Order and degree of differential equations Questions in Gujarati

(D) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y = a_1(a_2 + a_3) \cdot \cos(x + a_4) - a_5 e^{x + a_6}$ છે.
ધારો કે $C_1 = a_1(a_2 + a_3)$,$C_2 = a_4$,$C_3 = a_5$,અને $C_4 = a_6$.
તેથી સમીકરણને $y = C_1 \cos(x + C_2) - C_3 e^{x + C_4}$ તરીકે લખી શકાય.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(x + C_2) = \cos x \cos C_2 - \sin x \sin C_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = C_1(\cos x \cos C_2 - \sin x \sin C_2) - C_3 e^{x + C_4}$.
$y = (C_1 \cos C_2) \cos x - (C_1 \sin C_2) \sin x - (C_3 e^{C_4}) e^x$.
ધારો કે $A = C_1 \cos C_2$,$B = -C_1 \sin C_2$,અને $D = -C_3 e^{C_4}$.
આમ,સમીકરણ $y = A \cos x + B \sin x + D e^x$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
અહીં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકો $(A, B, D)$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા તેના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $3$ છે.

(A) $n$ ક્રમના વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં $n$ સ્વૈર અચળાંકો હોય છે.
અહીં આપેલ વિકલ સમીકરણ ચોથા ક્રમનું હોવાથી,$n$ ની કિંમત $4$ છે.
તેથી,તેના વ્યાપક ઉકેલમાં સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા $4$ છે.

(D) વિકલ સમીકરણની ઘાત ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે તે તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી સમીકરણ હોય.
આપેલ સમીકરણ $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0$ માં,પદ $\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)$ એ વિકલિત $\frac{d y}{d x}$ નું ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેય છે.
આ પદને વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી,તેથી આ વિકલ સમીકરણ બહુપદી સમીકરણ નથી.
આથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત અવ્યાખ્યાયિત છે.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,$n$ ક્રમના વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં $n$ સ્વૈર અચળાંકો હોય છે.
જોકે,વિશિષ્ટ ઉકેલ આ સ્વૈર અચળાંકોને ચોક્કસ કિંમતો આપીને મેળવવામાં આવે છે,જે સામાન્ય રીતે આપેલ પ્રારંભિક અથવા સીમા શરતોને સંતોષે છે.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલમાં કોઈ સ્વૈર અચળાંક હોતા નથી.
આમ,ચોથા ક્રમના વિકલ સમીકરણ માટે,તેના વિશિષ્ટ ઉકેલમાં સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા $0$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં હાજર રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત (derivative) ના ક્રમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^4+\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0$ માં,હાજર વિકલિતો $\frac{d^3 y}{d x^3}$,$\frac{d^2 y}{d x^2}$,અને $\frac{d y}{d x}$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,જેનો ક્રમ $3$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.

(D) વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ એ વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વૈર અચળાંકોને ચોક્કસ કિંમતો આપીને મેળવવામાં આવતો ઉકેલ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,વિશિષ્ટ ઉકેલમાં કોઈ પણ સ્વૈર અચળાંક હોતા નથી.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલમાં સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ક્રમ છે. આપેલ સમીકરણમાં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને તેના વિકલિતોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણમાં $\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)$ પદ છે,જે વિકલિતનું ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેય છે.
કારણ કે સમીકરણને તેના વિકલિતોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી,તેથી ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,ક્રમ $2$ છે અને ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $1+(\frac{dy}{dx})^2=\sqrt{\frac{d^2y}{dx^2}}$
કક્ષા અને પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને વર્ગમૂળ દૂર કરીએ છીએ:
$(1+(\frac{dy}{dx})^2)^2 = \frac{d^2y}{dx^2}$
સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતનો ઘાત $1$ છે,તેથી પરિમાણ $1$ છે.
તેથી,કક્ષા અને પરિમાણ અનુક્રમે $2$ અને $1$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{1/2}$.
અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે,બંને બાજુ $6$ (જે $2$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી છે) ઘાત લેતા:
$\left(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/3}\right)^6 = \left(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{1/2}\right)^6$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^3$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી કક્ષા $3$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
આમ,કક્ષા અને ઘાત અનુક્રમે $3$ અને $3$ છે.

(D) વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ એ વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વૈર અચળાંકોને ચોક્કસ કિંમતો આપીને મેળવવામાં આવતો ઉકેલ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,વિશિષ્ટ ઉકેલમાં કોઈ પણ સ્વૈર અચળાંક હોતા નથી.
તેથી,કોઈપણ ક્રમના વિકલ સમીકરણ માટે,જેમાં ચોથા ક્રમનું વિકલ સમીકરણ પણ આવી જાય છે,તેના વિશિષ્ટ ઉકેલમાં સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા $0$ હોય છે.

(D) વિકલ સમીકરણની ઘાત ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે તે તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી સમીકરણ હોય.
આપેલ સમીકરણ $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^5+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0$ માં,પદ $\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$ એ વિકલિત $\frac{d y}{d x}$ નું ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેય છે.
આ પદને વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું ન હોવાથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(y^{\prime \prime \prime}\right)^3+\left(y^{\prime \prime}\right)^4+\left(y^{\prime}\right)^4+y=7$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એટલે સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા.
અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $y^{\prime \prime \prime}$ છે,જેની કક્ષા $3$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $3$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એટલે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે ત્યારે સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતનો ઘાતાંક.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $y^{\prime \prime \prime}$ છે અને તેનો ઘાતાંક $3$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $3$ છે.
આમ,કક્ષા અને ઘાત અનુક્રમે $3$ અને $3$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2} = \left(1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right)^{1/3}$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ ઘન કરીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે:
$\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = 1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2$.
સૌથી વધુ વિકલનનો ક્રમ $2$ છે,તેથી વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.
સમીકરણને વિકલનના બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી સૌથી વધુ વિકલનની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $2$ અને $3$ છે.

(B) ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને સંકલન ચિહ્ન દૂર કરીએ છીએ.
આપેલ છે: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3+\left(\frac{d y}{d x}\right)=\int y d x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d x} \left[ \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 + \frac{d y}{d x} \right] = \frac{d}{d x} \left( \int y d x \right)$.
$3 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 \cdot \frac{d^3 y}{d x^3} + \frac{d^2 y}{d x^2} = y$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી ક્રમ $3$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલનની ઘાત $1$ છે,તેથી ઘાત $1$ છે.
જોકે,પાઠ્યપુસ્તકના સામાન્ય પ્રશ્નોમાં,જો આપણે મૂળ સમીકરણમાં રહેલા ઉચ્ચતમ વિકલનને ધ્યાનમાં લઈએ,તો ક્રમ $2$ અને ઘાત $3$ મળે છે. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $B$ ($2$ અને $3$) છે.

(B) આપેલ ત્રિજ્યા '$a$' અને ચલ કેન્દ્ર $(h, k)$ ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$
અહીં,'$h$' અને '$k$' એ બે સ્વૈર અચળાંકો છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ તેના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં $2$ સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $ y = x \frac{dy}{dx} + \frac{2}{dy/dx} $ છે.
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $ \frac{dy}{dx} $ વડે ગુણતા:
$ y \left( \frac{dy}{dx} \right) = x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2 $.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $ x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y \left( \frac{dy}{dx} \right) + 2 = 0 $.
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $ \frac{dy}{dx} $ છે,તેથી તેનો ક્રમ (order) $ 1 $ છે.
સૌથી મોટા વિકલનની મહત્તમ ઘાત $ 2 $ છે,તેથી તેની ઘાત (degree) $ 2 $ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $ 1 $ અને $ 2 $ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right)^{2/3} = \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ ઘન કરીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે:
$\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right)^{2} = \left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
અહીં કક્ષા $n$ એ સૌથી વધુ વિકલન છે,જે $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,તેથી $n = 2$.
ઘાત $m$ એ સૌથી વધુ વિકલનની ઘાત છે,જે $3$ છે,તેથી $m = 3$.
હવે,જરૂરી કિંમતની ગણતરી કરીએ: $\frac{m+n}{m-n} = \frac{3+2}{3-2} = \frac{5}{1} = 5$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3+x^4=0$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ સમીકરણમાં હાજર રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,તેથી કક્ષા $a = 2$ છે.
વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2 y}{d x^2}$ ની ઘાત $2$ છે,તેથી પરિમાણ $b = 2$ છે.
તેથી,$a - b = 2 - 2 = 0$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2=\left(\frac{d^2y}{dx^2}+1\right)^{1/3}$.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ ઘન (cube) કરીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે:
$\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2\right]^3 = \frac{d^2y}{dx^2}+1$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ $(a+b+c)^3$ નો ઉપયોગ કરીને કરતા,સૌથી વધુ વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ ની મહત્તમ ઘાત $\left(\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2\right)^3 = \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^6$ પદમાંથી મળશે.
અહીં સૌથી વધુ વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે અને સમીકરણને સંમેય કર્યા પછી તેની મહત્તમ ઘાત $6$ છે,તેથી વિકલ સમીકરણની ઘાત $6$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+y_1^2)^{2/3} = y_2$ છે.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવી પડશે.
સમીકરણની બંને બાજુએ ઘન લેતા:
$((1+y_1^2)^{2/3})^3 = (y_2)^3$
$(1+y_1^2)^2 = y_2^3$.
અહીં,સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $y_2$ છે,જે દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $2$ છે.
પરિમાણ એ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ કરણી અને અપૂર્ણાંકથી મુક્ત હોય.
$y_2$ ની ઘાત $3$ છે,તેથી પરિમાણ $3$ છે.
કક્ષા અને પરિમાણનો સરવાળો $2 + 3 = 5$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $y = c_{1} e^{c_{2}+x} + c_{3} e^{c_{4}+x}$
ઘાતાંકના નિયમ $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = c_{1} e^{c_{2}} e^{x} + c_{3} e^{c_{4}} e^{x}$
$e^{x}$ સામાન્ય લેતા:
$y = (c_{1} e^{c_{2}} + c_{3} e^{c_{4}}) e^{x}$
અહીં $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ અચળાંકો હોવાથી,પદ $(c_{1} e^{c_{2}} + c_{3} e^{c_{4}})$ પણ એક અચળાંક છે. ધારો કે $A = c_{1} e^{c_{2}} + c_{3} e^{c_{4}}$.
તેથી સમીકરણ સરળ બનીને મળે છે:
$y = A e^{x}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = A e^{x}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $y = A e^{x}$,તેથી:
$\frac{dy}{dx} = y$
આ પ્રથમ ક્રમનું વિકલ સમીકરણ છે. તેથી,તેનો ક્રમ $1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\sqrt[3]{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}$
ઘાત શોધવા માટે,આપણે કરણી દૂર કરવી પડશે. સમીકરણની બંને બાજુઓનો ઘન કરતા:
$\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3} = 1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલું સૌથી ઉચ્ચ વિકલન છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલન $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને વિકલનોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે. અહીં,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
તેથી,ઘાત $3$ છે અને કક્ષા $2$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}+\sin \left(\frac{dy}{dx}\right)\right]^{\frac{3}{4}}=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,સમીકરણ તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી હોવું જોઈએ.
$\sin \left(\frac{dy}{dx}\right)$ પદને કારણે આ સમીકરણ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ ના સંદર્ભમાં બહુપદી નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ તેમાં રહેલ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત છે,જે $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(y^{\prime \prime}\right)^{5}+4 \cdot \frac{\left(y^{\prime \prime}\right)^{3}}{y^{\prime \prime \prime}}+y^{\prime \prime \prime}=\sin x$ છે.
કક્ષા અને પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને $y^{\prime \prime \prime}$ વડે ગુણીને અપૂર્ણાંક દૂર કરવો પડશે.
$y^{\prime \prime \prime}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $\left(y^{\prime \prime}\right)^{5} \cdot y^{\prime \prime \prime} + 4 \cdot \left(y^{\prime \prime}\right)^{3} + \left(y^{\prime \prime \prime}\right)^{2} = \sin x \cdot y^{\prime \prime \prime}$.
અહીં સૌથી વધુ કક્ષાનું વિકલન $y^{\prime \prime \prime}$ છે,તેથી કક્ષા $m = 3$ છે.
પરિમાણ $n$ એ સૌથી વધુ કક્ષાના વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલનોના બહુપદી સ્વરૂપમાં હોય.
સૌથી વધુ કક્ષાના વિકલન વાળું પદ $\left(y^{\prime \prime \prime}\right)^{2}$ છે,તેથી પરિમાણ $n = 2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y = x \frac{dp}{dx} + \sqrt{a^{2} p^{2} + b^{2}}$ છે,જ્યાં $p = \frac{dy}{dx}$.
$p = \frac{dy}{dx}$ મૂકતા,આપણને મળે $y = x \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) + \sqrt{a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}}$.
આનું સાદું રૂપ $y = x \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \sqrt{a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}}$ થાય છે.
પદોને ગોઠવતા,$y - x \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \sqrt{a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left( y - x \frac{d^{2}y}{dx^{2}} \right)^{2} = a^{2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^{2} + b^{2}$.
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,તેથી ક્રમ (order) $2$ છે.
સૌથી મોટા વિકલનની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત (degree) $2$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $2$ અને $2$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}\right]^{\frac{1}{3}}=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $3$ ઘાત લઈને અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવી પડશે:
$\left[\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}\right]^{\frac{1}{3}}\right]^{3}=\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
આનું સાદું રૂપ $1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}=\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$ થાય છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલન છે,જે $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
પરિમાણ એ સમીકરણને રેડિકલ અને અપૂર્ણાંકથી મુક્ત કર્યા પછી સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે,જે $3$ છે.
તેથી,કક્ષા અને પરિમાણ અનુક્રમે $2$ અને $3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right]^{2}=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતને ઓળખીએ છીએ.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનો વિકલિત $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,જેનો ક્રમ $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એટલે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે ત્યારે સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતનો ઘાતાંક.
આપેલ સમીકરણમાં,સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિત $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ નો ઘાતાંક $1$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $1$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{d^2 y}{d x^2} = \left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right)^{-1/2}$.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે ઋણ ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે. બંને બાજુ $\left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right)^{1/2}$ વડે ગુણતા:
$x \frac{d^2 y}{d x^2} \left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right)^{1/2} = 1$.
હવે,અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 \left(1 + \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right) = 1$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 + x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^4 = 1$ મળે છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,તેથી કક્ષા $k = 2$.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની મહત્તમ ઘાત $4$ છે,તેથી ઘાત $l = 4$.
આપણે તે દ્વિઘાત સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $k = 2$ અને $l = 4$ હોય.
સમીકરણ $(x - 2)(x - 4) = 0$ થશે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 6x + 8 = 0$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{-\frac{7}{2}} \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{-\frac{5}{2}} \left(\frac{d^4 y}{d x^4}\right)$ છે.
ઋણ ઘાતાંક દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{7}{2}}$ વડે ગુણતા:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) \left(\frac{d^4 y}{d x^4}\right)$.
અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^4 = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 \left(\frac{d^4 y}{d x^4}\right)^2$.
અહીં સૌથી વધુ વિકલન $\frac{d^4 y}{d x^4}$ છે,તેથી કક્ષા $4$ છે.
સૌથી વધુ વિકલનની ઘાત $2$ છે,તેથી પરિમાણ $2$ છે.
કક્ષા અને પરિમાણનો તફાવત $4 - 2 = 2$ થાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^4 y}{d x^4} = \{c + (\frac{d y}{d x})^2\}^{\frac{3}{2}}$.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવી પડશે:
$(\frac{d^4 y}{d x^4})^2 = \{c + (\frac{d y}{d x})^2\}^3$.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલું સૌથી ઉચ્ચ વિકલન છે,જે $4$ છે.
પરિમાણ એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલનોના બહુપદી સ્વરૂપમાં હોય,જે $2$ છે.
તેથી,કક્ષા અને પરિમાણનો સરવાળો $4 + 2 = 6$ થાય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^3 y}{d x^3} = \left[1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^{5/2}$.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left[1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^5$.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ તેમાં રહેલ સૌથી ઉચ્ચ વિકલન છે,જે $3$ છે ($\frac{d^3 y}{d x^3}$ માંથી).
ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને રેડિકલ અને અપૂર્ણાંકથી મુક્ત કરવામાં આવે,જે $2$ છે.
તેથી,ક્રમ $3$ છે અને ઘાત $2$ છે.

(A) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y=a^3 e^{b^2 x+c}$ છે.
આપણે તેને $y = (a^3 e^c) e^{b^2 x}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $K = a^3 e^c$,જ્યાં $K$ એક સ્વૈર અચળાંક છે કારણ કે $a$ અને $c$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
આમ,સમીકરણ $y = K e^{b^2 x}$ બને છે.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = K e^{b^2 x} \cdot b^2$.
કારણ કે $y = K e^{b^2 x}$,આપણે આ કિંમત વિકલનમાં મૂકીએ:
$\frac{dy}{dx} = b^2 y$.
આ પ્રથમ ક્રમનું વિકલ સમીકરણ છે કારણ કે તેમાં માત્ર પ્રથમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ નો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/2} = \left(1+\frac{d y}{d x}\right)^{4/3}$.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંક ઘાતાંકો દૂર કરવા પડશે.
પ્રથમ,બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) = \left(1+\frac{d y}{d x}\right)^{8/3}$.
ત્યારબાદ,બાકી રહેલા અપૂર્ણાંકને દૂર કરવા માટે બંને બાજુ ઘન કરતા: $x^6 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = \left(1+\frac{d y}{d x}\right)^8$.
હવે,આ સમીકરણ વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત $3$ છે,તેથી પરિમાણ $3$ છે.
કક્ષા અને પરિમાણનો સરવાળો $2 + 3 = 5$ થાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{\frac{1}{2}} = 2\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{4}} - x y$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે વિકલિતોના અપૂર્ણાંક ઘાતાંકોને દૂર કરવા પડશે.
ઘાતાંકો $\frac{1}{2}$ અને $\frac{1}{4}$ છે. છેદ $2$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $4$ છે.
બંને બાજુ $4$ ઘાત લેતા,આપણને મળે છે:
$\left(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^4 = \left(2\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{4}} - x y\right)^4$
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = \left(2\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{4}} - x y\right)^4$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,સૌથી મોટું વિકલિત $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી ક્રમ $3$ છે.
રેડિકલ દૂર કર્યા પછી સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિત $\frac{d^3 y}{d x^3}$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
તેથી,ક્રમ $3$ અને ઘાત $2$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y = e^{\left(\frac{dy}{dx} + \frac{d^2y}{dx^2}\right)}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(y) = \frac{dy}{dx} + \frac{d^2y}{dx^2}$
સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી ક્રમ $\alpha = 2$.
સૌથી વધુ ક્રમના વિકલનની ઘાત $1$ છે,તેથી ઘાત $\beta = 1$.
આપણે સરવાળો $S = \alpha + \alpha^\beta + \alpha^{2\beta} + \ldots + \alpha^{2023\beta}$ શોધવાનો છે.
$\alpha = 2$ અને $\beta = 1$ મૂકતા: $S = 2 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2023}$.
આ $2024$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 2$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ અને પદોની સંખ્યા $n = 2024$ છે.
સરવાળો $S = 2 + (2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{2023}) = 2 + \frac{2(2^{2023} - 1)}{2 - 1} = 2 + 2^{2024} - 2 = 2^{2024}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $3 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}-\sin \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)+\cos (x y)=0$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિત જેટલો હોય છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી ક્રમ $3$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે.
અહીં પદ $\sin \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)$ માં વિકલિતનું ત્રિકોણમિતીય વિધેય હોવાથી,તેને વિકલિતોની બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = (2x + 3\frac{dy}{dx})^2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,તે તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી સમીકરણ હોવું જોઈએ.
અહીં,પદ $\log \left(\frac{dy}{dx}\right)$ એ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ નું ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેય છે.
આથી,આ સમીકરણને $\frac{dy}{dx}$ માં બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી,તેથી આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(A) અચળ ત્રિજ્યા $a$ ધરાવતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $(h, k)$ એ કેન્દ્રના યામ છે.
અહીં,$h$ અને $k$ એ બે સ્વૈર અચળાંકો છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં $2$ સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ થશે.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
વધુમાં,$2$ સ્વૈર અચળાંકો ધરાવતું બીજગણિતીય સમીકરણ એ દ્વિતીય ક્રમના વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ દર્શાવે છે,તેથી કારણ $(R)$ સાચું છે અને તે $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^m y}{d x^m} + \frac{d^n y}{d x^n}\right)^{p/q} = 5 \frac{d^r y}{d x^r}$ છે.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $q$ ઘાત લઈએ છીએ: $\left(\frac{d^m y}{d x^m} + \frac{d^n y}{d x^n}\right)^p = 5^q \left(\frac{d^r y}{d x^r}\right)^q$.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે. $n < r < m$ આપેલ હોવાથી,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^m y}{d x^m}$ છે.
કક્ષા $4$ આપેલ હોવાથી,આપણને $m = 4$ મળે છે.
પરિમાણ એ સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવતી વખતે સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^m y}{d x^m}$ છે અને તેની ઘાત $p$ છે.
પરિમાણ $3$ આપેલ હોવાથી,આપણને $p = 3$ મળે છે.
આમ,$m = 4$ અને $p = 3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^3 y}{d x^3} = 0$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં ત્રણ વખત સંકલન કરતા:
પ્રથમ સંકલન: $\frac{d^2 y}{d x^2} = c_1$.
બીજું સંકલન: $\frac{d y}{d x} = c_1 x + c_2$.
ત્રીજું સંકલન: $y = \frac{c_1}{2} x^2 + c_2 x + c_3$.
ધારો કે $a = \frac{c_1}{2}$,$b = c_2$,અને $c = c_3$,તો આપણને $y = a x^2 + b x + c$ મળે છે.
આ ઉકેલમાં વિકલ સમીકરણના ક્રમ જેટલા જ ત્રણ સ્વૈર અચળાંકો $(a, b, c)$ હોવાથી,તે વ્યાપક ઉકેલ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y^2(y^{\prime \prime})^2 + 3x(y^{\prime})^{1/3} + x^2y^2 = \sin x$.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે વિકલિતના અપૂર્ણાંક ઘાતાંકને દૂર કરવો પડશે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $y^2(y^{\prime \prime})^2 + x^2y^2 - \sin x = -3x(y^{\prime})^{1/3}$.
$1/3$ ઘાત દૂર કરવા માટે બંને બાજુ ઘન કરતા: $(y^2(y^{\prime \prime})^2 + x^2y^2 - \sin x)^3 = (-3x)^3(y^{\prime}) = -27x^3(y^{\prime})$.
સૌથી વધુ કક્ષાનું વિકલિત $y^{\prime \prime}$ છે,તેથી કક્ષા $a = 2$.
સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી બનાવ્યા પછી સૌથી વધુ કક્ષાના વિકલિતનો મહત્તમ ઘાત $2 \times 3 = 6$ છે. તેથી,પરિમાણ $b = 6$.
$a = 2$ અને $b = 6$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $b = 3a$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{dy}{dx}} - 4\frac{dy}{dx} - 7x = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{\frac{dy}{dx}} = 4\frac{dy}{dx} + 7x$ મળે છે.
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = (4\frac{dy}{dx} + 7x)^2$
$\frac{dy}{dx} = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 49x^2 + 56x\frac{dy}{dx}$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી કક્ષા $1$ છે.
વિકલનના બહુપદી સ્વરૂપમાં ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનનો ઘાતાંક $2$ છે,તેથી પરિમાણ $2$ છે.
આમ,કક્ષા $1$ અને પરિમાણ $2$ છે.

(A) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ $y=(c_1+c_2) \sin (x+c_3)+c_4 e^{x+c_5}$ છે.
અચળાંકોને બદલીને આપણે પદાવલિને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
ધારો કે $A = c_1+c_2$ અને $B = c_4 e^{c_5}$.
તેથી સમીકરણ $y = A \sin (x+c_3) + B e^x$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin (x+c_3) = \sin x \cos c_3 + \cos x \sin c_3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = A (\sin x \cos c_3 + \cos x \sin c_3) + B e^x$
$y = (A \cos c_3) \sin x + (A \sin c_3) \cos x + B e^x$.
ધારો કે $K_1 = A \cos c_3$,$K_2 = A \sin c_3$,અને $K_3 = B$.
આમ,$y = K_1 \sin x + K_2 \cos x + K_3 e^x$.
અહીં $3$ આવશ્યક સ્વૈર અચળાંકો $(K_1, K_2, K_3)$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા તેના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા આવશ્યક સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $3$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2-\left(\frac{d y}{d x}\right)^3=y^3$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એટલે તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એટલે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે ત્યારે સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ઘાત. અહીં,$\frac{d^2 y}{d x^2}$ નો ઘાત $2$ છે,તેથી પરિમાણ $2$ છે.
પરિમાણ અને કક્ષાનો ગુણાકાર $2 \times 2 = 4$ થાય છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y = x(\frac{dy}{dx})^3 + \frac{d^2y}{dx^2}$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એટલે તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એટલે જ્યારે સમીકરણને વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે ત્યારે સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ઘાતાંક. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ નો ઘાતાંક $1$ છે.
આમ,કક્ષા $2$ છે અને ઘાત $1$ છે.
કક્ષા અને ઘાતનો સરવાળો $2 + 1 = 3$ થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y_3^{2/3} + 2 + 3y_2 + y_1 = 0$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતના અપૂર્ણાંક ઘાતાંકને દૂર કરવો પડશે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $y_3^{2/3} = -(2 + 3y_2 + y_1)$ મળે છે.
અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવા માટે બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને $(y_3^{2/3})^3 = (-(2 + 3y_2 + y_1))^3$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y_3^2 = -(2 + 3y_2 + y_1)^3$ થાય છે.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલિત $y_3$ (ત્રીજું વિકલિત) છે અને સમીકરણને સંમેય કર્યા પછી તેની ઘાત $2$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $2$ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$y = px + \sqrt{a^2p^2 + b^2}$,જ્યાં $p = \frac{dy}{dx}$.
ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને વર્ગમૂળ દૂર કરીએ:
$\sqrt{a^2p^2 + b^2} = y - px$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$a^2p^2 + b^2 = (y - px)^2$
$a^2p^2 + b^2 = y^2 + p^2x^2 - 2xyp$
પદોને ગોઠવતા:
$(x^2 - a^2)p^2 - 2xyp + (y^2 - b^2) = 0$
$p = \frac{dy}{dx}$ મૂકતા:
$(x^2 - a^2)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 2xy\left(\frac{dy}{dx}\right) + (y^2 - b^2) = 0$
અહીં સૌથી ઉચ્ચ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $1$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $2$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $1$ અને $2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \left(\frac{d^2y}{dx^2} + 2\right)^{1/2} + \frac{d^2y}{dx^2} + 5$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{d^2y}{dx^2} - 5 = \left(\frac{d^2y}{dx^2} + 2\right)^{1/2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left(\frac{dy}{dx} - \frac{d^2y}{dx^2} - 5\right)^2 = \frac{d^2y}{dx^2} + 2$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + 25 - 2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2} - 10\frac{dy}{dx} + 10\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y}{dx^2} + 2$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2} - 10\frac{dy}{dx} + 9\frac{d^2y}{dx^2} + 23 = 0$
અહીં સૌથી વધુ વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સૌથી વધુ વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $2$ છે.

(C) $X$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયોના કુળનું સમીકરણ $y^2 = 4a(x - b)$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
આ બે અચળાંકોને દૂર કરવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a \implies y \frac{dy}{dx} = 2a$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y \frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 0$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત $1$ છે,તેથી ઘાત $1$ છે.
આમ,ઘાત અને કક્ષા અનુક્રમે $1$ અને $2$ છે.