Order and degree of differential equations Questions in Gujarati

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^4y}{dx^4} + \sin(y''') = 0$ છે.
સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^4y}{dx^4}$ છે,તેથી તેનો ક્રમ $4$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત ગણાય જો તેને તેના વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય.
આ સમીકરણમાં,$\sin(y''')$ પદમાં વિકલિતનું ત્રિકોણમિતીય વિધેય હોવાથી,આ સમીકરણને તેના વિકલિતોની બહુપદી તરીકે લખી શકાતું નથી.
તેથી,તેનો ક્રમ $4$ છે અને ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^{\prime} + 5y = 0$ છે.
વિકલ સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ વિકલન પ્રથમ ક્રમનું હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલન $y^{\prime}$ ની ઘાત $1$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{ds}{dt}\right)^{4} + 3s \frac{d^{2}s}{dt^{2}} = 0$ છે.
આ સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન દ્વિતીય ક્રમનું હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ તેના વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની ઘાતાંક છે.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિત $\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$ નો ઘાતાંક $1$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $1$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2}+\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)=0$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ક્રમ છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ છે,તેથી તેનો ક્રમ $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને તેના વિકલિતોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવવામાં આવે.
આ સમીકરણમાં,પદ $\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$ માં વિકલિતનું ત્રિકોણમિતીય વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે સમીકરણને તેના વિકલિતોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2} = \cos 3x + \sin 3x$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં હાજર રહેલા સર્વોચ્ચ વિકલનનો ક્રમ છે.
અહીં,સર્વોચ્ચ વિકલન $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ છે,તેથી તેનો ક્રમ $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સર્વોચ્ચ ક્રમના વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ તેના વિકલનોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણમાં,સર્વોચ્ચ ક્રમના વિકલન $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ની ઘાત $2$ છે.
તેથી,તેની ઘાત $2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(\frac{d^3y}{dx^3})^2 + (\frac{d^2y}{dx^2})^3 + (\frac{dy}{dx})^4 + y^5 = 0$ છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^3y}{dx^3}$ છે,તેથી તેની કક્ષા $3$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત છે,જો સમીકરણ તેના વિકલિતોમાં બહુપદી હોય. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિત $\frac{d^3y}{dx^3}$ ની ઘાત $2$ છે. તેથી,તેની ઘાત $2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y''' + 2y'' + y' = 0$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ વિકલનનો ક્રમ છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલન $y'''$ છે,જે ત્રીજા ક્રમનું વિકલન છે. તેથી,તેનો ક્રમ $3$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલનની ઘાત છે,જો સમીકરણ વિકલનોમાં બહુપદી હોય. અહીં,$y'''$ ની ઘાત $1$ છે. તેથી,તેની ઘાત $1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^{\prime} + y = e^{x}$ છે.
સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}$ છે,જેનો ક્રમ $1$ છે.
આ વિકલ સમીકરણ તેના વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી હોવાથી,તેની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની મહત્તમ ઘાત છે.
અહીં $y^{\prime}$ ની ઘાત $1$ છે. તેથી,તેની ઘાત $1$ છે.
આમ,ક્રમ $1$ છે અને ઘાત $1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y'' + (y')^2 + 2y = 0$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતનો ક્રમ છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $y''$ છે,તેથી તેનો ક્રમ $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની ઘાતાંક છે જ્યારે સમીકરણ તેના વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપે હોય. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિત $y''$ ની ઘાત $1$ છે.
આમ,ક્રમ $2$ છે અને ઘાત $1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^{\prime \prime} + 2y^{\prime} + \sin(y) = 0$ છે.
સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $y^{\prime \prime}$ છે,જે દ્વિતીય વિકલન દર્શાવે છે. તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.
વિકલ સમીકરણ વિકલિતોમાં બહુપદી હોય છે જો વિકલિતો $\sin$,$\cos$,$e^x$ જેવા ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેયોના ચલ ન હોય. આ સમીકરણમાં,$\sin(y)$ પદમાં $y$ છે,પરંતુ વિકલિતો $y^{\prime \prime}$ અને $y^{\prime}$ કોઈ ટ્રાન્સસેન્ડેન્ટલ વિધેયની અંદર નથી. આમ,આ સમીકરણ તેના વિકલિતોમાં બહુપદી છે.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિત $y^{\prime \prime}$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ છે. તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $1$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે જ્યારે તેને તેના વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય.
આ સમીકરણમાં,પદ $\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)$ માં વિકલિત એ ત્રિકોણમિતીય વિધેયના ચલ તરીકે છે,જે સમીકરણને તેના વિકલિતોમાં બહુપદી બનતા અટકાવે છે.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.
આમ,સાચો જવાબ $B$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+y=0$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એટલે તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતનો ક્રમ.
આ સમીકરણમાં,સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ છે,જે દ્વિતીય કક્ષાનું વિકલિત છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $2$ છે.
આમ,સાચો જવાબ $C$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ ક્રમના વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા તેના ક્રમ $n$ જેટલી હોય છે.
અહીં આપેલ વિકલ સમીકરણ ચોથા ક્રમનું છે,તેથી તેનો ક્રમ $n = 4$ છે.
તેથી,તેના વ્યાપક ઉકેલમાં સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા $4$ થશે.
આમ,સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) $n$ ક્રમના વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં $n$ સ્વૈર અચળાંકો હોય છે.
વિશિષ્ટ ઉકેલ આ સ્વૈર અચળાંકોને ચોક્કસ કિંમતો આપીને મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલમાં કોઈ સ્વૈર અચળાંક હોતા નથી.
આમ,સાચો જવાબ $A$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+5 x\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}-6 y=\log x$
$1$. વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ છે,જેની કક્ષા $2$ છે. તેથી,કક્ષા $2$ છે.
$2$. વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલિતોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવેલ હોય. સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ છે,અને તેનો ઘાતાંક $1$ છે. તેથી,ઘાત $1$ છે.
આમ,કક્ષા $2$ છે અને ઘાત $1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}-4\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}+7y=\sin x$
સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,જે પ્રથમ કક્ષાનું વિકલન છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની કક્ષા $1$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની મહત્તમ ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલનોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવેલ હોય.
અહીં,પ્રથમ કક્ષાના વિકલન $\frac{dy}{dx}$ ની મહત્તમ ઘાત $3$ છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણની ઘાત $3$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-\sin \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)=0$
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ સમીકરણમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે.
અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત $\frac{d^{4} y}{d x^{4}}$ છે,તેથી તેની કક્ષા $4$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને તેના વિકલિતોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવવામાં આવે.
અહીં પદ $\sin \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)$ માં વિકલિતનું ત્રિકોણમિતીય વિધેય હોવાથી,આ સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(A) પરવલય $x^2 = 4y$ માટે $m$ ઢાળવાળી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y = mx - am^2$ છે. અહીં $a = 1$ હોવાથી,સમીકરણ $y = mx - m^2$ થાય છે.
વિકલ સમીકરણ મેળવવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = m$.
$m = \frac{dy}{dx}$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = x(\frac{dy}{dx}) - (\frac{dy}{dx})^2$.
પદોને ગોઠવતા,$(\frac{dy}{dx})^2 - x(\frac{dy}{dx}) + y = 0$ મળે છે.
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ (order) $1$ છે.
સૌથી મોટા વિકલનની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત (degree) $2$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{d^2 y}{d x^2}}=\sqrt[5]{\frac{dy}{d x}-5}$ છે.
કક્ષા અને પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $10$ (જે $2$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી છે) ઘાત લઈને મૂળ દૂર કરીએ છીએ:
$(\frac{d^2 y}{d x^2})^{1/2} = (\frac{dy}{d x}-5)^{1/5}$
$(\frac{d^2 y}{d x^2})^{10/2} = (\frac{dy}{d x}-5)^{10/5}$
$(\frac{d^2 y}{d x^2})^5 = (\frac{dy}{d x}-5)^2$.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલ સૌથી ઉચ્ચ વિકલન છે,જે $2$ છે.
વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એ સમીકરણને વિકલનના બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે,જે $5$ છે.
તેથી,કક્ષા અને પરિમાણનો સરવાળો $2 + 5 = 7$ થાય છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2}+3\left(\frac{d y}{d x}\right)^2=x^2 \log \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)$ છે.
જો કોઈ વિકલ સમીકરણ તેના વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,તો જ તેની ઘાત વ્યાખ્યાયિત હોય છે.
આપેલ સમીકરણમાં,$\log \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)$ પદમાં દ્વિતીય ક્રમનું વિકલિત લઘુગણક વિધેયની અંદર છે,જેનો અર્થ છે કે આ સમીકરણને તેના વિકલિતોની બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{dy}{dx}} - 4\frac{dy}{dx} - 7x = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{\frac{dy}{dx}} = 4\frac{dy}{dx} + 7x$ મળે છે.
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = (4\frac{dy}{dx} + 7x)^2$ મળે છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$\frac{dy}{dx} = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 56x\frac{dy}{dx} + 49x^2$ મળે છે.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $1$ છે.
વિકલ સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી,ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની મહત્તમ ઘાત $2$ છે.
તેથી,ક્રમ $1$ અને ઘાત $2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $Ax^2 + By^2 = 1$ છે.
અહીં $2$ સ્વૈચ્છિક અચળાંકો ($A$ અને $B$) હોવાથી,આપણે સમીકરણનું બે વાર વિકલન કરીશું.
$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન: $2Ax + 2Byy' = 0$,જેનું સાદું રૂપ $Ax + Byy' = 0$ થાય છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન: $A + B(y')^2 + Byy'' = 0$.
પ્રથમ વિકલન પરથી,$A = -Byy'/x$.
$A$ ની કિંમત દ્વિતીય વિકલનમાં મૂકતા: $-Byy'/x + B(y')^2 + Byy'' = 0$.
$B$ વડે ભાગતા (ધારો કે $B \neq 0$): $-yy'/x + (y')^2 + yy'' = 0$.
$x$ વડે ગુણતા: $-yy' + x(y')^2 + xyy'' = 0$.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $y''$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિત $y''$ ની ઘાત $1$ છે,તેથી પરિમાણ $1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $3 - (\frac{d^3 y}{d x^3})^{\frac{7}{3}} = (\frac{dy}{d x})^5$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $3 - (\frac{dy}{d x})^5 = (\frac{d^3 y}{d x^3})^{\frac{7}{3}}$.
બંને બાજુ $3$ ઘાત લેતા: $(3 - (\frac{dy}{d x})^5)^3 = (\frac{d^3 y}{d x^3})^7$.
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી ક્રમ $3$ છે.
સમીકરણને અપૂર્ણાંક ઘાતથી મુક્ત કર્યા પછી સૌથી મોટા વિકલનની ઘાત $7$ છે,તેથી ઘાત $7$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left[\frac{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right]^2 = kx$
સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરીને સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^2}{\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3} = kx$
હવે,બંને બાજુ $\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$ વડે ગુણતા:
$\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^2 = kx \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે,જે $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં હોય,જે $3$ છે.
તેથી,કક્ષા $2$ અને ઘાત $3$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5 + 4 \frac{\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5}{\frac{d^3 y}{dx^3}} + \frac{d^3 y}{dx^3} = \sin x$.
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $\frac{d^3 y}{dx^3}$ વડે ગુણતા:
$\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5 \cdot \frac{d^3 y}{dx^3} + 4\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)^5 + \left(\frac{d^3 y}{dx^3}\right)^2 = \sin x \cdot \frac{d^3 y}{dx^3}$.
અહીં સૌથી વધુ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^3 y}{dx^3}$ છે,તેથી કક્ષા $m = 3$.
સૌથી વધુ કક્ષાના વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી પરિમાણ $n = 2$.
તેથી,$m^2 + n^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$.

(B) આપેલ વ્યાપક ઉકેલ: $y = (c_1 + c_2) \cos (x + c_3) - c_4 e^{x + c_5}$.
અચળાંકોને જૂથબદ્ધ કરીને સમીકરણને સરળ બનાવી શકાય છે:
ધારો કે $A = c_1 + c_2$ અને $B = c_4 e^{c_5}$.
તેથી સમીકરણ $y = A \cos (x + c_3) - B e^x$ બને છે.
કોસાઇન પદનું વિસ્તરણ કરતા: $y = A (\cos x \cos c_3 - \sin x \sin c_3) - B e^x$.
$y = (A \cos c_3) \cos x - (A \sin c_3) \sin x - B e^x$.
ધારો કે $K_1 = A \cos c_3$,$K_2 = -A \sin c_3$,અને $K_3 = -B$.
આમ,$y = K_1 \cos x + K_2 \sin x + K_3 e^x$.
અહીં $3$ સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકો $(K_1, K_2, K_3)$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ તેના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
તેથી,આપેલ વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left[1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{5/2} = 8 \frac{d^2y}{dx^2}$.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવી પડશે:
$\left[\left[1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^{5/2}\right]^2 = \left[8 \frac{d^2y}{dx^2}\right]^2$
$\left[1-\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]^5 = 64 \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સમીકરણને સંમેય કર્યા પછી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની ઘાત $2$ છે,તેથી પરિમાણ $2$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(1+\frac{dy}{dx}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{\frac{1}{2}}$
અપૂર્ણાંક ઘાતાંકો દૂર કરવા માટે,આપણે બંને બાજુઓને $6$ (જે $2$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી છે) ઘાત વડે વધારીએ છીએ:
$\left(\left(1+\frac{dy}{dx}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^6 = \left(\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^6$
$\left(1+\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલનની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $2$ અને $3$ છે.

(A) આપેલ વક્રોનું કુળ: $y^2 = 2C(x + \sqrt{C}) \quad \dots (i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 2C$
$\Rightarrow C = y \frac{dy}{dx} \quad \dots (ii)$
$(ii)$ માંથી $C$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$y^2 = 2 \left( y \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}} \right)$
$y = 2 \frac{dy}{dx} \left( x + \sqrt{y \frac{dy}{dx}} \right)$
$y - 2x \frac{dy}{dx} = 2 \frac{dy}{dx} \sqrt{y \frac{dy}{dx}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \left( y \frac{dy}{dx} \right)$
$(y - 2x \frac{dy}{dx})^2 = 4y \left( \frac{dy}{dx} \right)^3$
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $1$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $1$ અને $3$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y = \frac{dp}{dx} + \sqrt{a^2 p^2 - b^2}$ છે,જ્યાં $p = \frac{dy}{dx}$.
$p = \frac{dy}{dx}$ મુકતા,$\frac{dp}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d^2y}{dx^2}$ મળે.
તેથી,સમીકરણ $y = \frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2}$ બને છે.
પદોને ગોઠવતા,$y - \frac{d^2y}{dx^2} = \sqrt{a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2}$ મળે.
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(y - \frac{d^2y}{dx^2})^2 = a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2$ મળે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$y^2 + (\frac{d^2y}{dx^2})^2 - 2y(\frac{d^2y}{dx^2}) = a^2(\frac{dy}{dx})^2 - b^2$ મળે.
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી ક્રમ $m = 2$ છે.
સૌથી મોટા વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $n = 2$ છે.
તેથી,$m + n = 2 + 2 = 4$ થાય.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^5+4 \frac{\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)}{\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)}+\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)=x^2-1$.
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)$ વડે ગુણતા:
$\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right) \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^5 + 4 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) + \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2 = (x^2-1) \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી કક્ષા $m = 3$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $n = 2$ છે.
આમ,$m=3$ અને $n=2$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^2 y}{d x^2} = \sqrt{\frac{d y}{d x}}$
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને વર્ગમૂળની નિશાની દૂર કરવી પડશે:
$\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \frac{d y}{d x}$
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની કક્ષા છે,જે $2$ છે ($\frac{d^2 y}{d x^2}$ માંથી).
વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એ સમીકરણને વર્ગમૂળ અને અપૂર્ણાંકથી મુક્ત કર્યા પછી સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતનો ઘાત છે. અહીં,$\frac{d^2 y}{d x^2}$ નો ઘાત $2$ છે.
તેથી,કક્ષા $2$ છે અને પરિમાણ $2$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{dy}{dx}}-4 \frac{dy}{dx}-7x=0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{\frac{dy}{dx}}=4 \frac{dy}{dx}+7x$ મળે છે.
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = (4 \frac{dy}{dx} + 7x)^2$ મળે છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$\frac{dy}{dx} = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 56x(\frac{dy}{dx}) + 49x^2$ મળે છે.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $1$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $2$ છે.
આમ,ક્રમ $1$ અને ઘાત $2$ છે.

(C) વિકલ સમીકરણની ઘાત (degree) એ સૌથી વધુ ક્રમના વિકલિતની ઘાતાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જો સમીકરણને તેના વિકલિતોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય.
આપેલ સમીકરણ $e^{\frac{dy}{dx}} + (\frac{dy}{dx})^3 = x$ માં,$e^{\frac{dy}{dx}}$ પદમાં વિકલિત ઘાતાંકમાં છે,જેનો અર્થ છે કે તેને $\frac{dy}{dx}$ ના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{\frac{7}{3}}=7 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $3$ ઘાત લઈને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે:
$\left(\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{\frac{7}{3}}\right)^{3} = \left(7 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
આનું સાદું રૂપ $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{7} = 343 \left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$ થાય છે.
અહીં સૌથી વધુ વિકલન $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી સૌથી વધુ વિકલનનો ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $2$ અને $3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^2}} = (\frac{d^2y}{dx^2})^{3/2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^2} = (\frac{d^2y}{dx^2})^3$ મળે છે.
બંને બાજુ $(\frac{dy}{dx})^2$ વડે ગુણતા,$(\frac{dy}{dx})^2 + 1 = (\frac{d^2y}{dx^2})^3 (\frac{dy}{dx})^2$ મળે છે.
અહીં સૌથી વધુ વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સમીકરણને અપૂર્ણાંક અને કરણીથી મુક્ત કર્યા પછી,સૌથી વધુ વિકલનની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
આમ,કક્ષા અને ઘાત અનુક્રમે $2$ અને $3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left[1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^{2}}\right]^{\frac{5}{3}}=5 \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે.
કક્ષા અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $3$ ઘાત લઈને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરીએ છીએ:
$\left[1+\frac{1}{(\frac{dy}{dx})^{2}}\right]^{5} = (5 \frac{d^{2}y}{dx^{2}})^{3}$
$\left[\frac{(\frac{dy}{dx})^{2}+1}{(\frac{dy}{dx})^{2}}\right]^{5} = 125 (\frac{d^{2}y}{dx^{2}})^{3}$
$((\frac{dy}{dx})^{2}+1)^{5} = 125 (\frac{d^{2}y}{dx^{2}})^{3} (\frac{dy}{dx})^{10}$
અહીં સૌથી વધુ વિકલન $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી સૌથી વધુ વિકલનની ઘાત $3$ છે.
આમ,કક્ષા $2$ અને ઘાત $3$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y = px + \sqrt{a^{2}p^{2} + b^{2}}$,જ્યાં $p = \frac{dy}{dx}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y - px = \sqrt{a^{2}p^{2} + b^{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y - px)^{2} = a^{2}p^{2} + b^{2}$
$y^{2} - 2pxy + p^{2}x^{2} = a^{2}p^{2} + b^{2}$
$p = \frac{dy}{dx}$ મૂકતા:
$y^{2} - 2xy\left(\frac{dy}{dx}\right) + x^{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = a^{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + b^{2}$
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી તેનો ક્રમ $1$ છે.
સૌથી મોટા વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી તેની ઘાત $2$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $1$ અને $2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{\frac{7}{3}}=7\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)$.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવી પડશે. બંને બાજુ $3$ ઘાત લેતા:
$\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{3}\right]^{7} = 7^{3}\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલ સૌથી ઉચ્ચ વિકલન છે,જે $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
પરિમાણ એ સમીકરણને વિકલનના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવ્યા પછી સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની ઘાત છે. અહીં,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ની ઘાત $3$ છે.
આમ,કક્ષા $2$ છે અને પરિમાણ $3$ છે.

(C) પ્રથમ ચરણમાં આવેલા અને બંને અક્ષોને સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2$ મળે,જે $x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 0$ થાય છે.
અહીં,માત્ર એક સ્વૈચ્છિક અચળાંક $a$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ વક્રોના કુળના સામાન્ય સમીકરણમાં રહેલા સ્વતંત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં માત્ર $1$ સ્વૈચ્છિક અચળાંક હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^{\frac{7}{3}}=7\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)$ છે.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $3$ ઘાત લઈને અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવી પડશે:
$\left[\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^{\frac{7}{3}}\right]^3 = \left[7\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)\right]^3$
$\Rightarrow \left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^3\right]^7 = 343\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3$.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલ સૌથી ઉચ્ચ વિકલન છે,જે $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
પરિમાણ એ સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી બનાવ્યા પછી સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે,જે $3$ છે.
આમ,પરિમાણ $3$ છે અને કક્ષા $2$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{5}+4 \cdot \frac{\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}}{\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)}+\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)=x^{2}-1$ છે.
ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને $\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ વડે ગુણીને અપૂર્ણાંક દૂર કરીએ:
$\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{5} \cdot \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right) + 4 \left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3} + \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)^{2} = (x^{2}-1) \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)$.
સમીકરણમાં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ છે,તેથી ક્રમ $m = 3$ છે.
ઘાત એ સૌથી મોટા વિકલનની મહત્તમ ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલનોમાં બહુપદી સ્વરૂપે હોય. અહીં,$\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ ની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $n = 2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sqrt[3]{1-\left(\frac{d y}{d x}\right)^{4}}$ છે.
ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ ઘન કરીને કરણી દૂર કરીએ છીએ:
$\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3} = 1 - \left(\frac{d y}{d x}\right)^{4}$.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલનનો ક્રમ છે. અહીં,સૌથી ઉચ્ચ વિકલન $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણને વિકલનોના બહુપદી સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે. અહીં,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ની ઘાત $3$ છે.
તેથી,ક્રમ $2$ અને ઘાત $3$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{dy}{dx}} - 4 \frac{dy}{dx} - 7x = 0$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની નિશાની દૂર કરવી પડશે.
સમીકરણને $\sqrt{\frac{dy}{dx}} = 4 \frac{dy}{dx} + 7x$ તરીકે ફરીથી લખો.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\frac{dy}{dx}) = (4 \frac{dy}{dx} + 7x)^2$.
$(\frac{dy}{dx}) = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 49x^2 + 56x \frac{dy}{dx}$.
પદોને ગોઠવતા,$16(\frac{dy}{dx})^2 + (56x - 1)\frac{dy}{dx} + 49x^2 = 0$ મળે છે.
અહીં સૌથી વધુ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $1$ છે.
સૌથી વધુ વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $2$ છે.
આમ,ક્રમ $1$ અને ઘાત $2$ છે.

(B) આપેલ ઉકેલ: $y=(C_1+C_2) e^x+C_3 e^{x+C_4}$
આપણે આ પદાવલિને નીચે મુજબ સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$y = (C_1+C_2) e^x + C_3 e^x \cdot e^{C_4}$
ધારો કે $A = C_1+C_2$ અને $B = C_3 e^{C_4}$.
તેથી સમીકરણ $y = Ae^x + Be^x = (A+B) e^x$ બને છે.
ધારો કે $D = A+B$,જ્યાં $D$ એક સ્વૈર અચળાંક છે.
આમ,સમીકરણ $y = De^x$ માં પરિણમે છે.
ઉકેલના અંતિમ સ્વરૂપમાં માત્ર એક જ સ્વૈર અચળાંક હોવાથી,સંબંધિત વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sqrt{\frac{d^2 y}{d x^2}}=\sqrt[3]{\left(\frac{d y}{d x}\right)^4+2}$.
ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $6$ (જે $2$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી છે) ઘાત લઈને મૂળ દૂર કરીએ છીએ:
$\left(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/2}\right)^6 = \left(\left(\left(\frac{d y}{d x}\right)^4+2\right)^{1/3}\right)^6$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = \left(\left(\frac{d y}{d x}\right)^4+2\right)^2$.
અહીં સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
સમીકરણને સંમેય કર્યા પછી સૌથી વધુ ક્રમના વિકલનની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
આમ,ક્રમ $2$ છે અને ઘાત $3$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{5/4} = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{4/3}$.
અપૂર્ણાંક ઘાતાંકો દૂર કરવા માટે,બંને બાજુ $12$ (જે $4$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી છે) ઘાત લેતા:
$\left(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{5/4}\right)^{12} = \left(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{4/3}\right)^{12}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{15} = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{16}$ મળે છે.
સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^3 y}{d x^3}$ છે,તેથી ક્રમ $3$ છે.
સમીકરણને કરણી અને અપૂર્ણાંકથી મુક્ત કર્યા પછી સૌથી વધુ ક્રમના વિકલનની ઘાત $15$ છે,તેથી ઘાત $15$ છે.
આમ,ક્રમ $3$ અને ઘાત $15$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $e^{\frac{d^2 y}{d x^2}} = x$ છે.
ક્રમ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં હાજર સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન જોઈએ છીએ,જે $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે. તેથી,ક્રમ $2$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,વિકલ સમીકરણ તેના વિકલનોના સંદર્ભમાં બહુપદી હોવું જોઈએ. કારણ કે પદ $\frac{d^2 y}{d x^2}$ એ $e$ ના ઘાતાંકમાં છે,તેથી સમીકરણને તેના વિકલનોની બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,આ વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\{1+(\frac{dy}{dx})^2\}^{\frac{3}{2}}=\frac{d^2y}{dx^2}$.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે:
$\{1+(\frac{dy}{dx})^2\}^3 = (\frac{d^2y}{dx^2})^2$.
સૌથી વધુ કક્ષાનું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $p = 2$.
વિકલ સમીકરણને વિકલિતોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી સૌથી વધુ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $q = 2$.
તેથી,$p+q = 2+2 = 4$.