Conditional probability Questions in Hindi

(N/A) चूँकि $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं,हमारे पास है:
$P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$ ......... $(1)$
वेन आरेख से यह स्पष्ट है कि $E \cap F$ और $E \cap F^{\prime}$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं और $E = (E \cap F) \cup (E \cap F^{\prime})$ है।
इसलिए,$P(E) = P(E \cap F) + P(E \cap F^{\prime})$.
या,$P(E \cap F^{\prime}) = P(E) - P(E \cap F)$.
$(1)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$P(E \cap F^{\prime}) = P(E) - P(E) \cdot P(F)$
$= P(E) \cdot (1 - P(F))$
$= P(E) \cdot P(F^{\prime})$
अतः,$E$ और $F^{\prime}$ स्वतंत्र हैं।

(B) दो घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र होती हैं यदि और केवल यदि $P(E \cap F) = P(E) \times P(F)$ हो।
दिया गया है $P(E) = \frac{3}{5}$,$P(F) = \frac{3}{10}$,और $P(E \cap F) = \frac{1}{5}$।
$P(E) \times P(F) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{50}$ की गणना करें।
चूंकि $P(E \cap F) = \frac{1}{5} = \frac{10}{50}$,हम देखते हैं कि $\frac{10}{50} \neq \frac{9}{50}$।
अतः,$P(E \cap F) \neq P(E) \times P(F)$,जिसका अर्थ है कि $E$ और $F$ स्वतंत्र नहीं हैं।

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
स्वतंत्र घटनाओं के लिए,सशर्त प्रायिकता $P(B | A)$ सीमांत प्रायिकता $P(B)$ के बराबर होती है।
गणितीय रूप से,$P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
इस मान को सूत्र में रखने पर: $P(B | A) = \frac{P(A) \times P(B)}{P(A)} = P(B)$.
दिया गया है कि $P(B) = 0.4$,इसलिए $P(B | A) = 0.4$.

(B) यह दिया गया है कि $P(A)=\frac{1}{2}$,$P(B)=\frac{7}{12}$ और $P(A' \cup B')=\frac{1}{4}$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$A' \cup B' = (A \cap B)'$.
अतः,$P((A \cap B)') = \frac{1}{4}$.
चूंकि $P(E') = 1 - P(E)$,हमारे पास $1 - P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ है।
इसलिए,$P(A \cap B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
अब,$P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{7}{12} = \frac{7}{24}$ की गणना करें।
चूंकि $P(A \cap B) = \frac{3}{4}$ और $P(A) \times P(B) = \frac{7}{24}$,हम देखते हैं कि $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$.
अतः,घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र नहीं हैं।

$(A)$ दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं, $P(A) = 0.3$ और $P(B) = 0.6$ है。
हमें $P(A \cap B^c)$ ज्ञात करना है, जो $A$ के होने और $B$ के न होने की प्रायिकता को दर्शाता है。
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, इसलिए $A$ और $B^c$ भी स्वतंत्र हैं。
अतः, $P(A \cap B^c) = P(A) \times P(B^c)$ है。
हम जानते हैं कि $P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 0.6 = 0.4$ है。
इस प्रकार, $P(A \cap B^c) = 0.3 \times 0.4 = 0.12$ है。

(A) $52$ पत्तों की गड्डी में,$13$ पत्ते हुकुम के और $4$ पत्ते इक्के होते हैं।
$P(E) = P(\text{निकाला गया पत्ता हुकुम का है}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$
$P(F) = P(\text{निकाला गया पत्ता इक्का है}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
गड्डी में केवल $1$ पत्ता ऐसा है जो हुकुम का इक्का है।
$P(E \cap F) = P(\text{निकाला गया पत्ता हुकुम का और इक्का है}) = \frac{1}{52}$
चूंकि $P(E) \times P(F) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52} = P(E \cap F)$,इसलिए घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं।

(N/A) $52$ ताश के पत्तों की गड्डी में,$26$ काले पत्ते और $4$ राजा होते हैं।
$P(E) = P(\text{निकाला गया पत्ता काला है}) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$
$P(F) = P(\text{निकाला गया पत्ता राजा है}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
$52$ पत्तों की गड्डी में,$2$ पत्ते ऐसे हैं जो काले भी हैं और राजा भी हैं।
$P(E \cap F) = P(\text{निकाला गया पत्ता काला राजा है}) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$
चूंकि $P(E) \times P(F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{26} = P(E \cap F)$,इसलिए घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं।

(A) माना $H$ वह घटना है कि एक छात्र हिंदी समाचार पत्र पढ़ता है और $E$ वह घटना है कि एक छात्र अंग्रेजी समाचार पत्र पढ़ता है।
दिया गया है: $P(H) = 60/100 = 3/5$,$P(E) = 40/100 = 2/5$,और $P(H \cap E) = 20/100 = 1/5$।
हमें सशर्त प्रायिकता $P(E | H)$ ज्ञात करनी है,जो कि वह प्रायिकता है कि एक छात्र अंग्रेजी समाचार पत्र पढ़ता है यदि वह हिंदी समाचार पत्र पढ़ती है।
सशर्त प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P(E | H) = \frac{P(E \cap H)}{P(H)}$
मान रखने पर:
$P(E | H) = \frac{1/5}{3/5} = \frac{1}{3}$

(B) माना $H$ वह घटना है कि एक छात्र हिंदी समाचार पत्र पढ़ता है और $E$ वह घटना है कि एक छात्र अंग्रेजी समाचार पत्र पढ़ता है।
दिया गया है:
$P(H) = 60\% = 0.6 = 3/5$
$P(E) = 40\% = 0.4 = 2/5$
$P(H \cap E) = 20\% = 0.2 = 1/5$
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(H | E)$ ज्ञात करनी है,जो कि उस छात्र के हिंदी समाचार पत्र पढ़ने की प्रायिकता है,यह देखते हुए कि वह अंग्रेजी समाचार पत्र पढ़ती है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P(H | E) = \frac{P(H \cap E)}{P(E)}$
मान रखने पर:
$P(H | E) = \frac{1/5}{2/5} = \frac{1}{2}$

(A) मान लीजिए $R_1$ वह घटना है कि पहली निकाली गई गेंद लाल है और $B_1$ वह घटना है कि पहली निकाली गई गेंद काली है।
$P(R_1) = 5/10 = 1/2$ और $P(B_1) = 5/10 = 1/2$ है।
यदि $R_1$ घटित होता है,तो $2$ लाल गेंदें जोड़ी जाती हैं। अब कलश में $7$ लाल और $5$ काली गेंदें (कुल $12$) हैं। दूसरी बार लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R_2|R_1) = 7/12$ है।
यदि $B_1$ घटित होता है,तो $2$ काली गेंदें जोड़ी जाती हैं। अब कलश में $5$ लाल और $7$ काली गेंदें (कुल $12$) हैं। दूसरी बार लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R_2|B_1) = 5/12$ है।
संपूर्ण प्रायिकता के नियम के अनुसार,$P(R_2) = P(R_1)P(R_2|R_1) + P(B_1)P(R_2|B_1)$ है।
$P(R_2) = (1/2 \times 7/12) + (1/2 \times 5/12) = 7/24 + 5/24 = 12/24 = 1/2$।

(C) यह दिया गया है कि $P(A) \neq 0$ है।
चूँकि $A$,$B$ का उपसमुच्चय है $(A \subseteq B)$,इसलिए $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ $A$ ही होगा,अर्थात $A \cap B = A$।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$।
इस सूत्र में $A \cap B = A$ रखने पर,हमें $P(B|A) = \frac{P(A)}{P(A)}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $P(A) \neq 0$ है,हम इसे सरल करके $P(B|A) = 1$ प्राप्त कर सकते हैं।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ दो घटनाएँ हैं जहाँ $P(A) \neq 0$ है।
चूँकि $A \cap B = \phi$,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं।
अतः,उनके सर्वनिष्ठ की प्रायिकता $P(A \cap B) = 0$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$।
मान रखने पर,हमें $P(B | A) = \frac{0}{P(A)} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $b$ लड़के को और $g$ लड़की को दर्शाता है। दो बच्चों के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)\}$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि दोनों बच्चे लड़के हैं,अतः $E = \{(b, b)\}$।
मान लीजिए $F$ वह घटना है कि कम से कम एक बच्चा लड़का है,अतः $F = \{(b, b), (b, g), (g, b)\}$।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E|F)$ ज्ञात करनी है।
$E$ और $F$ का सर्वनिष्ठ $E \cap F = \{(b, b)\}$ है।
$E \cap F$ में अवयवों की संख्या $n(E \cap F) = 1$ है,और $F$ में अवयवों की संख्या $n(F) = 3$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{1}{3}$ है।

(B) माना दो बच्चों के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)\}$ है,जहाँ $b$ लड़का और $g$ लड़की को दर्शाता है।
माना $A$ वह घटना है कि दोनों बच्चे लड़कियाँ हैं,अतः $A = \{(g, g)\}$।
माना $B$ वह घटना है कि बड़ा बच्चा एक लड़की है,अतः $B = \{(g, b), (g, g)\}$।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B)$ ज्ञात करनी है।
घटनाओं का सर्वनिष्ठ $A \cap B = \{(g, g)\}$ है।
प्रायिकता $P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ है।
प्रायिकता $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$।

(A) मान लीजिए $E_A$ वह घटना है कि $A$ विफल होता है और $E_B$ वह घटना है कि $B$ विफल होता है।
दिया गया है:
$P(E_A) = 0.2$
$P(E_A \cap E_B) = 0.15$
$P(B \text{ अकेले विफल होता है}) = P(E_B) - P(E_A \cap E_B) = 0.15$
मान रखने पर:
$P(E_B) - 0.15 = 0.15$
$P(E_B) = 0.3$
अब,सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E_A | E_B)$ इस प्रकार है:
$P(E_A | E_B) = \frac{P(E_A \cap E_B)}{P(E_B)}$
$P(E_A | E_B) = \frac{0.15}{0.3} = 0.5$.

(A) दिया गया है कि $P(A) \neq 0$ और $P(B | A)=1$ है।
प्रतिबंधी प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार:
$P(B | A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$
दिए गए मान $P(B | A) = 1$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$1 = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$
इसका अर्थ है:
$P(A) = P(B \cap A)$
चूंकि $P(A) = P(B \cap A)$,इसका मतलब है कि $A$ के सभी परिणाम $B$ में भी शामिल हैं। इसलिए,$A$,$B$ का उपसमुच्चय है,जिसे $A \subset B$ के रूप में लिखा जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है कि $P(A | B) > P(A)$।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ होता है।
इस मान को असमिका में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} > P(A)$।
दोनों पक्षों को $P(B)$ से गुणा करने पर (मान लें कि $P(B) > 0$),हमें प्राप्त होता है $P(A \cap B) > P(A) \cdot P(B)$।
अब,दोनों पक्षों को $P(A)$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $P(A) > 0$),हमें प्राप्त होता है $\frac{P(A \cap B)}{P(A)} > P(B)$।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = P(B | A)$ होता है।
अतः,$P(B | A) > P(B)$।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $P(A)+P(B)-P(A \cap B)=P(A)$.
दोनों पक्षों से $P(A)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $P(B)-P(A \cap B)=0$,जिसका अर्थ है कि $P(B)=P(A \cap B)$.
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
सूत्र में $P(A \cap B) = P(B)$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P(A | B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है कि $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ युग्मवार स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए $P(E_{1} \cap E_{2}) = P(E_{1})P(E_{2})$,$P(E_{2} \cap E_{3}) = P(E_{2})P(E_{3})$,और $P(E_{3} \cap E_{1}) = P(E_{3})P(E_{1})$.
साथ ही,$P(E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3}) = 0$.
हमें $P(E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} | E_{1})$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} | E_{1}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C})}{P(E_{1})}$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} = (E_{2} \cup E_{3})^{C}$.
अतः,$E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})^{C} = E_{1} \setminus (E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = E_{1} \setminus ((E_{1} \cap E_{2}) \cup (E_{1} \cap E_{3}))$.
प्रायिकता के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$P(E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = P(E_{1} \cap E_{2}) + P(E_{1} \cap E_{3}) - P(E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3})$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P(E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = P(E_{1})P(E_{2}) + P(E_{1})P(E_{3}) - 0 = P(E_{1})(P(E_{2}) + P(E_{3}))$.
इसलिए,$P(E_{1} \cap E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C}) = P(E_{1}) - P(E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = P(E_{1}) - P(E_{1})(P(E_{2}) + P(E_{3})) = P(E_{1})(1 - P(E_{2}) - P(E_{3}))$.
अंत में,$P(E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} | E_{1}) = \frac{P(E_{1})(1 - P(E_{2}) - P(E_{3}))}{P(E_{1})} = 1 - P(E_{2}) - P(E_{3}) = (1 - P(E_{3})) - P(E_{2}) = P(E_{3}^{C}) - P(E_{2})$.

(B) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि अंकों का योग $4$ का गुणज है।
$A$ के लिए संभावित परिणाम हैं: $\{(1,3), (2,2), (3,1), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (6,6)\}$.
अतः,$A$ में परिणामों की संख्या $n(A) = 9$ है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि अंक $4$ कम से कम एक बार आता है।
हमें $B \cap A$ में रुचि है,जो उन परिणामों का समूह है जहाँ योग $4$ का गुणज है और $4$ कम से कम एक बार आता है।
समुच्चय $A$ को देखने पर,$4$ वाले परिणाम हैं: $\{(4,4)\}$.
अतः,$B \cap A = \{(4,4)\}$ और $n(B \cap A) = 1$.
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A) = \frac{n(B \cap A)}{n(A)}$ द्वारा दी जाती है।
$P(B|A) = \frac{1}{9}$.

(D) यादृच्छिक चर $X$ सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ और असफलता की प्रायिकता $q = \frac{5}{6}$ के साथ ज्यामितीय वितरण का पालन करता है।
सशर्त प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(X \geq 5 \mid X > 2) = \frac{P(X \geq 5 \cap X > 2)}{P(X > 2)}$ है।
चूंकि घटना $X \geq 5$,$X > 2$ का एक उपसमुच्चय है,इसलिए $P(X \geq 5 \cap X > 2) = P(X \geq 5)$ होगा।
अतः,$P(X \geq 5 \mid X > 2) = \frac{P(X \geq 5)}{P(X > 2)}$ है।
ज्यामितीय वितरण के लिए,$P(X > k) = q^k = (\frac{5}{6})^k$ होता है।
इसलिए,$P(X \geq 5) = P(X > 4) = (\frac{5}{6})^4$ होगा।
और $P(X > 2) = (\frac{5}{6})^2$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(X \geq 5 \mid X > 2) = \frac{(5/6)^4}{(5/6)^2} = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पहली इकाई कार्य करती है,इसलिए $P(A) = 0.9$ और $P(A^c) = 0.1$ है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि दूसरी इकाई कार्य करती है,इसलिए $P(B) = 0.8$ और $P(B^c) = 0.2$ है।
उपकरण केवल तभी कार्य करता है जब दोनों इकाइयाँ कार्य करती हैं। उपकरण के कार्य करने की प्रायिकता $P(A \cap B) = 0.9 \times 0.8 = 0.72$ है।
उपकरण के विफल होने की प्रायिकता $P(F) = 1 - 0.72 = 0.28$ है।
विफलता तीन परस्पर अनन्य स्थितियों में होती है:
$1$. पहली इकाई विफल,दूसरी इकाई कार्य करती है: $P(A^c \cap B) = 0.1 \times 0.8 = 0.08$.
$2$. पहली इकाई कार्य करती है,दूसरी इकाई विफल: $P(A \cap B^c) = 0.9 \times 0.2 = 0.18$.
$3$. दोनों इकाइयाँ विफल: $P(A^c \cap B^c) = 0.1 \times 0.2 = 0.02$.
ध्यान दें कि $0.08 + 0.18 + 0.02 = 0.28$,जो $P(F)$ के बराबर है।
हमें दिया गया है कि उपकरण विफल हो गया है। हमें वह सशर्त प्रायिकता $p$ ज्ञात करनी है कि केवल पहली इकाई विफल हुई (अर्थात $A^c \cap B$ घटित हुआ) जबकि उपकरण विफल हो गया $(F)$।
$p = P(A^c \cap B | F) = \frac{P(A^c \cap B)}{P(F)} = \frac{0.08}{0.28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$.
अतः,$98p = 98 \times \frac{2}{7} = 14 \times 2 = 28$.

(A) किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए,प्रायिकताओं का योग $1$ होता है। अतः,$k + 2k + 4k + 6k + 8k = 1$,जिससे $21k = 1$ या $k = \frac{1}{21}$ प्राप्त होता है।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(1 < X < 4 \mid X \leq 2)$ ज्ञात करनी है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ का उपयोग करने पर:
$P(1 < X < 4 \mid X \leq 2) = \frac{P((1 < X < 4) \cap (X \leq 2))}{P(X \leq 2)}$।
सर्वनिष्ठ $(1 < X < 4) \cap (X \leq 2)$ घटना $X = 2$ है।
अतः,$P(1 < X < 4 \mid X \leq 2) = \frac{P(X = 2)}{P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)}$।
तालिका से मान रखने पर:
$P(1 < X < 4 \mid X \leq 2) = \frac{4k}{k + 2k + 4k} = \frac{4k}{7k} = \frac{4}{7}$।

(NONE) दिया गया है $P(E_{1} \mid E_{2}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2})}{P(E_{2})} = \frac{1}{2} \implies P(E_{2}) = 2 \cdot P(E_{1} \cap E_{2}) = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$.
दिया गया है $P(E_{2} \mid E_{1}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2})}{P(E_{1})} = \frac{3}{4} \implies P(E_{1}) = \frac{4}{3} \cdot P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{6}$.
अब,$P(E_{1}) \cdot P(E_{2}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{24} \neq P(E_{1} \cap E_{2})$। अतः,$E_{1}$ और $E_{2}$ स्वतंत्र नहीं हैं।
विकल्प $(B)$ की जाँच करें: $P(E_{1}^{\prime} \cap E_{2}^{\prime}) = 1 - P(E_{1} \cup E_{2}) = 1 - (P(E_{1}) + P(E_{2}) - P(E_{1} \cap E_{2})) = 1 - (\frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}) = 1 - (\frac{4+6-3}{24}) = 1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}$.
$P(E_{1}^{\prime}) \cdot P(E_{2}^{\prime}) = (1 - \frac{1}{6}) \cdot (1 - \frac{1}{4}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \neq \frac{17}{24}$.
विकल्प $(C)$ की जाँच करें: $P(E_{1} \cap E_{2}^{\prime}) = P(E_{1}) - P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4-3}{24} = \frac{1}{24}$.
$P(E_{1}) \cdot P(E_{2}^{\prime}) = \frac{1}{6} \cdot (1 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \neq \frac{1}{24}$.
विकल्प $(D)$ की जाँच करें: $P(E_{1}^{\prime} \cap E_{2}) = P(E_{2}) - P(E_{1} \cap E_{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$.
यहाँ $P(E_{1}^{\prime} \cap E_{2}) = \frac{1}{8}$ है,जबकि $P(E_{1}) \cdot P(E_{2}) = \frac{1}{24}$ है,इसलिए ये समान नहीं हैं।

(A) दिया गया है कि $P(B \mid A) = \frac{2}{5}$,$P(A \mid B) = \frac{1}{7}$,और $P(A \cap B) = \frac{1}{9}$ है।
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{7}$ से,हमें $P(B) = 7 \times P(A \cap B) = 7 \times \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$ प्राप्त होता है।
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{2}{5}$ से,हमें $P(A) = \frac{5}{2} \times P(A \cap B) = \frac{5}{2} \times \frac{1}{9} = \frac{5}{18}$ प्राप्त होता है।
$(S1)$ के लिए: $P(A' \cup B) = P(A') + P(B) - P(A' \cap B) = (1 - P(A)) + P(B) - (P(B) - P(A \cap B)) = 1 - P(A) + P(A \cap B) = 1 - \frac{5}{18} + \frac{1}{9} = 1 - \frac{5}{18} + \frac{2}{18} = 1 - \frac{3}{18} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$। अतः,$(S1)$ सत्य है।
$(S2)$ के लिए: $P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) = 1 - (P(A) + P(B) - P(A \cap B)) = 1 - (\frac{5}{18} + \frac{7}{9} - \frac{1}{9}) = 1 - (\frac{5}{18} + \frac{6}{9}) = 1 - (\frac{5}{18} + \frac{12}{18}) = 1 - \frac{17}{18} = \frac{1}{18}$। अतः,$(S2)$ सत्य है।
इसलिए,$(S1)$ और $(S2)$ दोनों सत्य हैं।

(C) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि प्रत्येक अमेरिकी पुरुष अपनी पत्नी के बगल में बैठा है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि भारतीय पुरुष अपनी पत्नी के बगल में बैठा है।
कुल व्यक्तियों की संख्या $10$ ($5$ पुरुष और $5$ पत्नियाँ) है।
जब प्रत्येक अमेरिकी जोड़ा एक साथ बैठा होता है,तो हम प्रत्येक $4$ अमेरिकी जोड़ों को एक इकाई के रूप में मानते हैं। भारतीय पुरुष और उसकी पत्नी को मिलाकर,हमारे पास एक गोलाकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के लिए $6$ इकाइयाँ हैं।
हालाँकि,शर्त यह है कि प्रत्येक अमेरिकी पुरुष अपनी पत्नी के बगल में बैठा है। ऐसे $4$ जोड़े हैं। प्रत्येक जोड़े को एक ब्लॉक के रूप में मानें। ऐसे $4$ ब्लॉक और $2$ व्यक्ति (भारतीय पुरुष और उसकी पत्नी) हैं। वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए कुल $6$ इकाइयाँ: $(6-1)! = 5!$ तरीके। प्रत्येक $4$ अमेरिकी जोड़ों को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए,$n(E) = 5! \times (2!)^4$.
अब,$n(A \cap E)$ के लिए,भारतीय जोड़ा भी एक साथ बैठा है। हम भारतीय जोड़े को एक ब्लॉक के रूप में मानते हैं। अब हमारे पास वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $5$ ब्लॉक ($4$ अमेरिकी जोड़े + $1$ भारतीय जोड़ा) हैं: $(5-1)! = 4!$ तरीके। प्रत्येक $5$ जोड़ों को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए,$n(A \cap E) = 4! \times (2!)^5$.
सशर्त प्रायिकता $P(A|E) = \frac{n(A \cap E)}{n(E)} = \frac{4! \times (2!)^5}{5! \times (2!)^4} = \frac{4! \times 2}{5!} = \frac{2}{5}$ है।

(C) हमें दिया गया है कि $E, F, G$ युग्मवार स्वतंत्र घटनाएं हैं,जिसका अर्थ है $P(E \cap G) = P(E)P(G)$ और $P(F \cap G) = P(F)P(G)$।
हमें $P(E^c \cap F^c \mid G) = \frac{P(E^c \cap F^c \cap G)}{P(G)}$ ज्ञात करना है।
$P(E^c \cap F^c \cap G) = P(G \setminus (E \cup F)) = P(G) - P((E \cup F) \cap G) = P(G) - P((E \cap G) \cup (F \cap G))$।
प्रायिकता के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार:
$P((E \cap G) \cup (F \cap G)) = P(E \cap G) + P(F \cap G) - P(E \cap F \cap G)$।
दिया गया है कि $P(E \cap F \cap G) = 0$,इसलिए:
$P((E \cap G) \cup (F \cap G)) = P(E)P(G) + P(F)P(G) - 0 = P(G)(P(E) + P(F))$।
यह मान रखने पर:
$P(E^c \cap F^c \cap G) = P(G) - P(G)(P(E) + P(F)) = P(G)(1 - P(E) - P(F))$।
अतः,$P(E^c \cap F^c \mid G) = \frac{P(G)(1 - P(E) - P(F))}{P(G)} = 1 - P(E) - P(F)$।
चूंकि $P(E^c) = 1 - P(E)$,इसलिए $1 - P(E) - P(F) = P(E^c) - P(F)$।

(D) मान लीजिए $n(S) = 10$ कुल परिणामों की संख्या है। दिया गया है $n(A) = 4$,इसलिए $P(A) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
मान लीजिए $n(B) = p$,इसलिए $P(B) = \frac{p}{10}$.
$A$ और $B$ के स्वतंत्र होने के लिए,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{p}{10} = \frac{2p}{50} = \frac{p}{25}$.
चूँकि $P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{10}$,हमारे पास $\frac{n(A \cap B)}{10} = \frac{p}{25}$ है,जिसका अर्थ है $n(A \cap B) = \frac{10p}{25} = \frac{2p}{5}$.
चूँकि $n(A \cap B)$ एक पूर्णांक होना चाहिए,$2p$ को $5$ से विभाज्य होना चाहिए। चूँकि $2$ और $5$ सह-अभाज्य हैं,$p$ को $5$ का गुणज होना चाहिए।
चूँकि $B$ गैर-रिक्त है,$p \in \{5, 10\}$.

(C) एक संख्या $5$ का गुणज होती है यदि उसका अंतिम अंक $0$ या $5$ हो। चूंकि समुच्चय ${1, 2, 2, 2, 4, 4, 0}$ में $5$ नहीं है,इसलिए अंतिम अंक $0$ होना चाहिए।
हम इकाई स्थान पर $0$ को स्थिर रखकर ${1, 2, 2, 2, 4, 4, 0}$ का उपयोग करके पांच अंकों की संख्याएँ बनाते हैं।
शेष चार अंक ${1, 2, 2, 2, 4, 4}$ में से चुने जाते हैं।
स्थिति $1$: अंक ${1, 2, 2, 2}$,क्रमचय $= \frac{4!}{3!} = 4$.
स्थिति $2$: अंक ${1, 4, 2, 2}$,क्रमचय $= \frac{4!}{2!} = 12$.
स्थिति $3$: अंक ${4, 2, 2, 2}$,क्रमचय $= \frac{4!}{3!} = 4$.
स्थिति $4$: अंक ${2, 2, 4, 4}$,क्रमचय $= \frac{4!}{2!2!} = 6$.
स्थिति $5$: अंक ${1, 2, 4, 4}$,क्रमचय $= \frac{4!}{2!} = 12$.
$5$ से विभाज्य कुल संख्याएँ $(n(A))$ $= 4 + 12 + 4 + 6 + 12 = 38$.
एक संख्या $20$ का गुणज होती है यदि वह $5$ और $4$ दोनों का गुणज हो। $4$ से विभाज्य होने के लिए,अंतिम दो अंक $4$ से विभाज्य होने चाहिए। चूंकि अंतिम अंक $0$ है,इसलिए दहाई का अंक $2$ या $4$ होना चाहिए।
यदि अंतिम दो अंक $20$ हैं,तो शेष तीन अंक ${1, 2, 2, 4, 4}$ में से चुने जाते हैं।
क्रमचय $= \frac{3!}{2!} = 3$.
यदि अंतिम दो अंक $40$ हैं,तो शेष तीन अंक ${1, 2, 2, 2, 4}$ में से चुने जाते हैं।
क्रमचय $= \frac{3!}{3!} = 1$ (${2, 2, 2}$ के लिए) $+ \frac{3!}{2!} = 3$ (${1, 2, 2}$ के लिए) $= 4$.
$20$ से विभाज्य कुल संख्याएँ $(n(A \cap B))$ $= 3 + 4 = 7$.
इस प्रकार,$5$ से विभाज्य संख्याओं में से $20$ से विभाज्य न होने वाली संख्याएँ $38 - 7 = 31$ हैं।
सशर्त प्रायिकता $p = \frac{31}{38}$.
इसलिए,$38p = 31$.

(A) दिया गया है $P(X) = \frac{1}{3}$,$P(X \mid Y) = \frac{1}{2}$,और $P(Y \mid X) = \frac{2}{5}$।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$P(Y \mid X) = \frac{P(X \cap Y)}{P(X)}$।
$\frac{2}{5} = \frac{P(X \cap Y)}{1/3} \Rightarrow P(X \cap Y) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$।
अब,$P(X \mid Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$।
$\frac{1}{2} = \frac{2/15}{P(Y)} \Rightarrow P(Y) = \frac{2}{15} \times 2 = \frac{4}{15}$। (विकल्प $D$ सही है)
$P(X^{\prime} \mid Y)$ के लिए,$P(X^{\prime} \mid Y) = 1 - P(X \mid Y) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$। (विकल्प $A$ सही है)
$P(X \cup Y)$ के लिए,$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y) = \frac{1}{3} + \frac{4}{15} - \frac{2}{15} = \frac{5+4-2}{15} = \frac{7}{15}$।
अतः,विकल्प $A$ और $D$ सही हैं।

(C) $3 \times 3$ आव्यूह में कुल $9$ अवयव होते हैं। चूँकि अवयवों का योग $7$ है और अवयव $\{0, 1\}$ से हैं,इसलिए इसमें ठीक $7$ एक और $2$ शून्य होने चाहिए।
$2$ शून्य के लिए स्थान चुनने के तरीकों की संख्या $n(E_2) = \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$ है।
$\operatorname{det} A = 0$ तब होता है जब आव्यूह की कोई एक पंक्ति या स्तंभ पूरी तरह से शून्य हो। चूँकि केवल $2$ शून्य हैं,सारणिक $0$ तभी होगा यदि दोनों शून्य एक ही पंक्ति या एक ही स्तंभ में हों।
$2$ शून्य को एक ही पंक्ति में रखने के तरीके: $3$ पंक्तियाँ हैं और प्रत्येक पंक्ति में $\binom{3}{2} = 3$ तरीके से शून्य रखे जा सकते हैं। अतः,$3 \times 3 = 9$ तरीके।
$2$ शून्य को एक ही स्तंभ में रखने के तरीके: $3$ स्तंभ हैं और प्रत्येक स्तंभ में $\binom{3}{2} = 3$ तरीके से शून्य रखे जा सकते हैं। अतः,$3 \times 3 = 9$ तरीके।
इस प्रकार,$n(E_1 \cap E_2) = 9 + 9 = 18$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E_1 \mid E_2) = \frac{n(E_1 \cap E_2)}{n(E_2)} = \frac{18}{36} = 0.50$ है।

(A) मान लें $B$ घटना $E_1=E_3$ है। हम $P(S_1=\{1,2\} | B) = \frac{P(S_1=\{1,2\} \cap B)}{P(B)}$ ज्ञात करना चाहते हैं।
$S_1$ के लिए संभावित समुच्चय $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$ हैं,प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।
दिए गए समाधान के अनुसार,गणना करने पर $P(B_{1,2}) = \frac{1}{3} \times \frac{1 \times ^3C_1}{^4C_2} \times \frac{1}{^5C_2} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{6} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{60}$ प्राप्त होता है।
कुल प्रायिकता $P(B)$ की गणना करने पर,अंतिम परिणाम $p = \frac{P(B_{1,2})}{P(B)} = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $X$,$D_4$ द्वारा दिखाई गई संख्या है। चारों पासों के लिए कुल परिणामों की संख्या $6^4 = 1296$ है।
वैकल्पिक रूप से,$D_4$ के एक निश्चित मान के लिए प्रायिकता पर विचार करें। $D_4$ द्वारा दिखाई गई किसी भी विशिष्ट संख्या $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए,इस बात की प्रायिकता कि $k$,$D_1, D_2, D_3$ में से किसी पर भी न दिखाई दे,$(\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{216}$ है।
इसलिए,इस बात की प्रायिकता कि $k$,$D_1, D_2, D_3$ में से कम से कम एक पर दिखाई दे,$1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216}$ है।
चूंकि यह प्रायिकता $D_4$ द्वारा दिखाए गए मान से स्वतंत्र है,इसलिए कुल प्रायिकता $\frac{91}{216}$ है।

(C) मान लीजिए $R_1, B_1, G_1$ क्रमशः Box-$I$ से लाल,नीली या हरी गेंद चुनने की घटनाएँ हैं। प्रायिकताएँ $P(R_1) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$,$P(B_1) = \frac{3}{16}$,और $P(G_1) = \frac{5}{16}$ हैं।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि चुनी गई गेंदों में से एक सफेद है। मान लीजिए $B$ वह घटना है कि चुनी गई गेंदों में से कम से कम एक हरी है।
सफेद गेंदें केवल Box-$IV$ में हैं। अतः,$A$ तभी हो सकता है यदि हम Box-$I$ से एक हरी गेंद चुनें और फिर Box-$IV$ से एक सफेद गेंद चुनें। Box-$IV$ में $10$ हरी,$16$ नारंगी और $6$ सफेद गेंदें (कुल $32$) हैं।
$P(A \cap B) = P(G_1) \times P(\text{Box-}IV \text{ से सफेद}) = \frac{5}{16} \times \frac{6}{32} = \frac{5}{16} \times \frac{3}{16} = \frac{15}{256}$.
अब,$P(B) = P(G_1) + P(R_1 \cap G_2) + P(B_1 \cap G_3)$,जहाँ $G_2$ Box-$II$ से हरी और $G_3$ Box-$III$ से हरी गेंद है।
$P(B) = \frac{5}{16} + (\frac{8}{16} \times \frac{15}{48}) + (\frac{3}{16} \times \frac{12}{16}) = \frac{5}{16} + (\frac{1}{2} \times \frac{5}{16}) + (\frac{3}{16} \times \frac{3}{4}) = \frac{5}{16} + \frac{5}{32} + \frac{9}{64} = \frac{20+10+9}{64} = \frac{39}{64}$.
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{15/256}{39/64} = \frac{15}{256} \times \frac{64}{39} = \frac{15}{4 \times 39} = \frac{5}{4 \times 13} = \frac{5}{52}$.

(D) दिया गया है कि $N$ गेंदों के थैले में $3$ सफेद,$6$ हरी और $(N-9)$ नीली गेंदें हैं।
बिना प्रतिस्थापन के एक के बाद एक सफेद,हरी और नीली गेंद निकालने की प्रायिकता:
$P(W_1 \cap G_2 \cap B_3) = P(W_1) \times P(G_2 \mid W_1) \times P(B_3 \mid W_1 \cap G_2)$
हमें $P(W_1 \cap G_2 \cap B_3) = \frac{2}{5N}$ और $P(B_3 \mid W_1 \cap G_2) = \frac{2}{9}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$P(W_1) = \frac{3}{N}$
$P(G_2 \mid W_1) = \frac{6}{N-1}$
$P(B_3 \mid W_1 \cap G_2) = \frac{N-9}{N-2}$
अतः,$\frac{3}{N} \times \frac{6}{N-1} \times \frac{N-9}{N-2} = \frac{2}{5N}$.
साथ ही,सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा से:
$P(B_3 \mid W_1 \cap G_2) = \frac{N-9}{N-2} = \frac{2}{9}$.
$N$ के लिए हल करने पर:
$9(N-9) = 2(N-2)$
$9N - 81 = 2N - 4$
$7N = 77$
$N = 11$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $12x^2 - 7x + 1 = 0$ है।
$x$ के लिए हल करने पर: $12x^2 - 4x - 3x + 1 = 0 \Rightarrow (4x - 1)(3x - 1) = 0$.
अतः,मूल $x = \frac{1}{3}$ और $x = \frac{1}{4}$ हैं।
माना $P(A \mid B) = \frac{1}{3}$ और $P(B \mid A) = \frac{1}{4}$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.1}{P(B)} = \frac{1}{3} \Rightarrow P(B) = 0.3$.
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.1}{P(A)} = \frac{1}{4} \Rightarrow P(A) = 0.4$.
अब,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.4 + 0.3 - 0.1 = 0.6$.
डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करने पर:
$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B}) = 1 - 0.1 = 0.9$.
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - 0.6 = 0.4$.
अतः,$\frac{P(\overline{A} \cup \overline{B})}{P(\overline{A} \cap \overline{B})} = \frac{0.9}{0.4} = \frac{9}{4}$.

(A) दिया गया है: $P(A) = 0.7$,$P(B) = 0.4$,$P(A \cap \overline{B}) = 0.5$.
सबसे पहले,$P(A \cap B)$ ज्ञात करें:
$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) \implies 0.7 = P(A \cap B) + 0.5 \implies P(A \cap B) = 0.2$.
इसके बाद,$P(A \cup \overline{B})$ ज्ञात करें:
$P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B}) = 0.7 + (1 - 0.4) - 0.5 = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
अब,$P(B \mid (A \cup \overline{B}))$ की गणना करें:
$P(B \mid (A \cup \overline{B})) = \frac{P(B \cap (A \cup \overline{B}))}{P(A \cup \overline{B})} = \frac{P((B \cap A) \cup (B \cap \overline{B}))}{P(A \cup \overline{B})} = \frac{P(A \cap B) + 0}{0.8} = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4}$.

(B) $8$ लड़कों और $3$ लड़कियों में से $5$ सदस्यों की समिति बनाने के कुल तरीके $C(11, 5) = 462$ हैं।
यदि $2$ विशेष लड़कियों को शामिल किया जाना है,तो हमें शेष $9$ लोगों ($8$ लड़के और $1$ लड़की) में से $3$ सदस्यों का चयन करना होगा।
शेष $3$ सदस्यों के चयन के तरीके $C(9, 3) = 84$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{84}{462} = \frac{2}{11}$ है।

(C) मान लीजिए कि दो बच्चों के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{BB, BG, GB, GG\}$ है,जहाँ $B$ का अर्थ लड़का और $G$ का अर्थ लड़की है। प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $1/4$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि कम से कम एक बच्चा लड़का है। तब $A = \{BB, BG, GB\}$,इसलिए $P(A) = 3/4$.
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि दोनों बच्चे लड़के हैं। तब $B = \{BB\}$.
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A)$ ज्ञात करनी है,जो यह है कि कम से कम एक लड़का होने पर दोनों के लड़का होने की प्रायिकता क्या है।
$P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$.
चूँकि $B \subset A$,इसलिए $B \cap A = B = \{BB\}$,अतः $P(B \cap A) = 1/4$.
इसलिए,$P(B|A) = \frac{1/4}{3/4} = 1/3$.

(D) दिया गया है कि $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{5}$,और $P(A \cup B) = \frac{1}{3}$ है।
सबसे पहले,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ ज्ञात करें।
साथ ही,$P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ और $P(B^{\prime}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
अब,$P(A^{\prime} | B^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})} = \frac{2/3}{4/5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{5}{6}$ है।
और $P(B^{\prime} | A^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(A^{\prime})} = \frac{2/3}{2/3} = 1$ है।
अतः,$P(A^{\prime} | B^{\prime}) + P(B^{\prime} | A^{\prime}) = \frac{5}{6} + 1 = \frac{11}{6}$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर,$\frac{11}{20} = P(A) + \frac{2}{5} - P(A) \times \frac{2}{5}$.
$\frac{11}{20} - \frac{8}{20} = P(A)(1 - \frac{2}{5})$.
$\frac{3}{20} = P(A) \times \frac{3}{5}$.
$P(A) = \frac{3}{20} \times \frac{5}{3} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A'$ और $B$ भी स्वतंत्र हैं।
अतः,$P(A' \mid B) = P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
अब,जाँचें कि किस समीकरण का मूल $x = \frac{3}{4}$ है।
विकल्प $A$ के लिए: $4(\frac{3}{4})^2 - 7(\frac{3}{4}) + 3 = 4(\frac{9}{16}) - \frac{21}{4} + 3 = \frac{9}{4} - \frac{21}{4} + \frac{12}{4} = 0$.
अतः,$x = \frac{3}{4}$ समीकरण $4x^2 - 7x + 3 = 0$ का एक मूल है।

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X) = k + 2k + 4k + 2k + k = 10k = 1 \implies k = \frac{1}{10}$.
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(1 \le X < 4 | X \le 2)$ ज्ञात करनी है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
यहाँ,$A$ घटना $1 \le X < 4$ है,जिसका अर्थ है $X \in \{1, 2, 3\}$.
$B$ घटना $X \le 2$ है,जिसका अर्थ है $X \in \{0, 1, 2\}$.
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ घटना $X \in \{1, 2\}$ है।
अब,$P(A \cap B) = P(X=1) + P(X=2) = 2k + 4k = 6k = 6 \times \frac{1}{10} = \frac{6}{10}$.
और $P(B) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = k + 2k + 4k = 7k = 7 \times \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$.
अतः,$P(A|B) = \frac{6/10}{7/10} = \frac{6}{7}$.

(C) मान लीजिए $B$ एक लड़का और $G$ एक लड़की को दर्शाता है। $3$ बच्चों वाले परिवार के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ है:
$S = \{BBB, BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG\}$.
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि तीनों बच्चे लड़कियाँ हैं,इसलिए $A = \{GGG\}$।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि कम से कम एक बच्चा लड़की है,इसलिए $E = \{BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG\}$।
घटना $E$ में परिणामों की संख्या $n(E) = 7$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap E = \{GGG\}$,इसलिए $n(A \cap E) = 1$।
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|E)$ इस प्रकार है:
$P(A|E) = \frac{n(A \cap E)}{n(E)} = \frac{1}{7}$.

(C) मान लीजिए $R_1$ वह घटना है कि पहली गेंद लाल है और $B_1$ वह घटना है कि पहली गेंद काली है। मान लीजिए $R_2$ वह घटना है कि दूसरी गेंद लाल है।
स्थिति $1$: पहली गेंद काली है $(B_1)$।
$P(B_1) = \frac{6}{10}$।
$3$ काली गेंदें जोड़ने के बाद,थैले में $4$ लाल और $9$ काली गेंदें हैं (कुल $= 13$)।
$P(R_2 | B_1) = \frac{4}{13}$।
$P(B_1 \cap R_2) = P(B_1) \times P(R_2 | B_1) = \frac{6}{10} \times \frac{4}{13} = \frac{24}{130}$।
स्थिति $2$: पहली गेंद लाल है $(R_1)$।
$P(R_1) = \frac{4}{10}$।
$3$ लाल गेंदें जोड़ने के बाद,थैले में $7$ लाल और $6$ काली गेंदें हैं (कुल $= 13$)।
$P(R_2 | R_1) = \frac{7}{13}$।
$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2 | R_1) = \frac{4}{10} \times \frac{7}{13} = \frac{28}{130}$।
कुल प्रायिकता $P(R_2) = P(B_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap R_2) = \frac{24}{130} + \frac{28}{130} = \frac{52}{130} = \frac{2}{5} = \frac{26}{65}$।

(B) हमें $P(A) = \frac{3}{10}$,$P(B) = \frac{3}{5}$,और $P(A \cup B) = \frac{3}{5}$ दिया गया है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $\frac{3}{5} = \frac{3}{10} + \frac{3}{5} - P(A \cap B)$.
इससे $P(A \cap B) = \frac{3}{10}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $P(A|B) \times P(B|A)$ की गणना करनी है।
परिभाषा के अनुसार,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ और $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
अतः,$P(A|B) \times P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \times \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{(\frac{3}{10})}{(\frac{3}{5})} \times \frac{(\frac{3}{10})}{(\frac{3}{10})} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$.

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
घटना $E_{1}$ योग $6$ प्राप्त करने की घटना है। इसके परिणाम $E_{1} = \{(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)\}$ हैं।
$E_{1}$ में परिणामों की संख्या $n(E_{1}) = 5$ है।
घटना $E_{2}$ दोनों पासों में से कम से कम एक पर $2$ प्राप्त करने की घटना है। $E_{1} \cap E_{2}$ में वे परिणाम होंगे जो $E_{1}$ में हैं और जिनमें कम से कम एक $2$ है।
ये परिणाम $\{(2, 4), (4, 2)\}$ हैं।
अतः,$n(E_{1} \cap E_{2}) = 2$.
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E_{2} / E_{1})$ सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(E_{2} / E_{1}) = \frac{n(E_{1} \cap E_{2})}{n(E_{1})} = \frac{2}{5}$.

(C) हमें $P(A)=0.5, P(B)=0.4$ और $P(A \cap B)=0.3$ दिया गया है।
हमें $P(A^{\prime} \mid B^{\prime})$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A^{\prime} \mid B^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})}$।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = (A \cup B)^{\prime}$,इसलिए $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$।
सबसे पहले,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0.6$ की गणना करें।
अतः,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - 0.6 = 0.4$।
साथ ही,$P(B^{\prime}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$।
इसलिए,$P(A^{\prime} \mid B^{\prime}) = \frac{0.4}{0.6} = \frac{2}{3}$।

(C) माना $P(A) = x$ और $P(B) = y$ है। चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $A$ और $B'$ भी स्वतंत्र हैं,और $A'$ और $B$ भी स्वतंत्र हैं।
दिया गया है $P(A \cap B') = P(A)P(B') = x(1-y) = \frac{3}{25}$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है $P(A' \cap B) = P(A')P(B) = (1-x)y = \frac{8}{25}$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$x - xy = \frac{3}{25} \implies xy = x - \frac{3}{25}$।
$xy$ का मान समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $y - xy = \frac{8}{25} \implies y - (x - \frac{3}{25}) = \frac{8}{25} \implies y - x = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \implies y = x + \frac{1}{5}$।
$y$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $x(1 - (x + \frac{1}{5})) = \frac{3}{25} \implies x(\frac{4}{5} - x) = \frac{3}{25} \implies \frac{4}{5}x - x^2 = \frac{3}{25}$।
$25$ से गुणा करने पर: $20x - 25x^2 = 3 \implies 25x^2 - 20x + 3 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(5x - 1)(5x - 3) = 0$।
अतः,$x = \frac{1}{5}$ या $x = \frac{3}{5}$।
यदि $x = \frac{1}{5}$ है,तो $y = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$।
यदि $x = \frac{3}{5}$ है,तो $y = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$।
विकल्पों की जाँच करने पर,$P(A) = \frac{1}{5}$ सही उत्तर है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
$P(A^{\prime}) = 0.75$,इसलिए $P(A) = 1 - P(A^{\prime}) = 1 - 0.75 = 0.25$.
हम जानते हैं कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.65 = 0.25 + p - (0.25 \cdot p)$
$0.65 - 0.25 = p(1 - 0.25)$
$0.40 = 0.75p$
$p = \frac{0.40}{0.75} = \frac{40}{75} = \frac{8}{15}$.

(C) दिया गया है कि $A, B$ और $C$ युग्मवार स्वतंत्र हैं।
चूंकि $A, B, C$ युग्मवार स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B)$,$P(B \cap C) = P(B)P(C)$,और $P(A \cap C) = P(A)P(C)$।
दिया गया है $P(A \cap B \cap C) = 0$।
युग्मवार स्वतंत्रता के कारण,$P(A \cap B \cap C) = P(A \cap B)P(C) = P(A)P(B)P(C) = 0$।
चूंकि $P(C) > 0$,इसका अर्थ है $P(A)P(B) = 0$।
अब,$P((\overline{A} \cap \overline{B}) / C) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C)}{P(C)}$।
चूंकि $A, B, C$ स्वतंत्र हैं,घटनाएं $\overline{A}, \overline{B}, C$ भी स्वतंत्र हैं।
अतः,$P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) = P(\overline{A})P(\overline{B})P(C)$।
इसलिए,$P((\overline{A} \cap \overline{B}) / C) = \frac{P(\overline{A})P(\overline{B})P(C)}{P(C)} = P(\overline{A})P(\overline{B})$।
$P(\overline{A})P(\overline{B}) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$।
चूंकि $P(A)P(B) = 0$,हमें $1 - P(A) - P(B) = P(\overline{A}) - P(B)$ प्राप्त होता है।