $3$ એકમ છે.

(B) બે સમતલો $P_1 = 0$ અને $P_2 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમતલો $x + 2y + 3z + 4 = 0$ અને $4x + 3y + 2z + 1 = 0$ છે.
તેથી,જરૂરી સમતલનું સમીકરણ:
$(x + 2y + 3z + 4) + \lambda (4x + 3y + 2z + 1) = 0 \quad .....(i)$
આ સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે સમીકરણ $(i)$ માં $x = 0, y = 0, z = 0$ મૂકીએ:
$(0 + 2(0) + 3(0) + 4) + \lambda (4(0) + 3(0) + 2(0) + 1) = 0$
$4 + \lambda(1) = 0$
$\lambda = -4$
હવે,$\lambda = -4$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(x + 2y + 3z + 4) - 4(4x + 3y + 2z + 1) = 0$
$x + 2y + 3z + 4 - 16x - 12y - 8z - 4 = 0$
$-15x - 10y - 5z = 0$
આખા સમીકરણને $-5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$3x + 2y + z = 0$

(C) $XOZ$ સમતલનું સમીકરણ $y = 0$ છે.
ધારો કે $XOZ$ સમતલ બિંદુઓ $A(2, 3, 1)$ અને $B(6, 7, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,વિભાજન કરતા બિંદુના યામ:
$P = \left( \frac{k(6) + 2}{k+1}, \frac{k(7) + 3}{k+1}, \frac{k(1) + 1}{k+1} \right)$
બિંદુ $P$ એ $XOZ$ સમતલ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $0$ થાય:
$\frac{7k + 3}{k+1} = 0$
$7k + 3 = 0$
$7k = -3$
$k = -\frac{3}{7}$
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $-3:7$ છે.

(A) સમતલો $P_1: x + y + z - 1 = 0$ અને $P_2: 2x + 3y - z + 4 = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x + y + z - 1) + \lambda (2x + 3y - z + 4) = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 - \lambda)z + (4\lambda - 1) = 0$
આ સમતલ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $x$-અક્ષને લંબ હોવો જોઈએ (જેની દિશા $\vec{i} = (1, 0, 0)$ છે).
તેથી,$x$ નો સહગુણક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$1 + 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$
સમીકરણમાં $\lambda = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$(1 + 2(-\frac{1}{2}))x + (1 + 3(-\frac{1}{2}))y + (1 - (-\frac{1}{2}))z + (4(-\frac{1}{2}) - 1) = 0$
$0x + (1 - \frac{3}{2})y + (1 + \frac{1}{2})z + (-2 - 1) = 0$
$-\frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z - 3 = 0$
$-2$ વડે ગુણતા:
$y - 3z + 6 = 0$

(D) બિંદુ $(0, 1, 2)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 0) + b(y - 1) + c(z - 2) = 0$ છે,જે $ax + b(y - 1) + c(z - 2) = 0 \dots (i)$ તરીકે લખી શકાય.
આ સમતલ $(-1, 0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$a(-1 - 0) + b(0 - 1) + c(3 - 2) = 0 \implies -a - b + c = 0 \implies a + b - c = 0 \dots (ii)$.
સમતલ $(i)$ એ સમતલ $2x + 3y + z = 5$ ને લંબ છે,તેથી તેમના અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2a + 3b + c = 0 \dots (iii)$.
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ ને ઉકેલતા:
$\frac{a}{1(1) - (-1)(3)} = \frac{-b}{1(1) - (-1)(2)} = \frac{c}{1(3) - 1(2)}$
$\frac{a}{4} = \frac{-b}{3} = \frac{c}{1} = k$.
તેથી,$a = 4k, b = -3k, c = k$.
આ કિંમતો $(i)$ માં મૂકતા:
$4k(x) - 3k(y - 1) + k(z - 2) = 0$.
$k$ વડે ભાગતા:
$4x - 3y + 3 + z - 2 = 0 \implies 4x - 3y + z + 1 = 0$.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, -3, 1)$ અને $B(3, -4, -5)$ ને જોડતી રેખાને $2x + y + z = 7$ સમતલ $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને છેદબિંદુ $P$ ના યામ:
$P = \left( \frac{3k + 2}{k + 1}, \frac{-4k - 3}{k + 1}, \frac{-5k + 1}{k + 1} \right)$
બિંદુ $P$ એ સમતલ $2x + y + z = 7$ પર આવેલું હોવાથી,આ યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2\left( \frac{3k + 2}{k + 1} \right) + \left( \frac{-4k - 3}{k + 1} \right) + \left( \frac{-5k + 1}{k + 1} \right) = 7$
$(k + 1)$ વડે ગુણતા:
$2(3k + 2) + (-4k - 3) + (-5k + 1) = 7(k + 1)$
$6k + 4 - 4k - 3 - 5k + 1 = 7k + 7$
$-3k + 2 = 7k + 7$
$-10k = 5 \implies k = -\frac{1}{2}$
$k = -\frac{1}{2}$ ની કિંમત $P$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = \frac{3(-1/2) + 2}{-1/2 + 1} = 1$
$y = \frac{-4(-1/2) - 3}{-1/2 + 1} = -2$
$z = \frac{-5(-1/2) + 1}{-1/2 + 1} = 7$
આમ,છેદબિંદુ $(1, -2, 7)$ છે.

(D) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{3} = r$ છે.
તેથી,રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $x = r$,$y = 2r + 1$,અને $z = 3r - 2$ દ્વારા મળે છે.
આ બિંદુ સમતલ $2x + 3y + z = 0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(r) + 3(2r + 1) + (3r - 2) = 0$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$2r + 6r + 3 + 3r - 2 = 0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$11r + 1 = 0$,જે આપણને $r = \frac{-1}{11}$ આપે છે.
હવે,$r = \frac{-1}{11}$ ની કિંમત $x, y, z$ ના પદોમાં મૂકતા:
$x = \frac{-1}{11}$,
$y = 2(\frac{-1}{11}) + 1 = \frac{-2}{11} + \frac{11}{11} = \frac{9}{11}$,
$z = 3(\frac{-1}{11}) - 2 = \frac{-3}{11} - \frac{22}{11} = \frac{-25}{11}$.
આમ,છેદબિંદુ $(\frac{-1}{11}, \frac{9}{11}, \frac{-25}{11})$ છે.

(A) આપેલ રેખાના દિક-ગુણોત્તર $(3, 4, 0)$ છે.
$xy$-સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (0, 0, 1)$ છે.
જો રેખાનો દિક-સદિશ $\vec{b} = (a, b, c)$ અને સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = (n_1, n_2, n_3)$ હોય,તો રેખા સમતલને સમાંતર હોય જો $\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$ થાય.
અહીં,$(3, 4, 0) \cdot (0, 0, 1) = (3 \times 0) + (4 \times 0) + (0 \times 1) = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખા $xy$-સમતલને સમાંતર છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x = 2y = 3z$ છે.
$6$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{6} = \frac{2y}{6} = \frac{3z}{6}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{6} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}$ થાય છે.
રેખાના દિકગુણોત્તર $(6, 3, 2)$ છે.
સમતલ આ રેખાને લંબ હોવાથી,રેખાના દિકગુણોત્તર એ સમતલના અભિલંબ સદિશના ઘટકો $(a, b, c)$ બને છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 0) + b(y - 0) + c(z - 0) = 0$ છે,જ્યાં $(a, b, c)$ એ અભિલંબના દિકગુણોત્તર છે.
$(a, b, c) = (6, 3, 2)$ મૂકતા,આપણને $6x + 3y + 2z = 0$ મળે છે.

(A) રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 2)$ છે.
સમતલ $4x - 2y - z = 1$ ના અભિલંબ સદિશના દિશા ગુણોત્તર $(a_2, b_2, c_2) = (4, -2, -1)$ છે.
રેખા સમતલને સમાંતર હોય તે માટે,રેખાના દિશા ગુણોત્તર અને સમતલના અભિલંબ સદિશનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2)(4) + (3)(-2) + (2)(-1) = 8 - 6 - 2 = 0$.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
હવે,રેખા પરનું બિંદુ $(-3, 4, -5)$ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $4(-3) - 2(4) - (-5) = -12 - 8 + 5 = -15 \neq 1$.
બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરતું નથી,તેથી રેખા સમતલને સમાંતર છે.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે.
અહીં આપેલ બિંદુ $(1, 2, 3)$ છે,તેથી સમીકરણ $\frac{x - 1}{a} = \frac{y - 2}{b} = \frac{z - 3}{c}$ થશે.
જ્યારે કોઈ રેખા સમતલને લંબ હોય,ત્યારે રેખાના દિકગુણોત્તર એ સમતલના અભિલંબ સદિશના દિકગુણોત્તરના પ્રમાણમાં હોય છે.
સમતલનું સમીકરણ $x + 2y - 5z + 9 = 0$ છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 2, -5)$ છે.
આમ,રેખાના દિકગુણોત્તર $(1, 2, -5)$ થશે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{-5}$ મળે છે.

(D) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x - 4) + b(y - 3) + c(z - 2) = 0$ છે.
સમતલ રેખાઓ ધરાવે છે,તેથી અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ બંને રેખાઓના દિશા સદિશો $(1, 1, 2)$ અને $(1, -4, 5)$ ને લંબ છે.
આમ,$a + b + 2c = 0$ અને $a - 4b + 5c = 0$.
અભિલંબ સદિશ $(a, b, c) = (1, 1, 2) \times (1, -4, 5)$ શોધવા માટે ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરતા:
$a = (1)(5) - (2)(-4) = 5 + 8 = 13$.
$b = (2)(1) - (1)(5) = 2 - 5 = -3$.
$c = (1)(-4) - (1)(1) = -4 - 1 = -5$.
તેથી અભિલંબ સદિશ $(13, -3, -5)$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $13(x - 4) - 3(y - 3) - 5(z - 2) = 0$ છે.
$13x - 52 - 3y + 9 - 5z + 10 = 0$.
$13x - 3y - 5z - 33 = 0$ અથવા $13x - 3y - 5z = 33$.
આ આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ સાથે મેળ ખાતું નથી,તેથી સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(D) બિંદુ $(1, 0, -1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y - 0) + c(z + 1) = 0 \dots (i)$ છે.
સમતલ $(3, 2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a(3 - 1) + b(2 - 0) + c(2 + 1) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $2a + 2b + 3c = 0 \dots (ii)$ થાય છે.
સમતલ રેખાને સમાંતર છે જેના દિકગુણોત્તર $(2, -2, 3)$ છે,તેથી સમતલનો અભિલંબ રેખાને લંબ છે. એટલે કે $2a - 2b + 3c = 0 \dots (iii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા,$4b = 0$,એટલે કે $b = 0$.
$b = 0$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,$2a + 3c = 0$,અથવા $a = -\frac{3}{2}c$. જો $c = 2$ લઈએ,તો $a = -3$.
અભિલંબ સદિશ $(-3, 0, 2)$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $-3(x - 1) + 0(y - 0) + 2(z + 1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $-3x + 3 + 2z + 2 = 0$ અથવા $3x - 2z - 5 = 0$ થાય છે.

(B) દિશા ગુણોત્તર $(l, m, n)$ ધરાવતી રેખા સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ ને સમાંતર હોય જો અને માત્ર જો $al + bm + cn = 0$ થાય અને રેખા સમતલ પર ન હોય.
આપેલ રેખા $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 4}{5}$ માટે,દિશા ગુણોત્તર $(l, m, n) = (3, 4, 5)$ છે.
વિકલ્પ $(b)$ તપાસતા: $2x + y - 2z = 0$. અહીં $(a, b, c) = (2, 1, -2)$ છે.
$al + bm + cn = 2(3) + 1(4) + (-2)(5) = 6 + 4 - 10 = 0$ મળે છે.
આમ,શરત $al + bm + cn = 0$ સંતોષાય છે,તેથી રેખા સમતલ $2x + y - 2z = 0$ ને સમાંતર છે.

(D) ધારો કે રેખા $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12} = t$ પરનું કોઈ બિંદુ $(3t + 2, 4t - 1, 12t + 2)$ છે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y + z = 5$ પર આવેલું છે.
સમતલના સમીકરણમાં યામ મૂકતા:
$(3t + 2) - (4t - 1) + (12t + 2) = 5$
$3t + 2 - 4t + 1 + 12t + 2 = 5$
$11t + 5 = 5$
$11t = 0 \Rightarrow t = 0$.
તેથી,છેદબિંદુ $(3(0) + 2, 4(0) - 1, 12(0) + 2) = (2, -1, 2)$ છે.
બિંદુ $(2, -1, 2)$ અને $(-1, -5, -10)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા:
$d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-5 - (-1))^2 + (-10 - 2)^2}$
$d = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-12)^2}$
$d = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

(A) ધારો કે રેખાના દિકગુણોત્તર $(l, m, n)$ છે.
રેખા $x - y + 2z = 5$ અને $3x + y + z = 6$ સમતલોને સમાંતર હોવાથી,તે આ સમતલોના અભિલંબને લંબ હશે.
અભિલંબ $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ અને $\vec{n_2} = (3, 1, 1)$ છે.
તેથી,$l - m + 2n = 0$ અને $3l + m + n = 0$.
દિકગુણોત્તર $(l, m, n) = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ મેળવવા માટે ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરતા:
$l = (-1)(1) - (2)(1) = -3$
$m = (2)(3) - (1)(1) = 5$
$n = (1)(1) - (-1)(3) = 4$
આમ,દિકગુણોત્તર $(-3, 5, 4)$ છે.
રેખા $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z - 3}{4}$ થાય.

(B) ધારો કે રેખા $\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z + 1}{1} = \lambda$ છે.
તેથી,$x = 3\lambda - 3$,$y = -2\lambda + 2$,અને $z = \lambda - 1$ મળે.
રેખા સમતલ $4x + 5y + 3z - 5 = 0$ ને છેદે છે,તેથી બિંદુ $(3\lambda - 3, -2\lambda + 2, \lambda - 1)$ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(3\lambda - 3) + 5(-2\lambda + 2) + 3(\lambda - 1) - 5 = 0$
$12\lambda - 12 - 10\lambda + 10 + 3\lambda - 3 - 5 = 0$
$5\lambda - 10 = 0$
$5\lambda = 10 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ને $x, y, z$ ના સૂત્રોમાં મૂકતા:
$x = 3(2) - 3 = 3$
$y = -2(2) + 2 = -2$
$z = 2 - 1 = 1$.
આમ,છેદબિંદુ $(3, -2, 1)$ છે.

(B) રેખાના દિકગુણોત્તર $(l, m, n)$ છે.
સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ છે.
જો કોઈ રેખા સમતલને સમાંતર હોય,તો તે રેખા સમતલના અભિલંબને લંબ હોય છે.
તેથી,રેખાના દિકગુણોત્તર અને સમતલના અભિલંબનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$(l, m, n) \cdot (a, b, c) = 0$
$al + bm + cn = 0$.

(C) સમતલો $ax + by + cz + d = 0$ અને $a'x + b'y + c'z + d' = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(ax + by + cz + d) + \lambda (a'x + b'y + c'z + d') = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x(a + \lambda a') + y(b + \lambda b') + z(c + \lambda c') + (d + \lambda d') = 0$ મળે છે ... $(i)$.
આ સમતલ રેખા $y = 0, z = 0$ (જે $x$-અક્ષ છે) ને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $x$-અક્ષના દિશા સદિશ $(1, 0, 0)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $(a + \lambda a', b + \lambda b', c + \lambda c')$ અને $(1, 0, 0)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$1(a + \lambda a') + 0(b + \lambda b') + 0(c + \lambda c') = 0$.
આનાથી $a + \lambda a' = 0$ મળે છે,તેથી $\lambda = -\frac{a}{a'}$.
$\lambda = -\frac{a}{a'}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(ax + by + cz + d) - \frac{a}{a'}(a'x + b'y + c'z + d') = 0$.
$a'$ વડે ગુણતા,આપણને $a'ax + a'by + a'cz + a'd - aa'x - ab'y - ac'z - ad' = 0$ મળે છે.
સાદું રૂપ આપતા,$(a'b - ab')y + (a'c - ac')z + (a'd - ad') = 0$ મળે છે.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $(ab' - a'b)y + (ac' - a'c)z + (ad' - a'd) = 0$ મળે છે.

(B) જો રેખાના દિક-ગુણોત્તર $(a, b, c)$ હોય અને સમતલના અભિલંબ સદિશ $(A, B, C)$ હોય,તો રેખા સમતલને સમાંતર ત્યારે જ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $aA + bB + cC = 0$.
આપેલ રેખાના દિક-ગુણોત્તર $(3, 4, 5)$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(a)$ અભિલંબ સદિશ $(2, 3, 4)$ છે. અદિશ ગુણાકાર: $(3)(2) + (4)(3) + (5)(4) = 6 + 12 + 20 = 38 \neq 0$.
$(b)$ અભિલંબ સદિશ $(3, 4, -5)$ છે. અદિશ ગુણાકાર: $(3)(3) + (4)(4) + (5)(-5) = 9 + 16 - 25 = 0$.
$(c)$ અભિલંબ સદિશ $(3, 4, 5)$ છે. અદિશ ગુણાકાર: $(3)(3) + (4)(4) + (5)(5) = 9 + 16 + 25 = 50 \neq 0$.
$(d)$ અભિલંબ સદિશ $(1, 1, 1)$ છે. અદિશ ગુણાકાર: $(3)(1) + (4)(1) + (5)(1) = 12 \neq 0$.
વિકલ્પ $(b)$ માટે અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,રેખા સમતલ $3x + 4y - 5z = 10$ ને સમાંતર છે.

(D) સૌ પ્રથમ,તપાસો કે રેખા સમતલને સમાંતર છે કે નહીં. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3, -2, 2)$ છે અને સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = (2, 2, -1)$ છે.
કારણ કે $\vec{v} \cdot \vec{n} = (3)(2) + (-2)(2) + (2)(-1) = 6 - 4 - 2 = 0$,તેથી રેખા સમતલને સમાંતર છે.
અંતર શોધવા માટે,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ લો,જેમ કે $P(1, -2, 1)$.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{|2(1) + 2(-2) - 1(1) - 6|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 4 - 1 - 6|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$.

(C) રેખા બિંદુ $P(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિકગુણોત્તર $(5, 4, 5)$ છે.
સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ અને બિંદુ $P(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,સદિશ $\vec{OP} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ સમતલમાં આવેલો છે.
રેખાનો દિક સદિશ $\vec{v} = 5\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ $\vec{n}$ એ $\vec{OP} \times \vec{v}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - 12) - \hat{j}(5 - 15) + \hat{k}(4 - 10) = -2\hat{i} + 10\hat{j} - 6\hat{k}$.
$-2$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}' = \hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $1(x - 0) - 5(y - 0) + 3(z - 0) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 5y + 3z = 0$ થાય છે.

(D) રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{v} = (a, b, c)$ છે.
સમતલ $ax + by + cz + 6 = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ છે.
કારણ કે રેખાના દિકગુણોત્તર એ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરના પ્રમાણમાં છે,તેથી રેખા સમતલને લંબ છે.
રેખા (દિક સદિશ $\vec{v}$) અને સમતલ (અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\sin \theta = \frac{|a^2 + b^2 + c^2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2 + b^2 + c^2} = 1$.
તેથી,$\sin \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^o$.

(D) ધારો કે રેખા પરનું બિંદુ $(x, y, z)$ છે.
આપેલ રેખાનું સમીકરણ: $\frac{x - 6}{-1} = \frac{y + 1}{0} = \frac{z + 3}{4} = r$.
$r$ ના સ્વરૂપમાં યામ દર્શાવતા: $x = -r + 6$,$y = -1$,$z = 4r - 3$.
આ બિંદુ સમતલ $x + y - z = 3$ પર આવેલું હોવાથી,આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-r + 6) + (-1) - (4r - 3) = 3$.
$-r + 6 - 1 - 4r + 3 = 3$.
$-5r + 8 = 3$.
$-5r = -5$.
$r = 1$.
હવે $r = 1$ ની કિંમત યામના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x = -1 + 6 = 5$.
$y = -1$.
$z = 4(1) - 3 = 1$.
આમ,જરૂરી બિંદુના યામ $(5, -1, 1)$ છે.

(C) રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
સમતલ $x + y + 4 = 0$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (1)(1) + (-2)(0) = 2 + 1 + 0 = 3$.
માન: $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{|3|}{3 \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = 45^o$.