अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n को | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ के रूप में है,जिसे बर्नौली का समीकरण कहा जाता है।इस समीकरण को रैखिक बनाने के लिए,दोनों पक्षों को

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$v = \frac{1}{y^{n-1}}$

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(B) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ के रूप में है,जिसे बर्नौली का समीकरण कहा जाता है।इस समीकरण को रैखिक बनाने के लिए,दोनों पक्षों को $y^n$ से विभाजित करते हैं:$y^{-n} \frac{dy}{dx} + P(x)y^{1-n} = Q(x)$अब,हम $v = y^{1-n} = \frac{1}{y^{n-1}}$ प्रतिस्थापित करते हैं।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dv}{dx} = (1-n)y^{-n} \frac{dy}{dx}$$\frac{1}{1-n} \frac{dv}{dx} = y^{-n} \frac{dy}{dx}$इन मानों को समीकरण में रखने पर:$\frac{1}{1-n} \frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$$(1-n)$ से गुणा करने पर:$\frac{dv}{dx} + (1-n)P(x)v = (1-n)Q(x)$यह $v$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है। अतः,आवश्यक प्रतिस्थापन $v = \frac{1}{y^{n-1}}$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ को रैखिक रूप में बदलने के लिए,प्रतिस्थापन क्या है?

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