Type of Functions based on Mapping Questions in Gujarati

(D) વિધેય $f(x) = x|x|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે તેને ટુકડાઓમાં વ્યાખ્યાયિત વિધેય તરીકે લખી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} -x^2, & -1 \leq x < 0 \\ x^2, & 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$
એક-એક હોવા માટે: અંતરાલ $[-1, 1]$ પર $f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે (કારણ કે તેનું વિકલન $f'(x) = 2|x| \geq 0$ છે),તેથી તે એક-એક છે.
વ્યાપ્ત હોવા માટે: $x \in [-1, 0)$ માટે $f(x)$ નો વિસ્તાર $(-1, 0]$ છે અને $x \in [0, 1]$ માટે $[0, 1]$ છે. આ બંનેને જોડતા,વિસ્તાર $[-1, 1]$ મળે છે,જે સહ-પ્રદેશ $A$ ની બરાબર છે. તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોવાથી,તે બાયજેક્ટિવ છે.

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = (x^{2} + 1)^{35}$ દરેક $x \in R$ માટે.
એક-એક વિધેય માટે: તપાસો કે શું $f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ મળે છે.
$f(1) = (1^{2} + 1)^{35} = 2^{35}$ અને $f(-1) = ((-1)^{2} + 1)^{35} = 2^{35}$.
અહીં $f(1) = f(-1)$ છે પરંતુ $1 \neq -1$,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત વિધેય માટે: $f(x)$ નો વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ $R$ જેટલો હોવો જોઈએ.
કારણ કે $x^{2} \geq 0$,તેથી $x^{2} + 1 \geq 1$,જેનો અર્થ છે કે $(x^{2} + 1)^{35} \geq 1^{35} = 1$.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $[1, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $R$ બરાબર નથી.
તેથી,વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(D) આપેલ છે કે તમામ $x \in X$ માટે $f(f(x)) = x$ છે.
એક-એક (injective) ચકાસવા માટે:
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
બંને બાજુ $f$ લાગુ પાડતા,આપણને $f(f(x_1)) = f(f(x_2))$ મળે છે.
કારણ કે $f(f(x)) = x$,આ સૂચવે છે કે $x_1 = x_2$.
તેથી,$f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત (surjective) ચકાસવા માટે:
કોઈપણ $y \in X$ માટે,ધારો કે $x = f(y)$.
તો $f(x) = f(f(y)) = y$.
દરેક $y \in X$ માટે,એવો $x \in X$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x) = y$,તેથી $f$ વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijective) બંને છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{2} + bx + c$ છે.
આ એક દ્વિઘાત વિધેય છે જે પરવલય દર્શાવે છે.
વિધેય એક-એક હોવા માટે,$f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ મળવું જોઈએ.
અહીં,$f(x) = (x + \frac{b}{2})^2 + (c - \frac{b^2}{4})$.
વર્ગ પદ હંમેશા અનૃણ હોવાથી,$f(x_1) = f(x_2)$ નો અર્થ એ નથી કે $x_1 = x_2$ (દા.ત.,$f(x) = x^2$ માં $f(1) = f(-1) = 1$),તેથી તે અનેક-એક વિધેય છે.
વધુમાં,આ વિધેયનો વિસ્તાર $[c - \frac{b^2}{4}, \infty)$ છે,જે સહપ્રદેશ $\mathbb{R}$ જેટલો નથી (જો સહપ્રદેશ $\mathbb{R}$ હોય તો),તેથી તે વ્યાપ્ત નથી.
તેથી,આ વિધેય એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી.

(D) ધારો કે $A = \{1, 2, \ldots, 11\}$ અને $B = \{1, 2, \ldots, 10\}$.
અહીં,$n(A) = 11$ અને $n(B) = 10$.
$m$ ઘટકોવાળા ગણ $A$ થી $n$ ઘટકોવાળા ગણ $B$ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} (n-k)^m$ છે.
જ્યારે $m = n+1$ હોય,ત્યારે વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $\binom{m}{2} \times n! = 55 \times 10!$ થાય છે.
આ કિંમત $5.5 \times 11!$ ને સમાન છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x + 2$ જ્યાં $x \in \{1, 2, 3, 4\}$.
વિધેયની કિંમતો ગણતા:
$f(1) = 1 + 2 = 3$
$f(2) = 2 + 2 = 4$
$f(3) = 3 + 2 = 5$
$f(4) = 4 + 2 = 6$
ગણ $A$ ના દરેક ઘટક માટે ગણ $B$ માં અલગ પ્રતિબિંબ હોવાથી,વિધેય એક-એક છે.
અહીં વિસ્તાર $\{3, 4, 5, 6\}$ એ સહ-પ્રદેશ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ને સમાન નથી,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત નથી.
આમ,વિધેય એક-એક છે.

(D) પગલું $1$: એક-એક (injective) ગુણધર્મ તપાસો. ધારો કે $f(n_1) = f(n_2)$.
$(n_1+5)^2 = (n_2+5)^2$.
કારણ કે $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$,$n_1+5 > 0$ અને $n_2+5 > 0$. બંને બાજુ ધન વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $n_1+5 = n_2+5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $n_1 = n_2$.
તેથી,$f$ એક-એક છે.
પગલું $2$: વ્યાપ્ત (surjective) ગુણધર્મ તપાસો. $f$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,દરેક $y \in \mathbb{N}$ માટે,એવો $n \in \mathbb{N}$ હોવો જોઈએ કે જેથી $f(n) = y$.
ધારો કે $f(n) = (n+5)^2 = y$. કારણ કે $n \ge 1$,$f(n)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(1+5)^2 = 36$ છે.
આમ,સહ-પ્રદેશ $\mathbb{N}$ માં $1, 2, 3, \dots, 35$ જેવી કિંમતો માટે પ્રદેશ $\mathbb{N}$ માં કોઈ પૂર્વ-પ્રતિબિંબ નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,એવો કોઈ $n \in \mathbb{N}$ નથી કે જેથી $(n+5)^2 = 1$.
તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.
નિષ્કર્ષ: $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(B) વિધાન $I$: $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1+x}, & x \ge 0 \\ \frac{x}{1-x}, & x < 0 \end{cases}$
$x \ge 0$ માટે,$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2} > 0$.
$x < 0$ માટે,$f'(x) = \frac{(1-x)(1) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2} > 0$.
વિકલન હંમેશા ધન હોવાથી,વિધેય ચુસ્ત વધતું વિધેય છે અને તેથી તે એક-એક છે. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: $f(x) = \frac{x^2+4x-30}{x^2-8x+18}$.
તે અનેક-એક છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે શું એવા $x_1 \neq x_2$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x_1) = f(x_2)$ થાય.
ધારો કે $f(x) = k$. તો $k(x^2-8x+18) = x^2+4x-30$.
$(k-1)x^2 - (8k+4)x + (18k+30) = 0$.
આ સમીકરણને બે ભિન્ન ઉકેલ હોય તે માટે,વિવેચક $D$ ધન હોવો જોઈએ.
$D = (8k+4)^2 - 4(k-1)(18k+30) > 0$.
$16(2k+1)^2 - 24(k-1)(3k+5) > 0$.
$16(4k^2+4k+1) - 24(3k^2+2k-5) > 0$.
$64k^2+64k+16 - 72k^2-48k+120 > 0$.
$-8k^2+16k+136 > 0 \Rightarrow k^2-2k-17 < 0$.
$k$ ની એવી શ્રેણી અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના માટે બે ભિન્ન ઉકેલો મળે છે,તેથી વિધેય અનેક-એક છે. આમ,વિધાન $II$ સાચું છે.

(D) ધારો કે $S$ એ $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ થી $B = \{1, 2, 3, \dots, 9\}$ પરના તમામ ચુસ્ત વધતા વિધેયોનો ગણ છે. આવા કુલ વિધેયોની સંખ્યા $\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
આપણે એવા વિધેયોની સંખ્યા શોધવા માંગીએ છીએ કે જેના માટે તમામ $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માટે $f(i) \neq i$ થાય.
ચુસ્ત વધતા વિધેય માટે,જો $f(i) \neq i$ ની શરત હોય,તો આવા વિધેયોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\binom{m-1}{n}$ છે,જ્યાં $n=6$ અને $m=9$ છે.
તેથી,માંગેલ સંખ્યા = $\binom{9-1}{6} = \binom{8}{6} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.

(D) વિધેય એક-એક છે કે નહીં તે તપાસવા માટે: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$. તેથી $x_1^3 = x_2^3$,જે સૂચવે છે કે $x_1 = x_2$. તેથી,વિધેય એક-એક છે.
વિધેય વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે: કોઈપણ $y \in R$ માટે,આપણે $x = \sqrt[3]{y}$ શોધી શકીએ છીએ જેથી $f(x) = (\sqrt[3]{y})^3 = y$ થાય. સહપ્રદેશ $R$ ના દરેક $y$ માટે,પ્રદેશ $R$ માં એક $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી વિધેય વ્યાપ્ત છે.
આમ,વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોવાથી,તે એક બાયજેક્ટિવ (bijective) વિધેય છે.

(C) એક-એક માટે ચકાસણી: $f(1) = \frac{1+1}{2} = 1$ અને $f(2) = \frac{2}{2} = 1$. કારણ કે $1 \neq 2$ હોવા છતાં $f(1) = f(2)$ છે,તેથી વિધેય એક-એક નથી (તે અનેક-એક છે).
વ્યાપ્ત માટે ચકાસણી: કોઈપણ $y \in N$ માટે,જો $y$ એકી હોય,તો આપણે $n = 2y-1$ લઈ શકીએ,જેથી $f(2y-1) = \frac{(2y-1)+1}{2} = y$ મળે. જો $y$ બેકી હોય,તો આપણે $n = 2y$ લઈ શકીએ,જેથી $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$ મળે. આમ,સહ-પ્રદેશના દરેક ઘટક માટે પ્રદેશમાં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.

(B) $4$ ઘટકોના ગણથી $3$ ઘટકોના ગણ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $3^4 = 81$ છે.
વ્યાપ્ત વિધેય (surjective function) માટે સહપ્રદેશના દરેક ઘટકનું ઓછામાં ઓછું એક પૂર્વ-પ્રતિબિંબ હોવું જરૂરી છે.
અપવર્જન-સમાવેશના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $3^4 - \binom{3}{1} 2^4 + \binom{3}{2} 1^4 = 81 - 3(16) + 3(1) = 81 - 48 + 3 = 36$ મળે છે.
જે વિધેયો વ્યાપ્ત નથી તેની સંખ્યા એટલે કુલ વિધેયોમાંથી વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા બાદ કરવી.
તેથી,વ્યાપ્ત ન હોય તેવા વિધેયોની સંખ્યા = $81 - 36 = 45$ થાય.

(NONE) આપેલ છે કે $f: A \to A$ એક-એક વિધેય છે જ્યાં $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
શરત $f(2) + f(3) = 5$ અને $f(3) \le 4$ છે.
શક્ય જોડીઓ $(f(2), f(3))$ એ $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$ છે.
વિધેય એક-એક હોવાથી,$f(1), f(2), f(3)$ ભિન્ન હોવા જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $(f(2), f(3)) = (1, 4)$. તો $f(1) \in A \setminus \{1, 4\} = \{2, 3, 5, 6\}$. $f(1) \ge 3$ હોવાથી,$f(1) \in \{3, 5, 6\}$ ($3$ વિકલ્પો). બાકીના $3$ ઘટકોને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય. કુલ $= 3 \times 6 = 18$.
કિસ્સો $2$: $(f(2), f(3)) = (4, 1)$. તો $f(1) \in A \setminus \{4, 1\} = \{2, 3, 5, 6\}$. $f(1) \ge 3$ હોવાથી,$f(1) \in \{3, 5, 6\}$ ($3$ વિકલ્પો). કુલ $= 3 \times 6 = 18$.
કિસ્સો $3$: $(f(2), f(3)) = (2, 3)$. તો $f(1) \in A \setminus \{2, 3\} = \{1, 4, 5, 6\}$. $f(1) \ge 3$ હોવાથી,$f(1) \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ વિકલ્પો). કુલ $= 3 \times 6 = 18$.
કિસ્સો $4$: $(f(2), f(3)) = (3, 2)$. તો $f(1) \in A \setminus \{3, 2\} = \{1, 4, 5, 6\}$. $f(1) \ge 3$ હોવાથી,$f(1) \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ વિકલ્પો). કુલ $= 3 \times 6 = 18$.
કુલ વિધેયોની સંખ્યા $= 18 + 18 + 18 + 18 = 72$.