Order and degree of differential equations Questions in Gujarati

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y = x\frac{dy}{dx} + \sqrt{a^2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + b^2}$.
બંને બાજુથી $x\frac{dy}{dx}$ બાદ કરતા: $y - x\frac{dy}{dx} = \sqrt{a^2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + b^2}$.
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y - x\frac{dy}{dx})^2 = a^2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + b^2$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$y^2 + x^2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = a^2\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + b^2$.
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી તેનો ક્રમ $1$ છે.
સમીકરણને સંમેય બનાવ્યા પછી સૌથી મોટા વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી તેની ઘાત $2$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત $1, 2$ છે.

(C) વિકલ સમીકરણની કક્ષા અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા અપૂર્ણાંક ઘાતાંકને દૂર કરવો પડશે.
આપેલ સમીકરણ: $\left[ 4 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right]^{2/3} = \frac{d^2y}{dx^2}$
ઘાતાંકમાં રહેલા અપૂર્ણાંકને દૂર કરવા માટે બંને બાજુ ઘન (cube) લેતા:
$\left[ 4 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right]^2 = \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3$
હવે,આ સમીકરણ વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં છે.
સૌથી વધુ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સૌથી વધુ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
આમ,કક્ષા $2$ અને ઘાત $3$ છે.

(C) વિકલ સમીકરણની કક્ષા એટલે તેમાં રહેલું સૌથી ઉચ્ચ વિકલન,અને ઘાત એટલે જ્યારે સમીકરણને વિકલનના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે ત્યારે સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત.
વિકલ્પ $(a)$: $x\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - x + a = 0$ એ પ્રથમ કક્ષા અને દ્વિતીય ઘાતનું છે.
વિકલ્પ $(b)$: $\frac{d^2y}{dx^2} + xy = 0$ એ દ્વિતીય કક્ષા અને પ્રથમ ઘાતનું છે.
વિકલ્પ $(c)$: $dy + dx = 0$ ને $\frac{dy}{dx} + 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે. આ સમીકરણમાં માત્ર પ્રથમ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે જેની ઘાત $1$ છે. આમ,તે પ્રથમ કક્ષા અને પ્રથમ ઘાતનું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને વર્ગમૂળ દૂર કરવું પડશે:
$\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 = 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલનનો ક્રમ છે,જે અહીં $2$ છે.
ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વર્ગમૂળ અને અપૂર્ણાંકથી મુક્ત હોય,જે અહીં $2$ છે.
આમ,ક્રમ $2$ છે અને ઘાત $2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left( \frac{d^2s}{dt^2} \right)^2 + 3\left( \frac{ds}{dt} \right)^3 + 4 = 0$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિત (derivative) જેટલો હોય છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^2s}{dt^2}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં હોય. અહીં,$\frac{d^2s}{dt^2}$ ની ઘાત $2$ છે.
તેથી,ક્રમ $2$ છે અને ઘાત $2$ છે.

(A) વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ક્રમ છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{d^4y}{dx^4} - 4\frac{d^3y}{dx^3} + 8\frac{d^2y}{dx^2} - 8\frac{dy}{dx} + 4y = 0$ માં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^4y}{dx^4}$ છે,જેનો ક્રમ $4$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $4$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાતાંક છે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે.
અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^4y}{dx^4}$ ની ઘાત $1$ છે.
આમ,ઘાત $1$ છે.
તેથી,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $4$ અને $1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{x}{\frac{dy}{dx} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3}$.
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $\left( \frac{dy}{dx} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 \right)$ વડે ગુણતા:
$y \left( \frac{dy}{dx} \right) \left( \frac{dy}{dx} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 \right) = x$.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + y \left( \frac{dy}{dx} \right)^4 = x$.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ક્રમ છે.
અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ છે,જે પ્રથમ ક્રમનું વિકલિત છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આ વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ છે,જેમાં $3$ સ્વૈર અચળાંકો (arbitrary constants) $g$,$f$ અને $c$ રહેલા છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ તેના સામાન્ય ઉકેલમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં $3$ સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ થશે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $y$-અક્ષ પર કેન્દ્ર હોય તેવા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $(x - 0)^2 + (y - r)^2 = r^2$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 + y^2 - 2ry + r^2 = r^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2ry = 0$ થાય છે.
આ સમીકરણમાં માત્ર એક જ સ્વૈર અચળાંક $r$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ વક્રોના સમૂહના સામાન્ય ઉકેલમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં માત્ર એક જ સ્વૈર અચળાંક $r$ હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.

(A) આપેલ ઉકેલ $y = a\cos x + b\sin x + c{e^{ - x}}$ છે.
આ સમીકરણમાં $3$ સ્વૈર અચળાંકો (arbitrary constants) છે,જે $a$,$b$ અને $c$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ તેના સામાન્ય ઉકેલમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં $3$ સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,સંબંધિત વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.

(A) પ્રથમ ચરણમાં આવેલા અને બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને તે એક સ્વૈર અચળાંક તરીકે કાર્ય કરે છે.
અહીં માત્ર એક જ સ્વૈર અચળાંક $a$ હોવાથી,આ વક્રોનું એક-પ્રચલિત કુળ છે.
$n$ સ્વૈર અચળાંકો ધરાવતા વક્રોના કુળ માટે વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $n$ હોય છે.
તેથી,આ વર્તુળોના કુળ માટે વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.

(D) ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ $4$ ઘાત લઈને અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરીએ છીએ.
$\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^4 = y + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ક્રમ છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે. અહીં,$\frac{d^2y}{dx^2}$ ની ઘાત $4$ છે.
આમ,ક્રમ $2$ છે અને ઘાત $4$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3} = 0$
વિકલ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = - \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3}$
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે,બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2 = 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3$
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ તેના સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની મહત્તમ ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ તેના વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપે હોય.
અહીં,સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,અને તેની ઘાત $2$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $2$ છે.

(D) વિકલ સમીકરણની ઘાત શોધવા માટે,તેને સૌ પ્રથમ તેના વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવું જરૂરી છે.
આપેલ સમીકરણ: $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3 = \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right)^{1/2}$.
અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે,સમીકરણની બંને બાજુ વર્ગ કરો:
$\left( \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3 \right)^2 = \left( \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right)^{1/2} \right)^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^6 = 1 + \frac{dy}{dx}$.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એટલે સમીકરણમાં રહેલા મહત્તમ ક્રમના વિકલિતની સૌથી મોટી ઘાત,જ્યારે સમીકરણ કરણી અને અપૂર્ણાંકથી મુક્ત હોય.
અહીં મહત્તમ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,અને તેની ઘાત $6$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $6$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^{1/3} + x^{1/4} = 0$.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંક ઘાતાંકો દૂર કરવા પડશે.
સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખો: $\frac{d^2y}{dx^2} + x^{1/4} = -\left( \frac{dy}{dx} \right)^{1/3}$.
$1/3$ ઘાતાંક દૂર કરવા માટે બંને બાજુ ઘન કરો: $\left( \frac{d^2y}{dx^2} + x^{1/4} \right)^3 = -\frac{dy}{dx}$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત પદ $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3$ મળે છે.
સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ક્રમ $2$ છે.
સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી બનાવ્યા પછી સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત $3$ છે.
આમ,ક્રમ $2$ છે અને ઘાત $3$ છે.

(A) આપેલ વક્રોના કુળનું સમીકરણ: $y = Ax + A^3$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{dy}{dx} = A$.
$A = \frac{dy}{dx}$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને વિકલ સમીકરણ મળે છે: $y = x \left( \frac{dy}{dx} \right) + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3$.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એટલે વિકલ સમીકરણમાં રહેલા મહત્તમ ક્રમના વિકલિતની મહત્તમ ઘાત,જ્યારે સમીકરણ વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં હોય.
અહીં,મહત્તમ ક્રમનું વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ છે અને તેની મહત્તમ ઘાત $3$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $3$ છે.

(C) વિકલ સમીકરણનો ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે તેને તેના વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ છીએ.
વિકલ્પ $(a)$ માટે: $\frac{d^4y}{dx^4} + 8\left(\frac{dy}{dx}\right)^6 + 5y = e^x$. સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^4y}{dx^4}$ છે,તેથી ક્રમ $= 4$. સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિતની ઘાત $1$ છે,તેથી ઘાત $= 1$.
વિકલ્પ $(b)$ માટે: $5\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)^4 + 8\left(1 + \frac{dy}{dx}\right)^2 + 5y = x^8$. સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^3y}{dx^3}$ છે,તેથી ક્રમ $= 3$. સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિતની ઘાત $4$ છે,તેથી ઘાત $= 4$.
વિકલ્પ $(c)$ માટે: $\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^{2/3} = 4\frac{d^3y}{dx^3}$. બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને $\left[1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^2 = 64\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right)^3$ મળે છે. સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^3y}{dx^3}$ છે,તેથી ક્રમ $= 3$. સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિતની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $= 3$. અહીં,ક્રમ $=$ ઘાત છે.
વિકલ્પ $(d)$ માટે: $y - x^2\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(y - x^2\frac{dy}{dx})^2 = 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ મળે છે. સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $= 1$. સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિતની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $= 2$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + \sin y + x^2 = 0$ છે.
$1$. વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ક્રમ છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી તેનો ક્રમ $2$ છે.
$2$. વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે. અહીં $\sin y$ હોવાથી સમીકરણ સુરેખ નથી,પરંતુ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ ની ઘાત $1$ છે. તેથી,પરિમાણ $1$ છે.
આમ,સમીકરણનો ક્રમ $2$ અને પરિમાણ $1$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x(\frac{d^2y}{dx^2})^3 + (\frac{dy}{dx})^4 + y = x^2$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ ની ઘાત $3$ છે.
તેથી,પરિમાણ $3$ અને કક્ષા $2$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^5 + 4\frac{\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3}{\left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)} + \frac{d^3y}{dx^3} = x^2 - 1$ છે.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને $\frac{d^3y}{dx^3}$ વડે ગુણીને અપૂર્ણાંક દૂર કરવો પડશે.
$\frac{d^3y}{dx^3}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^5 \left( \frac{d^3y}{dx^3} \right) + 4\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3 + \left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)^2 = (x^2 - 1) \left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)$.
સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^3y}{dx^3}$ છે,તેથી કક્ષા $m = 3$ છે.
પરિમાણ એ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલનોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં હોય. $\frac{d^3y}{dx^3}$ ની સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
તેથી,$m = 3$ અને $n = 2$.

(B) વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં રહેલા સર્વોચ્ચ વિકલિતના ક્રમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ માં,સર્વોચ્ચ વિકલિત $y'$ છે,જેનો ક્રમ $1$ છે.
વિકલ્પ $B$ માં,સર્વોચ્ચ વિકલિત $y''$ છે,જેનો ક્રમ $2$ છે.
વિકલ્પ $C$ માં,સર્વોચ્ચ વિકલિત $y'''$ છે,જેનો ક્રમ $3$ છે.
વિકલ્પ $D$ માં,સર્વોચ્ચ વિકલિત $y'$ છે,જેનો ક્રમ $1$ છે.
તેથી,દ્વિતીય ક્રમનું વિકલ સમીકરણ $y'y'' + y = \sin x$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + y^2 = 0$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં હાજર રહેલા સર્વોચ્ચ વિકલનનો ક્રમ છે. અહીં,સર્વોચ્ચ વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સર્વોચ્ચ ક્રમના વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને વિકલનોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં,$\frac{d^2y}{dx^2}$ ની ઘાત $1$ છે.
તેથી,ક્રમ $2$ અને ઘાત $1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\rho = \frac{{\left[ {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right]^{3/2}}}{{\frac{{d^2y}}{{dx^2}}}}$
બંને બાજુ $\frac{{d^2y}}{{dx^2}}$ વડે ગુણતા:
$\rho \cdot \frac{{d^2y}}{{dx^2}} = \left[ {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right]^{3/2}$
અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે,બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left( \rho \cdot \frac{{d^2y}}{{dx^2}} \right)^2 = \left[ {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right]^3$
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{{d^2y}}{{dx^2}}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
સમીકરણને સંમેય કર્યા પછી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલનની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $2$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $2$ અને $2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + 6y = 0$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એટલે કે જ્યારે સમીકરણ વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં હોય ત્યારે સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિતની મહત્તમ ઘાત.
અહીં,સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,જેનો ક્રમ $2$ છે.
આ સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિતની ઘાત $1$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $1$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^4 - xy = 0$ છે.
$1$. વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં હાજર રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ક્રમ છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી તેનો ક્રમ $2$ છે.
$2$. વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલિતોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવેલ હોય. સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનો વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે અને તેની ઘાત $3$ છે.
તેથી,ક્રમ $2$ છે અને ઘાત $3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^3y}{dx^3} + 2\left[ 1 + \frac{d^2y}{dx^2} \right] = 1$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\frac{d^3y}{dx^3} + 2 + 2\frac{d^2y}{dx^2} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{d^3y}{dx^3} + 2\frac{d^2y}{dx^2} + 1 = 0$ થાય છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એટલે તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^3y}{dx^3}$ છે,તેથી કક્ષા $3$ છે.
વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એટલે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે ત્યારે સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ઘાત. અહીં $\frac{d^3y}{dx^3}$ નો ઘાત $1$ છે.
આમ,કક્ષા $3$ છે અને પરિમાણ $1$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ ${\left( {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right)^{3/4}} = {\left( {\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}} \right)^{1/3}}$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંક ઘાતાંકોને દૂર કરવા પડશે,જેના માટે બંને બાજુને છેદના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$,જે $12$ છે,તેની ઘાત વડે ગુણતા.
બંને બાજુ $12$ ઘાત લેતા:
${\left[ {{\left( {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right)^{3/4}}} \right]^{12}} = {\left[ {{\left( {\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}} \right)^{1/3}}} \right]^{12}}$
${\left( {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \right)^9} = {\left( {\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}} \right)^4}$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}$ છે,જેની કક્ષા $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલનોના બહુપદી સ્વરૂપમાં હોય.
અહીં,સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલન $\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}$ ની ઘાત $4$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $4$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + 2 \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2 + 3y + x = 0$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એટલે સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા.
અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એટલે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે ત્યારે સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત.
સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ ની ઘાત $2$ છે.
તેથી,કક્ષા $2$ અને ઘાત $2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^2y}{dx^2} - \sqrt{\frac{dy}{dx} - 3} = x$
વિકલ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{d^2y}{dx^2} - x = \sqrt{\frac{dy}{dx} - 3}$
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left(\frac{d^2y}{dx^2} - x\right)^2 = \frac{dy}{dx} - 3$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 - 2x\frac{d^2y}{dx^2} + x^2 = \frac{dy}{dx} - 3$
વિકલ સમીકરણની ઘાત એટલે કે જ્યારે સમીકરણ વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપે હોય ત્યારે સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિતની મહત્તમ ઘાત.
અહીં સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,અને તેની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
તેથી,આ સમીકરણની ઘાત $2$ છે.

(A) $x$-અક્ષને સમાંતર નિયામિકા ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ છે.
અહીં,$h$,$k$,અને $a$ એ ત્રણ સ્વતંત્ર સ્વેર અચળાંકો છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ વક્રોના કુળના સામાન્ય સમીકરણમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વેર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં $3$ સ્વેર અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y = 1 + \frac{dy}{dx} + \frac{1}{2!} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + \frac{1}{3!} \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + \dots$
ધારો કે $t = \frac{dy}{dx}$. શ્રેણીનું વિસ્તરણ $y = 1 + t + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \dots$ છે.
આ $e^t$ માટેનું ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણ છે,તેથી $y = e^t$.
$t = \frac{dy}{dx}$ પાછું મૂકતા,આપણને $y = e^{\frac{dy}{dx}}$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(y) = \frac{dy}{dx}$.
હવે વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \ln(y)$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,અને તેની ઘાત $1$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $1$ છે.

(B) જો વિકલ સમીકરણમાં પરતંત્ર ચલ અને તેના વિકલિતો માત્ર પ્રથમ ઘાતમાં હોય અને તેમનો ગુણાકાર ન થયેલ હોય,તો તેને રેખીય વિકલ સમીકરણ કહેવાય છે.
વિકલ્પ $A$ માં,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \log x$ એ રેખીય છે કારણ કે પરતંત્ર ચલ $y$ અને તેનું વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ પ્રથમ ઘાતમાં છે અને તેમનો ગુણાકાર થયેલ નથી.
વિકલ્પ $B$ માં,$y\frac{dy}{dx} + 4x = 0$ માં પરતંત્ર ચલ $y$ નો તેના વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ સાથે ગુણાકાર થયેલ છે,તેથી તે અરેખીય છે.
વિકલ્પ $C$ માં,$dx + dy = 0$ ને $1 + \frac{dy}{dx} = 0$ તરીકે લખી શકાય,જે રેખીય છે.
વિકલ્પ $D$ માં,$\frac{dy}{dx} = \cos x$ એ રેખીય છે કારણ કે વિકલિત પ્રથમ ઘાતમાં છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વિકલ સમીકરણ ત્યારે જ રેખીય કહેવાય જો તેમાં પરતંત્ર ચલ $y$ અને તેના વિકલિતો માત્ર પ્રથમ ઘાતમાં હોય અને તેમનો ગુણાકાર થયેલ ન હોય.
વિકલ્પ $(d)$ માટે,આપણી પાસે $x\frac{dy}{dx} + \frac{3}{dy/dx} = y^2$ છે.
બંને બાજુ $\frac{dy}{dx}$ વડે ગુણતા,આપણને $x\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - y^2\frac{dy}{dx} + 3 = 0$ મળે છે.
અહીં વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ ની ઘાત $2$ હોવાથી,આ વિકલ સમીકરણ અરેખીય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $3\frac{d^2y}{dx^2} = \left\{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right\}^{3/2}$
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે:
$\left( 3\frac{d^2y}{dx^2} \right)^2 = \left[ \left\{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right\}^{3/2} \right]^2$
$9\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2 = \left\{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right\}^3$
સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,જેની કક્ષા $2$ છે.
સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી,સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતનો ઘાતાંક $2$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $2$ છે.

(D) આપેલ વક્ર ${y^2} = 2c(x + \sqrt{c})$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 2c$,જેનો અર્થ છે કે $c = y \frac{dy}{dx}.$
$c$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
${y^2} = 2 \left( y \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}} \right).$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{y}{2(dy/dx)} - x = \sqrt{y \frac{dy}{dx}}.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left( \frac{y}{2(dy/dx)} - x \right)^2 = y \frac{dy}{dx}.$
$4(dy/dx)^2$ વડે ગુણતા:
$(y - 2x(dy/dx))^2 = 4y(dy/dx)^3.$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
${y^2} - 4xy \frac{dy}{dx} + 4{x^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3.$
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - 4{x^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 4xy \frac{dy}{dx} - {y^2} = 0.$
અહીં મહત્તમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી કક્ષા $1$ છે. મહત્તમ વિકલિતની ઘાત $3$ છે,તેથી પરિમાણ $3$ છે.
આમ,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $1$ અને પરિમાણ $3$ છે.

(B) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y = C_1 e^{2x + C_2} + C_3 e^x + C_4 \sin(x + C_5)$ છે.
આપણે પદાવલિને નીચે મુજબ સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$y = C_1 e^{C_2} e^{2x} + C_3 e^x + C_4 (\sin x \cos C_5 + \cos x \sin C_5)$
ધારો કે $A = C_1 e^{C_2}$,$B = C_4 \cos C_5$,અને $D = C_4 \sin C_5$.
આ અચળાંકોને મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = A e^{2x} + C_3 e^x + B \sin x + D \cos x$
આ પદાવલિમાં,$4$ સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકો $(A, C_3, B, D)$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ તેના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $4$ છે.

(C) વિકલ સમીકરણનો ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા અપૂર્ણાંક ઘાતાંકને દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $3$ ની ઘાત લેવી પડશે.
આપેલ સમીકરણ: ${\left( {1 + 3\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^{\frac{2}{3}}} = 4\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}$
બંને બાજુ ઘન કરતા:
${\left( {1 + 3\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} = {\left( {4\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}} \right)^3}$
હવે,આ સમીકરણ વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ તેમાં રહેલ સર્વોચ્ચ વિકલિત છે,જે $\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}$ છે,તેથી ક્રમ $3$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સર્વોચ્ચ ક્રમના વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલિતોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવવામાં આવે. અહીં,$\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}$ ની ઘાત $3$ છે.
આમ,ક્રમ $3$ છે અને ઘાત $3$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2 - \left( \frac{dy}{dx} \right)^{1/2} = y^3$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરીને સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવું પડશે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2 - y^3 = \left( \frac{dy}{dx} \right)^{1/2}$ મળે છે.
અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\left( \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^2 - y^3 \right)^2 = \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,જેનો ક્રમ $2$ છે.
આ બહુપદી સ્વરૂપમાં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની ઘાત $2 \times 2 = 4$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $4$ છે.

(A) $x$-અક્ષ પર સંમિતિની ધરી ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $y^2 = 4a(x - h)$ છે.
અહીં,$a$ અને $h$ એ બે સ્વૈર અચળાંકો છે.
વિકલ સમીકરણ બનાવવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$y \frac{dy}{dx} = 2a$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 0$
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની ઘાત $1$ છે,તેથી ઘાત $1$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત $(2, 1)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y = a(1 - e^{-x/a})$
$y = a - ae^{-x/a}$
$y - a = -ae^{-x/a}$
$-a$ વડે ભાગતા: $\frac{a - y}{a} = e^{-x/a}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(\frac{a - y}{a}) = -\frac{x}{a}$
અહીં $a$ એક પ્રાચલ હોવાથી,તેને દૂર કરવા માટે આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ.
જોકે,સમીકરણમાં ઘાતાંકીય પદ $e^{-x/a}$ છે જેમાં પ્રાચલ $a$ ઘાતાંકમાં છે,જેને વિકલિતોના બહુપદી સમીકરણમાં ફેરવી શકાતું નથી.
આથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(\frac{d^3y}{dx^3}+y\frac{dy}{dx})^{\frac{7}{5}} =x^3\frac{d^2y}{dx^2}$.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $5$ ઘાત લઈને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે:
$(\frac{d^3y}{dx^3}+y\frac{dy}{dx})^7 = (x^3\frac{d^2y}{dx^2})^5$.
અહીં કક્ષા $m$ એ સૌથી વધુ વિકલન છે,જે $\frac{d^3y}{dx^3}$ છે,તેથી $m = 3$.
ઘાત $n$ એ સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવ્યા પછી સૌથી વધુ વિકલનની ઘાત છે,જે $7$ છે,તેથી $n = 7$.
તેથી,$m + n = 3 + 7 = 10$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)^{\frac{2}{3}} + 4 - 3\frac{d^2y}{dx^2} + 5\frac{dy}{dx} = 0$.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિતના અપૂર્ણાંક ઘાતાંકને દૂર કરવો પડશે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)^{\frac{2}{3}} = 3\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} - 4$.
અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે બંને બાજુ ઘન (cube) લેતા: $\left( \left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)^{\frac{2}{3}} \right)^3 = \left( 3\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} - 4 \right)^3$.
આનું સાદું રૂપ: $\left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)^2 = \left( 3\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} - 4 \right)^3$.
અહીં સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^3y}{dx^3}$ છે,જેનો ક્રમ $3$ છે.
સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી,સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિતનો ઘાતાંક $2$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $2$ છે.

(D) વિકલ સમીકરણની ઘાત ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે તે તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી સમીકરણ હોય.
આપેલ સમીકરણ $\left( \frac{d^3y}{dx^3} \right)^2 + 4\left( \frac{dy}{dx} \right)^3 = 3\sin \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)$ માં,પદ $\sin \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)$ એ વિકલિતનું ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેય છે.
આથી,આ સમીકરણને તેના વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતું નથી,તેથી તેની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(B) જો પરતંત્ર ચલ $y$ અને તેના વિકલિતો માત્ર પ્રથમ ઘાતમાં હોય અને તેમનો ગુણાકાર ન થયેલ હોય,તો તે વિકલ સમીકરણ સુરેખ કહેવાય છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{d^3y}{dx^3}-5y \frac{dy}{dx}+xy=0$ માં,પદ $y \frac{dy}{dx}$ એ પરતંત્ર ચલ $y$ અને તેના વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ નો ગુણાકાર દર્શાવે છે.
આ ગુણાકારને કારણે,સમીકરણ અસુરેખ છે.
સૌથી મોટા વિકલિત $\frac{d^3y}{dx^3}$ ની કક્ષા $3$ છે.
સૌથી મોટા વિકલિતની ઘાત $1$ છે.
તેથી,આ $3$ કક્ષા અને $1$ ઘાત ધરાવતું અસુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} = \cos \left( \frac{dy}{dx} \right) + xy$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એ તેના વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે.
આ સમીકરણમાં,$\cos \left( \frac{dy}{dx} \right)$ પદમાં વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ નું ત્રિકોણમિતીય વિધેય હોવાથી,આ સમીકરણને વિકલિતોની બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ વ્યાખ્યાયિત નથી.

(D) વિધાન $1$ માટે:
પ્રથમ વિકલ સમીકરણ ધ્યાનમાં લો: $\frac{dy}{dx} + y^2 = x$. અહીં ઉચ્ચતમ ક્રમનું વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ (ક્રમ $1$) છે,અને તેની ઘાત $1$ છે. તેથી,તેની ઘાત $1$ છે.
બીજું વિકલ સમીકરણ ધ્યાનમાં લો: $\frac{d^2y}{dx^2} + y = \sin x$. અહીં ઉચ્ચતમ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ (ક્રમ $2$) છે,અને તેની ઘાત $1$ છે. તેથી,તેની ઘાત $1$ છે.
બંને સમીકરણોની ઘાત $1$ હોવાથી,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$ માટે:
આ વિકલ સમીકરણની ઘાતની પ્રમાણિત વ્યાખ્યા છે. તે વિકલિતોમાં બહુપદી છે,અને ઘાત એ ઉચ્ચતમ ક્રમના વિકલિતની ઉચ્ચતમ ઘાત છે. તેથી,વિધાન $2$ સાચું છે.
નિષ્કર્ષ:
વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ માં ઘાત નક્કી કરવા માટે વપરાતી વ્યાખ્યા પૂરી પાડે છે,જે તેને સાચી સમજૂતી બનાવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - \cos x = 0$ છે.
સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ છે,જે પ્રથમ કક્ષાનું વિકલિત છે. તેથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $1$ છે.
આ સમીકરણ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ ના પદમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં છે. સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ નો મહત્તમ ઘાતાંક $1$ છે. તેથી,વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ $1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$ છે.
$1$. વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ છે,તેથી તેની કક્ષા $2$ છે.
$2$. વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત છે,જો સમીકરણ વિકલિતોમાં બહુપદી હોય. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિત $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ નો ઘાતાંક $1$ છે. સમીકરણ તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી હોવાથી,તેની ઘાત $1$ છે.
તેથી,કક્ષા $2$ છે અને ઘાત $1$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^{\prime \prime \prime} + y^2 + e^{y^{\prime}} = 0$ છે.
સમીકરણમાં રહેલ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $y^{\prime \prime \prime}$ છે,જે ત્રીજું વિકલન દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $3$ છે.
જો કોઈ વિકલ સમીકરણ તેના વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં હોય,તો જ તેનું પરિમાણ વ્યાખ્યાયિત ગણાય છે.
આ સમીકરણમાં,પદ $e^{y^{\prime}}$ માં વિકલિત $y^{\prime}$ નું ઘાતાંકીય વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે સમીકરણને તેના વિકલિતોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
આમ,આ વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ વ્યાખ્યાયિત નથી.