अवकल समीकरण (x^2 - y^2)dx + 2xy, dy = 0 द्वार | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - y^2)dx + 2xy\, dy = 0$ है।इसे $x^2 dx - y^2 dx + 2xy\, dy = 0$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।पदों को व्यवस्थित कर

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$x-$ अक्ष पर केंद्र वाला एक वृत्त

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - y^2)dx + 2xy\, dy = 0$ है।इसे $x^2 dx - y^2 dx + 2xy\, dy = 0$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2 dx + (2xy\, dy - y^2 dx) = 0$ प्राप्त होता है।$x^2$ से भाग देने पर,हमें $dx + \frac{2xy\, dy - y^2 dx}{x^2} = 0$ प्राप्त होता है।यथार्थ अवकल को पहचानने पर,यह $d(x) + d\left(\frac{y^2}{x}\right) = 0$ है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $x + \frac{y^2}{x} = C$ प्राप्त होता है,जो $x^2 + y^2 = Cx$ में सरल हो जाता है।चूंकि वक्र $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $C$ का मान ज्ञात करने के लिए $x=1$ और $y=1$ रखने पर: $1^2 + 1^2 = C(1) \implies C = 2$।अतः,वक्र का समीकरण $x^2 + y^2 = 2x$ या $(x-1)^2 + y^2 = 1$ है।यह $x-$ अक्ष पर केंद्र $(1, 0)$ वाला एक वृत्त दर्शाता है।

अवकल समीकरण $(x^2 - y^2)dx + 2xy\, dy = 0$ द्वारा निरूपित वक्रों के परिवार में से वह वक्र जो $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,है

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एक फलन $y = f(x)$ शर्त $f'(x) \sin x + f(x) \cos x = 1$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $x \rightarrow 0$ होने पर $f(x)$ परिबद्ध (bounded) है। यदि $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$ है,तो:

$y{e^{ - x/y}}dx - (x{e^{ - x/y}} + {y^3})dy = 0$ का हल है

माना $y$ अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$ का हल है जो $y(1) = 1$ को संतुष्ट करता है। तब,$y$ संतुष्ट करता है:

$(1+xy)y \, dx + (1-xy)x \, dy = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

$y = 2x\left( \frac{dy}{dx} \right) + x^2\left( \frac{dy}{dx} \right)^4$ का हल क्या है?

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