Linear differential equations Questions in Hindi

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} = y$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y^2$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = 2y^2$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ इस प्रकार है: $I.F. = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
सामान्य हल है: $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$.
मान रखने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y^2 \cdot \frac{1}{y} dy + c$.
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$.
$\frac{x}{y} = y^2 + c$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^2 \frac{dy}{dx} \cos \frac{1}{x} - y \sin \frac{1}{x} = -1$।
$x^2 \cos \frac{1}{x}$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} - y \frac{\tan(1/x)}{x^2} = -\frac{\sec(1/x)}{x^2}$।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{\tan(1/x)}{x^2}$ और $Q = -\frac{\sec(1/x)}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{\tan(1/x)}{x^2} dx}$ है। माना $u = \frac{1}{x}$,तो $du = -\frac{1}{x^2} dx$।
$IF = e^{\int \tan u du} = e^{\ln |\sec u|} = \sec(\frac{1}{x})$।
हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + c$ है।
$y \sec(\frac{1}{x}) = \int -\frac{\sec(1/x)}{x^2} \cdot \sec(\frac{1}{x}) dx = -\int \sec^2(\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x^2} dx$।
$u = \frac{1}{x}$ रखने पर,$du = -\frac{1}{x^2} dx$।
$y \sec(\frac{1}{x}) = \int \sec^2 u du = \tan u + c = \tan(\frac{1}{x}) + c$।
जब $x \rightarrow \infty$,तब $\frac{1}{x} \rightarrow 0$। दिया गया है कि $y \rightarrow -1$,इसलिए: $-1 \cdot \sec(0) = \tan(0) + c \Rightarrow -1 = 0 + c \Rightarrow c = -1$।
अतः,$y \sec(\frac{1}{x}) = \tan(\frac{1}{x}) - 1$।
$y = \frac{\tan(1/x) - 1}{\sec(1/x)} = \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})$।

(B) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $(x + 1)f'(x) - 2x(x + 1)f(x) = \frac{e^{x^2}}{x + 1}$ है।
$(x + 1)$ से भाग देने पर,हमें $f'(x) - 2xf(x) = \frac{e^{x^2}}{(x + 1)^2}$ प्राप्त होता है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -2x \, dx} = e^{-x^2}$ है।
दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} [f(x) e^{-x^2}] = \frac{e^{x^2}}{(x + 1)^2} e^{-x^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$f(x) e^{-x^2} = \int \frac{1}{(x + 1)^2} \, dx = -\frac{1}{x + 1} + C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(0) = 5$ दिया गया है,$5(e^0) = -\frac{1}{0 + 1} + C \Rightarrow 5 = -1 + C \Rightarrow C = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) e^{-x^2} = 6 - \frac{1}{x + 1} = \frac{6x + 6 - 1}{x + 1} = \frac{6x + 5}{x + 1}$ है।
इसलिए,$f(x) = \left( \frac{6x + 5}{x + 1} \right) e^{x^2}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\int\limits_a^x {t\,y(t)dt} = x^2 + y(x)$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$x\,y(x) = 2x + y'(x)$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y'(x) - x\,y(x) = -2x$
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -x$ और $Q(x) = -2x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$:
$I.F. = e^{\int -x\,dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$
समीकरण को $I.F.$ से गुणा करने पर:
$e^{-\frac{x^2}{2}} \frac{dy}{dx} - x\,e^{-\frac{x^2}{2}} y = -2x\,e^{-\frac{x^2}{2}}$
$\frac{d}{dx} \left( y\,e^{-\frac{x^2}{2}} \right) = -2x\,e^{-\frac{x^2}{2}}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$y\,e^{-\frac{x^2}{2}} = \int -2x\,e^{-\frac{x^2}{2}} dx + C$
$y\,e^{-\frac{x^2}{2}} = 2\,e^{-\frac{x^2}{2}} + C$
$y = 2 + C\,e^{\frac{x^2}{2}}$
$x = a$ रखने पर,$y(a) = -a^2$ प्राप्त होता है।
$-a^2 = 2 + C\,e^{\frac{a^2}{2}} \implies C = -(2 + a^2)e^{-\frac{a^2}{2}}$
अतः,$y = 2 - (2 + a^2)e^{\frac{x^2 - a^2}{2}}$।

(A) माना $y^2 = t$. तब $2y \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dt}}{{dx}}$.
इस मान को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( {{e^{{x^2}}} + {e^t}} \right) \frac{1}{2} \frac{{dt}}{{dx}} + {e^{{x^2}}} x (t - 1) = 0$
$\left( {{e^{{x^2}}} + {e^t}} \right) \frac{{dt}}{{dx}} + 2 x {e^{{x^2}}} (t - 1) = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{{dx}}{{dt}} (e^t + {e^{{x^2}}}) + 2 x {e^{{x^2}}} (t - 1) = 0$
माना $z = {e^{{x^2}}}$,तो $\frac{{dz}}{{dt}} = {e^{{x^2}}} \cdot 2x \frac{{dx}}{{dt}}$.
यह समीकरण $z = {e^{{x^2}}}$ में $t$ के सापेक्ष एक रैखिक अवकल समीकरण बन जाता है:
$\frac{{dz}}{{dt}} + \frac{z}{t-1} = -\frac{e^t}{t-1}$.
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{1}{t-1} dt} = t-1$.
$z(t-1) = \int -e^t dt = -e^t + C$.
$z = e^{{x^2}}$ और $t = y^2$ वापस रखने पर:
$e^{{x^2}}(y^2 - 1) + e^{{y^2}} = C$.

(D) एक अवकल समीकरण रैखिक होता है यदि आश्रित चर और उसके अवकलज केवल प्रथम घात में हों और उनका आपस में गुणा न हुआ हो।
$1$. विकल्प $(A)$ के लिए: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \ln x$. यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = \ln x$ है। अतः,यह रैखिक है।
$2$. विकल्प $(B)$ के लिए: $\frac{d^2y}{dx^2} = \cos x$. यह द्वितीय कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है क्योंकि आश्रित चर $y$ और उसका अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ प्रथम घात में हैं। अतः,यह रैखिक है।
$3$. विकल्प $(C)$ के लिए: $dx + dy = 0$. इसे $1 + \frac{dy}{dx} = 0$ या $\frac{dy}{dx} = -1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है। अतः,यह रैखिक है।
चूंकि तीनों समीकरण रैखिक अवकल समीकरण की परिभाषा को संतुष्ट करते हैं,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cos x$ और $Q = \cos x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P \, dx} = e^{\int \cos x \, dx} = e^{\sin x}$ द्वारा प्राप्त होता है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) \, dx + C$ है।
मान रखने पर: $y \cdot e^{\sin x} = \int \cos x \cdot e^{\sin x} \, dx + C$.
माना $u = \sin x$,तो $du = \cos x \, dx$। समाकलन $\int e^u \, du = e^u = e^{\sin x}$ बन जाता है।
अतः,$y \cdot e^{\sin x} = e^{\sin x} + C$.
$e^{\sin x}$ से भाग देने पर,हमें $y = 1 + C e^{-\sin x}$ प्राप्त होता है।
चूँकि वक्र बिंदु $(0, 1)$ से गुजरता है,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर: $1 = 1 + C e^{-\sin 0} \implies 1 = 1 + C(1) \implies C = 0$.
इस प्रकार,फलन $y = 1$ है।
चूँकि $y = 1$ एक अचर फलन है,यह आवर्ती भी है (किसी भी आवर्तकाल $T > 0$ के लिए) और यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत और अवकलनीय है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} \sin x - y \cos x = -\frac{\sin^2 x}{x^2}$ है।
$\sin^2 x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{\sin x} \frac{dy}{dx} - y \frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{\sin x} \right) = -\frac{1}{x^2}$ के बराबर है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\frac{y}{\sin x} = \int -\frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{x} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \sin x \left( \frac{1}{x} + C \right)$।
दिया है कि $x \rightarrow \infty$ पर $y \rightarrow 0$,इसलिए $C = 0$ होना चाहिए,अर्थात $f(x) = \frac{\sin x}{x}$।
$1$. $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$।
$2$. चूंकि $x > 0$ के लिए $\sin x < x$,इसलिए $f(x) = \frac{\sin x}{x} < 1$। अतः,$\int_0^{\pi/2} f(x) dx < \int_0^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}$।
$3$. श्रेणी विस्तार $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \dots$ का उपयोग करते हुए,समाकलन $\int_0^{\pi/2} (1 - \frac{x^2}{6}) dx = [x - \frac{x^3}{18}]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi^3}{144} \approx 1.57 - 0.21 = 1.36 > 1$।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(A) दिया गया है $y = (A + Bx) e^{mx} + (m - 1)^{-2} e^x$.
माना $y = y_1 + y_2$,जहाँ $y_1 = (A + Bx) e^{mx}$ और $y_2 = (m - 1)^{-2} e^x$ है।
$y_1 = (A + Bx) e^{mx}$ के लिए,अवकल समीकरण $\frac{d^2y_1}{dx^2} - 2m \frac{dy_1}{dx} + m^2y_1 = 0$ होता है।
अब,$y_2 = (m - 1)^{-2} e^x$ पर विचार करें।
$\frac{dy_2}{dx} = (m - 1)^{-2} e^x$ और $\frac{d^2y_2}{dx^2} = (m - 1)^{-2} e^x$ है।
$y_2$ को व्यंजक $\frac{d^2y_2}{dx^2} - 2m \frac{dy_2}{dx} + m^2y_2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (m - 1)^{-2} e^x - 2m(m - 1)^{-2} e^x + m^2(m - 1)^{-2} e^x$
$= (m - 1)^{-2} e^x [1 - 2m + m^2]$
$= (m - 1)^{-2} e^x (m - 1)^2$
$= e^x$।
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} - 2m \frac{dy}{dx} + m^2y = 0 + e^x = e^x$।

(A) दिया गया समीकरण: $f(x) = f'(x) + f''(x) + f'''(x) + \dots \infty$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = f''(x) + f'''(x) + f''''(x) + \dots \infty$
मूल समीकरण में से इसे घटाने पर:
$f(x) - f'(x) = f'(x)$
$f(x) = 2f'(x)$
$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{2}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln f(x) = \frac{x}{2} + C$
चूँकि $f(0) = 1$ है,इसलिए $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = e^{x/2}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + x \sin^2 y = \sin y \cos y$
दोनों पक्षों को $\sin^2 y$ से विभाजित करने पर: $\csc^2 y \frac{dy}{dx} + x = \cot y$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\csc^2 y \frac{dy}{dx} - \cot y = -x$
माना $v = \cot y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = -\csc^2 y \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $-\frac{dv}{dx} = \csc^2 y \frac{dy}{dx}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $-\frac{dv}{dx} - v = -x$,या $\frac{dv}{dx} + v = x$।
यह $\frac{dv}{dx} + Pv = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int 1 dx} = e^x$ है।
व्यापक हल $v \cdot e^x = \int x e^x dx + C$ है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x = (x - 1)e^x$।
अतः,$v e^x = (x - 1)e^x + C$।
$e^x$ से विभाजित करने पर: $v = (x - 1) + Ce^{-x}$।
$v = \cot y$ वापस रखने पर: $\cot y = (x - 1) + Ce^{-x}$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y \sin 2x - \cos x + (1 + \sin^2 x) \frac{dy}{dx} = 0$ है,जहाँ $y = f(x)$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}\right) y = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}$ और $Q(x) = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} dx}$ है।
माना $u = 1 + \sin^2 x$,तो $du = \sin 2x dx$ है। अतः,$\int P(x) dx = \int \frac{du}{u} = \ln(1 + \sin^2 x)$ है।
इस प्रकार,$I$.$F$. $= e^{\ln(1 + \sin^2 x)} = 1 + \sin^2 x$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y(1 + \sin^2 x) = \int \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x} \cdot (1 + \sin^2 x) dx + C = \int \cos x dx + C = \sin x + C$ है।
चूँकि $f(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0(1 + 0) = \sin(0) + C$,जिसका अर्थ है कि $C = 0$ है।
अतः,$f(x) = \frac{\sin x}{1 + \sin^2 x}$ है।
$x = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sin(\pi/6)}{1 + \sin^2(\pi/6)} = \frac{1/2}{1 + (1/2)^2} = \frac{1/2}{5/4} = \frac{2}{5}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\int_{a}^{x} t y(t) dt = x^2 + y(x)$ $(1)$
लीबनीज के नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$x y(x) = 2x + \frac{dy}{dx}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = x y - 2x = x(y - 2)$
चरों को अलग करने पर:
$\int \frac{dy}{y - 2} = \int x dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\ln |y - 2| = \frac{x^2}{2} + C$
$y - 2 = K e^{\frac{x^2}{2}}$ (जहाँ $K = \pm e^C$)
$x = a$ पर,समाकलन $\int_{a}^{a} t y(t) dt = 0$ होता है,इसलिए $(1)$ से:
$0 = a^2 + y(a) \Rightarrow y(a) = -a^2$
$x = a$ और $y = -a^2$ को सामान्य हल में रखने पर:
$-a^2 - 2 = K e^{\frac{a^2}{2}}$
$K = -(a^2 + 2) e^{-\frac{a^2}{2}}$
$K$ का मान समीकरण में वापस रखने पर:
$y - 2 = -(a^2 + 2) e^{-\frac{a^2}{2}} \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$
$y - 2 = -(a^2 + 2) e^{\frac{x^2 - a^2}{2}}$
$y = 2 - (2 + a^2) e^{\frac{x^2 - a^2}{2}}$

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(x + 2y^3)\frac{dy}{dx} - y = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x + 2y^3)dy = y dx$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y}$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + 2y^2$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y^2$
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{1}{y}$ और $Q = 2y^2$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार है: $I.F. = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
व्यापक हल है: $x \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dy + C$
$\Rightarrow x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y^2 \cdot \frac{1}{y} dy + C$
$\Rightarrow \frac{x}{y} = \int 2y dy + C$
$\Rightarrow \frac{x}{y} = y^2 + C$
$\Rightarrow x = y^3 + Cy$
अतः,हल $x = y^3 + Cy$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{1 + x e^y \cos(x^2)}$ है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + x e^y \cos(x^2)}{x} = \frac{1}{x} + e^y \cos(x^2)$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} - e^y \cos(x^2) = \frac{1}{x}$ मिलता है।
$e^{-y}$ से भाग देने पर: $e^{-y} \frac{dy}{dx} - \cos(x^2) = \frac{1}{x} e^{-y}$.
$e^{-y} \frac{dy}{dx} - \frac{e^{-y}}{x} = \cos(x^2)$.
माना $v = -e^{-y}$,तो $\frac{dv}{dx} = e^{-y} \frac{dy}{dx}$ होगा।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = \cos(x^2)$.
यह $v$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ है।
हल $v \cdot x = \int x \cos(x^2) dx$ होगा।
माना $u = x^2$,तो $du = 2x dx$,अतः $x dx = \frac{1}{2} du$.
$v \cdot x = \int \frac{1}{2} \cos(u) du = \frac{1}{2} \sin(u) + c = \frac{1}{2} \sin(x^2) + c$.
$v = -e^{-y}$ रखने पर: $-x e^{-y} = \frac{1}{2} \sin(x^2) + c$.
$-2x = e^y (\sin(x^2) + 2c)$.
अतः $2x + e^y(C + \sin(x^2)) = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$.
माना $g(x) = \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. तब $g'(x) = \frac{f(x)}{1+x^2}$.
समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + g(x)$.
$f(x) = (1+x^2)g'(x)$ को समीकरण में रखने पर: $g'(x) = 1 + g(x)$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dg}{dx} - g = 1$.
समाकलन गुणक $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
$e^{-x}$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(g(x)e^{-x}) = e^{-x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $g(x)e^{-x} = -e^{-x} + C$.
अतः,$g(x) = C e^x - 1$.
चूंकि $g(0) = \int_{0}^{0} \dots = 0$,इसलिए $0 = C - 1$,जिसका अर्थ है $C = 1$.
इस प्रकार,$g(x) = e^x - 1$.
तब $g'(x) = e^x$.
चूंकि $f(x) = (1+x^2)g'(x)$,इसलिए $f(x) = (1+x^2)e^x$.
अतः,$f(1) = (1+1^2)e^1 = 2e$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} \sin 2y = x^3 \cos^2 y$.
$\sin 2y = 2 \sin y \cos y$ का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} \sin y \cos y = x^3 \cos^2 y$.
दोनों पक्षों को $\cos^2 y$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\sec^2 y \frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} \tan y = x^3$.
माना $z = \tan y$,तब $\frac{dz}{dx} = \sec^2 y \frac{dy}{dx}$.
समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\frac{dz}{dx} + \frac{2}{x} z = x^3$.
यह $\frac{dz}{dx} + P(x)z = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x^3$.
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln x} = x^2$ है।
हल $z \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$z \cdot x^2 = \int x^3 \cdot x^2 dx + C = \int x^5 dx + C$.
$z x^2 = \frac{x^6}{6} + C$.
$z = \tan y$ प्रतिस्थापित करने पर: $(\tan y) x^2 = \frac{x^6}{6} + C$.
$6$ से गुणा करने पर: $6x^2 \tan y = x^6 + 6C$.
चूँकि $6C$ एक स्वेच्छ अचर है,इसे $C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$6x^2 \tan y = x^6 + C$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $y' + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = 2(\sin x + \cos x)$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y \cdot e^x = \int 2(\sin x + \cos x) e^x dx + C$.
सर्वसमिका $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(x) = \sin x$ और $f'(x) = \cos x$ है,हमें प्राप्त होता है:
$y \cdot e^x = 2 e^x \sin x + C$.
$e^x$ से विभाजित करने पर,$y = 2 \sin x + C e^{-x}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:
$1 = 2 \sin(0) + C e^0 \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
अतः,विशिष्ट हल $y = 2 \sin x + e^{-x}$ है।
अब,$x = \pi$ पर मान ज्ञात करने पर:
$y(\pi) = 2 \sin(\pi) + e^{-\pi} = 2(0) + e^{-\pi} = e^{-\pi}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = xy(x^2 \sin y^2 + 1) = x^3 y \sin y^2 + xy$.
$x^3$ से भाग देने पर: $x^{-3} \frac{dx}{dy} - yx^{-1} = y \sin y^2$.
माना $u = x^{-2}$,तब $\frac{du}{dy} = -2x^{-3} \frac{dx}{dy}$,इसलिए $x^{-3} \frac{dx}{dy} = -\frac{1}{2} \frac{du}{dy}$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{1}{2} \frac{du}{dy} - yu = y \sin y^2 \Rightarrow \frac{du}{dy} + 2yu = -2y \sin y^2$.
यह $u$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int 2y dy} = e^{y^2}$ है।
हल $u e^{y^2} = \int (-2y \sin y^2) e^{y^2} dy$ है।
माना $t = y^2$,तब $dt = 2y dy$. समाकलन $\int -\sin t e^t dt$ हो जाता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int e^t \sin t dt = \frac{e^t}{2} (\sin t - \cos t)$.
अतः,$u e^{y^2} = -\frac{e^{y^2}}{2} (\sin y^2 - \cos y^2) + C$.
$u = x^{-2}$ रखने पर: $\frac{e^{y^2}}{x^2} = \frac{e^{y^2}}{2} (\cos y^2 - \sin y^2) + C$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $e^{y^2} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{\cos y^2}{2} + \frac{\sin y^2}{2} \right) = C$.

(D) दी गई असमिका $f(x) + f'(x) \le 1$ है।
दोनों पक्षों को समाकलन गुणक $e^x$ से गुणा करने पर:
$e^x f'(x) + e^x f(x) \le e^x$
इसे गुणनफल के अवकलज के रूप में लिखा जा सकता है:
$\frac{d}{dx} (f(x) e^x) \le e^x$
अब,दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{1} \frac{d}{dx} (f(x) e^x) dx \le \int_{0}^{1} e^x dx$
$[f(x) e^x]_{0}^{1} \le [e^x]_{0}^{1}$
$f(1) e^1 - f(0) e^0 \le e^1 - e^0$
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए:
$f(1) e \le e - 1$
$f(1) \le \frac{e-1}{e}$
अतः,$f(1)$ का अधिकतम संभव मान $\frac{e-1}{e}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $ydx + y^2dy = xdy$ है।
पदों को $x$ में रैखिक अवकल समीकरण बनाने के लिए व्यवस्थित करने पर:
$ydx = (x - y^2)dy$
$\frac{dx}{dy} = \frac{x - y^2}{y} = \frac{x}{y} - y$
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = -y$ है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = -y$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ है।
व्यापक हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।
$x \cdot \frac{1}{y} = \int (-y) \cdot \frac{1}{y} dy + C$
$\frac{x}{y} = \int -1 dy + C = -y + C$ है।
प्रारंभिक शर्त $y(1) = 1$ का उपयोग करते हुए,$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$\frac{1}{1} = -1 + C \Rightarrow C = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $\frac{x}{y} = -y + 2$ है,जिसका अर्थ है $x = 2y - y^2$ है।
$y(-3)$ ज्ञात करने के लिए,$x = -3$ रखने पर:
$-3 = 2y - y^2 \Rightarrow y^2 - 2y - 3 = 0$ है।
$(y - 3)(y + 1) = 0$ है।
चूंकि $y > 0$ है,इसलिए $y = 3$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^3 + 1)dy = x(1 - 3xy)dx$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(x^3 + 1)dy + 3x^2ydx = xdx$ प्राप्त होता है।
इसे $d(y(x^3 + 1)) = xdx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y(x^3 + 1) = \int xdx = \frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर $0(0 + 1) = 0 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$y(x^3 + 1) = \frac{x^2}{2}$,जिसका अर्थ है $f(x) = \frac{x^2}{2(x^3 + 1)}$।
अब,सीमा की गणना करने पर: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{f(x)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2(x^3 + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2(x^3 + 1) = 2(0 + 1) = 2$।

(C) माना स्पर्श बिंदु $(x, y)$ है। स्पर्श रेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।
$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$X = 0$ रखें:
$Y - y = \frac{dy}{dx}(0 - x) \implies Y = y - x \frac{dy}{dx}$.
प्रश्न के अनुसार,$y$-अंतःखंड $Y$,कोटि $y$ के वर्ग के समानुपाती है,अतः $Y = ky^2$ (जहाँ $k$ एक अचर है)।
$Y$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$y - x \frac{dy}{dx} = ky^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x \frac{dy}{dx} - y = -ky^2$.
$xy^2$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{xy} = -\frac{k}{x}$.
माना $v = \frac{1}{y}$,तो $\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx}$।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = -\frac{k}{x} \implies \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = \frac{k}{x}$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है। समाकलन गुणक $e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ है।
$x$ से गुणा करने पर:
$x \frac{dv}{dx} + v = k \implies \frac{d}{dx}(xv) = k$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$xv = kx + C \implies x(\frac{1}{y}) = kx + C$.
$x$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{y} = k + \frac{C}{x} \implies \frac{C}{x} + \frac{1}{y} = k$.
$k$ से भाग देकर $\frac{c_1}{x} + \frac{c_2}{y} = 1$ के रूप में लाने पर (जहाँ $c_1 = C/k$ और $c_2 = 1/k$)।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$ है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dx}{dy} = \frac{y^2 - x}{y} = y - \frac{x}{y}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x$ में रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dx}{dy} + \frac{1}{y}x = y$।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{y}$ और $Q(y) = y$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y} dy} = e^{\ln|y|} = y$ है।
व्यापक हल $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + c$ है।
मान रखने पर,$x \cdot y = \int y \cdot y dy + c$।
$xy = \int y^2 dy + c$।
$xy = \frac{y^3}{3} + c$।
$3$ से गुणा करने पर,$3xy = y^3 + 3c$,जिसे $y^3 - 3xy = c'$ के रूप में लिखा जा सकता है (जहाँ $c' = -3c$)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है कि $\lim_{x \to \infty} (f(x) + f'(x) + f''(x)) = 5$।
मान लीजिए $L = \lim_{x \to \infty} f(x)$। चूँकि $f(x)$,$(2, 20)$ में परिबद्ध है,इसलिए सीमा का अस्तित्व है।
अवकल समीकरण $f''(x) + f'(x) + f(x) = g(x)$ पर विचार करें।
जैसे-जैसे $x \to \infty$,$g(x) \to 5$।
अचर गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण के लिए,अचर पद $5$ का विशेष हल $f(x) = c$ है।
समीकरण में $f(x) = c$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $0 + 0 + c = 5$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = 5$।
अतः,$\lim_{x \to \infty} f(x) = 5$।
चूँकि $\lim_{x \to \infty} g(x) = 5$,इसलिए $\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x)) = 5 - 5 = 0$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = x^3$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:
$IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln|x|} = e^{\ln|x^{-2}|} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
व्यापक हल $y \times (IF) = \int Q(x) \times (IF) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y \times \frac{1}{x^2} = \int x^3 \times \frac{1}{x^2} dx + c$
$y \times \frac{1}{x^2} = \int x dx + c$
$y \times \frac{1}{x^2} = \frac{x^2}{2} + c$
दोनों पक्षों को $x^2$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{x^4}{2} + cx^2$
$2y = x^4 + 2cx^2$.
चूंकि $2c$ एक स्वेच्छ अचर है,हम इसे $C$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$2y = x^4 + Cx^2$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - 2y = x^2 + \sin \left( \frac{1}{x^2} \right)$ है।
पूरे समीकरण को $x$ से विभाजित करने पर,इसे मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}y = x + \frac{1}{x} \sin \left( \frac{1}{x^2} \right)$.
यहाँ,$P(x) = -\frac{2}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P(x) dx}$ होता है।
$IF = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln|x|} = e^{\ln|x^{-2}|} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{y \ln y}{x} = \frac{y(\ln y)^2}{x^2}$.
दोनों पक्षों को $y(\ln y)^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{y(\ln y)^2} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \ln y} = \frac{1}{x^2}$.
माना $t = \frac{1}{\ln y}$. तब $\frac{dt}{dx} = -\frac{1}{y(\ln y)^2} \frac{dy}{dx}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{dt}{dx} + \frac{t}{x} = \frac{1}{x^2}$,जो सरल होकर $\frac{dt}{dx} - \frac{t}{x} = -\frac{1}{x^2}$ हो जाता है।
यह $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$.
हल: $t \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$.
$t \cdot \frac{1}{x} = \int (-\frac{1}{x^2}) \cdot \frac{1}{x} dx + C = -\int x^{-3} dx + C = -(\frac{x^{-2}}{-2}) + C = \frac{1}{2x^2} + C$.
$x$ से गुणा करने पर,$t = \frac{1}{2x} + Cx$ प्राप्त होता है।
$t = \frac{1}{\ln y}$ रखने पर,$\frac{1}{\ln y} = \frac{1}{2x} + Cx$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2$ और $Q = f(x)$ है।
स्थिति $1$: $x \in [0, 1]$ के लिए,$f(x) = 1$ है।
$\frac{dy}{dx} + 2y = 1$। समाकलन गुणक $IF = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ है।
हल $y \cdot e^{2x} = \int 1 \cdot e^{2x} dx + C_1 = \frac{1}{2}e^{2x} + C_1$ है।
अतः,$y(x) = \frac{1}{2} + C_1 e^{-2x}$ है।
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$0 = \frac{1}{2} + C_1 \Rightarrow C_1 = -\frac{1}{2}$ है।
इस प्रकार,$x \in [0, 1]$ के लिए $y(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2x}$ है।
$x = 1$ पर,$y(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{e^2 - 1}{2e^2}$ है।
स्थिति $2$: $x > 1$ के लिए,$f(x) = 0$ है।
$\frac{dy}{dx} + 2y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{y} = -2 dx$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln|y| = -2x + C_2 \Rightarrow y = C_3 e^{-2x}$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर $y(x)$ की निरंतरता का उपयोग करने पर,$y(1) = C_3 e^{-2} = \frac{e^2 - 1}{2e^2}$ है।
$C_3 = \frac{e^2 - 1}{2e^2} \cdot e^2 = \frac{e^2 - 1}{2}$ है।
अतः,$x > 1$ के लिए $y(x) = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-2x}$ है।
$x = \frac{3}{2}$ के लिए,$y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-2(\frac{3}{2})} = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-3} = \frac{e^2 - 1}{2e^3}$ है।

(D) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{t \to x} \frac{{{t^2}f(x) - {x^2}f(t)}}{{t - x}} = 1$.
$t$ के सापेक्ष $L$'Hopital नियम लागू करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{t \to x} \frac{2t f(x) - x^2 f'(t)}{1} = 1$.
$t = x$ रखने पर,हमें अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $2x f(x) - x^2 f'(x) = 1$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = -\frac{1}{x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्रकार का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$.
$I.F.$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx} [f(x) \cdot \frac{1}{x^2}] = -\frac{1}{x^4}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{f(x)}{x^2} = \int -x^{-4} dx = \frac{1}{3x^3} + C$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{3x} + Cx^2$.
$f(1) = 1$ का उपयोग करने पर: $1 = \frac{1}{3} + C \implies C = \frac{2}{3}$.
इस प्रकार,$f(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3}$.
$x = \frac{3}{2}$ के लिए: $f(\frac{3}{2}) = \frac{1}{3(3/2)} + \frac{2(3/2)^2}{3} = \frac{2}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{2}{9} + \frac{3}{2} = \frac{4 + 27}{18} = \frac{31}{18}$.

(D) दिया गया समीकरण: $x \int_{1}^{x} y(t) dt = (x + 1) \int_{1}^{x} t y(t) dt$.
लेबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\int_{1}^{x} y(t) dt + x y(x) = \int_{1}^{x} t y(t) dt + (x + 1) x y(x)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\int_{1}^{x} y(t) dt - \int_{1}^{x} t y(t) dt = (x^2 + x - x) y(x) = x^2 y(x)$.
$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$y(x) - x y(x) = 2x y(x) + x^2 y'(x)$.
सरल करने पर:
$y(x) (1 - x - 2x) = x^2 y'(x) \implies y(x) (1 - 3x) = x^2 y'(x)$.
चरों को अलग करने पर:
$\frac{y'(x)}{y(x)} = \frac{1 - 3x}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{3}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\ln|y(x)| = -\frac{1}{x} - 3 \ln|x| + K$.
$\ln|y(x)| + \ln|x^3| = -\frac{1}{x} + K$.
$\ln|y(x) x^3| = -\frac{1}{x} + K$.
$y(x) x^3 = C e^{-\frac{1}{x}}$.
अतः,$y(x) = \frac{C e^{-\frac{1}{x}}}{x^3}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{2} \sec x = \frac{\tan x}{2y}$.
$2y$ से गुणा करने पर: $2y \frac{dy}{dx} + y^2 \sec x = \tan x$.
माना $y^2 = t$,तब $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$.
समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{dt}{dx} + t \sec x = \tan x$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \sec x$ और $Q = \tan x$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \sec x dx} = e^{\ln(\sec x + \tan x)} = \sec x + \tan x$.
हल: $t(IF) = \int Q(IF) dx + C$.
$t(\sec x + \tan x) = \int \tan x(\sec x + \tan x) dx + C$.
$t(\sec x + \tan x) = \int (\sec x \tan x + \sec^2 x - 1) dx + C$.
$t(\sec x + \tan x) = \sec x + \tan x - x + C$.
$y(0) = 1$ होने पर,$t(0) = 1$. $x=0$ रखने पर,$C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$t(\sec x + \tan x) = \sec x + \tan x - x$.
$t = 1 - \frac{x}{\sec x + \tan x}$.
चूंकि $t = y^2$,इसलिए $y^2 = 1 - \frac{x}{\sec x + \tan x}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $ydx - (x + 2y^2)dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $ydx - xdy = 2y^2 dy$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर ($y \neq 0$ के लिए),हमें $\frac{ydx - xdy}{y^2} = 2dy$ प्राप्त होता है।
यह $d(\frac{x}{y}) = 2dy$ के बराबर है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\frac{x}{y} = 2y + c$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $f(-1) = 1$,जिसका अर्थ है कि जब $y = -1$ है तो $x = 1$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{-1} = 2(-1) + c \Rightarrow -1 = -2 + c \Rightarrow c = 1$.
अतः,हल $\frac{x}{y} = 2y + 1$ है,या $x = 2y^2 + y$.
$f(1)$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $y = 1$ रखते हैं: $x = 2(1)^2 + 1 = 2 + 1 = 3$.
इसलिए,$f(1) = 3$.

(D) दिया गया है,$\sin 2x \left( \frac{dy}{dx} - \sqrt{\tan x} \right) - y = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{\sin 2x} = \sqrt{\tan x}$
चूंकि $\frac{1}{\sin 2x} = \csc 2x$,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} - y \csc 2x = \sqrt{\tan x}$ ....$(1)$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\csc 2x$ और $Q = \sqrt{\tan x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P dx} = e^{\int -\csc 2x dx} = e^{-\frac{1}{2} \ln|\tan x|} = e^{\ln(\tan x)^{-1/2}} = \frac{1}{\sqrt{\tan x}} = \sqrt{\cot x}$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है।
मान रखने पर: $y \sqrt{\cot x} = \int \sqrt{\tan x} \cdot \sqrt{\cot x} dx + c$.
चूंकि $\sqrt{\tan x} \cdot \sqrt{\cot x} = 1$,हमें प्राप्त होता है: $y \sqrt{\cot x} = \int 1 dx + c$.
अतः,$y \sqrt{\cot x} = x + c$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sin 2x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = \sin 2x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln(\sec x)} = \sec x$ है।
व्यापक हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ है।
$y \sec x = \int \sin 2x \sec x dx + c$.
$y \sec x = \int (2 \sin x \cos x) \sec x dx + c$.
$y \sec x = 2 \int \sin x dx + c$.
$y \sec x = -2 \cos x + c$ .....$(1)$.
चूंकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 1$ को $(1)$ में रखने पर:
$1 \cdot \sec(0) = -2 \cos(0) + c \Rightarrow 1(1) = -2(1) + c \Rightarrow c = 3$.
$c = 3$ को $(1)$ में रखने पर,$y \sec x = -2 \cos x + 3$ प्राप्त होता है।
$y(\pi)$ ज्ञात करने के लिए,$x = \pi$ रखने पर:
$y \sec(\pi) = -2 \cos(\pi) + 3$.
$y(-1) = -2(-1) + 3$.
$-y = 2 + 3 = 5$.
$y = -5$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ है।
$(1 + x^2)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1 + x^2}y = \frac{4x^2}{1 + x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2x}{1 + x^2}$ और $Q = \frac{4x^2}{1 + x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.) = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1 + x^2} dx} = e^{\ln(1 + x^2)} = 1 + x^2$ है।
व्यापक हल $y \times (I.F.) = \int Q \times (I.F.) dx + C$ है।
$y(1 + x^2) = \int \frac{4x^2}{1 + x^2} \times (1 + x^2) dx + C$.
$y(1 + x^2) = \int 4x^2 dx + C$.
$y(1 + x^2) = \frac{4x^3}{3} + C$.
चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर $C$ का मान प्राप्त होता है।
$0(1 + 0) = \frac{4(0)^3}{3} + C \implies C = 0$.
अतः,वक्र का समीकरण $y(1 + x^2) = \frac{4x^3}{3}$ है,जिसे $3(1 + x^2)y = 4x^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x^2$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = x^2$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) की गणना करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = e^{\ln(x^2)} = x^2$.
व्यापक हल का सूत्र $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + c$ है।
मान रखने पर,$y \cdot x^2 = \int (x^2 \cdot x^2) dx + c$ प्राप्त होता है।
$y \cdot x^2 = \int x^4 dx + c$.
$y \cdot x^2 = \frac{x^5}{5} + c$.
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर,$y = \frac{x^3}{5} + cx^{-2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x$ है।
दोनों पक्षों को $(x^2 - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 - 1}y = \frac{x}{x^2 - 1}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2x}{x^2 - 1}$ और $Q = \frac{x}{x^2 - 1}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{x^2 - 1} dx}$ द्वारा दिया जाता है।
माना $t = x^2 - 1$,तो $dt = 2x dx$ होगा।
अतः,$IF = e^{\int \frac{dt}{t}} = e^{\ln|t|} = t = x^2 - 1$।
इसलिए,अभीष्ट समाकलन गुणक $x^2 - 1$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (3 \sec^2 x) y = \sec^2 x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 3 \sec^2 x$ और $Q(x) = \sec^2 x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3 \sec^2 x dx} = e^{3 \tan x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y \cdot e^{3 \tan x} = \int \sec^2 x \cdot e^{3 \tan x} dx + C$.
माना $u = 3 \tan x$,तब $du = 3 \sec^2 x dx$,इसलिए $\sec^2 x dx = \frac{du}{3}$.
$y \cdot e^{3 \tan x} = \int e^u \cdot \frac{du}{3} + C = \frac{1}{3} e^{3 \tan x} + C$.
$e^{3 \tan x}$ से भाग देने पर,$y = \frac{1}{3} + C e^{-3 \tan x}$ प्राप्त होता है।
दिया है $y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{4}{3}$,इसलिए $\frac{4}{3} = \frac{1}{3} + C e^{-3 \tan(\pi/4)} = \frac{1}{3} + C e^{-3}$.
$1 = C e^{-3} \Rightarrow C = e^3$.
अतः,$y(x) = \frac{1}{3} + e^3 \cdot e^{-3 \tan x} = \frac{1}{3} + e^{3 - 3 \tan x}$.
$x = -\frac{\pi}{4}$ के लिए,$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{3} + e^{3 - 3 \tan(-\pi/4)} = \frac{1}{3} + e^{3 - 3(-1)} = \frac{1}{3} + e^6$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $f'(x) + \frac{3}{4x} f(x) = 7$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{3}{4x}$ और $Q(x) = 7$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{4x} dx} = e^{\frac{3}{4} \ln x} = x^{3/4}$ है।
व्यापक हल $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।
$f(x) \cdot x^{3/4} = \int 7 x^{3/4} dx + c = 7 \cdot \frac{x^{7/4}}{7/4} + c = 4x^{7/4} + c$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = 4x + c x^{-3/4}$ है।
अब,हम $\lim_{x \to 0^+} x f\left(\frac{1}{x}\right)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$f\left(\frac{1}{x}\right) = 4\left(\frac{1}{x}\right) + c\left(\frac{1}{x}\right)^{-3/4} = \frac{4}{x} + c x^{3/4}$ है।
इसलिए,$\lim_{x \to 0^+} x f\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to 0^+} x \left(\frac{4}{x} + c x^{3/4}\right) = \lim_{x \to 0^+} (4 + c x^{7/4}) = 4$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 2 + \frac{1}{x}$ और $Q(x) = e^{-2x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int (2 + \frac{1}{x}) dx} = e^{2x + \log_e x} = x e^{2x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y(x e^{2x}) = \int e^{-2x} \cdot (x e^{2x}) dx + C = \int x dx + C = \frac{x^2}{2} + C$.
चूँकि $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$ दिया गया है,$x=1$ और $y=\frac{1}{2}e^{-2}$ रखने पर:
$\frac{1}{2}e^{-2} \cdot (1 \cdot e^2) = \frac{1^2}{2} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$y = \frac{x}{2}e^{-2x}$ प्राप्त होता है।
फलन की प्रकृति की जाँच करने के लिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} e^{-2x} + \frac{x}{2} (-2 e^{-2x}) = \frac{e^{-2x}}{2} (1 - 2x)$ ज्ञात करते हैं।
जब $x \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ है,तब $1 - 2x < 0$ होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} < 0$ है,जिसका अर्थ है कि $y(x)$ अंतराल $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ में ह्रासमान है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx} + y = x \ln x$ है।
$x$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \ln x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = \ln x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y \cdot x = \int (\ln x) \cdot x dx + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
अतः,$xy = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
दिया है $2y(2) = \ln 4 - 1$,इसलिए $y(2) = \frac{\ln 4 - 1}{2}$.
$x=2$ रखने पर: $2y(2) = \frac{2^2}{2} \ln 2 - \frac{2^2}{4} + C \implies \ln 4 - 1 = 2 \ln 2 - 1 + C$.
चूँकि $\ln 4 = 2 \ln 2$,इसलिए $2 \ln 2 - 1 = 2 \ln 2 - 1 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$.
अतः,$y = \frac{x}{2} \ln x - \frac{x}{4}$.
$x = e$ के लिए,$y(e) = \frac{e}{2} \ln e - \frac{e}{4} = \frac{e}{2} - \frac{e}{4} = \frac{e}{4}$.

(B) स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 2y}{x}$ द्वारा दी गई है।
इसे एक रैखिक अवकल समीकरण के रूप में फिर से लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$ है।
सामान्य समाधान $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$।
चूंकि वक्र $(1, -2)$ से होकर गुजरता है,हम $x = 1$ और $y = -2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$-2(1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \Rightarrow -2 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = -2 - \frac{1}{4} = -\frac{9}{4}$।
अतः,वक्र का समीकरण $y x^2 = \frac{x^4}{4} - \frac{9}{4}$ या $4yx^2 = x^4 - 9$ है।
विकल्प $(B)$ की जाँच करने पर: $x = \sqrt{3}$ के लिए,$4y(3) = (\sqrt{3})^4 - 9 = 9 - 9 = 0$,इसलिए $y = 0$। अतः,वक्र $(\sqrt{3}, 0)$ से होकर गुजरता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ है।
$(x^2 + 1)^2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1} y = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ और $Q(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx} = e^{\ln(x^2 + 1)} = x^2 + 1$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y(x^2 + 1) = \int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \cdot (x^2 + 1) dx + C = \int \frac{1}{x^2 + 1} dx + C$.
$y(x^2 + 1) = \tan^{-1}(x) + C$.
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0(0^2 + 1) = \tan^{-1}(0) + C$,जिसका अर्थ है कि $C = 0$ है।
अतः,$y(x) = \frac{\tan^{-1}(x)}{x^2 + 1}$ है।
हमें $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ दिया गया है।
$y(1) = \frac{\tan^{-1}(1)}{1^2 + 1} = \frac{\pi/4}{2} = \frac{\pi}{8}$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\sqrt{a} \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{32}$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{a} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ है।
इसलिए,$a = (1/4)^2 = 1/16$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$.
$x$ से विभाजित करने पर रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$.
यहाँ,$P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$.
व्यापक हल है: $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$.
$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$.
शर्त $y(1) = 1$ का उपयोग करने पर:
$1 \cdot (1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = \frac{3}{4}$.
$C$ का मान व्यापक हल में रखने पर:
$y x^2 = \frac{x^4}{4} + \frac{3}{4}$.
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $y = \frac{x^2}{4} + \frac{3}{4x^2}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$ है।
$\cos x$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} - y \tan x = 6x \sec x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\tan x$ और $Q = 6x \sec x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{-\int \tan x dx} = e^{-\ln(\sec x)} = \frac{1}{\sec x} = \cos x$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y \cos x = \int (6x \sec x) \cdot \cos x dx = \int 6x dx = 3x^2 + C$ है।
चूंकि $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 3(\frac{\pi}{3})^2 + C$,जिससे $0 = \frac{\pi^2}{3} + C$,अर्थात $C = -\frac{\pi^2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y \cos x = 3x^2 - \frac{\pi^2}{3}$ है।
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
$y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{3} = 3(\frac{\pi^2}{36}) - \frac{\pi^2}{3} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{4\pi^2}{12} = -\frac{3\pi^2}{12} = -\frac{\pi^2}{4}$ है।
$y = -\frac{\pi^2}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\pi^2}{2\sqrt{3}}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = \tan x \sec^2 x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \sec^2 x$ और $Q = \tan x \sec^2 x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \sec^2 x dx} = e^{\tan x}$ है।
हल $y \cdot e^{\tan x} = \int (\tan x \sec^2 x) e^{\tan x} dx + C$ है।
माना $t = \tan x$,तो $dt = \sec^2 x dx$।
समाकलन $\int t e^t dt = t e^t - e^t + C$ हो जाता है।
अतः,$y e^{\tan x} = e^{\tan x} (\tan x - 1) + C$।
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0 = e^0 (0 - 1) + C$,जिसका अर्थ है $C = 1$।
इस प्रकार,$y = \tan x - 1 + e^{-\tan x}$।
$x = -\frac{\pi}{4}$ के लिए,$\tan x = -1$।
$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1 - 1 + e^{-(-1)} = e - 2$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = 2x + x^2 \tan x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ है।
दोनों पक्षों को $I$.$F$. से गुणा करने पर,हमें $y \sec x = \int (2x + x^2 \tan x) \sec x dx$ प्राप्त होता है।
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \sec x \tan x dx$.
ध्यान दें कि $\frac{d}{dx}(x^2 \sec x) = 2x \sec x + x^2 \sec x \tan x$ होता है।
अतः,$y \sec x = x^2 \sec x + C$.
$\sec x$ से भाग देने पर,$y = x^2 + C \cos x$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $1 = 0^2 + C \cos(0) \Rightarrow C = 1$.
अतः,$y = x^2 + \cos x$.
अब,$y' = 2x - \sin x$.
$y'\left( \frac{\pi}{4} \right) = 2\left( \frac{\pi}{4} \right) - \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y'\left( -\frac{\pi}{4} \right) = 2\left( -\frac{\pi}{4} \right) - \sin\left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y'\left( \frac{\pi}{4} \right) - y'\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \pi - \frac{2}{\sqrt{2}} = \pi - \sqrt{2}$.
इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y^2 dx + x dy = \frac{1}{y} dy$ प्राप्त होता है।
$y^2 dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{y^2}$ और $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y^2} dy} = e^{-\frac{1}{y}}$ है।
सामान्य हल $x \cdot e^{-\frac{1}{y}} = \int \frac{1}{y^3} e^{-\frac{1}{y}} dy + C$ है।
माना $t = -\frac{1}{y}$,तो $dt = \frac{1}{y^2} dy$. साथ ही,$\frac{1}{y} = -t$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\int (-t) e^t dt = - (t e^t - e^t) = e^t(1 - t) = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y})$ प्राप्त होता है।
अतः,$x e^{-\frac{1}{y}} = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y}) + C$.
दिया गया है कि $x=1$ पर $y=1$,इसलिए $1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C \implies e^{-1} = 2e^{-1} + C \implies C = -e^{-1}$.
अतः,$x e^{-\frac{1}{y}} = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y}) - e^{-1}$.
$y=2$ के लिए,$x e^{-1/2} = e^{-1/2}(1 + 1/2) - e^{-1} = \frac{3}{2} e^{-1/2} - e^{-1}$.
$e^{-1/2}$ से भाग देने पर,हमें $x = \frac{3}{2} - e^{-1/2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{\sqrt{e}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^2 - x^3) dx - xy dy = 0$
$dx$ से भाग देने पर ($dx \neq 0$ मानते हुए):
$y^2 - x^3 - xy \frac{dy}{dx} = 0$
$xy \frac{dy}{dx} - y^2 = -x^3$
$x$ से भाग देने पर:
$y \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y^2 = -x^2$ ......$(i)$
माना $y^2 = v$,तब $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,अतः $y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{dv}{dx}$.
समीकरण $(i)$ में मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \frac{dv}{dx} - \frac{1}{x} v = -x^2$
$\frac{dv}{dx} - \frac{2}{x} v = -2x^2$ ......$(ii)$
यह $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = -2x^2$.
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln |x|} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
हल $v \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + c$ है।
$v \cdot \frac{1}{x^2} = \int (-2x^2) \cdot \frac{1}{x^2} dx + c$
$\frac{v}{x^2} = \int -2 dx + c$
$\frac{v}{x^2} = -2x + c$
चूँकि $v = y^2$,इसलिए $\frac{y^2}{x^2} = -2x + c$.
$y^2 = -2x^3 + cx^2$,जिसका अर्थ है $y^2 - 2x^3 + cx^2 = 0$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।