Binary Operation Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि $a \,^*\, b = |a-b|$ और $a \,o\, b = a$,जहाँ $a, b \in R$ है।
$^*$ के लिए,$a \,^*\, b = |a-b|$ और $b \,^*\, a = |b-a| = |-(a-b)| = |a-b|$। चूँकि $a \,^*\, b = b \,^*\, a$,इसलिए $^*$ क्रमविनिमेय है।
$^*$ की साहचर्यता के लिए: $(1 \,^*\, 2) \,^*\, 3 = |1-2| \,^*\, 3 = 1 \,^*\, 3 = |1-3| = 2$,जबकि $1 \,^*\, (2 \,^*\, 3) = 1 \,^*\, |2-3| = 1 \,^*\, 1 = |1-1| = 0$। चूँकि $2 \neq 0$,इसलिए $^*$ साहचर्य नहीं है।
$o$ के लिए,$1 \,o\, 2 = 1$ और $2 \,o\, 1 = 2$। चूँकि $1 \neq 2$,इसलिए $o$ क्रमविनिमेय नहीं है।
$o$ की साहचर्यता के लिए: $(a \,o\, b) \,o\, c = a \,o\, c = a$ और $a \,o\, (b \,o\, c) = a \,o\, b = a$। चूँकि दोनों पक्ष $a$ के बराबर हैं,इसलिए $o$ साहचर्य है।
$^*$ का $o$ पर वितरण: $a \,^*\, (b \,o\, c) = a \,^*\, b = |a-b|$ और $(a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c) = |a-b| \,o\, |a-c| = |a-b|$। अतः $^*$ संक्रिया $o$ पर वितरित होती है।
$o$ का $^*$ पर वितरण: $1 \,o\, (2 \,^*\, 3) = 1 \,o\, |2-3| = 1 \,o\, 1 = 1$,जबकि $(1 \,o\, 2) \,^*\, (1 \,o\, 3) = 1 \,^*\, 1 = |1-1| = 0$। चूँकि $1 \neq 0$,इसलिए $o$,$^*$ पर वितरित नहीं होता है।

(A) यह दिया गया है कि $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ को $A \,^*\, B = (A - B) \cup (B - A)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $A, B \in P(X)$ है।
$1$. तत्समक अवयव:
किसी भी $A \in P(X)$ के लिए,हमारे पास है:
$A \,^*\, \Phi = (A - \Phi) \cup (\Phi - A) = A \cup \Phi = A$
$\Phi \,^*\, A = (\Phi - A) \cup (A - \Phi) = \Phi \cup A = A$
चूँकि $A \,^*\, \Phi = A = \Phi \,^*\, A$ सभी $A \in P(X)$ के लिए सत्य है,इसलिए रिक्त समुच्चय $\Phi$ संक्रिया $^*$ के लिए तत्समक अवयव है।
$2$. व्युत्क्रमणीय अवयव:
$P(X)$ का एक अवयव $A$ व्युत्क्रमणीय कहलाता है यदि कोई $B \in P(X)$ ऐसा विद्यमान हो कि $A \,^*\, B = \Phi = B \,^*\, A$,जहाँ $\Phi$ तत्समक अवयव है।
$A \,^*\, A$ पर विचार करें:
$A \,^*\, A = (A - A) \cup (A - A) = \Phi \cup \Phi = \Phi$
चूँकि $A \,^*\, A = \Phi$,इसलिए प्रत्येक अवयव $A \in P(X)$ स्वयं का व्युत्क्रम है।
अतः,$P(X)$ के सभी अवयव $A$,$A^{-1} = A$ के साथ व्युत्क्रमणीय हैं।

(A) माना $X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
$X$ पर संक्रिया $^*$ को $a \,^* \, b = \begin{cases} a+b, & \text{यदि } a+b < 6 \\ a+b-6, & \text{यदि } a+b \geq 6 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
$X$ का एक अवयव $e$,संक्रिया $^*$ के लिए तत्समक अवयव कहलाता है यदि सभी $a \in X$ के लिए $a \,^* \, e = a = e \,^* \, a$ हो।
$a \in X$ के लिए,हमारे पास है:
$a \,^* \, 0 = a + 0 = a$ (क्योंकि $a \in X \Rightarrow a+0 < 6$)
$0 \,^* \, a = 0 + a = a$ (क्योंकि $a \in X \Rightarrow 0+a < 6$)
अतः,सभी $a \in X$ के लिए $a \,^* \, 0 = a = 0 \,^* \, a$ है।
इस प्रकार,$0$ दी गई संक्रिया $^*$ के लिए तत्समक अवयव है।
$X$ का एक अवयव $a$ व्युत्क्रमणीय कहलाता है यदि कोई ऐसा $b \in X$ मौजूद हो कि $a \,^* \, b = 0 = b \,^* \, a$ हो।
यदि $a \neq 0$ है,तो माना $b = 6-a$ है। चूँकि $a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$,इसलिए $b \in \{5, 4, 3, 2, 1\} \subset X$ है।
तब $a \,^* \, b = a + (6-a) - 6 = 0$ (क्योंकि $a+b = 6 \geq 6$)।
इसी प्रकार,$b \,^* \, a = (6-a) + a - 6 = 0$ है।
अतः,$6-a$ प्रत्येक $a \in X, a \neq 0$ के लिए $a$ का प्रतिलोम है।

(C) एक समुच्चय $S$ पर द्वि-आधारी संक्रिया $^*$ एक फलन है जो $S \times S$ से $S$ पर परिभाषित होता है।
यहाँ,समुच्चय $S = \{a, b\}$ है,इसलिए $S \times S = \{(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)\}$ है।
$S \times S$ में अवयवों की संख्या $n(S \times S) = 2 \times 2 = 4$ है।
सह-प्रांत (codomain) $S$ में अवयवों की संख्या $n(S) = 2$ है।
$S \times S$ से $S$ तक कुल फलनों की संख्या $(n(S))^{n(S \times S)} = 2^4$ द्वारा दी जाती है।
इसकी गणना करने पर,हमें $2^4 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,समुच्चय $\{a, b\}$ पर द्वि-आधारी संक्रियाओं की कुल संख्या $16$ है।
सही उत्तर $C$ है।

(A) माना $e$ संक्रिया $*$ के लिए तत्समक अवयव है।
परिभाषा के अनुसार,$a * e = a = e * a$ होता है।
दिया गया है $a * b = 10ab$,इसलिए $10ae = a$ होगा।
चूंकि $a \in Q^{+}$,$a \neq 0$,इसलिए $10e = 1$,जिससे $e = \frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
माना $a^{\prime}$,$0.01$ का प्रतिलोम है।
परिभाषा के अनुसार,$0.01 * a^{\prime} = e$ होगा।
मान रखने पर,$10 \times 0.01 \times a^{\prime} = \frac{1}{10}$।
$10 \times \frac{1}{100} \times a^{\prime} = \frac{1}{10}$।
$0.1 \times a^{\prime} = 0.1$।
अतः,$a^{\prime} = 1$।

(C) संक्रिया $a * b$ को $ab$ को $7$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $a, b \in A$ है।
सबसे पहले,हम तत्समक अवयव $e \in A$ ज्ञात करते हैं ताकि सभी $a \in A$ के लिए $a * e = a$ हो।
इसका अर्थ है कि $ae$ को $7$ से विभाजित करने पर शेषफल $a$ है।
$a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए,$a * 1 = (a \times 1)$ को $7$ से विभाजित करने पर शेषफल $= a$ है।
अतः,तत्समक अवयव $e = 1$ है।
$2$ का प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए,हमें एक ऐसा अवयव $x \in A$ चाहिए ताकि $2 * x = e = 1$ हो।
इसका अर्थ है कि $(2 \times x)$ को $7$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ है।
$A$ से मानों की जाँच करने पर:
$2 * 1 = 2$
$2 * 2 = 4$
$2 * 3 = 6$
$2 * 4 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$
चूँकि $2 * 4 = 1$ है,इसलिए $2$ का प्रतिलोम $4$ है।

(B) एक समुच्चय $S$ पर द्विआधारी संक्रिया $*$ क्रमविनिमेय कहलाती है यदि सभी $a, b \in S$ के लिए $a * b = b * a$ हो।
यहाँ $a, b \in Q$ के लिए $a * b = a - b$ दिया गया है।
क्रमविनिमेयता की जाँच करने के लिए,हम $b * a$ की गणना करते हैं:
$b * a = b - a$.
अब,$a * b$ और $b * a$ की तुलना करें:
$a * b = a - b$ और $b * a = b - a$.
चूँकि सामान्यतः $a - b \neq b - a$ होता है (उदाहरण के लिए,$a = 5$ और $b = 3$ लें,तो $5 - 3 = 2$ जबकि $3 - 5 = -2$,और $2 \neq -2$),इसलिए यह संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है।
अतः,द्विआधारी संक्रिया $*$ क्रमविनिमेय नहीं है।

(A) द्विआधारी संक्रिया $a * b = a^{2} + b^{2}$ के रूप में परिभाषित है।
क्रमविनिमेयता की जाँच करने के लिए,हमें यह सत्यापित करना होगा कि क्या सभी $a, b \in Q$ के लिए $a * b = b * a$ है।
दिया गया है $a * b = a^{2} + b^{2}$।
चूंकि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में योग क्रमविनिमेय होता है,इसलिए $a^{2} + b^{2} = b^{2} + a^{2}$ होता है।
संक्रिया की परिभाषा के अनुसार,$b^{2} + a^{2} = b * a$ होता है।
इसलिए,सभी $a, b \in Q$ के लिए $a * b = b * a$ है।
अतः,द्विआधारी संक्रिया $*$ क्रमविनिमेय है।

(B) द्विआधारी संक्रिया $a * b = a + ab$ के रूप में परिभाषित है।
क्रमविनिमेयता की जाँच करने के लिए,हम $a * b$ और $b * a$ की तुलना करते हैं।
परिभाषा के अनुसार,$a * b = a + ab$.
इसी प्रकार,$b * a = b + ba = b + ab$.
संक्रिया के क्रमविनिमेय होने के लिए,सभी $a, b \in Q$ के लिए $a * b = b * a$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $a + ab = b + ab$.
दोनों पक्षों से $ab$ घटाने पर,हमें $a = b$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a = b$ सभी $a, b \in Q$ के लिए सत्य नहीं है,इसलिए यह संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है।
उदाहरण: मान लीजिए $a = 3$ और $b = 2$.
$a * b = 3 * 2 = 3 + 3(2) = 3 + 6 = 9$.
$b * a = 2 * 3 = 2 + 2(3) = 2 + 6 = 8$.
चूंकि $9 \neq 8$,इसलिए $a * b \neq b * a$ है।

(A) एक द्विआधारी संक्रिया $*$ क्रमविनिमेय होती है यदि सभी $a, b \in Q$ के लिए $a * b = b * a$ हो।
दिया गया है $a * b = (a - b)^{2}$।
अब,$b * a$ की गणना करते हैं:
$b * a = (b - a)^{2}$।
चूंकि $(b - a)^{2} = [-(a - b)]^{2} = (-1)^{2}(a - b)^{2} = (a - b)^{2}$।
अतः,$b * a = (a - b)^{2} = a * b$।
चूंकि सभी $a, b \in Q$ के लिए $a * b = b * a$ है,इसलिए संक्रिया $*$ क्रमविनिमेय है।

(A) यहाँ द्विआधारी संक्रिया $a * b = 1 + ab$ है,जहाँ $a, b \in R$ है।
$1$. क्रमविनिमेयता:
$a * b = 1 + ab$
$b * a = 1 + ba = 1 + ab$
चूँकि $a * b = b * a$,इसलिए $*$ संक्रिया क्रमविनिमेय है।
$2$. साहचर्यता:
$a * (b * c) = a * (1 + bc) = 1 + a(1 + bc) = 1 + a + abc$
$(a * b) * c = (1 + ab) * c = 1 + (1 + ab)c = 1 + c + abc$
चूँकि $1 + a + abc \neq 1 + c + abc$ सभी $a, b, c \in R$ के लिए,इसलिए $*$ संक्रिया साहचर्य नहीं है।
अतः,$*$ संक्रिया क्रमविनिमेय है लेकिन साहचर्य नहीं है।

(B) दी गई द्विआधारी संक्रिया $a * b = \frac{2ab}{5}$ है।
सबसे पहले,तत्समक अवयव $e$ ज्ञात करें ताकि $a * e = a$ हो:
$\frac{2ae}{5} = a \implies e = \frac{5}{2}$.
इसके बाद,प्रतिलोम $a^{-1}$ ज्ञात करें ताकि $a * a^{-1} = e$ हो:
$\frac{2a(a^{-1})}{5} = \frac{5}{2} \implies a^{-1} = \frac{25}{4a}$.
$a = 3$ के लिए,प्रतिलोम $3^{-1} = \frac{25}{4(3)} = \frac{25}{12}$ है।
अब,$2 * x = 3^{-1}$ को हल करें:
$\frac{2(2x)}{5} = \frac{25}{12} \implies \frac{4x}{5} = \frac{25}{12}$.
$x = \frac{25 \times 5}{12 \times 4} = \frac{125}{48}$.

(C) दी गई द्विआधारी संक्रिया $a * b = \frac{a}{b+1}$ है।
क्रमविनिमेयता की जाँच:
$a * b = \frac{a}{b+1}$
$b * a = \frac{b}{a+1}$
चूँकि $\frac{a}{b+1} \neq \frac{b}{a+1}$ सभी $a, b \in R - \{-1\}$ के लिए,संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है।
साहचर्यता की जाँच:
$(a * b) * c = \left(\frac{a}{b+1}\right) * c = \frac{\frac{a}{b+1}}{c+1} = \frac{a}{(b+1)(c+1)}$
$a * (b * c) = a * \left(\frac{b}{c+1}\right) = \frac{a}{\frac{b}{c+1} + 1} = \frac{a(c+1)}{b+c+1}$
चूँकि $\frac{a}{(b+1)(c+1)} \neq \frac{a(c+1)}{b+c+1}$,संक्रिया साहचर्य नहीं है।
अतः,$*$ न तो क्रमविनिमेय है और न ही साहचर्य है।

(D) दी गई संक्रिया $ a \oplus b = a^{2} + b^{2} $ है।
सबसे पहले,$ (2 \oplus 3) $ की गणना करें:
$ 2 \oplus 3 = 2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13 $.
अब,इस परिणाम को व्यंजक $ (2 \oplus 3) \oplus 4 $ में प्रतिस्थापित करें:
$ 13 \oplus 4 = 13^{2} + 4^{2} $.
$ 13^{2} + 4^{2} = 169 + 16 = 185 $.
अतः,अंतिम परिणाम $ 185 $ है।

(B) दिया गया है,$a * b = \frac{a+b}{4}$.
क्रमविनिमेयता के लिए,हम जाँचते हैं कि $b * a = \frac{b+a}{4} = \frac{a+b}{4} = a * b$. अतः,यह संक्रिया क्रमविनिमेय है।
साहचर्य के लिए,हम $a * (b * c)$ और $(a * b) * c$ की जाँच करते हैं।
$a * (b * c) = a * \left(\frac{b+c}{4}\right) = \frac{a + \frac{b+c}{4}}{4} = \frac{4a + b + c}{16}$.
$(a * b) * c = \left(\frac{a+b}{4}\right) * c = \frac{\frac{a+b}{4} + c}{4} = \frac{a + b + 4c}{16}$.
चूँकि $\frac{4a + b + c}{16} \neq \frac{a + b + 4c}{16}$,इसलिए यह संक्रिया साहचर्य नहीं है।
अतः,यह संक्रिया क्रमविनिमेय है लेकिन साहचर्य नहीं है।

(A) दिया गया है कि समूह $(G, *)$ में $a^{2} = e$ है।
दोनों पक्षों को $a^{-1}$ ($a$ का प्रतिलोम) से गुणा करने पर:
$a^{-1} * (a * a) = a^{-1} * e$
$(a^{-1} * a) * a = a^{-1}$
$e * a = a^{-1}$
$a = a^{-1}$

(D) दिया गया है कि समूह $(Z, *)$ में,संक्रिया $a * b = a + b - n$ के रूप में परिभाषित है।
सबसे पहले,हम तत्समक अवयव (identity element) $e$ ज्ञात करते हैं ताकि $a * e = a$ हो।
$a + e - n = a \implies e = n$.
अब,$(-n)$ का प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए प्रतिलोम $x$ है ताकि $(-n) * x = e$ हो।
चूँकि $e = n$,इसलिए $(-n) * x = n$ होगा।
संक्रिया की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$(-n) + x - n = n$.
$x - 2n = n$.
$x = 3n$.
अतः,$(-n)$ का प्रतिलोम $3n$ है।

(A) एक समुच्चय $G$ द्विआधारी संक्रिया $\cdot$ के साथ एक समूह होता है यदि वह संवृतता,साहचर्य,तत्समक और प्रतिलोम गुणों को संतुष्ट करता है।
$(N, \cdot)$ के लिए,जहाँ $N$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है,किसी अवयव $a \in N$ (जहाँ $a \neq 1$) का गुणात्मक प्रतिलोम $1/a$ है,जो $N$ में नहीं है।
अतः,$(N, \cdot)$ प्रतिलोम गुण को संतुष्ट नहीं करता है और यह एक समूह नहीं है।
$(N, +)$ एक अर्ध-समूह है क्योंकि यह योग के अंतर्गत संवृत और साहचर्य है।
$(Z, +)$ एक समूह है क्योंकि यह समूह के सभी अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है।
सम पूर्णांकों का समुच्चय $2Z = \{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\}$ योग के अंतर्गत एक समूह बनाता है क्योंकि इसमें तत्समक $0$ है,सभी अवयवों के प्रतिलोम मौजूद हैं,और यह संवृत तथा साहचर्य है।
इसलिए,कथन $(N, \cdot)$ एक समूह है,असत्य है।

(D) एक समूह $G$ का उपसमुच्चय $H$ एक उपसमूह होता है यदि वह स्वयं उसी संक्रिया के अंतर्गत एक समूह हो।
$H = \{4^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\}$ के लिए,हम देखते हैं कि $4^{n} = (2^{2})^{n} = 2^{2n}$। चूँकि सभी $n \in \mathbb{Z}$ के लिए $2n \in \mathbb{Z}$ है,इसलिए $H \subset G$।
$1.$ संवृतता: $4^{n} \cdot 4^{m} = 4^{n+m} \in H$।
$2.$ तत्समक अवयव: $4^{0} = 1 = 2^{0} \in H$।
$3.$ प्रतिलोम अवयव: $4^{n} \in H$ के लिए,इसका प्रतिलोम $4^{-n} \in H$ है।
अतः,$\{4^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\}$ समूह $G$ का एक उपसमूह है।

(A) हमें समूह $G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ में गुणन मॉड्यूलो $7$ के अंतर्गत समीकरण $4 \otimes_{7} x = 5$ दिया गया है।
$x$ ज्ञात करने के लिए,हम समूह के तत्वों का परीक्षण करते हैं:
$4 \otimes_{7} 1 = 4$
$4 \otimes_{7} 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 3 = 12 \equiv 5 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 4 = 16 \equiv 2 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 5 = 20 \equiv 6 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 6 = 24 \equiv 3 \pmod{7}$
दिए गए समीकरण $4 \otimes_{7} x = 5$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $x = 3$।

(C) दी गई द्विआधारी संक्रिया $a * b = \frac{3ab}{2}$ है।
सबसे पहले,हम तत्समक अवयव $e$ ज्ञात करते हैं ताकि $a * e = a$ हो।
$\frac{3ae}{2} = a \implies e = \frac{2}{3}$.
अब,हम प्रतिलोम $3^{-1}$ ज्ञात करते हैं ताकि $3 * 3^{-1} = e = \frac{2}{3}$ हो।
$\frac{3 \cdot 3 \cdot 3^{-1}}{2} = \frac{2}{3} \implies \frac{9 \cdot 3^{-1}}{2} = \frac{2}{3} \implies 3^{-1} = \frac{4}{27}$.
साथ ही,$2 * x = \frac{3 \cdot 2 \cdot x}{2} = 3x$.
दिया गया समीकरण: $(2 * x) * 3^{-1} = 4^{-1}$.
यहाँ $4^{-1}$ संख्या $4$ का प्रतिलोम है,इसलिए $4 * 4^{-1} = \frac{2}{3} \implies 4^{-1} = \frac{1}{9}$.
समीकरण में मान रखने पर: $(3x) * \frac{4}{27} = \frac{1}{9}$.
$\frac{3 \cdot (3x) \cdot (4/27)}{2} = \frac{1}{9}$.
$\frac{36x}{54} = \frac{1}{9} \implies \frac{2x}{3} = \frac{1}{9}$.
$x = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$.

(B) द्विआधारी संक्रिया $A * B = A \cup B$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. क्रमविनिमेय नियम: $A * B = A \cup B = B \cup A = B * A$. अतः,यह क्रमविनिमेय है।
$2$. साहचर्य नियम: $(A * B) * C = (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) = A * (B * C)$. अतः,यह साहचर्य है।
$3$. तत्समक नियम: तत्समक अवयव $E$ के लिए $A * E = A$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $A \cup E = A$. यह $E = \phi$ के लिए सत्य है। अतः,तत्समक अवयव मौजूद है।
$4$. प्रतिलोम नियम: अवयव $A$ का प्रतिलोम $B$ होने के लिए $A * B = E$ (जहाँ $E = \phi$) होना चाहिए। इसका अर्थ है $A \cup B = \phi$. यह केवल $A = \phi$ और $B = \phi$ के लिए संभव है। किसी भी अरिक्त समुच्चय $A \neq \phi$ के लिए,ऐसा कोई $B \in P(X)$ नहीं है जिससे $A \cup B = \phi$ हो। अतः,प्रतिलोम नियम संतुष्ट नहीं होता है।

(D) माना $e$,$Q^{+}$ में तत्समक अवयव है ताकि सभी $a \in Q^{+}$ के लिए $a * e = a$ हो।
$\frac{a \times e}{2010} = a \implies e = 2010$.
अतः,तत्समक अवयव $2010$ है।
माना $x$,$2010$ का प्रतिलोम है। परिभाषा के अनुसार,$2010 * x = e$ होगा।
$\frac{2010 \times x}{2010} = 2010$.
$x = 2010$.
इसलिए,$2010$ का प्रतिलोम $2010$ है।

(C) समुच्चय $N$ पर एक द्वि-आधारी संक्रिया $*$ एक फलन $*: N \times N \to N$ है। इसका अर्थ है कि किसी भी $a, b \in N$ के लिए,परिणाम $a * b$ भी $N$ में होना चाहिए।
$(A)$ $a * b = \sqrt{ab}$: यदि $a=1, b=2$ है,तो $a * b = \sqrt{2} \notin N$.
$(B)$ $a * b = \frac{a-b}{a+b}$: यदि $a=1, b=2$ है,तो $a * b = \frac{-1}{3} \notin N$.
$(C)$ $a * b = a + 3b$: चूँकि $a, b \in N$,$a + 3b$ हमेशा एक प्राकृतिक संख्या होती है। अतः,यह एक द्वि-आधारी संक्रिया है।
$(D)$ $a * b = 3a - 4b$: यदि $a=1, b=2$ है,तो $a * b = 3(1) - 4(2) = -5 \notin N$.
अतः,विकल्प $C$ सही है.

(B) समूह $G = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ में योग मॉड्यूलो $6$ के अंतर्गत,तत्समक अवयव $0$ है।
सबसे पहले,हम योग मॉड्यूलो $6$ के अंतर्गत $3$ का प्रतिलोम ज्ञात करते हैं। चूंकि $3 +_{6} 3 = 6 \equiv 0 \pmod{6}$,इसलिए $3^{-1} = 3$ है।
अब,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक की गणना करें: $2 +_{6} 3^{-1} +_{6} 4 = 2 +_{6} 3 +_{6} 4 = 9 \pmod{6} = 3$।
अंत में,योग मॉड्यूलो $6$ के अंतर्गत $3$ का प्रतिलोम ज्ञात करें। चूंकि $3 +_{6} 3 = 0$,इसलिए $3$ का प्रतिलोम $3$ है।
अतः,$(2 +_{6} 3^{-1} +_{6} 4)^{-1} = 3^{-1} = 3$।

(B) इकाई के चतुर्थ मूल का समुच्चय $S = \{1, -1, i, -i\}$ है।
किसी समुच्चय के योगात्मक समूह बनाने के लिए,उसे योग के अंतर्गत संवृत (closed) होना चाहिए।
यहाँ $1 + (-1) = 0$ है। चूँकि $0 \notin S$,इसलिए यह समुच्चय योग के अंतर्गत संवृत नहीं है।
अतः,यह कथन कि इकाई के चतुर्थ मूल एक योगात्मक एबेलियन समूह बनाते हैं,असत्य है।

(D) दी गई द्विआधारी संक्रिया $a * b = a + b - 5$ है।
सबसे पहले,आंतरिक व्यंजक $(x * 3)$ का मान ज्ञात करें:
$x * 3 = x + 3 - 5 = x - 2$.
अब,इस मान को समीकरण $2 * (x * 3) = 5$ में प्रतिस्थापित करें:
$2 * (x - 2) = 5$.
संक्रिया की परिभाषा को पुनः लागू करने पर:
$2 + (x - 2) - 5 = 5$.
समीकरण को सरल करने पर:
$x - 5 = 5$.
$x = 10$.

(C) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ के लिए योग की संक्रिया क्रमविनिमेय $(a+b = b+a)$ और साहचर्य $((a+b)+c = a+(b+c))$ होती है।
प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ के लिए गुणन की संक्रिया साहचर्य $((a \times b) \times c = a \times (b \times c))$ होती है।
संक्रिया $a * b = a^{b}$ के लिए,हम क्रमविनिमेयता की जाँच करते हैं: $a * b = a^{b}$ और $b * a = b^{a}$।
चूँकि सभी $a, b \in N$ के लिए $a^{b} \neq b^{a}$ (उदाहरण के लिए,$2 * 3 = 2^{3} = 8$ जबकि $3 * 2 = 3^{2} = 9$),संक्रिया $*$ क्रमविनिमेय नहीं है।
अतः,विकल्प $C$ असत्य है।

(D) माना $G = \{-1, 0, 1\}$ है।
किसी समुच्चय के गुणात्मक समूह होने के लिए,प्रत्येक अवयव का गुणात्मक प्रतिलोम होना आवश्यक है।
गुणात्मक प्रतिलोम की परिभाषा के अनुसार,अवयव $a$ के लिए एक ऐसा अवयव $b$ होना चाहिए जिससे $a \times b = 1$ हो।
यहाँ अवयव $0$ के लिए,समुच्चय में ऐसा कोई अवयव $b$ मौजूद नहीं है जिससे $0 \times b = 1$ हो सके।
अतः,अवयव $0$ के लिए प्रतिलोम नियम विफल हो जाता है।

(B) समूह $(G, \times_{15})$ में तत्समक अवयव $e$ को $a \times_{15} e = a$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $a \in G$ है।
संयोजन तालिका से,हम देखते हैं कि $6$ के संगत पंक्ति $G$ के अवयवों को उसी क्रम में पुनरुत्पादित करती है।
तालिका के अनुसार,$3 \times_{15} 6 = 3$,$6 \times_{15} 6 = 6$,$9 \times_{15} 6 = 9$,और $12 \times_{15} 6 = 12$ है,इसलिए तत्समक अवयव $6$ है।

(B) किसी भी समूह $(G, *)$ में,तत्समक अवयव $e$ हमेशा स्वयं का प्रतिलोम होता है,क्योंकि $e * e = e$ होता है।
चूंकि समूह $G$ में कम से कम तत्समक अवयव का होना आवश्यक है,इसलिए उन अवयवों की न्यूनतम संख्या जो स्वयं के प्रतिलोम हैं,$1$ है।

(B) एक समुच्चय $G$ और द्विआधारी संक्रिया $*$ के लिए,यदि यह संवृतता,साहचर्य,तत्समक अवयव का अस्तित्व और प्रतिलोम अवयव का अस्तित्व संतुष्ट करता है,तो इसे समूह कहा जाता है।
योग के अंतर्गत विषम पूर्णांकों के समुच्चय के लिए,मान लीजिए $a = 1$ और $b = 3$ है। तब $a + b = 4$,जो एक सम पूर्णांक है।
चूंकि दो विषम पूर्णांकों का योग हमेशा सम होता है,इसलिए विषम पूर्णांकों का समुच्चय योग के अंतर्गत संवृत नहीं है।
इसके अतिरिक्त,योग के लिए तत्समक अवयव $0$ है,जो एक विषम संख्या नहीं है।
अतः,योग के अंतर्गत विषम पूर्णांकों का समुच्चय एक समूह नहीं है।

(D) समुच्चय $A$ पर एक द्वि-आधारी संक्रिया $A \times A$ से $A$ तक का एक फलन है।
यदि समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n$ है,तो $A \times A$ में अवयवों की संख्या $n^{2}$ होगी।
समुच्चय $A$ पर द्वि-आधारी संक्रियाओं की संख्या का सूत्र $n^{(n^{2})}$ है।
यहाँ,समुच्चय $A = \{a, b, c\}$ है,इसलिए अवयवों की संख्या $n = 3$ है।
सूत्र में $n = 3$ रखने पर,हमें द्वि-आधारी संक्रियाओं की संख्या $3^{(3^{2})} = 3^{9}$ प्राप्त होती है।

(A) दिया गया है कि,$a * b = 1 + ab$ $\rightarrow (1)$
क्रमविनिमेयता के लिए,जाँचें कि क्या $a * b = b * a$:
$b * a = 1 + ba = 1 + ab = a * b$
चूँकि $a * b = b * a$,इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है।
साहचर्यता के लिए,जाँचें कि क्या $(a * b) * c = a * (b * c)$:
$(a * b) * c = (1 + ab) * c = 1 + (1 + ab)c = 1 + c + abc$
$a * (b * c) = a * (1 + bc) = 1 + a(1 + bc) = 1 + a + abc$
चूँकि $1 + c + abc \neq 1 + a + abc$,इसलिए संक्रिया साहचर्य नहीं है।
अतः,संक्रिया क्रमविनिमेय है लेकिन साहचर्य नहीं है।

(D) माना संबंध $R = \{(A, B) : B = P A Q^{-1}\}$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $P$ और $Q$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं।
स्वतुल्यता के लिए: चूँकि $A = I A I^{-1}$ जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है (जो व्युत्क्रमणीय है),इसलिए $(A, A) \in R$। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
सममितता के लिए: माना $(A, B) \in R$। तब $B = P A Q^{-1}$। बाईं ओर $P^{-1}$ और दाईं ओर $Q$ से गुणा करने पर,हमें $P^{-1} B Q = A$ प्राप्त होता है। चूँकि $P^{-1}$ और $Q$ व्युत्क्रमणीय हैं,माना $P' = P^{-1}$ और $Q' = Q^{-1}$। तब $A = P' B (Q')^{-1}$,इसलिए $(B, A) \in R$। अतः,$R$ सममित है।
संक्रामकता के लिए: माना $(A, B) \in R$ और $(B, C) \in R$। तब $A = P_1 B Q_1^{-1}$ और $B = P_2 C Q_2^{-1}$। $B$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$A = P_1 (P_2 C Q_2^{-1}) Q_1^{-1} = (P_1 P_2) C (Q_1 Q_2)^{-1}$। चूँकि व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का गुणनफल भी व्युत्क्रमणीय होता है,इसलिए $(A, C) \in R$। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।