निम्नलिखित में से कौन सा वक्र प्रारंभिक मान स | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 100 - y$ है,जहाँ प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 50$ है। चरों को अलग करने पर,हमें मिलता है: $\int \frac{dy}{100 -

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = 100 - y$ है,जहाँ प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 50$ है। चरों को अलग करने पर,हमें मिलता है: $\int \frac{dy}{100 - y} = \int dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\ln|100 - y| = x + C$. जब $x = 0$,$y = 50$,तो $-\ln|100 - 50| = 0 + C$,जिससे $C = -\ln 50$ प्राप्त होता है। $C$ का मान समीकरण में रखने पर: $-\ln(100 - y) = x - \ln 50$. पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\ln 50 - \ln(100 - y) = x$,या $\ln(\frac{50}{100 - y}) = x$. दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $\frac{50}{100 - y} = e^x$,जिसका अर्थ है $100 - y = 50e^{-x}$. अतः,समाधान $y = 100 - 50e^{-x}$ है। जैसे $x 	o \infty$,$y 	o 100$,और $x = 0$ पर,$y = 50$ है। वक्र बढ़ रहा है और क्षैतिज अनंतस्पर्शी $y = 100$ के करीब पहुँचता है। यह विकल्प $B$ में दिखाए गए वक्र के अनुरूप है।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ में समीकरण $x e^{\sin x}-\cos x=0$ के हलों की संख्या	$(p)$ $1$
$(B)$ $k$ के मान जिनके लिए समतल $k x+4 y+z=0, 4 x+k y+2 z=0$ और $2 x+2 y+z=0$ एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं	$(q)$ $2$
$(C)$ $k$ के मान जिनके लिए $\|x-1\|+\|x-2\|+\|x+1\|+\|x+2\|=4 k$ के पूर्णांक हल हैं	$(r)$ $3$
$(D)$ यदि $y^{\prime}=y+1$ और $y(0)=1$ है,तो $y(\ln 2)$ का मान	$(s)$ $4$
	$(t)$ $5$

निम्नलिखित में से कौन सा वक्र प्रारंभिक मान समस्या $Dy = 100 - y$ का समाधान दर्शाता है,जहाँ $y(0) = 50$ है?

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यदि $x = \int_{-y}^{y} \frac{dt}{\sqrt{1 + 9t^2}}$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = ky$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$y = 2x\left( \frac{dy}{dx} \right) + x^2\left( \frac{dy}{dx} \right)^4$ का हल क्या है?

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