$y\,dx - x\,dy + 3x^2y^2e^{x^3}dx = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

स्तंभ $I$ में दिए गए कथनों/व्यंजकों को स्तंभ $II$ में दिए गए मानों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में समीकरण $x e^{\sin x}-\cos x=0$ के हलों की संख्या	$(p)$ $1$
$(B)$ $k$ के मान जिनके लिए समतल $k x+4 y+z=0, 4 x+k y+2 z=0$ और $2 x+2 y+z=0$ एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं	$(q)$ $2$
$(C)$ $k$ के मान जिनके लिए $|x-1|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=4 k$ के पूर्णांक हल हैं	$(r)$ $3$
$(D)$ यदि $y^{\prime}=y+1$ और $y(0)=1$ है,तो $y(\ln 2)$ का मान	$(s)$ $4$
	$(t)$ $5$

सत्यापित कीजिए कि दिया गया फलन $y = x \sin x$ अवकल समीकरण $x y^{\prime} = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$ का हल है (जहाँ $x \neq 0$ और $x > y$ या $x < -y$)।

अवकल समीकरण $e^{-x}(y+1) dy + (\cos^2 x - \sin 2x) y dx = 0$ का $x=0, y=1$ पर हल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि बिंदुओं $(1, 1)$ और $(\frac{1}{10}, 100)$ से गुजरने वाले एक वक्र पर किसी बिंदु $P(x, y)$ पर स्पर्शरेखा धनात्मक $x$-अक्ष और $y$-अक्ष को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है। यदि $PA: PB = 1: k$ है और $y = y(x)$ अवकल समीकरण $e^{\frac{dy}{dx}} = 2x + 1$ का हल है,जहाँ $y(0) = 2$,तो $4y(1) - 5 \log_e 3$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $2xy^3dx + x^2y^2dy = ydx - xdy$ और $y(2) = 1$ है,तो $y(-1)$ का मान क्या होगा (जहाँ $y(x)$ दिए गए $x$ के लिए $y$ का मान दर्शाता है):