अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{3x^2}{1 + x^3}y = \frac{\sin^2 x}{1 + x^3}$ का हल है

मान लीजिए $y(x)$ अवकल समीकरण $(1+e^x) y^{\prime}+y e^x=1$ का एक हल है। यदि $y(0)=2$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $y(-4)=0$
$(B)$ $y(-2)=0$
$(C)$ $y(x)$ का अंतराल $(-1,0)$ में एक क्रांतिक बिंदु है
$(D)$ $y(x)$ का अंतराल $(-1,0)$ में कोई क्रांतिक बिंदु नहीं है

मान लीजिए कि $f$ एक अवकलनीय फलन है जैसे कि $f'(x) = 7 - \frac{3}{4} \frac{f(x)}{x}, (x > 0)$ और $f(1) \neq 4$ है। तो $\lim_{x \to 0^+} x f\left(\frac{1}{x}\right)$

एक फलन $y = f(x)$ जो अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} \sin x - y \cos x + \frac{\sin^2 x}{x^2} = 0$ को संतुष्ट करता है,इस प्रकार है कि $x \rightarrow \infty$ होने पर $y \rightarrow 0$ होता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = x \sec x$,$0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}$,$y(0)=1$ का हल वक्र है,तो $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।