Mix Examples-Differential Equations Questions in Hindi

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+xy)y \, dx + (1-xy)x \, dy = 0$
पदों का विस्तार करने पर: $y \, dx + xy^2 \, dx + x \, dy - x^2y \, dy = 0$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(y \, dx + x \, dy) + xy(y \, dx - x \, dy) = 0$
$x^2y^2$ से भाग देने पर: $\frac{y \, dx + x \, dy}{x^2y^2} + \frac{y \, dx - x \, dy}{xy} = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{d(xy)}{(xy)^2} - \left(\frac{x \, dy - y \, dx}{xy}\right) = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d(xy)}{(xy)^2} - \int d\left(\log \frac{x}{y}\right) = \int 0$
$-\frac{1}{xy} - \log \left(\frac{x}{y}\right) = -k$
$\log \left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{xy} + k$

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ll}f(x) & f^{\prime}(x) \\ f^{\prime}(x) & f^{\prime \prime}(x)\end{array}\right|=0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $f(x) f^{\prime \prime}(x) - (f^{\prime}(x))^2 = 0$
$\Rightarrow f(x) f^{\prime \prime}(x) = (f^{\prime}(x))^2$
दोनों पक्षों को $f(x) f^{\prime}(x)$ से विभाजित करने पर: $\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)} dx = \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx$
$\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + C_1$
शर्तों $f(0)=1$ और $f^{\prime}(0)=2$ का उपयोग करने पर: $\ln(2) = \ln(1) + C_1 \Rightarrow C_1 = \ln(2)$
अतः,$\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + \ln(2) = \ln(2f(x))$
$\Rightarrow f^{\prime}(x) = 2f(x)$
$\Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2$
पुनः समाकलन करने पर: $\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int 2 dx$
$\ln(f(x)) = 2x + C_2$
$f(0)=1$ का उपयोग करने पर: $\ln(1) = 2(0) + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$
इस प्रकार,$\ln(f(x)) = 2x \Rightarrow f(x) = e^{2x}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$.
हम जाँचते हैं कि क्या $y=3 \sin x+4 \cos x$ एक हल है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x}=3 \cos x-4 \sin x$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2}=-3 \sin x-4 \cos x$.
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2}+y = (-3 \sin x-4 \cos x) + (3 \sin x+4 \cos x) = 0$.
चूँकि समीकरण संतुष्ट होता है,इसलिए $y=3 \sin x+4 \cos x$ एक हल है।
वैकल्पिक विधि:
$\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$ के लिए अभिलक्षणिक समीकरण $m^2+1=0$ है,जो $m = \pm i$ देता है।
अतः व्यापक हल $y=c_1 \cos x+c_2 \sin x$ है।
विकल्प $A$ इस रूप में है जहाँ $c_1=4$ और $c_2=3$ है।

(C) माना पहले वक्र की ढाल $m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}$ है।
माना दूसरे वक्र की ढाल $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x}$ है।
अब,ढालों का गुणनफल ज्ञात करें: $m_1 \times m_2 = \left(\frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}\right) \times \left(-\frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x}\right) = -1$.
चूंकि ढालों का गुणनफल $-1$ है,वक्र लंबकोणीय हैं,जिसका अर्थ है कि प्रतिच्छेदन कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।
अंत में,$4\theta - \frac{\pi}{2} = 4\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y dx - x dy + 3x^2 y^2 e^{x^3} dx = 0$.
पूरे समीकरण को $y^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{y dx - x dy}{y^2} + 3x^2 e^{x^3} dx = 0$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $d(\frac{x}{y}) + d(e^{x^3}) = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{x}{y} + e^{x^3} = C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
दिया गया है कि जब $x = 1$ है तब $y = 1$,इसलिए मान रखने पर: $\frac{1}{1} + e^{1^3} = C \Rightarrow C = 1 + e$.
$C$ का मान समीकरण में रखने पर: $\frac{x}{y} + e^{x^3} = 1 + e$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{x}{y} = 1 + e - e^{x^3} \Rightarrow x = y(1 + e - e^{x^3}) \Rightarrow x + y(e^{x^3} - (1 + e)) = 0$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x y \, dy - (1 + y^2) \, dx = 0$.
चरों को अलग करने पर,हमें मिलता है $\frac{y}{1 + y^2} \, dy = \frac{1}{x} \, dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{y}{1 + y^2} \, dy = \int \frac{1}{x} \, dx$.
$\frac{1}{2} \ln(1 + y^2) = \ln|x| + C$.
चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{1}{2} \ln(1 + 0) = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\ln(1 + y^2) = 2 \ln|x| \Rightarrow 1 + y^2 = x^2$.
वक्र $x^2 - y^2 = 1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
वक्र $x^2 + 3y^2 = 3$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 6y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु पर,$x^2 = 1 + y^2$. $x^2 + 3y^2 = 3$ में मान रखने पर: $(1 + y^2) + 3y^2 = 3 \Rightarrow 4y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = \frac{1}{2}$.
तब $x^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु पर,$m_1 m_2 = (\frac{x}{y})(-\frac{x}{3y}) = -\frac{x^2}{3y^2} = -\frac{3/2}{3(1/2)} = -1$.
चूंकि ढालों का गुणनफल $-1$ है,इसलिए वक्र $\theta = \frac{\pi}{2}$ कोण पर काटते हैं।
अतः,$\frac{2\theta}{\pi} = \frac{2(\pi/2)}{\pi} = 1$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{y-x+1}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर,$(y-x+1) dy = (x+y+1) dx$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y dy - x dy + dy = x dx + y dx + dx$.
पदों को समूहित करने पर: $(y+1) dy - x dy = (x+1) dx + y dx$.
दोनों पक्षों में $x dy$ जोड़ने पर: $(y+1) dy = (x+1) dx + (y dx + x dy)$.
गुणन नियम $d(xy) = y dx + x dy$ का उपयोग करने पर,$(y+1) dy = (x+1) dx + d(xy)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (y+1) dy = \int (x+1) dx + \int d(xy)$.
इससे $\frac{(y+1)^2}{2} = \frac{(x+1)^2}{2} + xy + C_1$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर: $(y+1)^2 = (x+1)^2 + 2xy + 2C_1$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2xy + (x+1)^2 - (y+1)^2 = -2C_1$.
माना $C = -2C_1$,अतः $2xy + (x+1)^2 - (y+1)^2 = C$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-3y+4}{3x+2y-7}$
वज्र-गुणन करने पर: $(3x+2y-7)dy = (2x-3y+4)dx$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(3x+2y-7)dy - (2x-3y+4)dx = 0$
$(3xdy + 3ydx) + (2ydy - 2xdx) - 7dy - 4dx = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $3d(xy) + d(y^2) - d(x^2) - 7dy - 4dx = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int 3d(xy) + \int d(y^2) - \int d(x^2) - \int 7dy - \int 4dx = \int 0$
$3xy + y^2 - x^2 - 7y - 4x = C$
$-1$ से गुणा करने पर: $x^2 - y^2 - 3xy + 4x + 7y + C = 0$

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(y-x+1) dy - (y+x+2) dx = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y dy - x dy + dy - y dx - x dx + 2 dx = 0$.
पदों को समूहित करने पर: $y dy + dy - (x dy + y dx) - x dx + 2 dx = 0$.
यथार्थ अवकलज $d(xy) = x dy + y dx$ को पहचानने पर,समीकरण बनता है: $y dy + dy - d(xy) - x dx + 2 dx = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int y dy + \int dy - \int d(xy) - \int x dx + \int 2 dx = \int 0$.
इससे प्राप्त होता है: $\frac{y^2}{2} + y - xy - \frac{x^2}{2} + 2x = C$.
अतः,$f(x, y, c) = \frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{2} - xy + 2x + y - C = 0$.
दिया है $f(1, 1, c) = 0$,इसलिए $x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$\frac{1^2}{2} - \frac{1^2}{2} - (1)(1) + 2(1) + 1 - C = 0$.
$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 + 2 + 1 - C = 0$.
$2 - C = 0$,जिसका अर्थ है $C = 2$.

(B) दिया गया रूपांतरण $z = \log \tan \frac{x}{2}$ है।
सबसे पहले,$\frac{d z}{d x}$ ज्ञात करें:
$\frac{d z}{d x} = \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \frac{1}{\sin x} = \operatorname{cosec} x$.
अब,$\frac{d y}{d z}$ को $x$ के पदों में व्यक्त करें:
$\frac{d y}{d z} = \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d z} = \frac{d y}{d x} \cdot \sin x$.
आगे,$\frac{d^2 y}{d z^2}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^2 y}{d z^2} = \frac{d}{d z} \left( \sin x \frac{d y}{d x} \right) = \frac{d}{d x} \left( \sin x \frac{d y}{d x} \right) \cdot \frac{d x}{d z} = \left( \cos x \frac{d y}{d x} + \sin x \frac{d^2 y}{d x^2} \right) \cdot \sin x = \sin x \cos x \frac{d y}{d x} + \sin^2 x \frac{d^2 y}{d x^2}$.
इसे लक्ष्य समीकरण $\frac{d^2 y}{d z^2} + k y = 0$ में प्रतिस्थापित करें:
$\sin^2 x \frac{d^2 y}{d x^2} + \sin x \cos x \frac{d y}{d x} + k y = 0$.
$\sin^2 x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} + \cot x \frac{d y}{d x} + k \operatorname{cosec}^2 x \cdot y = 0$.
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2} + \cot x \frac{d y}{d x} + 4 \operatorname{cosec}^2 x \cdot y = 0$ से करने पर,हमें $k = 4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $y = \frac{x}{\ln|cx|}$.
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\ln|cx| \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{cx} \cdot c}{(\ln|cx|)^2} = \frac{\ln|cx| - 1}{(\ln|cx|)^2} = \frac{1}{\ln|cx|} - \frac{1}{(\ln|cx|)^2}$.
चूंकि $y = \frac{x}{\ln|cx|}$,इसलिए $\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln|cx|}$.
इस मान को अवकलज व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \left(\frac{y}{x}\right)^2$.
दिए गए अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi\left(\frac{x}{y}\right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\phi\left(\frac{x}{y}\right) = -\left(\frac{y}{x}\right)^2 = -\frac{y^2}{x^2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,यदि $y = x^y$ है,तो दोनों पक्षों का $\log$ लेने पर: $\log y = y \log x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} - \log x) = \frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx} (\frac{1 - y \log x}{y}) = \frac{y}{x}$ होता है।
$x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$ प्राप्त होता है।
यह दिए गए अवकल समीकरण से मेल खाता है। साथ ही,$x=1$ के लिए,$y=1^y=1$,जो शर्त $y(1)=1$ को संतुष्ट करता है।

(B) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} \tan(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) \tan t dt$.
लीबनीज़ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \tan(x-x) - \tan(0-x) - f(x) \tan x = 0 - (-\tan x) - f(x) \tan x = \tan x (1 - f(x))$.
यह एक पृथक्करणीय अवकल समीकरण है: $\frac{df}{1-f} = \tan x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\ln|1-f| = \ln|\sec x| + C$.
यह सरल होकर $\ln|1-f|^{-1} = \ln|\sec x| + C$,या $1-f = k \cos x$ हो जाता है।
$x=0$ पर,$f(0) = \int_{0}^{0} \tan(t) dt - \int_{0}^{0} f(t) \tan t dt = 0$.
$1-f(x) = k \cos x$ में $x=0$ रखने पर,हमें $1-0 = k(1)$ प्राप्त होता है,इसलिए $k=1$.
अतः,$f(x) = 1 - \cos x$.
अब,$f'(x) = \sin x$ और $f''(x) = \cos x$.
हमें $f''(\pi/6) + f(\pi/6)$ का मान ज्ञात करना है:
$f''(\pi/6) = \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$f(\pi/6) = 1 - \cos(\pi/6) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इसलिए,$f''(\pi/6) + f(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$.