Conditional probability Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $A$ और $B^c$ भी स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
$P(B) = \frac{2}{7} \implies P(B^c) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B^c) = P(A) + P(B^c) - P(A \cap B^c)$.
चूँकि $A$ और $B^c$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B^c) = P(A) \cdot P(B^c)$.
मान रखने पर:
$0.8 = P(A) + \frac{5}{7} - P(A) \cdot \frac{5}{7}$.
$0.8 - \frac{5}{7} = P(A) \cdot (1 - \frac{5}{7})$.
$\frac{5.6 - 5}{7} = P(A) \cdot \frac{2}{7}$.
$0.6 = 2 \cdot P(A)$.
$P(A) = 0.3$.

(A) हम जानते हैं कि सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(A \cap B) = P(B \mid A) \times P(A) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
अब,$P(A \mid B)$ के लिए सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
$P(B)$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$P(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A \mid B)}$.
मानों को रखने पर,$P(B) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{3}$.

(A) मान लीजिए $H$ चित आने की घटना है और $T$ पट आने की घटना है। प्रयोग तब रुकता है जब चित आता है या तीन उछाल पूरे हो जाते हैं।
प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि $S = \{H, TH, TTH, TTT\}$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पहले उछाल में चित नहीं आता है। इसका अर्थ है कि पहला उछाल पट $(T)$ है।
घटना $A$ के संगत परिणाम $\{TH, TTH, TTT\}$ हैं।
प्रायिकता $P(A) = P(T) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। घटना $B$ के संगत परिणाम $\{TTH, TTT\}$ हैं।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उस घटना को दर्शाता है कि पहला उछाल पट है और सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। यह परिणामों $\{TTH, TTT\}$ के संगत है।
$P(A \cap B) = P(TTH) + P(TTT) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A)$ ज्ञात करनी है:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$।

(C) एक यादृच्छिक चर के लिए प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
दिया गया है कि $P(X=r) = K r^3$,जहाँ $r \in \{1, 2, 3, 4\}$ है।
अतः,$K(1^3) + K(2^3) + K(3^3) + K(4^3) = 1$.
$K(1 + 8 + 27 + 64) = 1 \Rightarrow 100K = 1 \Rightarrow K = \frac{1}{100}$.
हमें $P\left(\left.\frac{1}{2} < X < \frac{5}{2} \right\rvert X > 1\right)$ ज्ञात करना है।
यह $P(X=2 \mid X \in \{2, 3, 4\})$ के बराबर है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
यहाँ $A = \{X=2\}$ और $B = \{X=2, 3, 4\}$ है।
$P(A \cap B) = P(X=2) = 8K$.
$P(B) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 8K + 27K + 64K = 99K$.
अतः,$P(A \mid B) = \frac{8K}{99K} = \frac{8}{99}$.
इसलिए,$K = \frac{1}{100}$ और सप्रतिबंध प्रायिकता $\frac{8}{99}$ है।

(A) दो पासों का योग जो अभाज्य संख्या है,वे $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ में ऐसे जोड़े $(x, y)$ हैं जहाँ $x+y$ अभाज्य है:
योग $= 2: (1, 1)$
योग $= 3: (1, 2), (2, 1)$
योग $= 5: (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$
योग $= 7: (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)$
योग $= 11: (5, 6), (6, 5)$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
हमें वह प्रायिकता चाहिए जिसमें कम से कम एक संख्या $3$ का गुणज (अर्थात $3$ या $6$) हो।
अनुकूल परिणाम हैं: $(2, 3), (3, 2), (1, 6), (6, 1), (3, 4), (4, 3), (5, 6), (6, 5)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 8$.
अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{8}{15}$.

(B) दिया गया है $P(A / B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3}{10} \implies P(A \cap B) = \frac{3}{10} P(B)$.
$P(B / A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{4}{5} \implies P(A) = \frac{5}{4} P(A \cap B) = \frac{5}{4} \times \frac{3}{10} P(B) = \frac{3}{8} P(B)$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिया है $P(A \cup B) = K P(B)$,इसलिए $K P(B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(B)$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $K = \frac{P(A)}{P(B)} + 1 - \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
मान रखने पर: $K = \frac{3}{8} + 1 - \frac{3}{10}$.
$K = \frac{15 + 40 - 12}{40} = \frac{43}{40}$.
अतः,$\frac{1}{K} = \frac{40}{43}$.

(C) माना $E$ विज्ञान की पुस्तक चुनने की घटना है।
माना $A$ समूह $A$ से पुस्तक चुनने की घटना है,और $B$ समूह $B$ से पुस्तक चुनने की घटना है।
पासे पर $2$ या $5$ आने की प्रायिकता $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
$2$ या $5$ न आने की प्रायिकता $P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
समूह $A$ में $8$ विज्ञान और $5$ इंजीनियरिंग की पुस्तकें हैं,कुल $13$ पुस्तकें हैं। अतः,$P(E|A) = \frac{8}{13}$।
समूह $B$ में $6$ विज्ञान और $7$ इंजीनियरिंग की पुस्तकें हैं,कुल $13$ पुस्तकें हैं। अतः,$P(E|B) = \frac{6}{13}$।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(E) = P(A) \times P(E|A) + P(B) \times P(E|B)$
$P(E) = \frac{1}{3} \times \frac{8}{13} + \frac{2}{3} \times \frac{6}{13}$
$P(E) = \frac{8}{39} + \frac{12}{39} = \frac{20}{39}$

(B) माना $S = \{1, 2, \ldots, 100\}$ है। कुल अवयवों की संख्या $100$ है।
माना $A$ वह घटना है कि संख्या $2$ से विभाज्य है। $A$ के अवयव $\{2, 4, 6, \ldots, 100\}$ हैं। $A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 50$ है।
माना $B$ वह घटना है कि संख्या $3$ या $5$ से विभाज्य है। हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ ज्ञात करनी है।
$A \cap B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जो $\{1, 2, \ldots, 100\}$ में हैं और $2$ से विभाज्य हैं तथा ($3$ से विभाज्य हैं या $5$ से विभाज्य हैं)।
इसका अर्थ है कि संख्याएँ $6$ या $10$ से विभाज्य हैं।
$100$ तक $6$ से विभाज्य संख्याएँ: $\lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$ हैं।
$100$ तक $10$ से विभाज्य संख्याएँ: $\lfloor \frac{100}{10} \rfloor = 10$ हैं।
$6$ और $10$ दोनों से विभाज्य संख्याएँ (अर्थात $30$ से विभाज्य): $\lfloor \frac{100}{30} \rfloor = 3$ हैं।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$n(A \cap B) = 16 + 10 - 3 = 23$ है।
अतः अभीष्ट प्रायिकता $\frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{23}{50}$ है।

(B) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि दो पासों पर आने वाली संख्याओं का योग $6$ है। $A$ के लिए संभावित परिणाम हैं: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$।
अतः,$A$ में परिणामों की संख्या $n(A) = 5$ है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि संख्या $1$ कम से कम एक बार आती है।
हम सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A)$ ज्ञात कर रहे हैं,जिसे $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उन परिणामों को दर्शाता है जहाँ योग $6$ है और संख्या $1$ कम से कम एक बार आती है। ये परिणाम हैं: $(1, 5)$ और $(5, 1)$।
अतः,$n(A \cap B) = 2$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $P(B|A) = \frac{2}{5}$ है।

(A) दिया गया है कि,$P(A)=\frac{1}{3}$,$P(A \cap B)=\frac{1}{5}$,$P(A \cup B)=\frac{3}{5}$ है।
हम जानते हैं कि,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ है।
मान रखने पर: $\frac{3}{5} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{5}$ है।
$P(B) = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = \frac{9+3-5}{15} = \frac{7}{15}$ है।
अब,वस्तुओं का मिलान करने पर:
$A$. $P(\frac{A}{B}) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/5}{7/15} = \frac{3}{7}$ ($(v)$ से मेल खाता है)।
$B$. $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$ ($(iii)$ से मेल खाता है)।
$C$. $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$ ($(i)$ से मेल खाता है)।
$D$. $P(B \cap \bar{A}) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{7}{15} - \frac{1}{5} = \frac{4}{15}$ ($(ii)$ से मेल खाता है)।
अतः,सही मिलान है: $A-(v), B-(iii), C-(i), D-(ii)$।

(A) दिया गया है: $P(A | B) = 0.6$,$P(B | A) = 0.3$ और $P(A) = 0.1$.
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
मान रखने पर: $0.3 = \frac{P(A \cap B)}{0.1} \implies P(A \cap B) = 0.03$.
अब,$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
मान रखने पर: $0.6 = \frac{0.03}{P(B)} \implies P(B) = \frac{0.03}{0.6} = 0.05$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
योग नियम का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 0.1 + 0.05 - 0.03 = 0.12$.
अतः,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.12 = 0.88$.

(A) मान लीजिए $S$ सफलता (उत्तीर्ण) और $F$ असफलता (अनुत्तीर्ण) को दर्शाता है। पहली परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $P(S_1) = p$ है,इसलिए $P(F_1) = 1-p$ है।
बाद की परीक्षाओं के लिए,$P(S_{n+1} | S_n) = p$ और $P(S_{n+1} | F_n) = \frac{p}{2}$ है।
उम्मीदवार का चयन तब होता है यदि वह कम से कम दो परीक्षाएं उत्तीर्ण करता है। संभावित परिणाम $(S, S, S), (S, S, F), (S, F, S), (F, S, S)$ हैं।
$P(S, S, S) = p \times p \times p = p^3$.
$P(S, S, F) = p \times p \times (1-p) = p^2(1-p)$.
$P(S, F, S) = p \times (1-p) \times \frac{p}{2} = \frac{p^2(1-p)}{2}$.
$P(F, S, S) = (1-p) \times \frac{p}{2} \times p = \frac{p^2(1-p)}{2}$.
कुल प्रायिकता: $p^3 + p^2(1-p) + p^2(1-p) = p^3 + 2p^2 - 2p^3 = 2p^2 - p^3 = p^2(2-p)$.

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = 0$.
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid \bar{B}) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$.
चूँकि $A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$,इसलिए $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
अतः,$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - 0 = P(A)$.
साथ ही,$P(\bar{B}) = 1 - P(B)$.
इसलिए,$P(A \mid \bar{B}) = \frac{P(A)}{1 - P(B)}$.

(C) दिया गया है: $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(A \cap B) = \frac{1}{4}$.
सबसे पहले,हम $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{1/3} = \frac{3}{4}$ ज्ञात करते हैं।
इसके बाद,$P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$ ज्ञात करते हैं।
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{6+4-3}{12} = \frac{7}{12}$.
अतः,$P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.
साथ ही,$P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
तब,$P(A^c|B^c) = \frac{P(A^c \cap B^c)}{P(B^c)} = \frac{5/12}{2/3} = \frac{5}{12} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{8}$.
अंत में,$P(A^c|B^c) + P(A|B) = \frac{5}{8} + \frac{3}{4} = \frac{5+6}{8} = \frac{11}{8}$.

(C) कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए घटनाएं $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।
घटना $A$ पहले ड्रा में फेस कार्ड निकालने की घटना है। एक डेक में $12$ फेस कार्ड होते हैं ($4$ गुलाम,$4$ बेगम,$4$ बादशाह)।
अतः,$P(A) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$।
घटना $B$ दूसरे ड्रा में चिड़ी का पत्ता निकालने की घटना है। एक डेक में $13$ चिड़ी के पत्ते होते हैं।
अतः,$P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(B|A) = P(B) = \frac{1}{4}$।
हमें $P(\overline{B}|A)$ ज्ञात करना है।
पूरक घटनाओं के गुण का उपयोग करते हुए,$P(\overline{B}|A) = 1 - P(B|A)$।
$P(\overline{B}|A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) मान लीजिए $W_P, R_P, B_P$ थैली $P$ से क्रमशः सफेद,लाल या नीली गेंद निकालने की घटनाएँ हैं।
थैली $P$ में $3+2+5 = 10$ गेंदें हैं। अतः,$P(W_P) = \frac{3}{10}, P(R_P) = \frac{2}{10}, P(B_P) = \frac{5}{10}$.
एक गेंद को थैली $Q$ में स्थानांतरित करने के बाद,थैली $Q$ में $10+1 = 11$ गेंदें होंगी।
यदि एक सफेद गेंद स्थानांतरित की जाती है,तो थैली $Q$ में $3$ सफेद,$3$ लाल,$5$ नीली गेंदें होंगी। $P(R|W_P) = \frac{3}{11}$.
यदि एक लाल गेंद स्थानांतरित की जाती है,तो थैली $Q$ में $2$ सफेद,$4$ लाल,$5$ नीली गेंदें होंगी। $P(R|R_P) = \frac{4}{11}$.
यदि एक नीली गेंद स्थानांतरित की जाती है,तो थैली $Q$ में $2$ सफेद,$3$ लाल,$6$ नीली गेंदें होंगी। $P(R|B_P) = \frac{3}{11}$.
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(R) = P(W_P) \times P(R|W_P) + P(R_P) \times P(R|R_P) + P(B_P) \times P(R|B_P)$
$P(R) = \frac{3}{10} \times \frac{3}{11} + \frac{2}{10} \times \frac{4}{11} + \frac{5}{10} \times \frac{3}{11}$
$P(R) = \frac{9}{110} + \frac{8}{110} + \frac{15}{110} = \frac{32}{110} = \frac{16}{55}$.

(C) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि योग $3$ का गुणज है,अतः $A = \{3, 6, 9, 12\}$।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि योग एक विषम संख्या है,अतः $B = \{3, 5, 7, 9, 11\}$।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$ ज्ञात करनी है।
योग के $3$ का गुणज और विषम दोनों होने के लिए,योग $3$ या $9$ होना चाहिए।
$(x, y)$ के ऐसे जोड़े जिनका योग $x+y = 3$ है,वे $(1, 2)$ और $(2, 1)$ हैं।
$(x, y)$ के ऐसे जोड़े जिनका योग $x+y = 9$ है,वे $(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)$ हैं।
अतः,$A \cap B = \{(1, 2), (2, 1), (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)\}$ और $n(A \cap B) = 6$।
कुल परिणामों की संख्या जहाँ योग विषम है $(B)$ वह $18$ है (क्योंकि $36$ परिणामों में से ठीक आधे परिणामों का योग विषम होता है)।
इसलिए,$P(A|B) = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$।

(A) स्थिति $1$: प्रतिस्थापन के साथ।
$p_1 = P(\text{पहला रानी}) \times P(\text{दूसरा ईंट}) = \frac{4}{52} \times \frac{13}{52} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{52}$.
स्थिति $2$: प्रतिस्थापन के बिना।
माना $Q_1$ पहली बार रानी आने की घटना है और $D_2$ दूसरी बार ईंट का पत्ता आने की घटना है।
यदि पहला पत्ता ईंट की रानी है,तो $P(Q_1 \cap D_2) = \frac{1}{52} \times \frac{12}{51}$.
यदि पहला पत्ता ईंट की रानी के अलावा कोई अन्य रानी है,तो $P(Q_1 \cap D_2) = \frac{3}{52} \times \frac{13}{51}$.
$p_2 = \frac{1 \times 12 + 3 \times 13}{52 \times 51} = \frac{12 + 39}{52 \times 51} = \frac{51}{52 \times 51} = \frac{1}{52}$.
अतः,$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1/52}{1/52} = 1$.

(C) समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \ldots, 13\}$ है। इसमें $7$ विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\}$ और $6$ सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ हैं।
माना $E$ वह घटना है कि चुनी गई दो संख्याओं का योग सम है। यह तब होता है जब दोनों संख्याएँ विषम हों या दोनों संख्याएँ सम हों।
दो विषम संख्याएँ चुनने के तरीके = $^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$.
दो सम संख्याएँ चुनने के तरीके = $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$.
योग के सम होने के कुल तरीके = $21 + 15 = 36$.
माना $A$ वह घटना है कि दोनों संख्याएँ विषम हैं। हमें $P(A|E) = \frac{n(A \cap E)}{n(E)}$ ज्ञात करना है।
चूँकि $A \cap E$ वह घटना है कि दोनों संख्याएँ विषम हैं,$n(A \cap E) = 21$.
अतः,$P(A|E) = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$.

(C) हमारे पास है,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \cdot P(E_2 | E_1)$.
$\therefore P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$.
अब,$P(E_1 | E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)}$.
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1/12}{P(E_2)}$.
$\Rightarrow P(E_2) = \frac{1}{12} \times 2 = \frac{1}{6}$.
$\therefore P(\bar{E}_2) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
अब,$P(E_1 | \bar{E}_2) = \frac{P(E_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{P(E_1) - P(E_1 \cap E_2)}{P(\bar{E}_2)}$.
$= \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{\frac{3-1}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{\frac{2}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{1}{6} \times \frac{6}{5} = \frac{1}{5}$.

(B) दिया गया है कि $P(A) = \frac{4}{9}$ और $P(A \cap \bar{B}) = \frac{3}{7}$ है।
हम जानते हैं कि $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$ होता है।
इसलिए,$P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap \bar{B})$.
मान रखने पर,$P(A \cap B) = \frac{4}{9} - \frac{3}{7} = \frac{28 - 27}{63} = \frac{1}{63}$.
अब,सप्रतिबंध प्रायिकता $P\left(\frac{B}{A}\right)$ की परिभाषा के अनुसार $P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
मान रखने पर,$P\left(\frac{B}{A}\right) = \frac{\frac{1}{63}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{63} \times \frac{9}{4} = \frac{1}{7 \times 4} = \frac{1}{28}$.

(C) दिया गया है: $P(X)=\frac{1}{3}$,$P(X|Y)=\frac{1}{2}$,और $P(Y|X)=\frac{2}{5}$।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$P(Y|X) = \frac{P(X \cap Y)}{P(X)}$।
अतः,$P(X \cap Y) = P(Y|X) \times P(X) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$।
अब,$P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\frac{1}{2} = \frac{2/15}{P(Y)}$।
इसका अर्थ है $P(Y) = 2 \times \frac{2}{15} = \frac{4}{15}$।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) कुल आम $= 10$. अच्छे आम $= 6$. खराब आम $= 4$.
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि कम से कम एक आम अच्छा है,और $F$ वह घटना है कि दोनों आम अच्छे हैं।
$10$ में से $2$ आम चुनने के तरीकों की संख्या $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ है।
$2$ खराब आम चुनने के तरीकों की संख्या $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ है।
कम से कम एक अच्छा आम चुनने के तरीकों की संख्या $45 - 6 = 39$ है। अतः,$P(E) = \frac{39}{45}$.
$2$ अच्छे आम चुनने के तरीकों की संख्या $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ है। अतः,$P(F) = \frac{15}{45}$.
चूंकि $F \subset E$,$P(E \cap F) = P(F) = \frac{15}{45}$.
यह ज्ञात होने पर कि एक आम अच्छा है,दूसरे के भी अच्छे होने की सप्रतिबंध प्रायिकता $P(F|E) = \frac{P(F \cap E)}{P(E)} = \frac{15/45}{39/45} = \frac{15}{39} = \frac{5}{13}$ है।

(A) मान लीजिए $X$ वह घटना है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $9$ से अधिक है।
मान लीजिए $Y$ वह घटना है कि पासे $B$ पर संख्या $5$ है।
घटना $Y$ के लिए प्रतिदर्श समष्टि $\{(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)\}$ है। अतः,$n(Y) = 6$.
घटना $X \cap Y$ उन परिणामों को दर्शाती है जहाँ पासे $B$ पर संख्या $5$ है और योग $9$ से अधिक है।
$X \cap Y$ के लिए संभावित परिणाम $\{(5,5), (6,5)\}$ हैं। अतः,$n(X \cap Y) = 2$.
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(X|Y) = \frac{n(X \cap Y)}{n(Y)}$ द्वारा दी जाती है।
$P(X|Y) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(C) दिया गया है $P(\bar{A})=0.3$,इसलिए $P(A)=1-0.3=0.7$.
दिया गया है $P(B)=0.4$,इसलिए $P(\bar{B})=1-0.4=0.6$.
हम जानते हैं कि $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5$.
$P(A)=0.7$ रखने पर,हमें $0.7 - P(A \cap B) = 0.5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $P(A \cap B) = 0.2$.
अब,हमें $P(B \mid A \cup \bar{B}) = \frac{P(B \cap (A \cup \bar{B}))}{P(A \cup \bar{B})}$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,हर की गणना करें: $P(A \cup \bar{B}) = P(A) + P(\bar{B}) - P(A \cap \bar{B}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
अगला,अंश की गणना करें: $P(B \cap (A \cup \bar{B})) = P((B \cap A) \cup (B \cap \bar{B})) = P((B \cap A) \cup \emptyset) = P(A \cap B) = 0.2$.
अतः,$P(B \mid A \cup \bar{B}) = \frac{0.2}{0.8} = 0.25$.

(A) माना $A$ वह घटना है कि उड़ान समय पर रवाना होती है और $B$ वह घटना है कि उड़ान समय पर पहुँचती है।
दी गई प्रायिकताएँ हैं:
$P(A) = 80 \% = 0.80$
$P(B) = 70 \% = 0.70$
$P(A \cap B) = 65 \% = 0.65$
हमें वह सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात करनी है कि उड़ान समय पर पहुँचती है,यह देखते हुए कि वह समय पर रवाना हुई है,जो $P(B|A)$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
मान रखने पर:
$P(B|A) = \frac{0.65}{0.80} = \frac{65}{80} = \frac{13}{16}$
अतः,प्रायिकता $\frac{13}{16}$ है।

(A) मान लीजिए $G$ एक अच्छी वस्तु को और $B$ एक खराब वस्तु को दर्शाता है। कुल वस्तुएं $= n + m$.
हम बिना प्रतिस्थापन के क्रमिक रूप से $2$ वस्तुएं चुन रहे हैं।
दूसरी वस्तु के खराब होने के दो परस्पर अनन्य मामले हैं:
$1$. पहली वस्तु खराब है और दूसरी वस्तु खराब है $(B_1 \cap B_2)$.
$2$. पहली वस्तु अच्छी है और दूसरी वस्तु खराब है $(G_1 \cap B_2)$.
प्रायिकता इस प्रकार है:
$P(B_2) = P(B_1 \cap B_2) + P(G_1 \cap B_2)$
$P(B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2|B_1) + P(G_1) \cdot P(B_2|G_1)$
$P(B_2) = \left( \frac{m}{n+m} \right) \cdot \left( \frac{m-1}{n+m-1} \right) + \left( \frac{n}{n+m} \right) \cdot \left( \frac{m}{n+m-1} \right)$
$P(B_2) = \frac{m(m-1) + nm}{(n+m)(n+m-1)}$
$P(B_2) = \frac{m^2 - m + nm}{(n+m)(n+m-1)}$
$P(B_2) = \frac{m(m + n - 1)}{(n+m)(n+m-1)}$
$P(B_2) = \frac{m}{n+m}$

(C) दिया गया है कि,$P(E) = 1/5$ और $P(F|E) = 1/10$.
हम जानते हैं कि दोनों घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F|E)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $P(E \cap F) = (1/5) \cdot (1/10) = 1/50$ प्राप्त होता है।
घटनाओं $E$ और $F$ में से कम से कम एक के घटित न होने की प्रायिकता,उस घटना की पूरक घटना है जिसमें $E$ और $F$ दोनों घटित होते हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - P(E \cap F)$ है।
इसकी गणना करने पर,हमें $1 - 1/50 = 49/50$ प्राप्त होता है।

(B) एक ही सूट से $2$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $4$ सूट में से एक सूट चुनकर और उस सूट के $13$ पत्तों में से $2$ पत्ते चुनकर प्राप्त होते हैं। कुल तरीके $= 4 \times \binom{13}{2} = 4 \times \frac{13 \times 12}{2} = 312$.
वैकल्पिक रूप से,चूंकि शर्त यह है कि पत्ते एक ही सूट के हैं,हम उस प्रतिदर्श समष्टि (sample space) पर विचार करते हैं जहाँ दोनों पत्ते एक ही सूट के हों। $4$ सूट हैं,और प्रत्येक सूट के लिए $2$ पत्ते चुनने के $\binom{13}{2} = 78$ तरीके हैं। कुल परिणाम $= 4 \times 78 = 312$.
प्रत्येक सूट में,अभाज्य संख्या वाले कार्ड ${2, 3, 5, 7}$ (कुल $4$ कार्ड) हैं और फेस कार्ड ${J, Q, K}$ (कुल $3$ कार्ड) हैं।
हमें एक ही सूट से एक फेस कार्ड और एक अभाज्य संख्या वाला कार्ड चाहिए।
एक विशिष्ट सूट के लिए,एक फेस कार्ड और एक अभाज्य कार्ड चुनने के तरीके $3 \times 4 = 12$ हैं।
चूंकि $4$ सूट हैं,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $4 \times (3 \times 4) = 48$ है।
हालाँकि,प्रश्न यह दर्शाता है कि प्रायिकता उस स्थिति में निकालनी है जब वे एक ही सूट के हों।
यह देखते हुए कि पत्ते एक ही सूट के हैं,$2$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $\binom{13}{2} = 78$ हैं।
एक फेस कार्ड ($3$ विकल्प) और एक अभाज्य कार्ड ($4$ विकल्प) चुनने के तरीके $3 \times 4 = 12$ हैं।
चूंकि क्रम मायने नहीं रखता,हमारे पास $12$ तरीके हैं।
प्रायिकता $= \frac{12}{78} = \frac{2}{13}$.

(D) स्थिति $I$: पात्र $A$ से पात्र $B$ में एक सफेद गेंद स्थानांतरित की जाती है।
पात्र $A$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(W_1) = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}$ है।
स्थानांतरण के बाद,पात्र $B$ में $7$ सफेद और $8$ काली गेंदें हैं।
पात्र $B$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(W_2|W_1) = \frac{7}{7+8} = \frac{7}{15}$ है।
इस स्थिति की प्रायिकता $= P(W_1) \times P(W_2|W_1) = \frac{3}{8} \times \frac{7}{15} = \frac{21}{120} = \frac{7}{40}$ है।
स्थिति $II$: पात्र $A$ से पात्र $B$ में एक काली गेंद स्थानांतरित की जाती है।
पात्र $A$ से काली गेंद चुनने की प्रायिकता $P(B_1) = \frac{5}{3+5} = \frac{5}{8}$ है।
स्थानांतरण के बाद,पात्र $B$ में $6$ सफेद और $9$ काली गेंदें हैं।
पात्र $B$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(W_2|B_1) = \frac{6}{6+9} = \frac{6}{15}$ है।
इस स्थिति की प्रायिकता $= P(B_1) \times P(W_2|B_1) = \frac{5}{8} \times \frac{6}{15} = \frac{30}{120} = \frac{10}{40}$ है।
कुल प्रायिकता $= \frac{7}{40} + \frac{10}{40} = \frac{17}{40}$ है।

(B) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः थैले $B_1, B_2, B_3$ चुनने की घटनाएँ हैं।
थैले चुनने की प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(E_1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (परिणाम $2, 3, 5$ के लिए)
$P(E_2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ (परिणाम $4, 6$ के लिए)
$P(E_3) = \frac{1}{6}$ (परिणाम $1$ के लिए)
मान लीजिए $G$ हरी गेंद निकालने की घटना है। सशर्त प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(G|E_1) = \frac{3}{2+3+2} = \frac{3}{7}$
$P(G|E_2) = \frac{2}{3+2+2} = \frac{2}{7}$
$P(G|E_3) = \frac{2}{2+2+3} = \frac{2}{7}$
संपूर्ण प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(G) = P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2) + P(E_3)P(G|E_3)$
$P(G) = \left(\frac{3}{6} \times \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{2}{6} \times \frac{2}{7}\right) + \left(\frac{1}{6} \times \frac{2}{7}\right)$
$P(G) = \frac{9}{42} + \frac{4}{42} + \frac{2}{42} = \frac{15}{42} = \frac{5}{14}$

(A) दिया गया है: $P(A)=\frac{1}{4}$,$P(A|B)=\frac{1}{4}$,$P(B|A)=\frac{1}{2}$।
हम जानते हैं कि $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{4} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{4}P(B)$।
साथ ही $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{2}P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{1}{4}P(B) = \frac{1}{8} \implies P(B) = \frac{1}{2}$।
$(I)$ $P(\bar{A}|\bar{B}) = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{1-P(A \cup B)}{1-P(B)} = \frac{1-[P(A)+P(B)-P(A \cap B)]}{1-P(B)} = \frac{1-[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}]}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1-\frac{5}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{3/8}{1/2} = \frac{3}{4}$। कथन $(I)$ सही है।
$(II)$ चूंकि $P(A \cap B) = \frac{1}{8} \neq 0$,$A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं। कथन $(II)$ गलत है।
$(III)$ $P(A|B)+P(A|\bar{B}) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} + \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{1/8}{1/2} + \frac{P(A)-P(A \cap B)}{1-P(B)} = \frac{1}{4} + \frac{1/4-1/8}{1/2} = \frac{1}{4} + \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \neq 1$। कथन $(III)$ गलत है।
अतः,केवल $(I)$ सही है।

(B) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि योग $7$ है और $E_2$ वह घटना है कि योग $11$ है।
दो पासों को उछालने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
योग $7$ के लिए परिणाम $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ हैं,इसलिए $P(E_1) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
योग $11$ के लिए परिणाम $(5,6), (6,5)$ हैं,इसलिए $P(E_2) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ है।
हमें उस घटना में रुचि है कि $E_2$ से पहले $E_1$ घटित हो। इसका मतलब है कि किसी भी प्रयास में,हम उन परिणामों को अनदेखा करते हैं जहाँ योग न तो $7$ है और न ही $11$ है।
$7$ या $11$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) = \frac{6}{36} + \frac{2}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ है।
यह देखते हुए कि योग $7$ या $11$ है,योग $7$ होने की सशर्त प्रायिकता $P(E_1 | E_1 \cup E_2) = \frac{P(E_1)}{P(E_1) + P(E_2)} = \frac{6/36}{8/36} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ है।
अतः,$11$ से पहले $7$ आने की प्रायिकता $\frac{3}{4}$ है।

(C) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि दो पासों पर संख्याओं का योग $4$ का गुणज है। संभावित योग $4, 8, 12$ हैं।
घटना $A$ के लिए परिणाम हैं: $(1, 3), (3, 1), (2, 2), (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4), (6, 6)$।
घटना $A$ में परिणामों की कुल संख्या $n(A) = 9$ है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि संख्या $4$ पासों पर कम से कम एक बार आती है।
हमें सशर्त प्रायिकता $p = P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ ज्ञात करनी है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में वे परिणाम शामिल हैं जहाँ योग $4$ का गुणज है और संख्या $4$ कम से कम एक बार आती है।
समुच्चय $A$ से,कम से कम एक बार $4$ आने वाले परिणाम हैं: $(4, 4)$।
अतः,$n(A \cap B) = 1$ है।
इसलिए,$p = P(B|A) = \frac{1}{9}$ है।
अंत में,हम $3p + 2 = 3 \times \frac{1}{9} + 2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$ की गणना करते हैं।

(A) दिया गया है: $P(A^{C}) = 0.3 \implies P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
$P(B) = 0.4 \implies P(B^{C}) = 1 - 0.4 = 0.6$.
$P(A \cap B^{C}) = 0.5$.
हम जानते हैं कि $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^{C})$,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap B^{C}) = 0.7 - 0.5 = 0.2$.
हमें $P(B \mid A \cup B^{C}) = \frac{P(B \cap (A \cup B^{C}))}{P(A \cup B^{C})}$ ज्ञात करना है।
अंश: $P(B \cap (A \cup B^{C})) = P((B \cap A) \cup (B \cap B^{C})) = P(A \cap B) = 0.2$.
हर: $P(A \cup B^{C}) = P(A) + P(B^{C}) - P(A \cap B^{C}) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
अतः,$P(B \mid A \cup B^{C}) = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4}$.

(D) हमें दिया गया है कि दो पूर्णांक $r$ और $s$ को समुच्चय $\{1, 2, \ldots, n\}$ से बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(r \leq k \mid s \leq k)$ ज्ञात करनी है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(r \leq k \mid s \leq k) = \frac{P(r \leq k \cap s \leq k)}{P(s \leq k)}$.
सबसे पहले,$s \leq k$ होने की प्रायिकता $P(s \leq k) = \frac{k}{n}$ है।
इसके बाद,$r \leq k$ और $s \leq k$ दोनों होने की प्रायिकता समुच्चय $\{1, 2, \ldots, k\}$ से दो अलग-अलग पूर्णांक चुनने की प्रायिकता है,जो कुल समुच्चय $\{1, 2, \ldots, n\}$ से दो अलग-अलग पूर्णांक चुनने के कुल तरीकों के सापेक्ष है।
अतः,$P(r \leq k \cap s \leq k) = \frac{k(k-1)}{n(n-1)}$.
इसलिए,सप्रतिबंध प्रायिकता $P(r \leq k \mid s \leq k) = \frac{\frac{k(k-1)}{n(n-1)}}{\frac{k}{n}} = \frac{k(k-1)}{n(n-1)} \times \frac{n}{k} = \frac{k-1}{n-1}$ है।

(B) मान लीजिए $F$ वह घटना है कि चुना गया व्यक्ति एक महिला है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि चुना गया व्यक्ति $40 \text{ yr}$ से अधिक आयु का है।
हमें दिया गया है:
महिलाओं की कुल संख्या $n(F) = 6$ है।
$40 \text{ yr}$ से अधिक आयु वाली महिलाओं की संख्या $n(A \cap F) = 3$ है।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|F)$ ज्ञात करनी है,जो कि यह प्रायिकता है कि व्यक्ति $40 \text{ yr}$ से अधिक आयु का है,यह देखते हुए कि वह एक महिला है।
सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(A|F) = \frac{n(A \cap F)}{n(F)}$ है।
मान रखने पर:
$P(A|F) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(C) दिया गया है कि $E$ और $F$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$ होगा।
सूत्र $P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$ का उपयोग करने पर:
$0.5 = 0.3 + P(F) - 0.3 \cdot P(F)$
$0.2 = 0.7 \cdot P(F)$
$P(F) = \frac{0.2}{0.7} = \frac{2}{7}$ प्राप्त होता है।
स्वतंत्र घटनाओं के लिए,$P(E|F) = P(E)$ और $P(F|E) = P(F)$ होता है।
अतः,$P(E|F) - P(F|E) = P(E) - P(F) = 0.3 - \frac{2}{7} = \frac{3}{10} - \frac{2}{7} = \frac{21 - 20}{70} = \frac{1}{70}$।

(B) मान लीजिए $W_B$ बैग $B$ से सफेद गेंद चुनने की घटना है,और $B_B$ बैग $B$ से काली गेंद चुनने की घटना है।
$P(W_B) = \frac{6}{6+4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$P(B_B) = \frac{4}{6+4} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
यदि एक सफेद गेंद बैग $A$ में स्थानांतरित की जाती है,तो बैग $A$ में अब $10$ सफेद और $8$ काली गेंदें (कुल $18$) हैं। बैग $A$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W_A | W_B) = \frac{10}{18}$ है।
यदि एक काली गेंद बैग $A$ में स्थानांतरित की जाती है,तो बैग $A$ में अब $9$ सफेद और $9$ काली गेंदें (कुल $18$) हैं। बैग $A$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W_A | B_B) = \frac{9}{18}$ है।
संपूर्ण प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(W_A) = P(W_B) \times P(W_A | W_B) + P(B_B) \times P(W_A | B_B)$
$P(W_A) = \frac{3}{5} \times \frac{10}{18} + \frac{2}{5} \times \frac{9}{18}$
$P(W_A) = \frac{30}{90} + \frac{18}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$
अतः,$p=8$ और $q=15$ है। चूँकि $gcd(8,15)=1$,इसलिए $p+q = 8+15 = 23$।

(B) चूँकि $E$ और $F$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए एक घटना का घटित होना दूसरी घटना की प्रायिकता को प्रभावित नहीं करता है। अतः,$E'$ और $F$ स्वतंत्र हैं,और $F'$ और $E$ भी स्वतंत्र हैं।
$P(E'/F) = P(E') = 1 - P(E) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
इसी प्रकार,$P(F'/E) = P(F') = 1 - P(F) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$.
अतः,$P(E'/F) + P(F'/E) = \frac{2}{5} + \frac{7}{10} = \frac{4}{10} + \frac{7}{10} = \frac{11}{10}$.

(A) हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{4} = \frac{3}{8} + \frac{5}{8} - P(A \cap B)$.
$\frac{3}{4} = 1 - P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cap B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
अब,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{5/8} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$ की गणना करें।
चूंकि $P(A'|B) = 1 - P(A|B)$,इसलिए $P(A'|B) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$P(A'|B) - P(A|B) = \frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$।

(A) दिया गया समीकरण $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A)$ है।
दोनों पक्षों से $P(A)$ घटाने पर,हमें $P(B) - P(A \cap B) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $P(B) = P(A \cap B)$।
यह समानता दर्शाती है कि $B \subseteq A$,अर्थात घटना $B$ के सभी परिणाम घटना $A$ के भीतर निहित हैं।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ होता है।
चूंकि $P(A \cap B) = P(B)$ है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$P(A|B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$ (यह मानते हुए कि $P(B) \neq 0$)।

(B) हम सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करते हैं: $P(A'|B') = \frac{P(A' \cap B')}{P(B')}$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A' \cap B' = (A \cup B)'$.
इसलिए,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$.
दिया गया है कि $P(A \cup B) = \frac{3}{11}$,इसलिए $P(A' \cap B') = 1 - \frac{3}{11} = \frac{8}{11}$.
साथ ही,$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{11} = \frac{9}{11}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P(A'|B') = \frac{8/11}{9/11} = \frac{8}{9}$.