अवकल समीकरण left( {1 + xsqrt {{x^2} + {y^2}} | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)dx + \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 1 } \right)y dy = 0$। पदों को पुनर्व्यवस्थ

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$x - \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{1}{3}{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^{\frac{3}{2}}} = C$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)dx + \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 1 } \right)y dy = 0$। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $dx - y dy + \sqrt{x^2 + y^2} (x dx + y dy) = 0$। हम जानते हैं कि $d(x^2 + y^2) = 2x dx + 2y dy$,इसलिए $x dx + y dy = \frac{1}{2} d(x^2 + y^2)$। इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $dx - y dy + \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + y^2} d(x^2 + y^2) = 0$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dx - \int y dy + \frac{1}{2} \int (x^2 + y^2)^{1/2} d(x^2 + y^2) = C$। इससे हमें प्राप्त होता है: $x - \frac{y^2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2 + y^2)^{3/2}}{3/2} = C$। सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x - \frac{y^2}{2} + \frac{1}{3} (x^2 + y^2)^{3/2} = C$।

अवकल समीकरण $\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\,dx + \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 1 } \right)y\,dy = 0$ को हल कीजिए।

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