Linear differential equations Questions in Hindi

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^{2}-x) \frac{dy}{dx}=1$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = y^{2}-x$,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{dy} + x = y^{2}$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y)=1$ और $Q(y)=y^{2}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int 1 dy} = e^{y}$ है।
सामान्य हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
$x e^{y} = \int y^{2} e^{y} dy + C$.
$\int y^{2} e^{y} dy$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int y^{2} e^{y} dy = y^{2} e^{y} - \int 2y e^{y} dy = y^{2} e^{y} - 2(y e^{y} - e^{y}) = (y^{2}-2y+2)e^{y}$.
अतः,$x e^{y} = (y^{2}-2y+2)e^{y} + C$.
शर्त $y(0)=1$ दी गई है,इसलिए $x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$0 \cdot e^{1} = (1^{2}-2(1)+2)e^{1} + C \Rightarrow 0 = (1)e + C \Rightarrow C = -e$.
वक्र का समीकरण $x e^{y} = (y^{2}-2y+2)e^{y} - e$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$y=0$ रखने पर:
$x e^{0} = (0^{2}-2(0)+2)e^{0} - e \Rightarrow x(1) = 2(1) - e \Rightarrow x = 2-e$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $e^{y}\left(\frac{dy}{dx}-1\right)=e^{x}$ है।
इसे $e^{y} \frac{dy}{dx} - e^{y} = e^{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $e^{y} = t$ है। अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$e^{y} \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dt}{dx} - t = e^{x}$।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
दोनों पक्षों को $I$.$F$. से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx}(t e^{-x}) = e^{x} \cdot e^{-x} = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$t e^{-x} = x + c$ प्राप्त होता है।
$t = e^{y}$ प्रतिस्थापित करने पर,$e^{y} e^{-x} = x + c$,अर्थात $e^{y-x} = x + c$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर: $e^{0-0} = 0 + c \Rightarrow 1 = c$।
अतः,हल $e^{y-x} = x + 1$ है।
$y(1)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 1$ रखने पर: $e^{y-1} = 1 + 1 = 2$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$y - 1 = \log_{e} 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$y(1) = 1 + \log_{e} 2$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(x+1) dy = ((x+1)^{2} + y - 3) dx$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(x+1) dy - y dx = ((x+1)^{2} - 3) dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $(x+1)^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{(x+1) dy - y dx}{(x+1)^{2}} = \left(1 - \frac{3}{(x+1)^{2}}\right) dx$ प्राप्त होता है।
यह $d\left(\frac{y}{x+1}\right) = \left(1 - \frac{3}{(x+1)^{2}}\right) dx$ के बराबर है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\frac{y}{x+1} = x + \frac{3}{x+1} + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $y(2) = 0$,इसलिए $x=2$ और $y=0$ रखने पर: $0 = 2 + \frac{3}{3} + C \Rightarrow 0 = 3 + C \Rightarrow C = -3$।
अतः,हल $\frac{y}{x+1} = x + \frac{3}{x+1} - 3$ है।
$(x+1)$ से गुणा करने पर,$y = x(x+1) + 3 - 3(x+1) = x^{2} + x + 3 - 3x - 3 = x^{2} - 2x$ प्राप्त होता है।
$y(3)$ के लिए,$x=3$ रखने पर: $y(3) = 3^{2} - 2(3) = 9 - 6 = 3$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=-1$ और $Q=\cos x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
समीकरण के दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर:
$e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = e^{-x} \cos x$
$\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = e^{-x} \cos x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$y e^{-x} = \int e^{-x} \cos x dx + C$ --- $(1)$
माना $I = \int e^{-x} \cos x dx$ है। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I = \cos x (-e^{-x}) - \int (-\sin x)(-e^{-x}) dx$
$I = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x dx$
$I = -e^{-x} \cos x - [\sin x (-e^{-x}) - \int \cos x (-e^{-x}) dx]$
$I = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x - I$
$2I = e^{-x} (\sin x - \cos x)$
$I = \frac{e^{-x}(\sin x - \cos x)}{2}$
$I$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$y e^{-x} = \frac{e^{-x}(\sin x - \cos x)}{2} + C$
$e^{x}$ से गुणा करने पर:
$y = \frac{\sin x - \cos x}{2} + C e^{x}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है $(1)$.
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ इस प्रकार है: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = e^{\ln(x^2)} = x^2$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C$.
$y \cdot x^2 = \int x^3 dx + C$.
$y \cdot x^2 = \frac{x^4}{4} + C$.
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $y = \frac{x^2}{4} + Cx^{-2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y dx - (x + 2y^2) dy = 0$ है।
$dy$ से भाग देने पर,हमें $y \frac{dx}{dy} - x - 2y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y \frac{dx}{dy} - x = 2y^2$ प्राप्त होता है।
$y$ से भाग देने पर,$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y} x = 2y$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P_1 x = Q_1$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P_1 = -\frac{1}{y}$ और $Q_1 = 2y$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P_1 dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = e^{\log(y^{-1})} = \frac{1}{y}$ है।
व्यापक हल $x(I.F.) = \int (Q_1 \times I.F.) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$x \cdot \frac{1}{y} = \int (2y \cdot \frac{1}{y}) dy + C$ प्राप्त होता है।
$\frac{x}{y} = \int 2 dy + C$.
$\frac{x}{y} = 2y + C$.
$x = 2y^2 + Cy$.

(A) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ प्रकार का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cot x$ और $Q = 2x + x^2 \cot x$ है।
सबसे पहले,समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करें:
$I.F. = e^{\int \cot x dx} = e^{\log |\sin x|} = \sin x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y \sin x = \int (2x + x^2 \cot x) \sin x dx + C$
$y \sin x = \int (2x \sin x + x^2 \cos x) dx + C$.
यहाँ,$\frac{d}{dx}(x^2 \sin x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$ है,
अतः $y \sin x = x^2 \sin x + C$ $(1)$.
$x = \frac{\pi}{2}$ और $y = 0$ रखने पर:
$0 = (\frac{\pi}{2})^2 \sin(\frac{\pi}{2}) + C \implies 0 = \frac{\pi^2}{4} + C \implies C = -\frac{\pi^2}{4}$.
$C$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$y \sin x = x^2 \sin x - \frac{\pi^2}{4}$.
$\sin x$ से भाग देने पर:
$y = x^2 - \frac{\pi^2}{4 \sin x}$.

(A) वक्र के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = x + xy$ है।
इसे $\frac{dy}{dx} - xy = x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ प्रकार का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -x$ और $Q = x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int -x dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y e^{-\frac{x^2}{2}} = \int x e^{-\frac{x^2}{2}} dx + C$ है।
माना $t = -\frac{x^2}{2}$,तो $dt = -x dx$,इसलिए $x dx = -dt$ है।
अतः,$\int x e^{-\frac{x^2}{2}} dx = -\int e^t dt = -e^t = -e^{-\frac{x^2}{2}}$ है।
इस मान को वापस रखने पर,$y e^{-\frac{x^2}{2}} = -e^{-\frac{x^2}{2}} + C$ प्राप्त होता है।
$e^{-\frac{x^2}{2}}$ से भाग देने पर,हमें $y = -1 + C e^{\frac{x^2}{2}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि वक्र $(0, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:
$1 = -1 + C e^0 \implies 1 = -1 + C \implies C = 2$ है।
अतः,वक्र का समीकरण $y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y = \sin x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2$ और $Q = \sin x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$.
व्यापक हल $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y e^{2x} = \int \sin x \cdot e^{2x} dx + C$ ..........$(1)$.
$I = \int e^{2x} \sin x dx$ को हल करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं:
$I = \sin x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int \cos x \cdot \frac{e^{2x}}{2} dx = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x dx$.
$\int e^{2x} \cos x dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$I = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{1}{2} \left[ \cos x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int (-\sin x) \cdot \frac{e^{2x}}{2} dx \right] = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{e^{2x} \cos x}{4} - \frac{1}{4} I$.
$I + \frac{1}{4} I = \frac{e^{2x}}{4} (2 \sin x - \cos x) \Rightarrow \frac{5}{4} I = \frac{e^{2x}}{4} (2 \sin x - \cos x) \Rightarrow I = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x)$.
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$y e^{2x} = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x) + C$.
$e^{2x}$ से भाग देने पर,हमें $y = \frac{1}{5} (2 \sin x - \cos x) + Ce^{-2x}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = 3$ और $Q = e^{-2x}$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 3 dx} = e^{3x}$.
व्यापक हल इस प्रकार दिया जाता है:
$y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$.
मान रखने पर:
$y e^{3x} = \int (e^{-2x} \times e^{3x}) dx + C$
$y e^{3x} = \int e^{x} dx + C$
$y e^{3x} = e^{x} + C$.
दोनों पक्षों को $e^{3x}$ से विभाजित करने पर:
$y = \frac{e^{x}}{e^{3x}} + \frac{C}{e^{3x}}$
$y = e^{-2x} + Ce^{-3x}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{1}{x}$ और $Q = x^2$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = \frac{1}{x}$।
व्यापक हल $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y \cdot \frac{1}{x} = \int (x^2 \cdot \frac{1}{x}) dx + C$
$\frac{y}{x} = \int x dx + C$
$\frac{y}{x} = \frac{x^2}{2} + C$
$y = \frac{x^3}{2} + Cx$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \sec x$ और $Q = \tan x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \sec x dx} = e^{\ln|\sec x + \tan x|} = \sec x + \tan x$.
व्यापक हल $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y(\sec x + \tan x) = \int \tan x(\sec x + \tan x) dx + C$
$y(\sec x + \tan x) = \int (\sec x \tan x + \tan^2 x) dx + C$
$y(\sec x + \tan x) = \int \sec x \tan x dx + \int (\sec^2 x - 1) dx + C$
$y(\sec x + \tan x) = \sec x + \tan x - x + C$.

(N/A) हमारे पास रैखिक अवकल समीकरण है: $\cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$।
पूरे समीकरण को $\cos ^2 x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x} + (\sec ^2 x) y = \sec ^2 x \tan x$।
यह $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \sec ^2 x$ और $Q = \sec ^2 x \tan x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ इस प्रकार है: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \sec ^2 x dx} = e^{\tan x}$।
व्यापक हल का सूत्र $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ है।
मान रखने पर: $y \cdot e^{\tan x} = \int (\sec ^2 x \tan x) e^{\tan x} dx + C$।
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec ^2 x dx$। समाकलन इस प्रकार हो जाता है: $y \cdot e^{\tan x} = \int t e^t dt + C$।
खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = t$ और $dv = e^t dt$ है:
$y \cdot e^{\tan x} = t e^t - \int e^t dt + C = t e^t - e^t + C$।
$t = \tan x$ का मान वापस रखने पर: $y \cdot e^{\tan x} = \tan x e^{\tan x} - e^{\tan x} + C$।
$e^{\tan x}$ से विभाजित करने पर,हमें व्यापक हल प्राप्त होता है: $y = \tan x - 1 + C e^{-\tan x}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$।
$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x \log x$।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = x \log x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$।
व्यापक हल: $y(IF) = \int (Q \times IF) dx + C$।
मान रखने पर: $y \cdot x^2 = \int (x \log x \cdot x^2) dx + C = \int x^3 \log x dx + C$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x^3 \log x dx = \log x \cdot \frac{x^4}{4} - \int (\frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4}) dx = \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{x^4}{16} + C$।
अतः,$x^2 y = \frac{x^4}{16} (4 \log x - 1) + C$।
$x^2$ से भाग देने पर,व्यापक हल: $y = \frac{1}{16} x^2 (4 \log x - 1) + Cx^{-2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \log x \frac{dy}{dx} + y = \frac{2}{x} \log x$ है।
दोनों पक्षों को $x \log x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log x}$ और $Q = \frac{2}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$ है।
व्यापक हल का सूत्र $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ है।
मान रखने पर: $y \log x = \int \left( \frac{2}{x^2} \log x \right) dx + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int \frac{2 \log x}{x^2} dx$ के लिए,
$u = \log x$ और $dv = \frac{2}{x^2} dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x} dx$ और $v = -\frac{2}{x}$ प्राप्त होता है।
$\int u dv = uv - \int v du = (\log x)(-\frac{2}{x}) - \int (-\frac{2}{x}) \cdot \frac{1}{x} dx$.
$= -\frac{2 \log x}{x} + 2 \int x^{-2} dx = -\frac{2 \log x}{x} + 2(-\frac{1}{x}) = -\frac{2}{x}(\log x + 1)$.
अतः,व्यापक हल $y \log x = -\frac{2}{x}(1 + \log x) + C$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+x^{2}) dy + 2xy dx = \cot x dx$
$(1+x^{2}) dx$ से भाग देने पर:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2xy}{1+x^{2}} = \frac{\cot x}{1+x^{2}}$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2x}{1+x^{2}}$ और $Q = \frac{\cot x}{1+x^{2}}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^{2}} dx} = e^{\log(1+x^{2})} = 1+x^{2}$.
व्यापक हल $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ है।
$y(1+x^{2}) = \int \left( \frac{\cot x}{1+x^{2}} \times (1+x^{2}) \right) dx + C$.
$y(1+x^{2}) = \int \cot x dx + C$.
$y(1+x^{2}) = \log |\sin x| + C$.

(A) दिया गया समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y - x + xy \cot x = 0$
$x$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} + y \cot x = 1$
$\frac{dy}{dx} + y(\frac{1}{x} + \cot x) = 1$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x} + \cot x$ और $Q = 1$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $= e^{\int P dx} = e^{\int (\frac{1}{x} + \cot x) dx} = e^{\ln|x| + \ln|\sin x|} = e^{\ln|x \sin x|} = x \sin x$.
व्यापक हल $y(I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ है।
$y(x \sin x) = \int (1 \cdot x \sin x) dx + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int x \sin x dx = x(-\cos x) - \int (1)(-\cos x) dx = -x \cos x + \sin x$.
अतः,$y(x \sin x) = -x \cos x + \sin x + C$.
$x \sin x$ से भाग देने पर: $y = \frac{-x \cos x}{x \sin x} + \frac{\sin x}{x \sin x} + \frac{C}{x \sin x}$.
$y = -\cot x + \frac{1}{x} + \frac{C}{x \sin x}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y dx + (x - y^2) dy = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y dx = (y^2 - x) dy$
$dy$ और $y$ से भाग देने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{y^2 - x}{y} = y - \frac{x}{y}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dx}{dy} + \frac{1}{y} x = y$
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{y}$ और $Q = y$ है।
अब,समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करें:
$I.F. = e^{\int P dy} = e^{\int \frac{1}{y} dy} = e^{\ln |y|} = y$
व्यापक हल इस प्रकार है: $x(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dy + C$
मान रखने पर: $x(y) = \int (y \cdot y) dy + C$
$xy = \int y^2 dy + C$
$xy = \frac{y^3}{3} + C$
$y$ से भाग देने पर: $x = \frac{y^2}{3} + \frac{C}{y}$

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(x + 3y^3) \frac{dy}{dx} = y$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 3y^3}{y} = \frac{x}{y} + 3y^2$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 3y^2$।
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\frac{1}{y}$ और $Q = 3y^2$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ इस प्रकार है: $I.F. = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = e^{\ln(y^{-1})} = \frac{1}{y}$।
व्यापक हल इस प्रकार है: $x(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dy + C$।
मान रखने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int (3y^2 \cdot \frac{1}{y}) dy + C$।
$\frac{x}{y} = \int 3y dy + C$।
$\frac{x}{y} = \frac{3y^2}{2} + C$।
$y$ से गुणा करने पर: $x = \frac{3y^3}{2} + Cy$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 \tan x$ और $Q = \sin x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = e^{\ln |\sec^2 x|} = \sec^2 x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y \cdot \sec^2 x = \int (\sin x \cdot \sec^2 x) dx + C$.
$y \cdot \sec^2 x = \int (\tan x \cdot \sec x) dx + C$.
$y \cdot \sec^2 x = \sec x + C$ --- $(1)$.
दिया है कि $x = \frac{\pi}{3}$ पर $y = 0$:
$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + C$.
$0 = 2 + C \Rightarrow C = -2$.
$C = -2$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y \cdot \sec^2 x = \sec x - 2$.
$\sec^2 x$ से भाग देने पर:
$y = \cos x - 2 \cos^2 x$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(1+x^{2}\right) \frac{dy}{dx}+2 xy=\frac{1}{1+x^{2}}$ है।
$\left(1+x^{2}\right)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx}+\frac{2x}{1+x^{2}}y=\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=\frac{2x}{1+x^{2}}$ और $Q=\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^{2}} dx} = e^{\ln(1+x^{2})} = 1+x^{2}$ है।
सामान्य हल $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ है।
$y(1+x^{2}) = \int \left(\frac{1}{(1+x^{2})^{2}} \cdot (1+x^{2})\right) dx + C$.
$y(1+x^{2}) = \int \frac{1}{1+x^{2}} dx + C$.
$y(1+x^{2}) = \tan^{-1} x + C$ --- $(1)$.
दिया है कि $x=1$ पर $y=0$,इन मानों को $(1)$ में रखने पर:
$0(1+1^{2}) = \tan^{-1}(1) + C \Rightarrow 0 = \frac{\pi}{4} + C \Rightarrow C = -\frac{\pi}{4}$.
$C$ का मान $(1)$ में रखने पर,विशिष्ट हल $y(1+x^{2}) = \tan^{-1} x - \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} - 3y \cot x = \sin 2x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -3 \cot x$ और $Q = \sin 2x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $= e^{\int P dx} = e^{-3 \int \cot x dx} = e^{-3 \ln |\sin x|} = e^{\ln |\sin x|^{-3}} = \frac{1}{\sin^3 x}$।
व्यापक हल $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot \frac{1}{\sin^3 x} = \int \left( \sin 2x \cdot \frac{1}{\sin^3 x} \right) dx + C$।
चूँकि $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,इसलिए $y \cdot \frac{1}{\sin^3 x} = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\sin^3 x} dx + C = 2 \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx + C$।
$u = \sin x$ लेने पर,$du = \cos x dx$ प्राप्त होता है। समाकलन $2 \int u^{-2} du = -2u^{-1} = -\frac{2}{\sin x}$ हो जाता है।
अतः,$\frac{y}{\sin^3 x} = -\frac{2}{\sin x} + C$।
$\sin^3 x$ से गुणा करने पर,$y = -2 \sin^2 x + C \sin^3 x$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर $y = 2$ दिया गया है,इसलिए $2 = -2 \sin^2(\frac{\pi}{2}) + C \sin^3(\frac{\pi}{2}) \Rightarrow 2 = -2(1) + C(1) \Rightarrow C = 4$।
अतः,विशिष्ट हल $y = 4 \sin^3 x - 2 \sin^2 x$ है।

(A) माना वक्र $y = f(x)$ है। किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{dy}{dx} = x + y$.
यह $\frac{dy}{dx} - y = x$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
यहाँ,$P = -1$ और $Q = x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
व्यापक हल $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + C$ है।
$y e^{-x} = \int x e^{-x} dx + C$.
$\int x e^{-x} dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$\int x e^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int 1(-e^{-x}) dx = -x e^{-x} - e^{-x} = -e^{-x}(x+1)$.
अतः,$y e^{-x} = -e^{-x}(x+1) + C$.
$e^{x}$ से गुणा करने पर,हमें $y = -(x+1) + C e^{x}$ प्राप्त होता है,जिसे $x + y + 1 = C e^{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=0$ रखने पर:
$0 + 0 + 1 = C e^{0} \Rightarrow 1 = C(1) \Rightarrow C = 1$.
$C=1$ को समीकरण में रखने पर,हमें $x + y + 1 = e^{x}$ प्राप्त होता है।

(A) माना वक्र $y=f(x)$ है। किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।
प्रश्न के अनुसार,निर्देशांकों का योग $(x+y)$,ढाल $\frac{dy}{dx}$ से $5$ अधिक है,इसलिए $x+y = \frac{dy}{dx} + 5$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} - y = x - 5$.
यहाँ,$P = -1$ और $Q = x - 5$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y e^{-x} = \int (x - 5) e^{-x} dx + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int (x - 5) e^{-x} dx = (x - 5)(-e^{-x}) - \int (1)(-e^{-x}) dx = -(x - 5)e^{-x} - e^{-x} + C = (5 - x - 1)e^{-x} + C = (4 - x)e^{-x} + C$.
अतः,$y e^{-x} = (4 - x)e^{-x} + C$,जो सरल होकर $y = 4 - x + C e^x$ हो जाता है।
चूंकि वक्र $(0, 2)$ से गुजरता है,हम $x=0$ और $y=2$ प्रतिस्थापित करते हैं: $2 = 4 - 0 + C e^0 \Rightarrow 2 = 4 + C \Rightarrow C = -2$.
इस प्रकार,वक्र का समीकरण $y = 4 - x - 2e^x$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण है:
$x \frac{dy}{dx} - y = 2x^2$
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = 2x$
यहाँ,$P = -\frac{1}{x}$ और $Q = 2x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ इस प्रकार दिया जाता है:
$I.F. = e^{\int P \, dx}$
$I.F. = e^{\int -\frac{1}{x} \, dx}$
$I.F. = e^{-\ln|x|} = e^{\ln|x^{-1}|} = x^{-1} = \frac{1}{x}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1 - y^2)\frac{dx}{dy} + yx = ay$ है।
$(1 - y^2)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{y}{1 - y^2}x = \frac{ay}{1 - y^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{y}{1 - y^2}$ और $Q(y) = \frac{ay}{1 - y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P(y) dy}$ द्वारा दिया जाता है।
$I.F. = e^{\int \frac{y}{1 - y^2} dy}$.
माना $1 - y^2 = t$,तो $-2y dy = dt$,या $y dy = -\frac{1}{2} dt$.
$I.F. = e^{-\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt} = e^{-\frac{1}{2} \ln|t|} = e^{\ln|t|^{-1/2}} = |t|^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिए गए अवकल समीकरण को $\frac{d x}{d y}+\frac{x}{1+y^{2}}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}$ ..........$(1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अब $(1)$ एक रैखिक अवकल समीकरण है जो $\frac{d x}{d y}+P_{1} x=Q_{1}$ के रूप में है,जहाँ $P_{1}=\frac{1}{1+y^{2}}$ और $Q_{1}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}$ है।
अतः,समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,दिए गए अवकल समीकरण का हल $x e^{\tan ^{-1} y} = \int \left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} dy + C$ ..........$(2)$ है।
माना $I = \int \left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} dy$ है।
$\tan ^{-1} y = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $\left(\frac{1}{1+y^{2}}\right) dy = dt$ प्राप्त होता है,अतः $I = \int t e^{t} dt = t e^{t} - \int 1 \cdot e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} = e^{t}(t-1)$ होता है।
$t = \tan ^{-1} y$ रखने पर,$I = e^{\tan ^{-1} y}(\tan ^{-1} y - 1)$ प्राप्त होता है।
$I$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर,$x e^{\tan ^{-1} y} = e^{\tan ^{-1} y}(\tan ^{-1} y - 1) + C$ प्राप्त होता है।
$e^{\tan ^{-1} y}$ से भाग देने पर,$x = \tan ^{-1} y - 1 + C e^{-\tan ^{-1} y}$ प्राप्त होता है,जो कि अभीष्ट व्यापक हल है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left[\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}-\frac{y}{\sqrt{x}}\right] \frac{d x}{d y}=1$
समीकरण को $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\sqrt{x}}{e^{-2 \sqrt{x}} - y}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{-2 \sqrt{x}} - y}{\sqrt{x}} = \frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} - \frac{y}{\sqrt{x}}$
अतः,$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{\sqrt{x}} y = \frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{\sqrt{x}}$ और $Q = \frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ की गणना करने पर:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx} = e^{2 \sqrt{x}}$
व्यापक हल $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है:
$y e^{2 \sqrt{x}} = \int \left( \frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \times e^{2 \sqrt{x}} \right) dx + C$
$y e^{2 \sqrt{x}} = \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx + C$
$y e^{2 \sqrt{x}} = 2 \sqrt{x} + C$

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 4x \csc x$।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \cot x$ और $Q = 4x \csc x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln|\sin x|} = \sin x$।
व्यापक हल $y(I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y \sin x = \int (4x \csc x \cdot \sin x) dx + C$।
चूँकि $\csc x \cdot \sin x = 1$,इसलिए $y \sin x = \int 4x dx + C$।
समाकलन करने पर,हमें $y \sin x = 2x^2 + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $x=\frac{\pi}{2}$ पर $y=0$,इसलिए:
$0 \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) = 2(\frac{\pi}{2})^2 + C$।
$0 = 2(\frac{\pi^2}{4}) + C \Rightarrow 0 = \frac{\pi^2}{2} + C \Rightarrow C = -\frac{\pi^2}{2}$।
अतः,विशिष्ट हल $y \sin x = 2x^2 - \frac{\pi^2}{2}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dx}{dy} + P_{1}x = Q_{1}$ के रूप में है,जहाँ $P_{1}$ और $Q_{1}$ केवल $y$ के फलन हैं।
इस अवकल समीकरण के लिए समाकलन गुणक ($I$.$F$.) इस प्रकार है:
$I.F. = e^{\int P_{1} dy}$
अवकल समीकरण का व्यापक हल इस प्रकार दिया जाता है:
$x \cdot (I.F.) = \int (Q_{1} \cdot I.F.) dy + C$
समाकलन गुणक का मान रखने पर:
$x \cdot e^{\int P_{1} dy} = \int (Q_{1} \cdot e^{\int P_{1} dy}) dy + C$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $e^{x} dy + (ye^{x} + 2x) dx = 0$ है।
$dx$ से विभाजित करने पर,हमें $e^{x} \frac{dy}{dx} + ye^{x} + 2x = 0$ प्राप्त होता है।
$e^{x}$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} + y = -2x e^{-x}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 1$ और $Q = -2x e^{-x}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^{x}$ है।
व्यापक हल $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$y e^{x} = \int (-2x e^{-x} \cdot e^{x}) dx + C$।
$y e^{x} = \int -2x dx + C$।
$y e^{x} = -x^{2} + C$।
अतः,$y e^{x} + x^{2} = C$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ है। यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 \tan x$ और $Q = \sin x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \sec^2 x = \int \sin x \cdot \sec^2 x dx = \int \sec x \tan x dx = \sec x + C$.
चूँकि $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ दिया गया है,$x = \frac{\pi}{3}$ और $y = 0$ रखने पर:
$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + C \implies 0 = 2 + C \implies C = -2$.
अतः,$y \sec^2 x = \sec x - 2$,जिसे सरल करने पर $y = \frac{\sec x - 2}{\sec^2 x} = \cos x - 2 \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
माना $t = \cos x$ है। चूँकि $-1 \le \cos x \le 1$,इसलिए $y = t - 2t^2$ है। अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = 1 - 4t = 0 \implies t = \frac{1}{4}$.
चूँकि $t = \frac{1}{4}$ अंतराल $[-1, 1]$ के भीतर है,अधिकतम मान $y = \frac{1}{4} - 2(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{16} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx}-y=x^{2}(x \cos x+\sin x)$ है।
$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x(x \cos x+\sin x)$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=-\frac{1}{x}$ और $Q=x^{2} \cos x+x \sin x$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx} = e^{-\int \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ है।
हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{y}{x} = \int \frac{1}{x} \cdot x(x \cos x+\sin x) dx = \int (x \cos x+\sin x) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x$.
अतः,$\frac{y}{x} = x \sin x + \cos x - \cos x + C = x \sin x + C$.
चूँकि $y(\pi)=\pi$ दिया गया है,तो $\frac{\pi}{\pi} = \pi \sin(\pi) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C=1$.
इस प्रकार,$y = x^{2} \sin x + x$.
अब,$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^{2}}{4} + \frac{\pi}{2}$.
आगे,$\frac{dy}{dx} = x^{2} \cos x + 2x \sin x + 1$.
तब,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -x^{2} \sin x + 2x \cos x + 2x \cos x + 2 \sin x = -x^{2} \sin x + 4x \cos x + 2 \sin x$.
$x=\frac{\pi}{2}$ पर मान रखने पर,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 4\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi^{2}}{4} + 0 + 2 = 2 - \frac{\pi^{2}}{4}$.
अंत में,$y^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) + y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(2 - \frac{\pi^{2}}{4}\right) + \left(\frac{\pi^{2}}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = 2 + \frac{\pi}{2}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \frac{dy}{dx} + 2y \sin x = \sin 2x$ है।
$\cos x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = 2 \sin x$।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 \tan x$ और $Q = 2 \sin x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) = $e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \sec^2 x = \int 2 \sin x \cdot \sec^2 x dx + C$।
$y \sec^2 x = 2 \int \tan x \sec x dx + C$।
$y \sec^2 x = 2 \sec x + C$।
दिया गया है कि $y(\frac{\pi}{3}) = 0$,इसलिए $x = \frac{\pi}{3}$ और $y = 0$ रखने पर:
$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = 2 \sec(\frac{\pi}{3}) + C$।
$0 = 2(2) + C \implies C = -4$।
अतः,हल $y \sec^2 x = 2 \sec x - 4$ है।
$x = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$y \sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2 \sec(\frac{\pi}{4}) - 4$।
$y(2) = 2(\sqrt{2}) - 4$।
$2y = 2\sqrt{2} - 4$।
$y = \sqrt{2} - 2$।

(A) दिया गया हल $y = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \operatorname{cosec} x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \operatorname{cosec} x + \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \frac{d}{dx}(\operatorname{cosec} x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x + \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) (-\operatorname{cosec} x \cot x)$
$y = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \operatorname{cosec} x$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x - y \cot x$
पदों को $\frac{dy}{dx} + p(x) y = Q(x)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x$
दिए गए अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + p(x) y = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p(x) = \cot x$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \tan x$ और $Q(x) = \sin x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) ज्ञात करते हैं:
$I.F. = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$.
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y \sec x = \int \sin x \cdot \sec x dx + C$
$y \sec x = \int \tan x dx + C$
$y \sec x = \ln|\sec x| + C$.
चूंकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$0 \cdot \sec(0) = \ln|\sec(0)| + C$
$0 = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,विशिष्ट हल $y \sec x = \ln|\sec x|$ है,जिसे $y = \cos x \ln|\sec x|$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात करने के लिए:
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \ln\left|\sec\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|$
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln(\sqrt{2})$
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln(2^{1/2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log_{e} 2$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dy = (1+y \sin x(3 \sin x+\cos x+3)) dx$ है।
इसे $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dx$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - (\tan x)y = \frac{1}{\cos x(3 \sin x+\cos x+3)}$।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\tan x$ और $Q(x) = \frac{1}{\cos x(3 \sin x+\cos x+3)}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -\tan x dx} = e^{\ln|\cos x|} = \cos x$ ($x \in [0, \pi/2)$ के लिए)।
हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ है।
$y \cos x = \int \frac{1}{\cos x(3 \sin x+\cos x+3)} \cdot \cos x dx + C = \int \frac{dx}{3 \sin x+\cos x+3} + C$।
$t = \tan(x/2)$ प्रतिस्थापन लेने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$।
$y \cos x = \int \frac{2 dt / (1+t^2)}{3(2t/(1+t^2)) + (1-t^2)/(1+t^2) + 3} + C = \int \frac{2 dt}{6t + 1 - t^2 + 3 + 3t^2} + C = \int \frac{2 dt}{2t^2 + 6t + 4} + C = \int \frac{dt}{t^2 + 3t + 2} + C$।
$y \cos x = \int \frac{dt}{(t+1)(t+2)} + C = \int (\frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+2}) dt + C = \ln|\frac{t+1}{t+2}| + C$।
$y \cos x = \ln|\frac{\tan(x/2)+1}{\tan(x/2)+2}| + C$।
$y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 = \ln(1/2) + C \Rightarrow C = \ln 2$।
$y \cos x = \ln(\frac{1+\tan(x/2)}{2+\tan(x/2)}) + \ln 2 = \ln(\frac{2(1+\tan(x/2))}{2+\tan(x/2)})$।
$x = \pi/3$ के लिए,$\tan(x/2) = \tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$।
$y(1/2) = \ln(\frac{2(1+1/\sqrt{3})}{2+1/\sqrt{3}}) = \ln(\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{3}+1})$।
विकल्पों की जाँच करने पर,सही उत्तर $2 \ln(\frac{2\sqrt{3}+10}{11})$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $2(x^{2}+x^{5/4}) \frac{dy}{dx} - y(x+x^{1/4}) = 2x^{9/4}$ है।
$2(x^{2}+x^{5/4}) = 2x(x+x^{1/4})$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{2x} = \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{2x}$ और $Q(x) = \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1}$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{1}{2x} dx} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
$y \cdot x^{-1/2} = \int \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1} \cdot x^{-1/2} dx = \int \frac{x^{3/4}}{x^{3/4}+1} dx$ है।
माना $x^{1/4} = t$,तो $x = t^{4}$ और $dx = 4t^{3} dt$ है।
$y x^{-1/2} = \int \frac{t^{3}}{t^{3}+1} \cdot 4t^{3} dt = 4 \int \frac{t^{6}}{t^{3}+1} dt = 4 \int (t^{3} - 1 + \frac{1}{t^{3}+1}) dt$ है।
इसका समाकलन करने पर $y x^{-1/2} = \frac{4}{3} x^{3/4} - \frac{4}{3} \ln(x^{3/4}+1) + C$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1, 1-\frac{4}{3} \ln 2)$ का उपयोग करने पर,$C = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $y = \frac{4}{3} x^{5/4} - \frac{4}{3} \sqrt{x} \ln(x^{3/4}+1) - \frac{\sqrt{x}}{3}$ है।
$y(16) = \frac{4}{3}(32) - \frac{4}{3}(4) \ln 9 - \frac{4}{3} = \frac{124}{3} - \frac{32}{3} \ln 3 = 4(\frac{31}{3} - \frac{8}{3} \ln 3)$।

(A) मान लीजिए $Y = y+1$. तब $\frac{dY}{dx} = \frac{dy}{dx}$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dY}{dx} = Y^{2}e^{x^{2}/2} - xY$.
यह एक बर्नौली अवकल समीकरण है। $Y^{2}$ से विभाजित करने पर: $Y^{-2}\frac{dY}{dx} + xY^{-1} = e^{x^{2}/2}$.
मान लीजिए $v = Y^{-1} = \frac{1}{y+1}$. तब $\frac{dv}{dx} = -Y^{-2}\frac{dY}{dx}$,जिससे $-\frac{dv}{dx} + xv = e^{x^{2}/2}$,या $\frac{dv}{dx} - xv = -e^{x^{2}/2}$.
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -x dx} = e^{-x^{2}/2}$ है।
$I.F.$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(v e^{-x^{2}/2}) = -1$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $v e^{-x^{2}/2} = -x + C$,इसलिए $v = (-x+C)e^{x^{2}/2}$.
चूंकि $v = \frac{1}{y+1}$,हमारे पास $y+1 = \frac{1}{(-x+C)e^{x^{2}/2}}$ है।
$y(2)=0$ दिया गया है,इसलिए $1 = \frac{1}{(-2+C)e^{2}}$,जिसका अर्थ है $-2+C = e^{-2}$,यानी $C = 2+e^{-2}$.
अतः,$y+1 = \frac{1}{(-x+2+e^{-2})e^{x^{2}/2}}$.
$x=1$ पर,$y+1 = \frac{1}{(-1+2+e^{-2})e^{1/2}} = \frac{1}{(1+e^{-2})e^{1/2}} = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1}$.
मूल समीकरण से,$y'(1) = (y(1)+1)((y(1)+1)e^{1/2}-1)$.
$y(1)+1 = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1}$ रखने पर: $y'(1) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \cdot e^{1/2} - 1 \right) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{e^{2}}{e^{2}+1} - 1 \right) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{-1}{e^{2}+1} \right) = \frac{-e^{3/2}}{(e^{2}+1)^{2}}$.

(D) दिया गया है कि वक्र मूल बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए $y(0) = 0$ है।
स्पर्शरेखा का ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}-4x+y+8}{x-2}$ है।
अंश को $(x-2)^{2} + y + 4$ के रूप में लिखने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)^{2} + y + 4}{x-2} = (x-2) + \frac{y}{x-2} + \frac{4}{x-2}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण मिलता है: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x-2} = (x-2) + \frac{4}{x-2}$।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{-\int \frac{1}{x-2} dx} = e^{-\ln|x-2|} = \frac{1}{x-2}$ है।
दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x-2} \right) = \frac{1}{x-2} \left( (x-2) + \frac{4}{x-2} \right) = 1 + \frac{4}{(x-2)^{2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\frac{y}{x-2} = x - \frac{4}{x-2} + C$।
शर्त $y(0) = 0$ का उपयोग करने पर: $\frac{0}{-2} = 0 - \frac{4}{-2} + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2$।
अतः,$\frac{y}{x-2} = x - \frac{4}{x-2} - 2$।
$(x-2)$ से गुणा करने पर,$y = x(x-2) - 4 - 2(x-2) = x^{2} - 2x - 4 - 2x + 4 = x^{2} - 4x$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $x = 5$ के लिए,$y = 5^{2} - 4(5) = 25 - 20 = 5$ है। अतः,वक्र $(5, 5)$ से होकर गुजरता है।

(D) माना $e^{\sin y} = t$ है।
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $e^{\sin y} \cos y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$ प्राप्त होता है।
दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dt}{dx} + t \cos x = \cos x$ बन जाता है।
यह $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \cos x$ और $Q(x) = \cos x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int \cos x \, dx} = e^{\sin x}$ है।
हल $t \cdot e^{\sin x} = \int \cos x \cdot e^{\sin x} \, dx$ है।
माना $u = \sin x$,तो $du = \cos x \, dx$ है।
अतः,$t \cdot e^{\sin x} = \int e^u \, du = e^u + c = e^{\sin x} + c$ है।
$t = e^{\sin y}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $e^{\sin y} \cdot e^{\sin x} = e^{\sin x} + c$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,$e^{\sin 0} \cdot e^{\sin 0} = e^{\sin 0} + c$,जिसका अर्थ है $1 \cdot 1 = 1 + c$,इसलिए $c = 0$ है।
इस प्रकार,$e^{\sin y} \cdot e^{\sin x} = e^{\sin x}$,जो सरल होकर $e^{\sin y} = 1$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\sin y = 0$,जिसका अर्थ है कि सभी $x$ के लिए $y = 0$ है।
अतः,$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0$,$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$,और $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$ है।
अतः,$1 + y\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} y\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y = bx^4$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = bx^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x}$ और $Q(x) = bx^3$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है,जो $yx = \int bx^3 \cdot x dx + C = \int bx^4 dx + C$ देता है।
अतः,$yx = \frac{bx^5}{5} + C$,या $f(x) = y = \frac{bx^4}{5} + \frac{C}{x}$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $2 = \frac{b}{5} + C$,अर्थात $C = 2 - \frac{b}{5}$।
दिया गया है कि $\int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{62}{5}$,इसलिए $\int_{1}^{2} (\frac{bx^4}{5} + \frac{C}{x}) dx = [\frac{bx^5}{25} + C \ln x]_{1}^{2} = \frac{62}{5}$।
सीमाओं को रखने पर: $(\frac{32b}{25} + C \ln 2) - (\frac{b}{25} + 0) = \frac{31b}{25} + C \ln 2 = \frac{62}{5}$।
$C = 2 - \frac{b}{5}$ रखने पर: $\frac{31b}{25} + (2 - \frac{b}{5}) \ln 2 = \frac{62}{5}$।
इसे संतुष्ट करने के लिए,$\ln 2$ के गुणांक को $0$ लेने पर,$2 - \frac{b}{5} = 0$,जिससे $b = 10$ प्राप्त होता है।
तब $\frac{31(10)}{25} = \frac{310}{25} = \frac{62}{5}$ प्राप्त होता है,जो समीकरण को संतुष्ट करता है। अतः,$b = 10$।

(C) अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{xy^2 + y}{x} = y^2 + \frac{y}{x}$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = y^2$ प्राप्त होता है।
$y^2$ से भाग देने पर,$y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y^{-1} = 1$ प्राप्त होता है।
माना $v = y^{-1}$,तो $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$।
इसे समीकरण में रखने पर,$-\frac{dv}{dx} - \frac{1}{x} v = 1$,या $\frac{dv}{dx} + \frac{1}{x} v = -1$ प्राप्त होता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ है।
हल $v \cdot x = \int (-1) \cdot x dx + C = -\frac{x^2}{2} + C$ है।
चूंकि $v = \frac{1}{y}$,इसलिए $\frac{x}{y} = -\frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
वक्र रेखा $x + 2y = 4$ को $x = -2$ पर काटता है,इसलिए $y$ ज्ञात करने के लिए $x = -2$ रखने पर: $-2 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$।
वक्र $(-2, 3)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{-2}{3} = -\frac{(-2)^2}{2} + C \Rightarrow -\frac{2}{3} = -2 + C \Rightarrow C = \frac{4}{3}$।
अतः,$\frac{x}{y} = -\frac{x^2}{2} + \frac{4}{3}$ है।
बिंदु $(3, y)$ के लिए,$\frac{3}{y} = -\frac{3^2}{2} + \frac{4}{3} = -\frac{9}{2} + \frac{4}{3} = -\frac{19}{6}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$y = -\frac{18}{19}$।

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t} f(t) dt + e^{x}$.
$x=0$ पर,$f(0) = \int_{0}^{0} e^{t} f(t) dt + e^{0} = 0 + 1 = 1$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$f'(x) = e^{x} f(x) + e^{x} = e^{x}(f(x) + 1)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{f'(x)}{f(x) + 1} = e^{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $0$ से $x$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{x} \frac{f'(t)}{f(t) + 1} dt = \int_{0}^{x} e^{t} dt$.
$[\ln(f(t) + 1)]_{0}^{x} = [e^{t}]_{0}^{x}$.
$\ln(f(x) + 1) - \ln(f(0) + 1) = e^{x} - e^{0}$.
चूंकि $f(0) = 1$,इसलिए $\ln(f(x) + 1) - \ln(2) = e^{x} - 1$.
$\ln\left(\frac{f(x) + 1}{2}\right) = e^{x} - 1$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर:
$\frac{f(x) + 1}{2} = e^{(e^{x} - 1)}$.
$f(x) = 2 e^{(e^{x} - 1)} - 1$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(y+1) \tan ^{2} x \,dx+\tan x \,dy+y \,dx=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\tan x \,dy + (y \tan^2 x + y + \tan^2 x) \,dx = 0$ प्राप्त होता है।
$\tan x \,dx$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{y(\tan^2 x + 1) + \tan^2 x}{\tan x} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1+\tan^2 x = \sec^2 x$,इसलिए $\frac{dy}{dx} + y \frac{\sec^2 x}{\tan x} = -\tan x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{\sec^2 x}{\tan x}$ और $Q(x) = -\tan x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} \,dx} = e^{\ln(\tan x)} = \tan x$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF \,dx + C$ है।
$y \tan x = \int -\tan^2 x \,dx + C = \int (1 - \sec^2 x) \,dx + C = x - \tan x + C$ है।
अतः,$y = \frac{x}{\tan x} - 1 + \frac{C}{\tan x}$ है।
दिया गया है कि $\lim_{x \to 0+} x y(x) = 1$,इसलिए $\lim_{x \to 0+} x \left( \frac{x}{\tan x} - 1 + \frac{C}{\tan x} \right) = 1$ है।
चूंकि $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$,इसलिए सीमा $1(1) - 0 + C(1) = 1$ हो जाती है,जिसका अर्थ है $1 + C = 1$,अतः $C = 0$ है।
इस प्रकार,$y(x) = \frac{x}{\tan x} - 1$ है।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर मान रखने पर,$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi/4}{1} - 1 = \frac{\pi}{4} - 1$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$.
$2 x^{2} dx$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{e^{y} - 2x}{2 x^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{e^{y}}{2 x^{2}} - \frac{1}{x} = 0$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} = -\frac{e^{y}}{2 x^{2}} \Rightarrow e^{-y} \frac{dy}{dx} - \frac{e^{-y}}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}}$.
मान लीजिए $z = e^{-y}$,तो $\frac{dz}{dx} = -e^{-y} \frac{dy}{dx}$.
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{dz}{dx} - \frac{z}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}} \Rightarrow \frac{dz}{dx} + \frac{z}{x} = \frac{1}{2 x^{2}}$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log_{e} x} = x$ है।
हल: $z \cdot x = \int x \cdot \frac{1}{2 x^{2}} dx + C = \int \frac{1}{2x} dx + C = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.
चूंकि $z = e^{-y}$,इसलिए $x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.
$y(e) = 1$ दिया गया है,इसलिए $x = e$ और $y = 1$ रखने पर: $e \cdot e^{-1} = \frac{1}{2} \log_{e} e + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
अतः,$x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \log_{e} (ex)$.
$y(1)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 1$ रखने पर: $1 \cdot e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \log_{e} (e \cdot 1) = \frac{1}{2} \log_{e} e = \frac{1}{2}$.
$e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{y(1)} = 2 \Rightarrow y(1) = \log_{e} 2$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 2x(y + 2 \sin x - 5) - 2 \cos x$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - 2xy = 2x(2 \sin x - 5) - 2 \cos x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -2x$ और $Q(x) = 4x \sin x - 10x - 2 \cos x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -2x dx} = e^{-x^{2}}$ है।
दोनों पक्षों को $IF$ से गुणा करने पर,हमें $e^{-x^{2}} \frac{dy}{dx} - 2x e^{-x^{2}} y = e^{-x^{2}}(4x \sin x - 10x - 2 \cos x)$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{d}{dx}(y \cdot e^{-x^{2}}) = e^{-x^{2}}(4x \sin x - 2 \cos x) - 10x e^{-x^{2}}$ में सरल हो जाता है।
ध्यान दें कि $\frac{d}{dx}(e^{-x^{2}}(5 - 2 \sin x)) = e^{-x^{2}}(-2 \cos x) + (5 - 2 \sin x)(-2x e^{-x^{2}}) = -2 \cos x e^{-x^{2}} - 10x e^{-x^{2}} + 4x \sin x e^{-x^{2}}$ है।
अतः,$y \cdot e^{-x^{2}} = e^{-x^{2}}(5 - 2 \sin x) + C$ प्राप्त होता है।
$e^{-x^{2}}$ से भाग देने पर,$y = 5 - 2 \sin x + C e^{x^{2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y(0) = 7$ दिया गया है,इसलिए $7 = 5 - 2 \sin(0) + C e^{0} \Rightarrow 7 = 5 + C \Rightarrow C = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$y(x) = 5 - 2 \sin x + 2 e^{x^{2}}$ है।
$x = \pi$ पर,$y(\pi) = 5 - 2 \sin(\pi) + 2 e^{\pi^{2}} = 5 - 0 + 2 e^{\pi^{2}} = 2 e^{\pi^{2}} + 5$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $f(x)+x f'(x)=x^2$ है,जिसे $y+x \frac{dy}{dx}=x^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $x \neq 0$),हमें $\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=\frac{1}{x}$ और $Q=x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ है।
हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ द्वारा दिया जाता है।
$y \cdot x = \int x \cdot x dx + C = \int x^2 dx + C = \frac{x^3}{3} + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(-2, 2)$ से होकर गुजरता है,हम $x=-2$ और $y=2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + C \Rightarrow -4 = -\frac{8}{3} + C$.
$C = -4 + \frac{8}{3} = -\frac{4}{3}$.
$C$ का मान समीकरण में वापस रखने पर: $xy = \frac{x^3}{3} - \frac{4}{3}$।
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3xy = x^3 - 4$ प्राप्त होता है,अर्थात $x^3 - 3x f(x) - 4 = 0$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x - 10y^3) dy + y dx = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $y dx = (10y^3 - 2x) dy$.
$y dy$ से भाग देने पर,हमें $x$ में रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{dx}{dy} + \frac{2}{y}x = 10y^2$.
यहाँ,समाकलन गुणक $(I.F.)$ इस प्रकार है:
$I.F. = e^{\int \frac{2}{y} dy} = e^{2 \ln|y|} = y^2$.
व्यापक हल $x \cdot (I.F.) = \int (10y^2) \cdot (I.F.) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
$x y^2 = \int 10y^4 dy + C$.
$x y^2 = 2y^5 + C$.
चूंकि वक्र $(0, 1)$ से होकर गुजरता है,हम $x=0$ और $y=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 \cdot (1)^2 = 2(1)^5 + C \Rightarrow C = -2$.
अतः,वक्र का समीकरण $x y^2 = 2y^5 - 2$ है।
चूंकि वक्र $(2, \beta)$ से होकर गुजरता है,हम $x=2$ और $y=\beta$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2 \beta^2 = 2 \beta^5 - 2$.
$2$ से भाग देने पर,हमें $\beta^2 = \beta^5 - 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\beta^5 - \beta^2 - 1 = 0$ हो जाता है।
इसलिए,$\beta$ समीकरण $y^5 - y^2 - 1 = 0$ का एक मूल है।

(A) दिया गया समीकरण: $x \phi(x) = \int_{5}^{x} (3t^{2} - 2 \phi'(t)) dt$.
लेबनिज नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} [x \phi(x)] = 3x^{2} - 2 \phi'(x)$.
बाईं ओर गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\phi(x) + x \phi'(x) = 3x^{2} - 2 \phi'(x)$.
$\phi'(x)$ वाले पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(x + 2) \phi'(x) = 3x^{2} - \phi(x)$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\phi'(x) + \frac{1}{x+2} \phi(x) = \frac{3x^{2}}{x+2}$.
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{1}{x+2} dx} = e^{\ln(x+2)} = x+2$.
$I.F.$ से गुणा करने पर:
$(x+2) \phi'(x) + \phi(x) = 3x^{2}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$(x+2) \phi(x) = \int 3x^{2} dx = x^{3} + C$.
दिया गया है $\phi(0) = 4$:
$(0+2) \phi(0) = 0^{3} + C \Rightarrow 2(4) = C \Rightarrow C = 8$.
अतः,$(x+2) \phi(x) = x^{3} + 8$.
$\phi(x) = \frac{x^{3} + 8}{x+2} = \frac{(x+2)(x^{2} - 2x + 4)}{x+2} = x^{2} - 2x + 4$.
$x = 2$ के लिए:
$\phi(2) = 2^{2} - 2(2) + 4 = 4 - 4 + 4 = 4$.