वक्रों का वह परिवार ज्ञात कीजिए जिसके लिए किस | vedclass

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Question

(D) माना $m = \frac{dy}{dx}$ अभीष्ट वक्र के $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल है।वक्र $xy = c^2$ के $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{y}{x}$ ह

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उपरोक्त सभी

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(D) माना $m = \frac{dy}{dx}$ अभीष्ट वक्र के $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल है।वक्र $xy = c^2$ के $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{y}{x}$ है।दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} ight| = 	an\left( \frac{\pi}{4} ight) = 1$.$m_1 = -\frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left| \frac{m + \frac{y}{x}}{1 - m \frac{y}{x}} ight| = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{m + \frac{y}{x}}{1 - m \frac{y}{x}} = \pm 1$.स्थिति $1$: $m + \frac{y}{x} = 1 - m \frac{y}{x} \implies m(1 + \frac{y}{x}) = 1 - \frac{y}{x} \implies m = \frac{x-y}{x+y}$. यह एक समघातीय अवकल समीकरण है जो $y^2 + 2xy - x^2 = k$ की ओर ले जाता है।स्थिति $2$: $m + \frac{y}{x} = -(1 - m \frac{y}{x}) \implies m(1 - \frac{y}{x}) = -1 - \frac{y}{x} \implies m = \frac{x+y}{x-y}$. यह $y^2 - 2xy - x^2 = k$ की ओर ले जाता है।चूंकि दोनों समाधान मान्य हैं,सही विकल्प $D$ है।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में समीकरण $x e^{\sin x}-\cos x=0$ के हलों की संख्या	$(p)$ $1$
$(B)$ $k$ के मान जिनके लिए समतल $k x+4 y+z=0, 4 x+k y+2 z=0$ और $2 x+2 y+z=0$ एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं	$(q)$ $2$
$(C)$ $k$ के मान जिनके लिए $\|x-1\|+\|x-2\|+\|x+1\|+\|x+2\|=4 k$ के पूर्णांक हल हैं	$(r)$ $3$
$(D)$ यदि $y^{\prime}=y+1$ और $y(0)=1$ है,तो $y(\ln 2)$ का मान	$(s)$ $4$
	$(t)$ $5$

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