सिद्ध कीजिए कि यदि $E$ और $F$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,तो $E$ और $F^{\prime}$ भी स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
(N/A) चूँकि $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं,हमारे पास है:
$P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$ ......... $(1)$
वेन आरेख से यह स्पष्ट है कि $E \cap F$ और $E \cap F^{\prime}$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं और $E = (E \cap F) \cup (E \cap F^{\prime})$ है।
इसलिए,$P(E) = P(E \cap F) + P(E \cap F^{\prime})$.
या,$P(E \cap F^{\prime}) = P(E) - P(E \cap F)$.
$(1)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$P(E \cap F^{\prime}) = P(E) - P(E) \cdot P(F)$
$= P(E) \cdot (1 - P(F))$
$= P(E) \cdot P(F^{\prime})$
अतः,$E$ और $F^{\prime}$ स्वतंत्र हैं।
$P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$ ......... $(1)$
वेन आरेख से यह स्पष्ट है कि $E \cap F$ और $E \cap F^{\prime}$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं और $E = (E \cap F) \cup (E \cap F^{\prime})$ है।
इसलिए,$P(E) = P(E \cap F) + P(E \cap F^{\prime})$.
या,$P(E \cap F^{\prime}) = P(E) - P(E \cap F)$.
$(1)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$P(E \cap F^{\prime}) = P(E) - P(E) \cdot P(F)$
$= P(E) \cdot (1 - P(F))$
$= P(E) \cdot P(F^{\prime})$
अतः,$E$ और $F^{\prime}$ स्वतंत्र हैं।
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