अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ का हल है

मान लीजिए $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in [0, \infty)$ के लिए $f(x) = 1 - 2x + \int_0^x e^{x-t} f(t) dt$ है। तब $y = f(x)$ और निर्देशांक अक्षों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x^3 dy + (xy - 1) dx = 0, x > 0$ का हल है,जहाँ $y(\frac{1}{2}) = 3 - e$ है। तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+2y \sec^2 x = 2 \sec^2 x + 3 \tan x \cdot \sec^2 x$ का हल है,जहाँ $y(0)=\frac{5}{4}$ है। तो $12\left(y\left(\frac{\pi}{4}\right)-e^{-2}\right)$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए कि $f$ अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ पर परिभाषित एक अ-ऋणात्मक फलन है। यदि $\int_0^x \left(f^{\prime}(t)-\sin 2t\right) dt = \int_x^0 f(t) \tan t dt$ और $f(0)=1$ है,तो $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx$ ज्ञात कीजिए।

रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) किस अवकल समीकरण का हल है?