Conditional probability Questions in Hindi

(A) माना $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ है। हम $S$ में से $3$ संख्याएँ चुनते हैं।
माना $A$ वह घटना है कि चुनी गई संख्याओं का अधिकतम मान $6$ है।
माना $B$ वह घटना है कि चुनी गई संख्याओं का न्यूनतम मान $3$ है।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ज्ञात करनी है।
घटना $A$ के लिए (अधिकतम $6$ है): संख्याएँ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ में से चुनी जानी चाहिए जिसमें $6$ शामिल हो। अन्य $2$ संख्याएँ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ में से चुनी जानी चाहिए।
$A$ के लिए तरीकों की संख्या = $\binom{5}{2} = 10$.
घटना $A \cap B$ के लिए (अधिकतम $6$ और न्यूनतम $3$ है): संख्याएँ $\{3, 4, 5, 6\}$ में से चुनी जानी चाहिए जिसमें $3$ और $6$ शामिल हों। शेष $1$ संख्या $\{4, 5\}$ में से चुनी जानी चाहिए।
$A \cap B$ के लिए तरीकों की संख्या = $\binom{2}{1} = 2$.
अतः,$P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

(D) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि चुने गए दो टिकटों पर अधिकतम संख्या $\le 10$ है। मान लीजिए $B$ वह घटना है कि चुने गए दो टिकटों पर न्यूनतम संख्या $5$ है। हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ ज्ञात करनी है।
सबसे पहले,हम $n(A)$ निर्धारित करते हैं,जो दो अलग-अलग टिकटों को चुनने के तरीके हैं ताकि दोनों $\le 10$ हों। $10$ में से $2$ टिकट चुनने के तरीके $\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ हैं।
इसके बाद,हम $n(A \cap B)$ निर्धारित करते हैं,जो दो टिकटों को चुनने के तरीके हैं ताकि अधिकतम $\le 10$ हो और न्यूनतम $5$ हो। इसका मतलब है कि एक टिकट $5$ होना चाहिए,और दूसरा टिकट $\{6, 7, 8, 9, 10\}$ सेट में होना चाहिए।
ऐसे $5$ जोड़े हैं: $(5, 6), (5, 7), (5, 8), (5, 9), (5, 10)$।
अतः,$n(A \cap B) = 5$ है।
इसलिए,आवश्यक प्रायिकता $P(B|A) = \frac{5}{45} = \frac{1}{9}$ है।
अतः,सही उत्तर $(D)$ इनमें से कोई नहीं है।

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(\overline{A} | B) = P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
चूँकि $P(\overline{A} | B) = \frac{2}{5}$ है,इसलिए $1 - P(A) = \frac{2}{5}$,जिसका अर्थ है $P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
दिया गया है $P(A) + P(B) = \frac{3}{4}$,इसमें $P(A) = \frac{3}{5}$ रखने पर,$\frac{3}{5} + P(B) = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(B) = \frac{3}{4} - \frac{3}{5} = \frac{15 - 12}{20} = \frac{3}{20}$.
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{20} = \frac{9}{100}$.

(B) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएँ हैं कि विराट क्रमशः $1^{st}, 2^{nd}, 3^{rd}$ मैच में 'मैन ऑफ द मैच' प्राप्त करता है।
दी गई प्रायिकताएँ: $P(E_1) = \frac{3}{7}, P(E_2) = \frac{2}{7}, P(E_3) = \frac{1}{7}$.
'मैन ऑफ द मैच' न मिलने की प्रायिकताएँ: $P(E_1^c) = \frac{4}{7}, P(E_2^c) = \frac{5}{7}, P(E_3^c) = \frac{6}{7}$.
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि विराट को ठीक एक मैच में 'मैन ऑफ द मैच' मिलता है।
$P(A) = P(E_1 \cap E_2^c \cap E_3^c) + P(E_1^c \cap E_2 \cap E_3^c) + P(E_1^c \cap E_2^c \cap E_3)$
$P(A) = (\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{6}{7}) + (\frac{4}{7} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{6}{7}) + (\frac{4}{7} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7}) = \frac{90 + 48 + 20}{343} = \frac{158}{343}$.
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E_3 | A) = \frac{P(E_1^c \cap E_2^c \cap E_3)}{P(A)}$ ज्ञात करनी है।
$P(E_3 | A) = \frac{20/343}{158/343} = \frac{20}{158} = \frac{10}{79}$.

(C) माना $E_i$ पासे पर $i$ आने की घटना है। प्रायिकता $P(E_i) = k \cdot i^2$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चूंकि $\sum_{i=1}^6 P(E_i) = 1$,इसलिए $k(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2) = 1$.
$k(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 1 \Rightarrow 91k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{91}$.
माना $A$ वह घटना है कि प्राप्त संख्या सम नहीं है। अतः $A = \{1, 3, 5\}$.
$P(A) = P(E_1) + P(E_3) + P(E_5) = k(1^2 + 3^2 + 5^2) = k(1 + 9 + 25) = 35k$.
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E_5 | A) = \frac{P(E_5 \cap A)}{P(A)}$ ज्ञात करनी है।
चूंकि $E_5 \subset A$,इसलिए $P(E_5 \cap A) = P(E_5) = 25k$.
अतः,$P(E_5 | A) = \frac{25k}{35k} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$.

(A) माना $H_1$ वह घटना है कि पहला पत्ता पान का है,$Q_2$ वह घटना है कि दूसरा पत्ता रानी है,और $K_3$ वह घटना है कि तीसरा पत्ता राजा है।
हमें $P(H_1 \cap Q_2 \cap K_3) = P(H_1) \times P(Q_2 | H_1) \times P(K_3 | H_1 \cap Q_2)$ ज्ञात करना है।
स्थिति $1$: पहला पत्ता पान की रानी है। $P(H_1) = \frac{1}{52}$. तब $P(Q_2 | H_1) = \frac{3}{51}$ और $P(K_3 | H_1 \cap Q_2) = \frac{4}{50}$. प्रायिकता $= \frac{1}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{4}{50} = \frac{12}{132600}$.
स्थिति $2$: पहला पत्ता पान का है लेकिन रानी नहीं है। $P(H_1) = \frac{12}{52}$. तब $P(Q_2 | H_1) = \frac{4}{51}$ और $P(K_3 | H_1 \cap Q_2) = \frac{4}{50}$. प्रायिकता $= \frac{12}{52} \times \frac{4}{51} \times \frac{4}{50} = \frac{192}{132600}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{12 + 192}{132600} = \frac{204}{132600} = \frac{1}{650}$.

(C) हमें $P[(\bar{A} \cap \bar{B})|C]$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P[(\bar{A} \cap \bar{B})|C] = \frac{P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C)}{P(C)}$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$.
अतः,$\bar{A} \cap \bar{B} \cap C = C \setminus ((A \cap C) \cup (B \cap C))$.
इसलिए,$P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C) = P(C) - P((A \cap C) \cup (B \cap C))$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$P((A \cap C) \cup (B \cap C)) = P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C)$.
चूंकि $A, B, C$ युग्मवार स्वतंत्र हैं,$P(A \cap C) = P(A)P(C)$ और $P(B \cap C) = P(B)P(C)$.
दिया गया है कि $P(A \cap B \cap C) = 0$,इसलिए $P((A \cap C) \cup (B \cap C)) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - 0 = P(C)(P(A) + P(B))$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C) = P(C) - P(C)(P(A) + P(B)) = P(C)(1 - P(A) - P(B))$.
अंततः,$P[(\bar{A} \cap \bar{B})|C] = \frac{P(C)(1 - P(A) - P(B))}{P(C)} = 1 - P(A) - P(B)$.
चूंकि $1 - P(A) = P(\bar{A})$,इसलिए यह व्यंजक $P(\bar{A}) - P(B)$ हो जाता है।

(B) दिया गया है $P(A) = \frac{2}{5} = \frac{8}{20}$ और $P(A \cap B) = \frac{3}{20}$।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A' \cup B' = (A \cap B)'$ है।
अतः,$P(A' \cup B') = P((A \cap B)') = 1 - P(A \cap B) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$।
अब,हमें $P(A | A' \cup B') = \frac{P(A \cap (A' \cup B'))}{P(A' \cup B')}$ ज्ञात करना है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$A \cap (A' \cup B') = (A \cap A') \cup (A \cap B') = \emptyset \cup (A \cap B') = A \cap B'$।
चूँकि $A = (A \cap B) \cup (A \cap B')$,इसलिए $P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = \frac{8}{20} - \frac{3}{20} = \frac{5}{20}$।
इस प्रकार,$P(A | A' \cup B') = \frac{5/20}{17/20} = \frac{5}{17}$।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं जहाँ $a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
त्रिभुज के अस्तित्व के लिए त्रिभुज असमिका $a+b > c$ का पालन होना चाहिए।
समद्विबाहु त्रिभुज के लिए कम से कम दो भुजाएँ समान होनी चाहिए। यदि $a=b$ लें,तो कुल $27$ स्थितियाँ प्राप्त होती हैं।
अधिकतम क्षेत्रफल वाला त्रिभुज $(6,6,6)$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{1}{27}$ है।

(A) मान लीजिए कि $A$ और $E$ धनात्मक प्रायिकता वाली कोई दो घटनाएँ हैं।
कथन $- 1$ पर विचार करें:
$P(E/A) = \frac{P(E \cap A)}{P(A)}$. चूँकि $P(A) \leq 1$,इसलिए $\frac{1}{P(A)} \geq 1$. अतः,$P(E/A) = \frac{P(E \cap A)}{P(A)} \geq P(E \cap A)$.
हम जानते हैं कि $P(A/E)P(E) = P(A \cap E)$.
चूँकि $P(E \cap A) = P(A \cap E)$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $P(E/A) \geq P(A \cap E) = P(A/E)P(E)$.
अतः,कथन $- 1$ सत्य है।
कथन $- 2$ पर विचार करें:
$P(A/E) = \frac{P(A \cap E)}{P(E)}$. चूँकि $P(E) \leq 1$,इसलिए $\frac{1}{P(E)} \geq 1$. अतः,$P(A/E) = \frac{P(A \cap E)}{P(E)} \geq P(A \cap E)$.
अतः,कथन $- 2$ भी सत्य है।

(B) माना $E_1$ वह घटना है कि पहली निकाली गई गेंद लाल है। तब कलश में एक हरी गेंद डाली जाती है। प्रायिकता $P(E_1) = \frac{5}{7}$ है। एक लाल गेंद निकालने के बाद,कलश में $4$ लाल और $2$ हरी गेंदें बचती हैं। एक हरी गेंद डालने पर,कलश में $4$ लाल और $3$ हरी गेंदें हो जाती हैं। अतः,$E_1$ के दिए होने पर दूसरी बार में लाल गेंद निकलने की प्रायिकता $P(E|E_1) = \frac{4}{7}$ है।
माना $E_2$ वह घटना है कि पहली निकाली गई गेंद हरी है। तब कलश में एक लाल गेंद डाली जाती है। प्रायिकता $P(E_2) = \frac{2}{7}$ है। एक हरी गेंद निकालने के बाद,कलश में $5$ लाल और $1$ हरी गेंद बचती है। एक लाल गेंद डालने पर,कलश में $6$ लाल और $1$ हरी गेंद हो जाती है। अतः,$E_2$ के दिए होने पर दूसरी बार में लाल गेंद निकलने की प्रायिकता $P(E|E_2) = \frac{6}{7}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता:
$P(E) = P(E_1) \times P(E|E_1) + P(E_2) \times P(E|E_2)$
$P(E) = \left(\frac{5}{7} \times \frac{4}{7}\right) + \left(\frac{2}{7} \times \frac{6}{7}\right)$
$P(E) = \frac{20}{49} + \frac{12}{49} = \frac{32}{49}$.

(C) माना $S = \{1, 2, \dots, 11\}$ है। इस समुच्चय में $5$ सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ और $6$ विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ हैं।
दो संख्याओं का योग सम होता है यदि दोनों सम हों या दोनों विषम हों।
दो सम संख्याएँ चुनने के तरीके: $^5C_2 = 10$.
दो विषम संख्याएँ चुनने के तरीके: $^6C_2 = 15$.
योग सम होने के कुल तरीके: $10 + 15 = 25$.
योग सम होने पर दोनों संख्याओं के सम होने की सप्रतिबंध प्रायिकता:
$P = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.

(D) दिया गया है कि $A \subset B$,इसलिए $A \cap B = A$ होता है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ है।
$A \cap B = A$ रखने पर,हमें $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A \subset B$,इसलिए $P(B) \le 1$ होता है।
अतः,$\frac{1}{P(B)} \ge 1$ होता है।
दोनों पक्षों को $P(A)$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{P(A)}{P(B)} \ge P(A)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$P(A|B) \ge P(A)$ सही है।

(D) मान लीजिए $B$ एक लड़के को और $G$ एक लड़की को दर्शाता है। प्रत्येक परिवार में दो बच्चे हैं,इसलिए कुल $4$ बच्चे हैं।
कुल परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि सभी बच्चे लड़कियाँ हैं। $E = \{GGGG\}$,इसलिए $n(E) = 1$.
मान लीजिए $F$ वह घटना है कि कम से कम दो लड़कियाँ हैं।
$n(F) = n(\text{ठीक 2 लड़कियाँ}) + n(\text{ठीक 3 लड़कियाँ}) + n(\text{ठीक 4 लड़कियाँ})$
$n(F) = ^4C_2 + ^4C_3 + ^4C_4 = 6 + 4 + 1 = 11$.
सशर्त प्रायिकता $P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)}$.
चूँकि $E \subset F$,इसलिए $n(E \cap F) = n(E) = 1$.
अतः,$P(E|F) = \frac{1}{11}$.

(C) चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$ है।
विकल्प $A$ के लिए: $P(A / B) = P(A) = \frac{1}{3}$,इसलिए $P(A / B) = \frac{2}{3}$ असत्य है।
विकल्प $B$ के लिए: $P(A / (A \cup B)) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} = \frac{P(A)}{P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \frac{1/3}{1/3 + 1/6 - 1/18} = \frac{1/3}{6/18 + 3/18 - 1/18} = \frac{1/3}{8/18} = \frac{1}{3} \times \frac{18}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$,इसलिए $P(A / (A \cup B)) = \frac{1}{4}$ असत्य है।
विकल्प $C$ के लिए: चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$A$ और $B^{\prime}$ भी स्वतंत्र हैं। अतः,$P(A / B^{\prime}) = P(A) = \frac{1}{3}$ होता है। यह सत्य है।
विकल्प $D$ के लिए: चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$A^{\prime}$ और $B^{\prime}$ भी स्वतंत्र हैं। अतः,$P(A^{\prime} / B^{\prime}) = P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ होता है,इसलिए $P(A^{\prime} / B^{\prime}) = \frac{1}{3}$ असत्य है।

(A) सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ है।
दिए गए मान $P(A \cap B) = \frac{4}{13}$ और $P(B) = \frac{9}{13}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A | B) = \frac{\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}} = \frac{4}{13} \times \frac{13}{9} = \frac{4}{9}$.

(B) मान लीजिए कि $b$ का अर्थ लड़का और $g$ का अर्थ लड़की है। प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि $S = \{(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)\}$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि दोनों बच्चे लड़के हैं,अतः $E = \{(b, b)\}$।
मान लीजिए $F$ वह घटना है कि कम से कम एक बच्चा लड़का है,अतः $F = \{(b, b), (b, g), (g, b)\}$।
दोनों घटनाओं का सर्वनिष्ठ $E \cap F = \{(b, b)\}$ है।
घटना $F$ की प्रायिकता $P(F) = \frac{3}{4}$ है।
सर्वनिष्ठ की प्रायिकता $P(E \cap F) = \frac{1}{4}$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$।

(B) मान लीजिए $A$ घटना 'निकाले गए कार्ड पर संख्या सम है' है और $B$ घटना 'निकाले गए कार्ड पर संख्या $3$ से अधिक है' है। हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B)$ ज्ञात करनी है।
प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ है।
घटना $B$ (संख्या $> 3$) के लिए $B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ है,अतः $n(B) = 7$ है।
घटना $A$ (संख्या सम है) के लिए $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ (संख्या सम है और $> 3$ है) के लिए $A \cap B = \{4, 6, 8, 10\}$ है,अतः $n(A \cap B) = 4$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{4}{7}$ द्वारा प्राप्त होती है।

(A) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि चुना गया विद्यार्थी कक्षा $XII$ में पढ़ता है और $F$ वह घटना है कि चुना गया विद्यार्थी एक लड़की है।
हमें दिया गया है कि कुल विद्यार्थियों की संख्या $1000$ है और लड़कियों की संख्या $430$ है।
अतः,$P(F) = \frac{430}{1000} = 0.43$.
यह दिया गया है कि $10\%$ लड़कियाँ कक्षा $XII$ में पढ़ती हैं।
इसलिए,कक्षा $XII$ में पढ़ने वाली लड़कियों की संख्या $430$ का $10\% = \frac{10}{100} \times 430 = 43$ है।
अतः,उन विद्यार्थियों की संख्या जो लड़कियाँ हैं और कक्षा $XII$ में पढ़ती हैं,$43$ है।
इसलिए,$P(E \cap F) = \frac{43}{1000} = 0.043$.
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E|F)$ ज्ञात करनी है,जो कि यह प्रायिकता है कि विद्यार्थी कक्षा $XII$ में पढ़ता है,यदि वह विद्यार्थी एक लड़की है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए: $P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$.
मान रखने पर: $P(E|F) = \frac{0.043}{0.43} = 0.1$.

(A) एक पासे को तीन बार फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $6 \times 6 \times 6 = 216$ परिणाम होते हैं।
घटना $B$ को पहली बार फेंकने पर $6$ और दूसरी बार फेंकने पर $5$ के रूप में परिभाषित किया गया है। अतः,$B = \{(6, 5, 1), (6, 5, 2), (6, 5, 3), (6, 5, 4), (6, 5, 5), (6, 5, 6)\}$.
$B$ में परिणामों की संख्या $n(B) = 6$ है,इसलिए $P(B) = \frac{6}{216}$।
घटना $A$ को तीसरी बार फेंकने पर $4$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में वे परिणाम शामिल हैं जहाँ पहली बार $6$,दूसरी बार $5$ और तीसरी बार $4$ आता है। अतः,$A \cap B = \{(6, 5, 4)\}$।
$A \cap B$ में परिणामों की संख्या $n(A \cap B) = 1$ है,इसलिए $P(A \cap B) = \frac{1}{216}$।
$B$ के घटित होने पर $A$ की सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ है।
मान रखने पर: $P(A|B) = \frac{1/216}{6/216} = \frac{1}{6}$।

(A) मान लीजिए $F$ वह घटना है कि प्राप्त संख्याओं का योग $6$ है। $F$ के लिए प्रतिदर्श समष्टि $F = \{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)\}$ है। अतः,$n(F) = 5$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि संख्या $4$ कम से कम एक बार आती है। हम घटना $E \cap F$ में रुचि रखते हैं,जो उन परिणामों को दर्शाती है जहाँ योग $6$ है और संख्या $4$ कम से कम एक बार आती है।
$F$ के समुच्चय से,वे परिणाम जिनमें कम से कम एक बार $4$ आता है,$(2,4)$ और $(4,2)$ हैं।
अतः,$E \cap F = \{(2,4), (4,2)\}$ है।
इसलिए,$n(E \cap F) = 2$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E|F)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{2}{5}$.

(A) प्रयोग के परिणामों को एक ट्री डायग्राम का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है।
प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि $S$ है:
$S = \{(H, H), (H, T), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)\}$
जहाँ $(H, H)$ दर्शाता है कि दोनों उछालों में चित आता है,और $(T, i)$ दर्शाता है कि पहली उछाल में पट आता है और पासे पर $i$ अंक आता है,जहाँ $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
इन प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताएँ हैं:
$P(H, H) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
$P(H, T) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
$P(T, i) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$,प्रत्येक $i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए।
मान लीजिए $F$ वह घटना है कि 'कम से कम एक पट आता है' और $E$ वह घटना है कि 'पासे पर $4$ से बड़ी संख्या आती है'।
$F = \{(H, T), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)\}$
$E = \{(T, 5), (T, 6)\}$
$E \cap F = \{(T, 5), (T, 6)\}$
$P(F) = P(H, T) + P(T, 1) + P(T, 2) + P(T, 3) + P(T, 4) + P(T, 5) + P(T, 6)$
$P(F) = \frac{1}{4} + 6 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$
$P(E \cap F) = P(T, 5) + P(T, 6) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
$P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/6}{3/4} = \frac{1}{6} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$

(A) दिया है: $P(E)=0.6$,$P(F)=0.3$,और $P(E \cap F)=0.2$।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}$।
इसी प्रकार,$P(F|E)$ के लिए:
$P(F|E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)} = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3}$।
अतः,$P(E|F) = \frac{2}{3}$ और $P(F|E) = \frac{1}{3}$।

(A) सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ है।
दिया गया है कि $P(B) = 0.5$ और $P(A \cap B) = 0.32$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A | B) = \frac{0.32}{0.5} = \frac{32}{50} = \frac{16}{25} = 0.64$.

(A) हमें सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र दिया गया है: $P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
दिए गए मानों $P(A) = 0.8$ और $P(B | A) = 0.4$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$0.4 = \frac{P(A \cap B)}{0.8}$.
दोनों पक्षों को $0.8$ से गुणा करने पर:
$P(A \cap B) = 0.4 \times 0.8$.
अतः,$P(A \cap B) = 0.32$.

(A) दिया गया है कि $P(A)=0.8, P(B)=0.5$ और $P(B | A)=0.4.$
हम जानते हैं कि सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $0.4 = \frac{P(A \cap B)}{0.8}.$
अतः,$P(A \cap B) = 0.4 \times 0.8 = 0.32.$
अब,हमें $P(A | B)$ ज्ञात करना है।
सूत्र $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ का उपयोग करते हुए,
$P(A | B) = \frac{0.32}{0.5} = 0.64.$

(A) दिया गया है कि $P(A)=0.8, P(B)=0.5$ और $P(B | A)=0.4.$
हम जानते हैं कि सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार $P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$0.4 = \frac{P(A \cap B)}{0.8}.$
अतः,$P(A \cap B) = 0.4 \times 0.8 = 0.32.$
अब,प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
मान रखने पर,$P(A \cup B) = 0.8 + 0.5 - 0.32 = 1.3 - 0.32 = 0.98.$
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है कि $2 P(A) = P(B) = \frac{5}{13}$.
इसका अर्थ है $P(A) = \frac{5}{26}$ और $P(B) = \frac{5}{13}$.
हमें $P(A|B) = \frac{2}{5}$ दिया गया है।
प्रतिबंधी प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
अतः,$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर,$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13}$.
$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26} = \frac{5 + 10 - 4}{26} = \frac{11}{26}$.

(A) हम जानते हैं कि सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ है।
सबसे पहले,प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करके $P(A \cap B)$ ज्ञात करते हैं:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$\frac{7}{11} = \frac{6}{11} + \frac{5}{11} - P(A \cap B)$
$\frac{7}{11} = \frac{11}{11} - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{11} = \frac{4}{11}$.
अब,मानों को सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A | B) = \frac{\frac{4}{11}}{\frac{5}{11}} = \frac{4}{5}$.

(A) हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{7}{11} = \frac{6}{11} + \frac{5}{11} - P(A \cap B)$.
$\frac{7}{11} = \frac{11}{11} - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{11} = \frac{4}{11}$.
अब,सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ है।
$P(B | A) = \frac{\frac{4}{11}}{\frac{6}{11}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(B) जब एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
कुल परिणामों की संख्या $8$ है।
घटना $E$ का अर्थ है 'तीसरे उछाल पर चित':
$E = \{HHH, HTH, THH, TTH\}$
घटना $F$ का अर्थ है 'पहले दो उछालों पर चित':
$F = \{HHH, HHT\}$
$E$ और $F$ का सर्वनिष्ठ (intersection) है:
$E \cap F = \{HHH\}$
$F$ की प्रायिकता $P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ है।
$E \cap F$ की प्रायिकता $P(E \cap F) = \frac{n(E \cap F)}{n(S)} = \frac{1}{8}$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता (conditional probability) के सूत्र का उपयोग करने पर:
$P(E | F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/8}{1/4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(A) एक सिक्के को तीन बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है।
घटना $E$ (कम से कम दो चित) के लिए: $E = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$।
घटना $F$ (अधिक से अधिक दो चित) के लिए: $F = \{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$।
सर्वनिष्ठ घटना $E \cap F = \{HHT, HTH, THH\}$ है।
प्रायिकताओं की गणना करने पर:
$P(E \cap F) = \frac{n(E \cap F)}{n(S)} = \frac{3}{8}$।
$P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{7}{8}$।
प्रतिबंधी प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करने पर:
$P(E | F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{7}{8}} = \frac{3}{7}$।

(A) एक सिक्के को तीन बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ है,इसलिए $n(S) = 8$.
घटना $E$ 'अधिकतम दो पट' है: $E = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$.
घटना $F$ 'कम से कम एक पट' है: $F = \{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$.
सर्वनिष्ठ $E \cap F = \{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$.
अतः,$n(E \cap F) = 6$ और $n(F) = 7$.
प्रतिबंधी प्रायिकता $P(E | F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{6}{7}$ है।

(A) जब दो सिक्कों को एक बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HH, HT, TH, TT\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 4$.
घटना $E$: एक सिक्के पर टेल (tail) आना।
$E = \{HT, TH\}$
$n(E) = 2$.
घटना $F$: एक सिक्के पर हेड (head) आना।
$F = \{HT, TH\}$
$n(F) = 2$.
सर्वनिष्ठ $E \cap F$: एक सिक्के पर टेल और एक सिक्के पर हेड आना।
$E \cap F = \{HT, TH\}$
$n(E \cap F) = 2$.
हमें $P(E | F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$ ज्ञात करना है।
$P(E \cap F) = \frac{n(E \cap F)}{n(S)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
अतः,$P(E | F) = \frac{1/2}{1/2} = 1$.

(A) जब दो सिक्कों को एक बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HH, HT, TH, TT\}$
घटना $E$ यह है कि कोई टेल (tail) नहीं आता है,इसलिए $E = \{HH\}$.
घटना $F$ यह है कि कोई हेड (head) नहीं आता है,इसलिए $F = \{TT\}$.
अतः,$E$ और $F$ का सर्वनिष्ठ $E \cap F = \phi$ है,जिसका अर्थ है कि $E \cap F$ में अवयवों की संख्या $0$ है।
घटना $F$ की प्रायिकता $P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{1}{4}$ है।
प्रतिबंधी प्रायिकता $P(E | F)$ की परिभाषा के अनुसार:
$P(E | F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$
चूँकि $P(E \cap F) = 0$ है,इसलिए:
$P(E | F) = \frac{0}{1/4} = 0$.

(A) जब एक पासे को तीन बार फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि में कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ होती है।
घटना $F$ को पहली दो उछालों पर क्रमशः $6$ और $5$ आने के रूप में परिभाषित किया गया है:
$F = \{(6, 5, 1), (6, 5, 2), (6, 5, 3), (6, 5, 4), (6, 5, 5), (6, 5, 6)\}$.
$F$ में अवयवों की संख्या $n(F) = 6$ है।
घटना $E$ को तीसरी उछाल पर $4$ आने के रूप में परिभाषित किया गया है।
सर्वनिष्ठ $E \cap F$ में वे परिणाम शामिल हैं जहाँ पहली दो उछालों पर $6$ और $5$ आते हैं और तीसरी उछाल पर $4$ आता है:
$E \cap F = \{(6, 5, 4)\}$.
$E \cap F$ में अवयवों की संख्या $n(E \cap F) = 1$ है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता $P(E | F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)}$ द्वारा दी जाती है।
$P(E | F) = \frac{1}{6}$.

(C) मान लीजिए $M$ माँ,$F$ पिता और $S$ पुत्र को दर्शाता है। उनके एक पंक्ति में खड़े होने के कुल तरीके $3! = 6$ हैं।
प्रतिदर्श समष्टि $S = \{MFS, MSF, FMS, FSM, SMF, SFM\}$ है।
घटना $E$ (पुत्र एक छोर पर हो): $E = \{SMF, SFM, FMS, MFS\}$।
घटना $F$ (पिता बीच में हों): $F = \{MFS, SFM\}$।
सर्वनिष्ठ घटना $E \cap F$ (पुत्र एक छोर पर हो और पिता बीच में हों): $E \cap F = \{MFS, SFM\}$।
अब,प्रायिकताओं की गणना करते हैं:
$P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।
$P(E \cap F) = \frac{n(E \cap F)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E | F)$ इस प्रकार है:
$P(E | F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/3}{1/3} = 1$।

(B) मान लीजिए कि पहला अवलोकन काले पासे से है और दूसरा लाल पासे से है।
जब दो पासे (एक काला और एक लाल) फेंके जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $6 \times 6 = 36$ परिणाम होते हैं।
मान लीजिए $A$ योग $9$ से अधिक प्राप्त करने की घटना है।
$A = \{(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
मान लीजिए $B$ वह घटना है जिसमें काले पासे पर $5$ प्राप्त होता है।
$B = \{(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
इन घटनाओं का सर्वनिष्ठ $A \cap B = \{(5,5), (5,6)\}$ है।
घटना $B$ में अवयवों की संख्या $n(B) = 6$ है और $A \cap B$ में अवयवों की संख्या $n(A \cap B) = 2$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B)$ इस प्रकार दी गई है:
$P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(A) $E:$ वह घटना कि अवलोकनों का योग $8$ है।
$E = \{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\}$
$F:$ वह घटना कि लाल पासे पर $4$ से कम संख्या प्राप्त होती है।
$F = \{(x, y) : y < 4, x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, y \in \{1, 2, 3\}\}$
$F = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (6,1), (6,2), (6,3)\}$
$F$ में परिणामों की संख्या $= 18$.
$E \cap F = \{(5,3), (6,2)\}$.
$E \cap F$ में परिणामों की संख्या $= 2$.
$P(F) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
$P(E \cap F) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
सप्रतिबंध प्रायिकता $P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$ द्वारा दी जाती है।
$P(E|F) = \frac{2/36}{18/36} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.

(A) जब एक निष्पक्ष पासा फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
दी गई घटनाएँ $E = \{1, 3, 5\}$ और $F = \{2, 3\}$ हैं।
$E$ और $F$ का सर्वनिष्ठ $E \cap F = \{3\}$ है।
प्रायिकताएँ $P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ और $P(F) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ हैं।
सर्वनिष्ठ की प्रायिकता $P(E \cap F) = \frac{1}{6}$ है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता के सूत्र $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ का उपयोग करते हुए:
$P(E|F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{1/6}{1/3} = \frac{1}{6} \times 3 = \frac{1}{2}$.
$P(F|E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{3}$.

(A) जब एक निष्पक्ष पासा फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1,2,3,4,5,6\}$ है।
दी गई घटनाएँ $E=\{1,3,5\}, F=\{2,3\},$ और $G=\{2,3,4,5\}$ हैं।
घटना $E$ की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
घटना $G$ की प्रायिकता $P(G) = \frac{n(G)}{n(S)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
$E$ और $G$ का सर्वनिष्ठ $E \cap G = \{3,5\}$ है।
$E \cap G$ की प्रायिकता $P(E \cap G) = \frac{n(E \cap G)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता के सूत्र $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ का उपयोग करते हुए:
$P(E | G) = \frac{P(E \cap G)}{P(G)} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$.
$P(G | E) = \frac{P(E \cap G)}{P(E)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$.

(A) एक निष्पक्ष पासा फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है,इसलिए $n(S) = 6$.
दी गई घटनाएँ $E = \{1, 3, 5\}$,$F = \{2, 3\}$,और $G = \{2, 3, 4, 5\}$ हैं।
घटना $G$ की प्रायिकता $P(G) = \frac{n(G)}{n(S)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
सबसे पहले,$(E \cup F) = \{1, 2, 3, 5\}$ ज्ञात करते हैं।
फिर,$(E \cup F) \cap G = \{1, 2, 3, 5\} \cap \{2, 3, 4, 5\} = \{2, 3, 5\}$।
अतः,$P((E \cup F) \cap G) = \frac{n(\{2, 3, 5\})}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए: $P((E \cup F) | G) = \frac{P((E \cup F) \cap G)}{P(G)} = \frac{1/2}{2/3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$।
अब,$(E \cap F) = \{3\}$ ज्ञात करते हैं।
फिर,$(E \cap F) \cap G = \{3\} \cap \{2, 3, 4, 5\} = \{3\}$।
अतः,$P((E \cap F) \cap G) = \frac{n(\{3\})}{n(S)} = \frac{1}{6}$।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए: $P((E \cap F) | G) = \frac{P((E \cap F) \cap G)}{P(G)} = \frac{1/6}{2/3} = \frac{1}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकताएँ $3/4$ और $1/4$ हैं।

(C) मान लीजिए $b$ और $g$ क्रमशः लड़के और लड़की को दर्शाते हैं। यदि एक परिवार में दो बच्चे हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)\}$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि दोनों बच्चे लड़कियाँ हैं। अतः,$A = \{(g, g)\}$।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि सबसे छोटा बच्चा एक लड़की है। अतः,$B = \{(b, g), (g, g)\}$।
सर्वनिष्ठ $A \cap B = \{(g, g)\}$ है।
घटना $B$ की प्रायिकता $P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ है।
सर्वनिष्ठ की प्रायिकता $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ है।
यह देखते हुए कि सबसे छोटा बच्चा एक लड़की है,दोनों के लड़कियाँ होने की सशर्त प्रायिकता $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ है।

(B) मान लीजिए $b$ एक लड़के को और $g$ एक लड़की को दर्शाता है। दो बच्चों वाले परिवार के लिए,प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)\}$
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि दोनों बच्चे लड़कियां हैं:
$A = \{(g, g)\}$
मान लीजिए $C$ वह घटना है कि कम से कम एक बच्चा लड़की है:
$C = \{(b, g), (g, b), (g, g)\}$
तब,सर्वनिष्ठ $A \cap C$ है:
$A \cap C = \{(g, g)\}$
घटना $C$ की प्रायिकता $P(C) = \frac{3}{4}$ है।
सर्वनिष्ठ की प्रायिकता $P(A \cap C) = \frac{1}{4}$ है।
सशर्त प्रायिकता $P(A|C)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि में कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पासों पर संख्याओं का योग $4$ है। $A$ के लिए परिणाम $\{(1,3), (2,2), (3,1)\}$ हैं।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि पासों पर प्राप्त दोनों संख्याएँ भिन्न हैं। पासों पर समान संख्याएँ प्राप्त होने वाले कुल $6$ परिणाम हैं (अर्थात $\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}$)।
अतः,$B$ में परिणामों की संख्या $36 - 6 = 30$ है।
हमें $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ज्ञात करना है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उस घटना को दर्शाता है जहाँ योग $4$ है और संख्याएँ भिन्न हैं। समुच्चय $A$ में से,परिणाम $(2,2)$ में संख्याएँ समान हैं,इसलिए $A \cap B = \{(1,3), (3,1)\}$।
इस प्रकार,$n(A \cap B) = 2$ और $n(B) = 30$ है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ है।

(A) प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि $S$ पहले फेंक और उसके बाद की क्रिया के परिणामों द्वारा परिभाषित होता है।
यदि पहला फेंक $1, 2, 4, 5$ है (प्रायिकता $4/6 = 2/3$),तो हम एक सिक्का उछालते हैं (परिणाम $H, T$ प्रत्येक की प्रायिकता $1/2$ के साथ)।
यदि पहला फेंक $3, 6$ है (प्रायिकता $2/6 = 1/3$),तो हम पासा फिर से फेंकते हैं (परिणाम $1, 2, 3, 4, 5, 6$ प्रत्येक की प्रायिकता $1/6$ के साथ)।
कुल प्रतिदर्श समष्टि:
$S = \{(1, H), (1, T), (2, H), (2, T), (4, H), (4, T), (5, H), (5, T), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$.
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि सिक्के पर टेल आता है: $A = \{(1, T), (2, T), (4, T), (5, T)\}$.
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि कम से कम एक पासा $3$ दर्शाता है: $B = \{(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (6, 3)\}$.
चूंकि $A \cap B = \phi$,घटनाओं $A$ और $B$ का प्रतिच्छेदन रिक्त है।
अतः,$P(A \cap B) = 0$.
सशर्त प्रायिकता $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0}{P(B)} = 0$.

(B) घटना $B$ के घटित होने पर घटना $A$ की सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ है,जहाँ $P(B) \neq 0$ होना आवश्यक है।
यहाँ दिया गया है कि $P(A) = \frac{1}{2}$ और $P(B) = 0$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{0}$ प्राप्त होता है।
गणित में शून्य से विभाजन परिभाषित नहीं है,इसलिए $P(A | B)$ परिभाषित नहीं है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है कि $P(A | B) = P(B | A)$.
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करते हुए,हमारे पास $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ और $P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर:
$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
स्थिति $1$: यदि $P(A \cap B) \neq 0$ है,तो हम दोनों पक्षों को $P(A \cap B)$ से विभाजित कर सकते हैं,जिससे $\frac{1}{P(B)} = \frac{1}{P(A)}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $P(A) = P(B)$.
स्थिति $2$: यदि $P(A \cap B) = 0$ है,तो $0 = 0$ होता है,जो हमेशा सत्य है,लेकिन मानक प्रायिकता समस्याओं के संदर्भ में,$P(A) = P(B)$ ही अपेक्षित संबंध है।
अतः,सही उत्तर $C$ है।

(A) पासा फेंकने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
घटना $E$ ($3$ का गुणज) के लिए $E = \{3, 6\}$,इसलिए $P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
घटना $F$ (सम संख्या) के लिए $F = \{2, 4, 6\}$,इसलिए $P(F) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
सर्वनिष्ठ $E \cap F$ ($3$ का गुणज और सम संख्या) के लिए $E \cap F = \{6\}$,इसलिए $P(E \cap F) = \frac{1}{6}$ है।
दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं यदि $P(E \cap F) = P(E) \times P(F)$ हो।
यहाँ,$P(E) \times P(F) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ है।
चूंकि $P(E \cap F) = P(E) \times P(F)$,इसलिए घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं।

(A) यदि प्रयोग की सभी $36$ प्रारंभिक घटनाओं को समान रूप से संभावित माना जाए,तो हमारे पास है
$P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ और $P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$
साथ ही,$P(A \cap B) = P(\text{दोनों बार फेंकने पर विषम संख्या})$
$= \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$
अब,$P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
स्पष्ट रूप से,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
अतः,$A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।