एक वक्र y = f(x) जो बिंदु left(1, frac{1}{sqr | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -x e^{-\frac{x^2}{2}}$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y = \int -x e^{-\frac{x^2}{2}} dx$

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$f(x)$,मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है।

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -x e^{-\frac{x^2}{2}}$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y = \int -x e^{-\frac{x^2}{2}} dx$ प्राप्त होता है।माना $u = -\frac{x^2}{2}$,तो $du = -x dx$ होगा।अतः,$y = \int e^u du = e^u + C = e^{-\frac{x^2}{2}} + C.$चूंकि वक्र बिंदु $\left(1, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{e}} = e^{-\frac{1^2}{2}} + C \implies \frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{1}{\sqrt{e}} + C \implies C = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}$ है।यह एक सम फलन है,जिसका अर्थ है कि यह $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,न कि मूल बिंदु के सापेक्ष। अतः,कथन $B$ गलत है।$f'(x) = -x e^{-\frac{x^2}{2}}$,जो सभी $x$ के लिए परिभाषित है,इसलिए $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय है।$x  0$ और $x > 0$ के लिए $f'(x)  0$ के लिए ह्रासमान है।$f''(x) = -e^{-\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{-\frac{x^2}{2}} = e^{-\frac{x^2}{2}}(x^2 - 1)$ प्राप्त होता है। $f''(x) = 0$ रखने पर $x = \pm 1$ प्राप्त होता है,जो दो नति परिवर्तन बिंदु हैं।

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