Conditional probability Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि $P(A \mid B) = 1$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ होता है।
चूंकि $P(A \mid B) = 1$ है,इसलिए $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 1$,जिसका अर्थ है कि $P(A \cap B) = P(B)$।
यह समानता तभी सत्य होती है जब $B \subset A$ हो।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A)$ है।
दोनों पक्षों से $P(A)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $P(B) - P(A \cap B) = 0$,जिसका अर्थ है $P(B) = P(A \cap B)$।
यह स्थिति $P(A \cap B) = P(B)$ दर्शाती है कि घटना $B$,घटना $A$ का उपसमुच्चय है (अर्थात $B \subseteq A$)।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ होता है।
सूत्र में $P(A \cap B) = P(B)$ रखने पर,हमें $P(A \mid B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$ प्राप्त होता है (यह मानते हुए कि $P(B) \neq 0$)।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है कि $P(B \mid A) = 1$ है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ होता है।
चूँकि $P(B \mid A) = 1$ है,इसलिए $\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1$,जिसका अर्थ है कि $P(A \cap B) = P(A)$।
यह समानता तभी सत्य है जब $A \subseteq B$ हो।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हमें दिया गया है कि $P(A) = \frac{6}{11}$,$P(B) = \frac{5}{11}$,और $P(A \cup B) = \frac{7}{11}$।
प्रायिकता के योग के नियम का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{7}{11} = \frac{6}{11} + \frac{5}{11} - P(A \cap B)$।
$\frac{7}{11} = \frac{11}{11} - P(A \cap B)$।
$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{11} = \frac{4}{11}$।
अब,सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A \mid B)$ की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$।
$P(A \mid B) = \frac{4/11}{5/11} = \frac{4}{5}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है कि $6 P(A) = 1 \implies P(A) = \frac{1}{6}$.
दिया गया है कि $8 P(B) = 1 \implies P(B) = \frac{1}{8}$.
दिया गया है कि $14 P(A \cap B) = 1 \implies P(A \cap B) = \frac{1}{14}$.
हमें $P(A' \mid B)$ ज्ञात करना है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(A' \mid B) = \frac{P(A' \cap B)}{P(B)}$.
हम जानते हैं कि $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $P(A' \cap B) = \frac{1}{8} - \frac{1}{14} = \frac{7 - 4}{56} = \frac{3}{56}$.
अब,$P(A' \mid B) = \frac{3/56}{1/8} = \frac{3}{56} \times 8 = \frac{3}{7}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A)$.
दोनों पक्षों से $P(A)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $P(B) - P(A \cap B) = 0$.
इसका अर्थ है कि $P(B) = P(A \cap B)$.
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
सूत्र में $P(A \cap B) = P(B)$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P(A|B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$ (मान लीजिए कि $P(B) \neq 0$)।

(C) दिया गया है कि $2 P(A) = \frac{5}{13}$,इसलिए $P(A) = \frac{5}{26}$.
दिया गया है कि $P(B) = \frac{5}{13}$.
हम जानते हैं कि $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
मान रखने पर,$\frac{2}{5} = \frac{P(A \cap B)}{5/13}$.
अतः,$P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}$.
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13}$.
$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26}$.
$P(A \cup B) = \frac{5 + 10 - 4}{26} = \frac{11}{26}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है कि $P(B \mid A) = 1$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ होता है।
चूंकि $P(B \mid A) = 1$ है,इसलिए $\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1$,जिसका अर्थ है कि $P(A \cap B) = P(A)$।
यह समानता $P(A \cap B) = P(A)$ तभी संभव है जब $A \subseteq B$ हो।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है कि $A \subset B$,जिसका अर्थ है कि $A \cap B = A$.
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
$A \cap B = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(A \mid B) = \frac{P(A)}{P(B)}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A \subset B$,हमारे पास $P(A) \leq P(B)$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{P(B)} \leq \frac{1}{P(A)}$.
दोनों पक्षों को $P(A)$ से गुणा करने पर (मान लें $P(A) > 0$),हमें $\frac{P(A)}{P(B)} \leq 1$ प्राप्त होता है।
साथ ही,चूँकि $P(B) \leq 1$,हमारे पास $\frac{P(A)}{P(B)} \geq P(A)$ है।
अतः,$P(A \mid B) \geq P(A)$.

(A) दिया गया है कि $P(E)=0.8$,$P(F)=0.5$,और $P(F \mid E)=0.4$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$P(F \mid E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}$।
मान रखने पर,$0.4 = \frac{P(E \cap F)}{0.8}$।
अतः,$P(E \cap F) = 0.4 \times 0.8 = 0.32$।
अब,हमें $P(E \mid F)$ ज्ञात करना है।
सूत्र $P(E \mid F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$ का उपयोग करते हुए।
मान रखने पर,$P(E \mid F) = \frac{0.32}{0.5} = 0.64$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी घटना $A$ के लिए,$P(A) + P(A^{\prime}) = 1$,जिसका अर्थ है कि $P(A) = 1 - P(A^{\prime})$.
इसे सशर्त प्रायिकता $P(A \mid B^{\prime})$ पर लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(A \mid B^{\prime}) = 1 - P(A^{\prime} \mid B^{\prime})$.
यह सशर्त प्रायिकता के उस गुण से आता है जहाँ समान स्थिति के तहत पूरक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग $1$ होता है.

(B) मान लीजिए कि $H_1$ पहले सिक्के पर चित आने की घटना है और $H_2$ दूसरे सिक्के पर चित आने की घटना है।
चूंकि दो सिक्कों को उछालना स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए पहले सिक्के का परिणाम दूसरे सिक्के के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
अतः,$P(H_2 | H_1) = P(H_2)$।
एक निष्पक्ष सिक्के के लिए,चित आने की प्रायिकता $P(H_2) = \frac{1}{2}$ है।
इस प्रकार,पहले सिक्के पर चित प्राप्त होने की स्थिति में दूसरे सिक्के पर चित प्राप्त होने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।

(C) दिया गया है कि $P(A)=0.25, P(B)=0.55$ और $P(A \cup B)=0.65$ है।
सबसे पहले,हम $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ सूत्र का उपयोग करके $P(A \cap B)$ ज्ञात करते हैं।
$0.65 = 0.25 + 0.55 - P(A \cap B)$
$0.65 = 0.80 - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = 0.80 - 0.65 = 0.15$।
अब,हमें $P(B' \mid A)$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(B' \mid A) = \frac{P(B' \cap A)}{P(A)}$।
चूंकि $P(B' \cap A) = P(A) - P(A \cap B)$,इसलिए:
$P(B' \cap A) = 0.25 - 0.15 = 0.10$।
अतः,$P(B' \mid A) = \frac{0.10}{0.25} = \frac{10}{25} = 0.4$।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है $P(A)=\frac{1}{3}$,$P(B)=\frac{1}{2}$ और $P(A \cap B)=\frac{1}{6}$।
हमें $P(A^{\prime} | B)$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(A^{\prime} | B) = \frac{P(A^{\prime} \cap B)}{P(B)}$।
चूँकि $P(A^{\prime} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$,
इसलिए $P(A^{\prime} | B) = \frac{P(B) - P(A \cap B)}{P(B)}$।
मान रखने पर:
$P(A^{\prime} | B) = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3-1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}$।

(B) हमें दिया गया है कि $P(A) \neq 0$ है। सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार $P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ होता है।
$(i)$ यदि $A \subset B$ है,तो $A \cap B = A$ होगा। इसलिए,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A)}{P(A)} = 1$.
(ii) यदि $A \cap B = \phi$ है,तो $P(A \cap B) = P(\phi) = 0$ होगा। इसलिए,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0}{P(A)} = 0$.
अतः,क्रमशः मान $1$ और $0$ प्राप्त होते हैं।

(B) दिया है,$P(B) = \frac{3}{5}$,$P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{1}{2}$ और $P(A \cup B) = \frac{4}{5}$.
चूँकि $P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$,हमारे पास है:
$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{2}$
$P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$.
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{4}{5} = P(A) + \frac{3}{5} - \frac{3}{10}$
$P(A) = \frac{4}{5} - \frac{3}{5} + \frac{3}{10}$
$P(A) = \frac{1}{5} + \frac{3}{10} = \frac{2+3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

(C) माना $E_{A}$ वह घटना है कि पासों पर संख्याओं का योग $6$ से कम है।
$E_{A}$ के लिए संभावित परिणाम हैं:
$E_{A} = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}$
अतः,$n(E_{A}) = 10$.
माना $E_{B}$ वह घटना है कि पासों पर संख्याओं का योग $3$ है।
$E_{B}$ के लिए संभावित परिणाम हैं:
$E_{B} = \{(1,2), (2,1)\}$
अतः,$n(E_{B}) = 2$.
अभीष्ट सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E_{B}|E_{A}) = \frac{n(E_{B} \cap E_{A})}{n(E_{A})} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी (non-mutually exclusive) घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) \neq 0$ है।
शर्त $P(A \mid B) = P(B \mid A)$ दी गई है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$
चूँकि $P(A \cap B) = P(B \cap A)$,और $P(A \cap B) \neq 0$ है,इसलिए दोनों पक्षों को $P(A \cap B)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{P(B)} = \frac{1}{P(A)}$
अतः,$P(A) = P(B)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(A|B) = \frac{1}{2}$ और $P(B|A) = \frac{2}{3}$।
हम जानते हैं कि सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(E_1|E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)}$ होता है।
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{3} = \frac{P(A \cap B)}{1/4}$
$P(A \cap B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$।
अब,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{1/6}{P(B)}$
$P(B) = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$।

(D) दिया गया है,$P(A)=\frac{1}{2}$,$P(B)=\frac{1}{2}$ और $P(A \mid B)=\frac{1}{4}$.
प्रतिबंधी प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
मान रखने पर,$\frac{1}{4} = \frac{P(A \cap B)}{1/2}$.
अतः,$P(A \cap B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$.
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
इस प्रकार,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$.

(D) दिया गया है कि $P(A)=0.2$,$P(B)=0.6$ और $P(A \mid B)=0.5$ है।
हम जानते हैं कि सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.5 = \frac{P(A \cap B)}{0.6}$।
अतः,$P(A \cap B) = 0.5 \times 0.6 = 0.3$।
हमें $P(A^{\prime} \mid B)$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$P(A^{\prime} \mid B) = 1 - P(A \mid B)$।
इस प्रकार,$P(A^{\prime} \mid B) = 1 - 0.5 = 0.5 = \frac{1}{2}$।

(A) कुल टिकटों की संख्या $ 17 $ है।
सम संख्या वाले टिकट $ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 $ हैं।
अतः,सम संख्या वाले टिकटों की कुल संख्या $ 8 $ है।
मान लीजिए $ E_1 $ पहली टिकट के सम होने की घटना है और $ E_2 $ दूसरी टिकट के सम होने की घटना है।
पहली टिकट के सम होने की प्रायिकता $ P(E_1) = \frac{8}{17} $ है।
चूंकि टिकट को वापस नहीं रखा जाता है,इसलिए शेष टिकटों की संख्या $ 16 $ है और शेष सम टिकटों की संख्या $ 7 $ है।
दूसरी टिकट के सम होने की सप्रतिबंध प्रायिकता $ P(E_2|E_1) = \frac{7}{16} $ है।
दोनों टिकटों के सम संख्या होने की प्रायिकता $ P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2|E_1) = \frac{8}{17} \times \frac{7}{16} = \frac{7}{34} $ है।

(C) दिया गया है कि,$P(A \cap B) = \frac{7}{10}$ और $P(B) = \frac{17}{20}$ है।
हम जानते हैं कि सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ होता है।
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$P(A \mid B) = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{17}{20}}$
$P(A \mid B) = \frac{7}{10} \times \frac{20}{17}$
$P(A \mid B) = \frac{7 \times 2}{17} = \frac{14}{17}$.

(C) कथन $(I)$: यदि $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं,तो $P(E \cap F) = P(E)P(F)$. हम जानते हैं कि $P(E^{\prime} \cap F^{\prime}) = P((E \cup F)^{\prime}) = 1 - P(E \cup F) = 1 - [P(E) + P(F) - P(E \cap F)] = 1 - P(E) - P(F) + P(E)P(F) = (1 - P(E))(1 - P(F)) = P(E^{\prime})P(F^{\prime})$. अतः,$E^{\prime}$ और $F^{\prime}$ स्वतंत्र हैं। कथन $(I)$ सत्य है।
कथन $(II)$: यदि $E$ और $F$ परस्पर अपवर्जी हैं,तो $P(E \cap F) = 0$. उनके स्वतंत्र होने के लिए,हमें $P(E \cap F) = P(E)P(F)$ की आवश्यकता है। चूँकि $P(E) > 0$ और $P(F) > 0$,इसलिए $P(E)P(F) > 0$. अतः,$P(E \cap F) \neq P(E)P(F)$,जिसका अर्थ है कि वे स्वतंत्र नहीं हो सकते। कथन $(II)$ सत्य है।

(C) सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार:
$P(\bar{A} \mid \bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$ होता है।
अतः,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$P(\bar{A} \mid \bar{B}) = \frac{1 - P(A \cup B)}{P(\bar{B})}$

(B) माना $S$ उन परिणामों का समुच्चय है जहाँ तीन पासों का योग $8$ है। संभावित संयोजन हैं:
$(1, 1, 6) \rightarrow 3$ क्रमचय
$(1, 2, 5) \rightarrow 6$ क्रमचय
$(1, 3, 4) \rightarrow 6$ क्रमचय
$(2, 2, 4) \rightarrow 3$ क्रमचय
$(2, 3, 3) \rightarrow 3$ क्रमचय
कुल परिणाम $n(S) = 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21$.
माना $E$ वह घटना है कि कम से कम एक पासे पर $4$ आता है। अनुकूल परिणाम $(1, 3, 4)$ और $(2, 2, 4)$ से प्राप्त होते हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 6 + 3 = 9$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.

(C) Given $P(E_1) = \frac{1}{8}$,$P(E_1 \mid E_2) = \frac{1}{3}$,and $P(E_2 \mid E_1) = \frac{1}{4}$.
Using the definition of conditional probability,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_2 \mid E_1) \times P(E_1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{32}$.
Then,$P(E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1 \mid E_2)} = \frac{1/32}{1/3} = \frac{3}{32}$. (Matches $IV$)
Now,$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8} \frac{3}{32} - \frac{1}{32} = \frac{4 3-1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$. (Matches $III$)
We know $P(\bar{E}_2) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{3}{32} = \frac{29}{32}$.
Also,$P(E_1 \cap \bar{E}_2) = P(E_1) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8} - \frac{1}{32} = \frac{3}{32}$.
Thus,$P(E_1 \mid \bar{E}_2) = \frac{P(E_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{3/32}{29/32} = \frac{3}{29}$. (Matches $I$)
Finally,$P(\bar{E}_1 \mid \bar{E}_2) = 1 - P(E_1 \mid \bar{E}_2) = 1 - \frac{3}{29} = \frac{26}{29}$. (Matches $II$)
The correct matching is $A-III, B-IV, C-I, D-II$.

(D) माना $P(A) = \frac{2}{3}$ और $P(B) = \frac{3}{4}$ है।
यह मानते हुए कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,दोनों में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ है।
कम से कम एक में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{8+9-6}{12} = \frac{11}{12}$ है।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A \cap B | A \cup B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)}$ ज्ञात करनी है।
मान रखने पर,हमें $\frac{1/2}{11/12} = \frac{1}{2} \times \frac{12}{11} = \frac{6}{11}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: $P(\overline{A}) = 0.3 \implies P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
$P(B) = 0.4 \implies P(\overline{B}) = 1 - 0.4 = 0.6$.
$P(A \cap \overline{B}) = 0.5$.
चूँकि $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$,इसलिए $0.7 = P(A \cap B) + 0.5$,जिसका अर्थ है $P(A \cap B) = 0.2$.
हमें $P(B | (A \cup \overline{B})) = \frac{P(B \cap (A \cup \overline{B}))}{P(A \cup \overline{B})}$ ज्ञात करना है।
अंश: $P(B \cap (A \cup \overline{B})) = P((B \cap A) \cup (B \cap \overline{B})) = P((B \cap A) \cup \emptyset) = P(A \cap B) = 0.2$.
हर: $P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
अतः,$P(B | (A \cup \overline{B})) = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(D) सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$P(E/F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$.
दिया गया व्यंजक: $P(A / A \cap B) + P(B / A \cap B)$
$= \frac{P(A \cap (A \cap B))}{P(A \cap B)} + \frac{P(B \cap (A \cap B))}{P(A \cap B)}$
चूंकि $A \cap (A \cap B) = A \cap B$ और $B \cap (A \cap B) = A \cap B$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{P(A \cap B)}{P(A \cap B)} + \frac{P(A \cap B)}{P(A \cap B)}$
$= 1 + 1 = 2$

(B) दो पासे फेंकने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $6 \times 6 = 36$ परिणाम होते हैं।
घटना $A$ वह घटना है कि प्रत्येक पासे पर समान संख्या आती है: $A = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}$। अतः,$n(A) = 6$ और $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।
घटना $B$ वह घटना है कि संख्याओं का योग $7$ से अधिक है: $B = \{(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$। अतः,$n(B) = 15$ और $P(B) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उन परिणामों का समुच्चय है जहाँ संख्याएँ समान हैं और योग $7$ से अधिक है: $A \cap B = \{(4,4), (5,5), (6,6)\}$। अतः,$n(A \cap B) = 3$ और $P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$।
अब,सप्रतिबंध प्रायिकता की गणना करें:
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/12}{5/12} = \frac{1}{5}$।
$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/12}{1/6} = \frac{1}{2}$।

(C) माना $E_1$ वह घटना है कि पासे में से किसी एक पर $2$ आता है।
माना $E_2$ वह घटना है कि पासों पर अंकों का योग $6$ है।
योग $6$ होने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $E_2 = \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\}$ है।
अतः,$E_2$ में परिणामों की संख्या $n(E_2) = 5$ है।
वे परिणाम जहाँ योग $6$ होने पर किसी एक पासे पर $2$ आता है,$E_1 \cap E_2 = \{(2, 4), (4, 2)\}$ हैं।
अतः,$E_1 \cap E_2$ में परिणामों की संख्या $n(E_1 \cap E_2) = 2$ है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता $P(E_1 | E_2) = \frac{n(E_1 \cap E_2)}{n(E_2)} = \frac{2}{5}$ है।

(A) चूँकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = 0$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}$ होता है।
हम जानते हैं कि $P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$।
चूँकि $P(A \cap B) = 0$ है,इसलिए $P(A \cap B^c) = P(A)$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$P(B^c) = 1 - P(B)$ होता है।
अतः,$P(A \mid B^c) = \frac{P(A)}{1 - P(B)}$ प्राप्त होता है।

(B) सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार:
$P(A | B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}$
चूँकि $B^c$,$B$ की पूरक घटना है,इसलिए $P(B^c) = 1 - P(B)$.
साथ ही,$A \cap B^c$ उस घटना को दर्शाता है जहाँ $A$ घटित होता है लेकिन $B$ नहीं। इसे $P(A) - P(A \cap B)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A | B^c) = \frac{P(A) - P(A \cap B)}{1 - P(B)}$

(A) हम जानते हैं कि सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार:
$P(\frac{B}{A}) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$\Rightarrow P(A) P(\frac{B}{A}) = P(A \cap B)$
अब,डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\overline{A \cap B})$
पूरक घटनाओं के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$P(\bar{E}) = 1 - P(E)$:
$P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$
पहले चरण से $P(A \cap B)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A) P(\frac{B}{A})$
अतः,विकल्प $A$ सही कथन है।

(A) दिया गया है: $P(P) = 1/4$,$P(P|Q) = 1/2$,और $P(Q|P) = 1/3$.
हमें $P(\bar{P}|\bar{Q})$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करके $P(P \cap Q)$ ज्ञात करते हैं:
$P(Q|P) = \frac{P(P \cap Q)}{P(P)} \implies P(P \cap Q) = P(Q|P) \times P(P) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
इसके बाद,$P(Q)$ ज्ञात करते हैं:
$P(P|Q) = \frac{P(P \cap Q)}{P(Q)} \implies P(Q) = \frac{P(P \cap Q)}{P(P|Q)} = \frac{1/12}{1/2} = \frac{1}{6}$.
अब,पूरक घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात करते हैं:
$P(\bar{P}) = 1 - P(P) = 1 - 1/4 = 3/4$.
$P(\bar{Q}) = 1 - P(Q) = 1 - 1/6 = 5/6$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करके,$P(\bar{P} \cup \bar{Q}) = 1 - P(P \cap Q) = 1 - 1/12 = 11/12$.
तब,$P(\bar{P} \cap \bar{Q}) = P(\bar{P}) + P(\bar{Q}) - P(\bar{P} \cup \bar{Q}) = \frac{3}{4} + \frac{5}{6} - \frac{11}{12} = \frac{9 + 10 - 11}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
अंत में,सप्रतिबंध प्रायिकता है:
$P(\bar{P}|\bar{Q}) = \frac{P(\bar{P} \cap \bar{Q})}{P(\bar{Q})} = \frac{2/3}{5/6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{4}{5}$.

(A) दिया गया है कि $P(\overline{F}) = 0.7$ और $P(E \cap F) = 0.2$ है।
सबसे पहले,हम पूरक घटना के नियम का उपयोग करके $P(F)$ ज्ञात करते हैं: $P(F) = 1 - P(\overline{F}) = 1 - 0.7 = 0.3$।
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(E \mid F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$ है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(E \mid F) = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}$।

(C) हमें दिया गया है $P(A) = \frac{1}{7}$,$P(A|B) = \frac{2}{3}$ और $P(B) = \frac{2}{7}$.
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
अतः,$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{7} = \frac{4}{21}$.
अब,हमें $P(B|A)$ ज्ञात करना है,जिसका सूत्र $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ है.
मान रखने पर,यदि हम $P(A|B) = \frac{2}{5}$ मानते हैं,तो $P(B|A) = \frac{4/35}{1/7} = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है $P(A)=0.5, P(B)=0.4$,और $P(A \cap B)=0.3$।
हमें $P(A^{\prime} / B^{\prime})$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A^{\prime} / B^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})}$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = (A \cup B)^{\prime}$,इसलिए $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$।
सबसे पहले,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0.6$ की गणना करें।
अतः,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - 0.6 = 0.4$।
इसके बाद,$P(B^{\prime}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$ की गणना करें।
अंत में,$P(A^{\prime} / B^{\prime}) = \frac{0.4}{0.6} = \frac{2}{3}$।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
घटना $A$ योग $\ge 8$ प्राप्त करने की घटना है। इसके परिणाम हैं:
$A = \{(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$.
अतः,$n(A) = 15$ है।
घटना $B$ कम से कम एक पासे पर $3$ या उससे कम संख्या प्राप्त करने की घटना है।
घटना $A \cap B$ योग $\ge 8$ और कम से कम एक पासे पर $3$ या उससे कम संख्या प्राप्त करने की घटना है।
$A$ के तत्वों को देखने पर,वे परिणाम जिनमें कम से कम एक पासा $3$ या उससे कम है,वे हैं:
$A \cap B = \{(2,6), (3,5), (3,6), (5,3), (6,2), (6,3)\}$.
अतः,$n(A \cap B) = 6$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B / A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ है।

(C) दिया गया है,$P(E_1) = \frac{1}{4}$,$P(E_2 / E_1) = \frac{1}{2}$,और $P(E_1 / E_2) = \frac{1}{4}$।
$(A)$ चूंकि $P(E_2 / E_1) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)}$,हमारे पास $\frac{1}{2} = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{1/4}$ है,इसलिए $P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8}$।
साथ ही,$P(E_1 / E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)} = \frac{1}{4}$।
$P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1/8}{P(E_2)} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $P(E_2) = \frac{1}{2}$। अतः,$(A)$ का मिलान $(iv)$ से होता है।
$(B)$ $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{2+4-1}{8} = \frac{5}{8}$। अतः,$(B)$ का मिलान $(ii)$ से होता है।
$(C)$ $P(\bar{E}_1 / \bar{E}_2) = \frac{P(\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{1 - P(E_1 \cup E_2)}{1 - P(E_2)} = \frac{1 - 5/8}{1 - 1/2} = \frac{3/8}{1/2} = \frac{3}{4}$। अतः,$(C)$ का मिलान $(vi)$ से होता है।
$(D)$ $P(E_1 / \bar{E}_2) = \frac{P(E_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{P(E_1) - P(E_1 \cap E_2)}{1 - P(E_2)} = \frac{1/4 - 1/8}{1 - 1/2} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4}$। अतः,$(D)$ का मिलान $(i)$ से होता है।

(B) दिया गया है: $P(E_1) = \frac{1}{2}$ और $P(E_1 \cup E_2) = \frac{2}{3}$।
चूँकि $E_1$ और $E_2$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1)P(E_2) = \frac{1}{2}P(E_2)$।
$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + P(E_2) - \frac{1}{2}P(E_2)$
$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}P(E_2)$
$\frac{1}{6} = \frac{1}{2}P(E_2) \implies P(E_2) = \frac{1}{3}$। ($A-iii$ से मेल खाता है)
अब,$P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$।
$P(\frac{E_1}{E_2}) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)} = \frac{1/6}{1/3} = \frac{1}{2}$। ($B-i$ से मेल खाता है)
$P(\frac{\bar{E}_2}{E_1}) = \frac{P(\bar{E}_2 \cap E_1)}{P(E_1)} = \frac{P(E_1) - P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)} = \frac{1/2 - 1/6}{1/2} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$। ($C-v$ से मेल खाता है)
$P(\bar{E}_1 \cup \bar{E}_2) = P(\overline{E_1 \cap E_2}) = 1 - P(E_1 \cap E_2) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$। ($D-ii$ से मेल खाता है)
अतः,सही मिलान $A-iii, B-i, C-v, D-ii$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
$\therefore P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
स्वतंत्रता की शर्त को प्रतिस्थापित करने पर: $P(A \mid B) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A)$ ... $(i)$.
अब,$P(A \mid B^C) = \frac{P(A \cap B^C)}{P(B^C)}$ पर विचार करें।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A$ और $B^C$ भी स्वतंत्र हैं।
अतः,$P(A \cap B^C) = P(A) \cdot P(B^C)$.
इसलिए,$P(A \mid B^C) = \frac{P(A) \cdot P(B^C)}{P(B^C)} = P(A)$ ... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें $P(A \mid B) = P(A \mid B^C)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A) = \frac{1}{3}$ और $P(B) = \frac{2}{7}$ है।
हमें $P\left(\frac{A}{B^C}\right)$ का मान ज्ञात करना है,जहाँ $B^C$ घटना $B$ का पूरक है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P\left(\frac{A}{B^C}\right) = \frac{P(A \cap B^C)}{P(B^C)}$.
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A$ और $B^C$ भी स्वतंत्र घटनाएँ होंगी।
अतः,$P(A \cap B^C) = P(A) \times P(B^C)$.
इस मान को सूत्र में रखने पर,$P\left(\frac{A}{B^C}\right) = \frac{P(A) \times P(B^C)}{P(B^C)} = P(A)$.
चूँकि $P(A) = \frac{1}{3}$ है,इसलिए अभीष्ट मान $\frac{1}{3}$ है।

(B) दिया गया है: $P(A)=0.6$,$P(B)=0.3$ और $P(A \mid B)=0.5$.
सबसे पहले,$P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B)$ सूत्र का उपयोग करके $P(A \cap B)$ ज्ञात करें।
$P(A \cap B) = 0.5 \times 0.3 = 0.15$.
हमें $P(\bar{B} \mid \bar{A}) = \frac{P(\bar{B} \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}$ ज्ञात करना है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$P(\bar{B} \cap \bar{A}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.6 + 0.3 - 0.15 = 0.75$.
अतः,$P(\bar{B} \cap \bar{A}) = 1 - 0.75 = 0.25$.
साथ ही,$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.6 = 0.4$.
इसलिए,$P(\bar{B} \mid \bar{A}) = \frac{0.25}{0.4} = \frac{25}{40} = 0.625$.

(D) दिया गया है कि $P(E_1) = \frac{1}{4}$ और $P(E_2 \mid E_1) = \frac{1}{2}$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2 \mid E_1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$।
हमें $P(E_1 \mid E_2) = \frac{1}{4}$ भी दिया गया है।
परिभाषा के अनुसार,$P(E_1 \mid E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)}$,इसलिए $\frac{1}{4} = \frac{1/8}{P(E_2)}$।
इससे $P(E_2) = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
हमें $P(\bar{E}_1 \mid E_2)$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$P(\bar{E}_1 \mid E_2) = 1 - P(E_1 \mid E_2)$।
दिए गए मान को रखने पर,$P(\bar{E}_1 \mid E_2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।

(A) लड़कियों की कुल संख्या $= 30$ है।
दिया गया है कि $40 \%$ लड़कियाँ गणित में अच्छी हैं।
गणित में अच्छी लड़कियों की संख्या $= \frac{40}{100} \times 30 = 12$.
गणित में अच्छी न होने वाली लड़कियों की संख्या $= 30 - 12 = 18$.
चूंकि चुना गया छात्र पहले से ही एक लड़की है,इसलिए हम केवल लड़कियों के प्रतिदर्श समष्टि (sample space) पर विचार करेंगे।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{गणित में अच्छी न होने वाली लड़कियों की संख्या}}{\text{लड़कियों की कुल संख्या}} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$.

(B) मान लीजिए $B$ वह घटना है कि बिल टारगेट को हिट करता है और $G$ वह घटना है कि जॉर्ज टारगेट को हिट करता है।
दिया गया है $P(B) = 0.7$ और $P(G) = 0.4$।
बिल के चूकने की प्रायिकता $P(B') = 1 - 0.7 = 0.3$ है।
जॉर्ज के चूकने की प्रायिकता $P(G') = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,ठीक एक गोली टारगेट को लगने की प्रायिकता दो परस्पर अनन्य मामलों का योग है: (बिल हिट करे और जॉर्ज चूक जाए) या (बिल चूक जाए और जॉर्ज हिट करे)।
$P(\text{ठीक एक हिट}) = P(B \cap G') + P(B' \cap G) = P(B)P(G') + P(B')P(G)$
$= (0.7 \times 0.6) + (0.3 \times 0.4) = 0.42 + 0.12 = 0.54$।
हमें वह सशर्त प्रायिकता ज्ञात करनी है कि वह जॉर्ज की गोली थी,यह देखते हुए कि ठीक एक हिट हुआ है।
$P(G \text{ हिट} | \text{ठीक एक हिट}) = \frac{P(B' \cap G)}{P(\text{ठीक एक हिट})} = \frac{0.12}{0.54} = \frac{12}{54} = \frac{2}{9}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।