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Higher order derivatives Questions in Hindi
Class 12 Mathematics · Continuity and Differentiation · Higher order derivatives
274+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 274 questions in Hindi
51
AdvancedMCQ
यदि $y = a \cos (\ln x) + b \sin (\ln x)$ है,तो $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$0$
B
$y$
C
$-y$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) दिया गया है $y = a \cos (\ln x) + b \sin (\ln x)$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -a \sin (\ln x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos (\ln x) \cdot \frac{1}{x}$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$x \frac{dy}{dx} = -a \sin (\ln x) + b \cos (\ln x)$
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} (x \frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx} (-a \sin (\ln x) + b \cos (\ln x))$
$x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -a \cos (\ln x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin (\ln x) \cdot \frac{1}{x}$
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = -a \cos (\ln x) - b \sin (\ln x)$
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = -(a \cos (\ln x) + b \sin (\ln x))$
चूंकि $y = a \cos (\ln x) + b \sin (\ln x)$,इसलिए:
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = -y$
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -a \sin (\ln x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos (\ln x) \cdot \frac{1}{x}$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$x \frac{dy}{dx} = -a \sin (\ln x) + b \cos (\ln x)$
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} (x \frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx} (-a \sin (\ln x) + b \cos (\ln x))$
$x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -a \cos (\ln x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin (\ln x) \cdot \frac{1}{x}$
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = -a \cos (\ln x) - b \sin (\ln x)$
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = -(a \cos (\ln x) + b \sin (\ln x))$
चूंकि $y = a \cos (\ln x) + b \sin (\ln x)$,इसलिए:
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = -y$
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AdvancedMCQ
वास्तविक गुणांकों वाले एक अशून्य बहुपद $f(x)$ में यह गुण है कि $f''(x) f'(x) = f(x)$ है। तो $f'''(x)$ का मान क्या है?
A
$0$
B
$-1$
C
$f(x)$
D
$f'(x)$
Solution
(A) मान लीजिए कि बहुपद $f(x)$ की घात $n$ है।
$f'(x)$ की घात $n-1$ है।
$f''(x)$ की घात $n-2$ है।
दिए गए समीकरण $f''(x) f'(x) = f(x)$ के लिए,दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
$(n-2) + (n-1) = n$
$2n - 3 = n$
$n = 3$
अतः $f(x)$ एक $3$ घात का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$,जहाँ $a \neq 0$.
तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
तब $f''(x) = 6ax + 2b$.
तब $f'''(x) = 6a$.
समीकरण $f''(x) f'(x) = f(x)$ में मुख्य गुणांकों की तुलना करने पर:
$(6a)(3a) = a$
$18a^2 = a$
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $18a = 1$,जिसका अर्थ है $a = 1/18$.
इस प्रकार,$f'''(x) = 6a = 6(1/18) = 1/3$.
$f'(x)$ की घात $n-1$ है।
$f''(x)$ की घात $n-2$ है।
दिए गए समीकरण $f''(x) f'(x) = f(x)$ के लिए,दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
$(n-2) + (n-1) = n$
$2n - 3 = n$
$n = 3$
अतः $f(x)$ एक $3$ घात का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$,जहाँ $a \neq 0$.
तब $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
तब $f''(x) = 6ax + 2b$.
तब $f'''(x) = 6a$.
समीकरण $f''(x) f'(x) = f(x)$ में मुख्य गुणांकों की तुलना करने पर:
$(6a)(3a) = a$
$18a^2 = a$
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $18a = 1$,जिसका अर्थ है $a = 1/18$.
इस प्रकार,$f'''(x) = 6a = 6(1/18) = 1/3$.
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AdvancedMCQ
एक फलन $f$ संबंध $f(x) = f''(x) + f'''(x) + \dots \infty$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(x)$ एक अनंत अवकलनीय फलन है। यदि $f(1) = 5$ है,तो $f'(1) + f''(1)$ का मान किसके बराबर है?
A
$0$
B
$-5$
C
$5$
D
निर्धारित नहीं किया जा सकता
Solution
(C) दिया गया संबंध $f(x) = f''(x) + f'''(x) + f''''(x) + \dots \infty$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = f'''(x) + f''''(x) + f'''''(x) + \dots \infty$ प्राप्त होता है।
इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हम देखते हैं कि $f(x) = f''(x) + f'(x)$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $f'(x) + f''(x) = f(x)$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर इसका मान ज्ञात करने पर,$f'(1) + f''(1) = f(1)$ होता है।
चूँकि $f(1) = 5$ है,इसलिए $f'(1) + f''(1) = 5$ होगा।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = f'''(x) + f''''(x) + f'''''(x) + \dots \infty$ प्राप्त होता है।
इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हम देखते हैं कि $f(x) = f''(x) + f'(x)$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $f'(x) + f''(x) = f(x)$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर इसका मान ज्ञात करने पर,$f'(1) + f''(1) = f(1)$ होता है।
चूँकि $f(1) = 5$ है,इसलिए $f'(1) + f''(1) = 5$ होगा।
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AdvancedMCQ
मान लीजिए $f$ और $g$ दो बार अवकलनीय फलन हैं,इस प्रकार कि सभी $x \in R$ के लिए $f(x) \cdot g(x) = 1$ है और $f'$ तथा $g'$ कभी शून्य नहीं होते हैं,तो $\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(x)}{g(x)}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{2f'(x)}{f(x)}$
B
$0$
C
$-\frac{f'(x)}{f(x)}$
D
$2\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)^2$
Solution
(D) दिया गया है कि $f(x) \cdot g(x) = 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x) = 0$ --- $(1)$
समीकरण $(1)$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f(x) \cdot g''(x) + f'(x) \cdot g'(x) + g'(x) \cdot f'(x) + g(x) \cdot f''(x) = 0$
$f(x) \cdot g''(x) + g(x) \cdot f''(x) + 2f'(x) \cdot g'(x) = 0$
पूरे समीकरण को $f(x) \cdot g(x)$ (जो $1$ है) से विभाजित करने पर:
$\frac{f(x) \cdot g''(x)}{f(x) \cdot g(x)} + \frac{g(x) \cdot f''(x)}{f(x) \cdot g(x)} + \frac{2f'(x) \cdot g'(x)}{f(x) \cdot g(x)} = 0$
$\frac{g''(x)}{g(x)} + \frac{f''(x)}{f(x)} + 2 \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot \frac{g'(x)}{g(x)} = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$f(x) \cdot g'(x) = -g(x) \cdot f'(x)$,जिसका अर्थ है कि $\frac{g'(x)}{g(x)} = -\frac{f'(x)}{f(x)}$।
इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(x)}{g(x)} + 2 \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot \left(-\frac{f'(x)}{f(x)}\right) = 0$
$\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(x)}{g(x)} - 2 \left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)^2 = 0$
$\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(x)}{g(x)} = 2 \left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)^2$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x) = 0$ --- $(1)$
समीकरण $(1)$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f(x) \cdot g''(x) + f'(x) \cdot g'(x) + g'(x) \cdot f'(x) + g(x) \cdot f''(x) = 0$
$f(x) \cdot g''(x) + g(x) \cdot f''(x) + 2f'(x) \cdot g'(x) = 0$
पूरे समीकरण को $f(x) \cdot g(x)$ (जो $1$ है) से विभाजित करने पर:
$\frac{f(x) \cdot g''(x)}{f(x) \cdot g(x)} + \frac{g(x) \cdot f''(x)}{f(x) \cdot g(x)} + \frac{2f'(x) \cdot g'(x)}{f(x) \cdot g(x)} = 0$
$\frac{g''(x)}{g(x)} + \frac{f''(x)}{f(x)} + 2 \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot \frac{g'(x)}{g(x)} = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$f(x) \cdot g'(x) = -g(x) \cdot f'(x)$,जिसका अर्थ है कि $\frac{g'(x)}{g(x)} = -\frac{f'(x)}{f(x)}$।
इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(x)}{g(x)} + 2 \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot \left(-\frac{f'(x)}{f(x)}\right) = 0$
$\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(x)}{g(x)} - 2 \left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)^2 = 0$
$\frac{f''(x)}{f(x)} + \frac{g''(x)}{g(x)} = 2 \left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)^2$.
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DifficultMCQ
यदि $y^2 = p(x)$ घात $3$ का एक बहुपद है,तो $2\frac{d}{dx}\left( y^3 \frac{d^2y}{dx^2} \right)$ किसके बराबर है?
A
$p'''(x) + p'(x)$
B
$p''(x)p'''(x)$
C
$p(x)p'''(x)$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) दिया गया है $y^2 = p(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y y' = p'(x)$
पुनः अवकलन करने पर:
$2y y'' + 2(y')^2 = p''(x)$
तीसरी बार अवकलन करने पर:
$2y y''' + 2y' y'' + 4y' y'' = p'''(x)$
$2y y''' + 6y' y'' = p'''(x)$
अब,व्यंजक $E = 2\frac{d}{dx}\left( y^3 y'' \right)$ पर विचार करें:
$E = 2(3y^2 y' y'' + y^3 y''')$
$E = 2y^2(3y' y'' + y y''')$
तीसरे अवकलज समीकरण से,$6y' y'' + 2y y''' = p'''(x)$,जिसका अर्थ है $3y' y'' + y y''' = \frac{1}{2} p'''(x)$.
इस मान को $E$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 2y^2 \left( \frac{1}{2} p'''(x) \right)$
$E = y^2 p'''(x)$
चूंकि $y^2 = p(x)$,इसलिए:
$E = p(x) p'''(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y y' = p'(x)$
पुनः अवकलन करने पर:
$2y y'' + 2(y')^2 = p''(x)$
तीसरी बार अवकलन करने पर:
$2y y''' + 2y' y'' + 4y' y'' = p'''(x)$
$2y y''' + 6y' y'' = p'''(x)$
अब,व्यंजक $E = 2\frac{d}{dx}\left( y^3 y'' \right)$ पर विचार करें:
$E = 2(3y^2 y' y'' + y^3 y''')$
$E = 2y^2(3y' y'' + y y''')$
तीसरे अवकलज समीकरण से,$6y' y'' + 2y y''' = p'''(x)$,जिसका अर्थ है $3y' y'' + y y''' = \frac{1}{2} p'''(x)$.
इस मान को $E$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 2y^2 \left( \frac{1}{2} p'''(x) \right)$
$E = y^2 p'''(x)$
चूंकि $y^2 = p(x)$,इसलिए:
$E = p(x) p'''(x)$.
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AdvancedMCQ
यदि $y = x + e^x$ है,तो $x = 1$ पर $\frac{d^2x}{dy^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$e$
B
$\frac{-e}{(1+e)^3}$
C
$\frac{-e}{(1+e)}$
D
$\frac{-e}{(1+e)^2}$
Solution
(B) दिया गया है $y = x + e^x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 1 + e^x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1 + e^x}$।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $y$ के सापेक्ष $\frac{dx}{dy}$ का अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1 + e^x}\right) \cdot \frac{dx}{dy}$
$= \frac{-e^x}{(1 + e^x)^2} \cdot \frac{1}{1 + e^x} = \frac{-e^x}{(1 + e^x)^3}$।
$x = 1$ पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left. \frac{d^2x}{dy^2} \right|_{x=1} = \frac{-e^1}{(1 + e^1)^3} = \frac{-e}{(1 + e)^3}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 1 + e^x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1 + e^x}$।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $y$ के सापेक्ष $\frac{dx}{dy}$ का अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1 + e^x}\right) \cdot \frac{dx}{dy}$
$= \frac{-e^x}{(1 + e^x)^2} \cdot \frac{1}{1 + e^x} = \frac{-e^x}{(1 + e^x)^3}$।
$x = 1$ पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left. \frac{d^2x}{dy^2} \right|_{x=1} = \frac{-e^1}{(1 + e^1)^3} = \frac{-e}{(1 + e)^3}$।
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DifficultMCQ
यदि $x^2 + y^2 + \sin y = 4$ है,तो बिंदु $(-2, 0)$ पर $\frac{d^2y}{dx^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$-34$
B
$-32$
C
$-2$
D
$4$
Solution
(A) दिया गया समीकरण: $x^2 + y^2 + \sin y = 4$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} + \cos y \frac{dy}{dx} = 0$
$2x + (2y + \cos y) \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y + \cos y}$.
बिंदु $(-2, 0)$ पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2(-2)}{2(0) + \cos 0} = \frac{4}{1} = 4$.
अब,$2x + (2y + \cos y) \frac{dy}{dx} = 0$ का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$2 + 2(\frac{dy}{dx})^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} - \sin y (\frac{dy}{dx})^2 + \cos y \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
$x = -2, y = 0$ और $\frac{dy}{dx} = 4$ रखने पर:
$2 + 2(4)^2 + 2(0) \frac{d^2y}{dx^2} - \sin(0)(4)^2 + \cos(0) \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$2 + 32 + 0 - 0 + 1 \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$34 + \frac{d^2y}{dx^2} = 0 \Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} = -34$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} + \cos y \frac{dy}{dx} = 0$
$2x + (2y + \cos y) \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y + \cos y}$.
बिंदु $(-2, 0)$ पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2(-2)}{2(0) + \cos 0} = \frac{4}{1} = 4$.
अब,$2x + (2y + \cos y) \frac{dy}{dx} = 0$ का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$2 + 2(\frac{dy}{dx})^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} - \sin y (\frac{dy}{dx})^2 + \cos y \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
$x = -2, y = 0$ और $\frac{dy}{dx} = 4$ रखने पर:
$2 + 2(4)^2 + 2(0) \frac{d^2y}{dx^2} - \sin(0)(4)^2 + \cos(0) \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$2 + 32 + 0 - 0 + 1 \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$34 + \frac{d^2y}{dx^2} = 0 \Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} = -34$.
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DifficultMCQ
यदि $y = {\left[ {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right]^{15}} + {\left[ {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right]^{15}}$ है,तो $\left( {{x^2} - 1} \right)\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + x\frac{{dy}}{{dx}}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$225y$
B
$224y^2$
C
$225y^2$
D
$12y$
Solution
(A) दिया गया है $y = {\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{15}} + {\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{15}}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{{dy}}{{dx}} = 15{\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{14}}\left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right) + 15{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{14}}\left( {1 - \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right)$
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{15}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\left[ {{{\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)}^{15}} - {{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)}^{15}}} \right]$.
माना $u = x + \sqrt{x^2-1}$ और $v = x - \sqrt{x^2-1}$ है। तब $uv = 1$ और $y = u^{15} + v^{15}$ है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{15}{\sqrt{x^2-1}}(u^{15} - v^{15})$.
माना $y_1 = u^{15} + v^{15}$ और $y_2 = u^{15} - v^{15}$ है। तब $\sqrt{x^2-1} \frac{dy}{dx} = 15 y_2$ है।
पुनः अवकलन करने पर: $\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{x^2-1} \frac{d^2y}{dx^2} = 15 \frac{dy_2}{dx}$.
यहाँ $\frac{dy_2}{dx} = \frac{15y}{\sqrt{x^2-1}}$ है।
अतः,$x \frac{dy}{dx} + (x^2-1) \frac{d^2y}{dx^2} = 15(15y) = 225y$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{{dy}}{{dx}} = 15{\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{14}}\left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right) + 15{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)^{14}}\left( {1 - \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} \right)$
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{15}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\left[ {{{\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)}^{15}} - {{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)}^{15}}} \right]$.
माना $u = x + \sqrt{x^2-1}$ और $v = x - \sqrt{x^2-1}$ है। तब $uv = 1$ और $y = u^{15} + v^{15}$ है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{15}{\sqrt{x^2-1}}(u^{15} - v^{15})$.
माना $y_1 = u^{15} + v^{15}$ और $y_2 = u^{15} - v^{15}$ है। तब $\sqrt{x^2-1} \frac{dy}{dx} = 15 y_2$ है।
पुनः अवकलन करने पर: $\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{x^2-1} \frac{d^2y}{dx^2} = 15 \frac{dy_2}{dx}$.
यहाँ $\frac{dy_2}{dx} = \frac{15y}{\sqrt{x^2-1}}$ है।
अतः,$x \frac{dy}{dx} + (x^2-1) \frac{d^2y}{dx^2} = 15(15y) = 225y$.
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DifficultMCQ
यदि $2x = y^{1/5} + y^{-1/5}$ और $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \lambda x \frac{dy}{dx} + ky = 0$ है,तो $\lambda + k$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$-23$
B
$-24$
C
$26$
D
$-26$
Solution
(B) दिया गया है: $y^{1/5} + y^{-1/5} = 2x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{5} y^{-4/5} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{5} y^{-6/5} \frac{dy}{dx} = 2$.
$\frac{1}{5} y^{-1} (y^{1/5} - y^{-1/5}) \frac{dy}{dx} = 2$.
$(y^{1/5} - y^{-1/5}) \frac{dy}{dx} = 10y$.
हम जानते हैं कि $(y^{1/5} - y^{-1/5})^2 = (y^{1/5} + y^{-1/5})^2 - 4 = (2x)^2 - 4 = 4(x^2 - 1)$.
अतः,$y^{1/5} - y^{-1/5} = 2\sqrt{x^2 - 1}$.
यह मान रखने पर: $2\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 10y$,जो सरल होकर $\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 5y$ हो जाता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{x^2 - 1} \frac{d^2y}{dx^2} = 5 \frac{dy}{dx}$.
$\sqrt{x^2 - 1}$ से गुणा करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + (x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} = 5 \sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx}$.
चूंकि $\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 5y$,इसलिए $x \frac{dy}{dx} + (x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} = 5(5y) = 25y$.
व्यवस्थित करने पर: $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - 25y = 0$.
$(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \lambda x \frac{dy}{dx} + ky = 0$ से तुलना करने पर,$\lambda = 1$ और $k = -25$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda + k = 1 - 25 = -24$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{5} y^{-4/5} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{5} y^{-6/5} \frac{dy}{dx} = 2$.
$\frac{1}{5} y^{-1} (y^{1/5} - y^{-1/5}) \frac{dy}{dx} = 2$.
$(y^{1/5} - y^{-1/5}) \frac{dy}{dx} = 10y$.
हम जानते हैं कि $(y^{1/5} - y^{-1/5})^2 = (y^{1/5} + y^{-1/5})^2 - 4 = (2x)^2 - 4 = 4(x^2 - 1)$.
अतः,$y^{1/5} - y^{-1/5} = 2\sqrt{x^2 - 1}$.
यह मान रखने पर: $2\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 10y$,जो सरल होकर $\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 5y$ हो जाता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{x^2 - 1} \frac{d^2y}{dx^2} = 5 \frac{dy}{dx}$.
$\sqrt{x^2 - 1}$ से गुणा करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + (x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} = 5 \sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx}$.
चूंकि $\sqrt{x^2 - 1} \frac{dy}{dx} = 5y$,इसलिए $x \frac{dy}{dx} + (x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} = 5(5y) = 25y$.
व्यवस्थित करने पर: $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - 25y = 0$.
$(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \lambda x \frac{dy}{dx} + ky = 0$ से तुलना करने पर,$\lambda = 1$ और $k = -25$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda + k = 1 - 25 = -24$.
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DifficultMCQ
मान लीजिए $f$ एक बहुपद फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(3x) = f'(x) \cdot f''(x)$ है। तो:
A
$f(2) + f'(2) = 28$
B
$f''(2) - f'(2) = 0$
C
$f''(2) - f'(2) = 4$
D
$f(2) - f'(2) + f''(2) = 10$
Solution
(B) मान लीजिए $f(x) = ax^n + \dots$ घात $n$ का एक बहुपद है।
$f(3x) = f'(x) \cdot f''(x)$ के दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
$n = (n-1) + (n-2) = 2n - 3$,जिससे $n = 3$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है।
तब $f(3x) = a(3x)^3 + b(3x)^2 + c(3x) + d = 27ax^3 + 9bx^2 + 3cx + d$ है।
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ और $f''(x) = 6ax + 2b$ है।
$f'(x) \cdot f''(x) = (3ax^2 + 2bx + c)(6ax + 2b) = 18a^2x^3 + (6ab + 12ab)x^2 + (4b^2 + 6ac)x + 2bc$ है।
$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $27a = 18a^2 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$ (क्योंकि $a \neq 0$)।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $9b = 18ab = 18(\frac{3}{2})b = 27b \Rightarrow b = 0$ है।
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $3c = 4b^2 + 6ac = 0 + 6(\frac{3}{2})c = 9c \Rightarrow c = 0$ है।
अचर पदों की तुलना करने पर: $d = 2bc = 0$ है।
अतः,$f(x) = \frac{3}{2}x^3$ है।
तब $f'(x) = \frac{9}{2}x^2$ और $f''(x) = 9x$ है।
$x = 2$ पर,$f'(2) = \frac{9}{2}(4) = 18$ और $f''(2) = 9(2) = 18$ है।
इसलिए,$f''(2) - f'(2) = 18 - 18 = 0$ है।
$f(3x) = f'(x) \cdot f''(x)$ के दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
$n = (n-1) + (n-2) = 2n - 3$,जिससे $n = 3$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है।
तब $f(3x) = a(3x)^3 + b(3x)^2 + c(3x) + d = 27ax^3 + 9bx^2 + 3cx + d$ है।
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ और $f''(x) = 6ax + 2b$ है।
$f'(x) \cdot f''(x) = (3ax^2 + 2bx + c)(6ax + 2b) = 18a^2x^3 + (6ab + 12ab)x^2 + (4b^2 + 6ac)x + 2bc$ है।
$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $27a = 18a^2 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$ (क्योंकि $a \neq 0$)।
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $9b = 18ab = 18(\frac{3}{2})b = 27b \Rightarrow b = 0$ है।
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $3c = 4b^2 + 6ac = 0 + 6(\frac{3}{2})c = 9c \Rightarrow c = 0$ है।
अचर पदों की तुलना करने पर: $d = 2bc = 0$ है।
अतः,$f(x) = \frac{3}{2}x^3$ है।
तब $f'(x) = \frac{9}{2}x^2$ और $f''(x) = 9x$ है।
$x = 2$ पर,$f'(2) = \frac{9}{2}(4) = 18$ और $f''(2) = 9(2) = 18$ है।
इसलिए,$f''(2) - f'(2) = 18 - 18 = 0$ है।
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DifficultMCQ
यदि $y = e^{nx}$ है,तो $\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{d^2x}{dy^2} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$ne^{nx}$
B
$ne^{-nx}$
C
$1$
D
$-ne^{-nx}$
Solution
(D) दिया गया है,$y = e^{nx}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = ne^{nx}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = n^2 e^{nx} \quad \dots(1)$.
अब,$y = e^{nx} \implies nx = \log_e y \implies x = \frac{1}{n} \log_e y$.
$x$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{y}$.
पुनः $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{1}{n} \left( -\frac{1}{y^2} \right) = -\frac{1}{n(e^{nx})^2} = -\frac{1}{n e^{2nx}} \quad \dots(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का गुणा करने पर:
$\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{d^2x}{dy^2} \right) = (n^2 e^{nx}) \left( -\frac{1}{n e^{2nx}} \right) = -n e^{nx - 2nx} = -n e^{-nx}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = ne^{nx}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = n^2 e^{nx} \quad \dots(1)$.
अब,$y = e^{nx} \implies nx = \log_e y \implies x = \frac{1}{n} \log_e y$.
$x$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{y}$.
पुनः $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{1}{n} \left( -\frac{1}{y^2} \right) = -\frac{1}{n(e^{nx})^2} = -\frac{1}{n e^{2nx}} \quad \dots(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का गुणा करने पर:
$\left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \left( \frac{d^2x}{dy^2} \right) = (n^2 e^{nx}) \left( -\frac{1}{n e^{2nx}} \right) = -n e^{nx - 2nx} = -n e^{-nx}$.
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DifficultMCQ
यदि $x = \int\limits_0^y {\frac{{dt}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}} $ है,तो $\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$y$
B
$\sqrt {1 + {y^2}} $
C
$\frac{x}{{\sqrt {1 + {y^2}} }}$
D
$y^2$
Solution
(A) दिया गया है $x = \int\limits_0^y {\frac{{dt}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}} $.
अवकलन के लिए लाइबनीज नियम का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{dy}{dx}$.
$1 = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + y^2}$.
अब,$\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करने के लिए पुनः दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sqrt{1 + y^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + y^2)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 + y^2}} \cdot (2y \cdot \frac{dy}{dx})$.
समीकरण में $\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + y^2}$ रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \sqrt{1 + y^2} = y$.
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = y$.
अवकलन के लिए लाइबनीज नियम का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{dy}{dx}$.
$1 = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + y^2}$.
अब,$\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करने के लिए पुनः दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sqrt{1 + y^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + y^2)$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 + y^2}} \cdot (2y \cdot \frac{dy}{dx})$.
समीकरण में $\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + y^2}$ रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \sqrt{1 + y^2} = y$.
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = y$.
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DifficultMCQ
यदि $f(x) = \sin(\sin x)$ और $f''(x) + \tan x f'(x) + g(x) = 0$ है,तो $g(x)$ क्या है?
A
$cos^2 x \cos(\sin x)$
B
$sin^2 x \cos(\cos x)$
C
$sin^2 x \sin(\cos x)$
D
$cos^2 x \sin(\sin x)$
Solution
(D) दिया गया है $f(x) = \sin(\sin x)$.
सबसे पहले,चेन रूल का उपयोग करके प्रथम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \cos(\sin x) \cdot \cos x$.
इसके बाद,प्रोडक्ट रूल और चेन रूल का उपयोग करके द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[\cos(\sin x) \cdot \cos x]$
$f''(x) = [-\sin(\sin x) \cdot \cos x] \cdot \cos x + \cos(\sin x) \cdot (-\sin x)$
$f''(x) = -\cos^2 x \sin(\sin x) - \sin x \cos(\sin x)$.
अब,$f'(x)$ और $f''(x)$ के मानों को समीकरण $f''(x) + \tan x f'(x) + g(x) = 0$ में रखें:
$-\cos^2 x \sin(\sin x) - \sin x \cos(\sin x) + \tan x [\cos(\sin x) \cos x] + g(x) = 0$.
चूंकि $\tan x \cos x = \sin x$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$-\cos^2 x \sin(\sin x) - \sin x \cos(\sin x) + \sin x \cos(\sin x) + g(x) = 0$.
पद $-\sin x \cos(\sin x)$ और $+\sin x \cos(\sin x)$ कट जाएंगे:
$-\cos^2 x \sin(\sin x) + g(x) = 0$.
अतः,$g(x) = \cos^2 x \sin(\sin x)$.
सबसे पहले,चेन रूल का उपयोग करके प्रथम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \cos(\sin x) \cdot \cos x$.
इसके बाद,प्रोडक्ट रूल और चेन रूल का उपयोग करके द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[\cos(\sin x) \cdot \cos x]$
$f''(x) = [-\sin(\sin x) \cdot \cos x] \cdot \cos x + \cos(\sin x) \cdot (-\sin x)$
$f''(x) = -\cos^2 x \sin(\sin x) - \sin x \cos(\sin x)$.
अब,$f'(x)$ और $f''(x)$ के मानों को समीकरण $f''(x) + \tan x f'(x) + g(x) = 0$ में रखें:
$-\cos^2 x \sin(\sin x) - \sin x \cos(\sin x) + \tan x [\cos(\sin x) \cos x] + g(x) = 0$.
चूंकि $\tan x \cos x = \sin x$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$-\cos^2 x \sin(\sin x) - \sin x \cos(\sin x) + \sin x \cos(\sin x) + g(x) = 0$.
पद $-\sin x \cos(\sin x)$ और $+\sin x \cos(\sin x)$ कट जाएंगे:
$-\cos^2 x \sin(\sin x) + g(x) = 0$.
अतः,$g(x) = \cos^2 x \sin(\sin x)$.
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View Solution64
MediumMCQ
यदि $y=x^{3}+\tan x$ है,तो $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ज्ञात कीजिए।
A
$6 x + 2 \sec^{2} x \tan x$
B
$6 x + \sec^{2} x \tan x$
C
$3 x^{2} + 2 \sec^{2} x$
D
$6 x + 2 \sec x$
Solution
(A) दिया गया है कि $y = x^{3} + \tan x$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{3}) + \frac{d}{dx}(\tan x) = 3x^{2} + \sec^{2} x$।
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके द्वितीय अवकलज प्राप्त करते हैं:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(3x^{2} + \sec^{2} x) = \frac{d}{dx}(3x^{2}) + \frac{d}{dx}(\sec^{2} x)$।
घात नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{dx}(3x^{2}) = 6x$।
$\frac{d}{dx}(\sec^{2} x)$ के लिए,मान लीजिए $u = \sec x$,तो $\frac{d}{dx}(u^{2}) = 2u \frac{du}{dx} = 2(\sec x)(\sec x \tan x) = 2 \sec^{2} x \tan x$।
अतः,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6x + 2 \sec^{2} x \tan x$।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{3}) + \frac{d}{dx}(\tan x) = 3x^{2} + \sec^{2} x$।
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके द्वितीय अवकलज प्राप्त करते हैं:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(3x^{2} + \sec^{2} x) = \frac{d}{dx}(3x^{2}) + \frac{d}{dx}(\sec^{2} x)$।
घात नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{dx}(3x^{2}) = 6x$।
$\frac{d}{dx}(\sec^{2} x)$ के लिए,मान लीजिए $u = \sec x$,तो $\frac{d}{dx}(u^{2}) = 2u \frac{du}{dx} = 2(\sec x)(\sec x \tan x) = 2 \sec^{2} x \tan x$।
अतः,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6x + 2 \sec^{2} x \tan x$।
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Medium
यदि $y=A \sin x+B \cos x$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$ है।
Solution
दिया गया है $y = A \sin x + B \cos x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = A \cos x - B \sin x$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(A \cos x - B \sin x) = -A \sin x - B \cos x$।
हम व्यंजक से $-1$ उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -(A \sin x + B \cos x)$।
चूंकि $y = A \sin x + B \cos x$,हम समीकरण में $y$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -y$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + y = 0$।
अतः,कथन सिद्ध हुआ।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = A \cos x - B \sin x$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(A \cos x - B \sin x) = -A \sin x - B \cos x$।
हम व्यंजक से $-1$ उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -(A \sin x + B \cos x)$।
चूंकि $y = A \sin x + B \cos x$,हम समीकरण में $y$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -y$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + y = 0$।
अतः,कथन सिद्ध हुआ।
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View Solution66
Medium
यदि $y=3 e^{2 x}+2 e^{3 x}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \frac{d y}{d x}+6 y=0$.
Solution
दिया गया है कि $y=3 e^{2 x}+2 e^{3 x}$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = 3(2)e^{2 x} + 2(3)e^{3 x} = 6e^{2 x} + 6e^{3 x}$।
इसके बाद,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6(2)e^{2 x} + 6(3)e^{3 x} = 12e^{2 x} + 18e^{3 x}$।
अब,इन मानों को $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \frac{d y}{d x}+6 y$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (12e^{2 x} + 18e^{3 x}) - 5(6e^{2 x} + 6e^{3 x}) + 6(3e^{2 x} + 2e^{3 x})$
$= 12e^{2 x} + 18e^{3 x} - 30e^{2 x} - 30e^{3 x} + 18e^{2 x} + 12e^{3 x}$
$= (12 - 30 + 18)e^{2 x} + (18 - 30 + 12)e^{3 x}$
$= 0e^{2 x} + 0e^{3 x} = 0$।
अतः,सर्वसमिका सिद्ध होती है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = 3(2)e^{2 x} + 2(3)e^{3 x} = 6e^{2 x} + 6e^{3 x}$।
इसके बाद,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6(2)e^{2 x} + 6(3)e^{3 x} = 12e^{2 x} + 18e^{3 x}$।
अब,इन मानों को $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \frac{d y}{d x}+6 y$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (12e^{2 x} + 18e^{3 x}) - 5(6e^{2 x} + 6e^{3 x}) + 6(3e^{2 x} + 2e^{3 x})$
$= 12e^{2 x} + 18e^{3 x} - 30e^{2 x} - 30e^{3 x} + 18e^{2 x} + 12e^{3 x}$
$= (12 - 30 + 18)e^{2 x} + (18 - 30 + 12)e^{3 x}$
$= 0e^{2 x} + 0e^{3 x} = 0$।
अतः,सर्वसमिका सिद्ध होती है।
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View Solution67
Difficult
यदि $y=\sin ^{-1} x$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}=0$.
Solution
(N/A) दिया गया है $y=\sin ^{-1} x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}=1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष गुणन नियम का उपयोग करके अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x}\left(\sqrt{1-x^{2}}\right) \cdot \frac{d y}{d x} + \sqrt{1-x^{2}} \cdot \frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right) = 0$
$\left(\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}} \cdot (-2x)\right) \frac{d y}{d x} + \sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$
पूरे समीकरण को $\sqrt{1-x^{2}}$ से गुणा करने पर:
$-x \frac{d y}{d x} + (1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} = 0$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}=1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष गुणन नियम का उपयोग करके अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x}\left(\sqrt{1-x^{2}}\right) \cdot \frac{d y}{d x} + \sqrt{1-x^{2}} \cdot \frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right) = 0$
$\left(\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}} \cdot (-2x)\right) \frac{d y}{d x} + \sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$
पूरे समीकरण को $\sqrt{1-x^{2}}$ से गुणा करने पर:
$-x \frac{d y}{d x} + (1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} = 0$.
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View Solution68
MediumMCQ
फलन $f(x) = x^{2} + 3x + 2$ का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(B) माना $y = x^{2} + 3x + 2$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(2) = 2x + 3$.
अब,द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(2x + 3) = \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(3) = 2 + 0 = 2$.
अतः,द्वितीय कोटि का अवकलज $2$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(2) = 2x + 3$.
अब,द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(2x + 3) = \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(3) = 2 + 0 = 2$.
अतः,द्वितीय कोटि का अवकलज $2$ है।
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EasyMCQ
फलन $f(x) = x^{20}$ का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए।
A
$380 x^{18}$
B
$400 x^{18}$
C
$20 x^{19}$
D
$19 x^{18}$
Solution
(A) माना $y = x^{20}$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष प्रथम कोटि का अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{20}) = 20x^{19}$।
इसके बाद,प्रथम अवकलज का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करके द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(20x^{19}) = 20 \cdot \frac{d}{dx}(x^{19})$।
घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 20 \cdot 19x^{18} = 380x^{18}$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष प्रथम कोटि का अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{20}) = 20x^{19}$।
इसके बाद,प्रथम अवकलज का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करके द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(20x^{19}) = 20 \cdot \frac{d}{dx}(x^{19})$।
घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 20 \cdot 19x^{18} = 380x^{18}$।
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EasyMCQ
फलन $f(x) = x \cdot \cos x$ का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए।
A
$-(x \cos x + 2 \sin x)$
B
$x \cos x + 2 \sin x$
C
$-x \cos x + 2 \sin x$
D
$x \cos x - 2 \sin x$
Solution
(A) माना $y = x \cdot \cos x$ है।
सबसे पहले,हम गुणन नियम का उपयोग करके प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \cos x + x \cdot \frac{d}{dx}(\cos x)$
$= 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$।
अब,हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\cos x - x \sin x) = \frac{d}{dx}(\cos x) - \frac{d}{dx}(x \sin x)$।
दूसरे पद के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx}(x \sin x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sin x + x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = 1 \cdot \sin x + x \cos x = \sin x + x \cos x$।
इस मान को वापस रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\sin x - (\sin x + x \cos x) = -\sin x - \sin x - x \cos x = -(x \cos x + 2 \sin x)$।
सबसे पहले,हम गुणन नियम का उपयोग करके प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \cos x + x \cdot \frac{d}{dx}(\cos x)$
$= 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$।
अब,हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\cos x - x \sin x) = \frac{d}{dx}(\cos x) - \frac{d}{dx}(x \sin x)$।
दूसरे पद के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx}(x \sin x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sin x + x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = 1 \cdot \sin x + x \cos x = \sin x + x \cos x$।
इस मान को वापस रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\sin x - (\sin x + x \cos x) = -\sin x - \sin x - x \cos x = -(x \cos x + 2 \sin x)$।
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EasyMCQ
फलन $f(x) = \log x$ का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए।
A
$-\frac{1}{x^{2}}$
B
$\frac{1}{x^{2}}$
C
$-\frac{1}{x}$
D
$\frac{1}{x}$
Solution
(A) माना $y = \log x$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष प्रथम कोटि का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$।
इसके बाद,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके द्वितीय कोटि का अवकलज प्राप्त करते हैं:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}$।
अतः,द्वितीय कोटि का अवकलज $-\frac{1}{x^{2}}$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष प्रथम कोटि का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$।
इसके बाद,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके द्वितीय कोटि का अवकलज प्राप्त करते हैं:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}$।
अतः,द्वितीय कोटि का अवकलज $-\frac{1}{x^{2}}$ है।
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EasyMCQ
फलन $f(x) = x^{3} \log x$ का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए।
A
$x(5 + 6 \log x)$
B
$x(2 + 3 \log x)$
C
$x(1 + 6 \log x)$
D
$x(3 + 5 \log x)$
Solution
(A) माना $y = x^{3} \log x$ है।
सबसे पहले,हम गुणन नियम का उपयोग करके प्रथम कोटि का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{3}) \cdot \log x + x^{3} \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
$= 3x^{2} \log x + x^{3} \cdot \frac{1}{x}$
$= 3x^{2} \log x + x^{2} = x^{2}(1 + 3 \log x)$।
अब,हम द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}[x^{2}(1 + 3 \log x)]$
$= \frac{d}{dx}(x^{2}) \cdot (1 + 3 \log x) + x^{2} \cdot \frac{d}{dx}(1 + 3 \log x)$
$= 2x(1 + 3 \log x) + x^{2} \cdot \frac{3}{x}$
$= 2x + 6x \log x + 3x$
$= 5x + 6x \log x$
$= x(5 + 6 \log x)$।
सबसे पहले,हम गुणन नियम का उपयोग करके प्रथम कोटि का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{3}) \cdot \log x + x^{3} \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
$= 3x^{2} \log x + x^{3} \cdot \frac{1}{x}$
$= 3x^{2} \log x + x^{2} = x^{2}(1 + 3 \log x)$।
अब,हम द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}[x^{2}(1 + 3 \log x)]$
$= \frac{d}{dx}(x^{2}) \cdot (1 + 3 \log x) + x^{2} \cdot \frac{d}{dx}(1 + 3 \log x)$
$= 2x(1 + 3 \log x) + x^{2} \cdot \frac{3}{x}$
$= 2x + 6x \log x + 3x$
$= 5x + 6x \log x$
$= x(5 + 6 \log x)$।
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MediumMCQ
फलन $y = e^{x} \sin 5x$ का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए।
A
$2 e^{x}(5 \cos 5x - 12 \sin 5x)$
B
$e^{x}(10 \cos 5x - 24 \sin 5x)$
C
$2 e^{x}(12 \cos 5x - 5 \sin 5x)$
D
$e^{x}(5 \cos 5x - 12 \sin 5x)$
Solution
(A) माना $y = e^{x} \sin 5x$ है।
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x}) \cdot \sin 5x + e^{x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin 5x)$
$= e^{x} \sin 5x + e^{x} \cdot (5 \cos 5x) = e^{x}(\sin 5x + 5 \cos 5x)$।
अब,$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[e^{x}(\sin 5x + 5 \cos 5x)]$
$= \frac{d}{dx}(e^{x}) \cdot (\sin 5x + 5 \cos 5x) + e^{x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin 5x + 5 \cos 5x)$
$= e^{x}(\sin 5x + 5 \cos 5x) + e^{x}(5 \cos 5x - 25 \sin 5x)$
$= e^{x}(\sin 5x + 5 \cos 5x + 5 \cos 5x - 25 \sin 5x)$
$= e^{x}(10 \cos 5x - 24 \sin 5x)$
$= 2e^{x}(5 \cos 5x - 12 \sin 5x)$।
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x}) \cdot \sin 5x + e^{x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin 5x)$
$= e^{x} \sin 5x + e^{x} \cdot (5 \cos 5x) = e^{x}(\sin 5x + 5 \cos 5x)$।
अब,$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[e^{x}(\sin 5x + 5 \cos 5x)]$
$= \frac{d}{dx}(e^{x}) \cdot (\sin 5x + 5 \cos 5x) + e^{x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin 5x + 5 \cos 5x)$
$= e^{x}(\sin 5x + 5 \cos 5x) + e^{x}(5 \cos 5x - 25 \sin 5x)$
$= e^{x}(\sin 5x + 5 \cos 5x + 5 \cos 5x - 25 \sin 5x)$
$= e^{x}(10 \cos 5x - 24 \sin 5x)$
$= 2e^{x}(5 \cos 5x - 12 \sin 5x)$।
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MediumMCQ
फलन $y = e^{6x} \cos 3x$ का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए।
A
$9 e^{6x}(3 \cos 3x - 4 \sin 3x)$
B
$27 e^{6x} \cos 3x - 36 e^{6x} \sin 3x$
C
$9 e^{6x}(4 \cos 3x - 3 \sin 3x)$
D
$27 e^{6x} \cos 3x + 36 e^{6x} \sin 3x$
Solution
(A) माना $y = e^{6x} \cos 3x$ है।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{6x}) \cdot \cos 3x + e^{6x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos 3x)$।
$\frac{dy}{dx} = 6e^{6x} \cos 3x + e^{6x} (-3 \sin 3x) = 6e^{6x} \cos 3x - 3e^{6x} \sin 3x$।
अब,$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(6e^{6x} \cos 3x) - \frac{d}{dx}(3e^{6x} \sin 3x)$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = 6[6e^{6x} \cos 3x - 3e^{6x} \sin 3x] - 3[6e^{6x} \sin 3x + 3e^{6x} \cos 3x]$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = 36e^{6x} \cos 3x - 18e^{6x} \sin 3x - 18e^{6x} \sin 3x - 9e^{6x} \cos 3x$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = 27e^{6x} \cos 3x - 36e^{6x} \sin 3x$।
$9e^{6x}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 9e^{6x}(3 \cos 3x - 4 \sin 3x)$।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{6x}) \cdot \cos 3x + e^{6x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos 3x)$।
$\frac{dy}{dx} = 6e^{6x} \cos 3x + e^{6x} (-3 \sin 3x) = 6e^{6x} \cos 3x - 3e^{6x} \sin 3x$।
अब,$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(6e^{6x} \cos 3x) - \frac{d}{dx}(3e^{6x} \sin 3x)$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = 6[6e^{6x} \cos 3x - 3e^{6x} \sin 3x] - 3[6e^{6x} \sin 3x + 3e^{6x} \cos 3x]$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = 36e^{6x} \cos 3x - 18e^{6x} \sin 3x - 18e^{6x} \sin 3x - 9e^{6x} \cos 3x$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = 27e^{6x} \cos 3x - 36e^{6x} \sin 3x$।
$9e^{6x}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 9e^{6x}(3 \cos 3x - 4 \sin 3x)$।
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View Solution75
MediumMCQ
फलन $\tan^{-1} x$ का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए।
A
$-\frac{2x}{(1+x^2)^2}$
B
$\frac{2x}{(1+x^2)^2}$
C
$-\frac{1}{(1+x^2)^2}$
D
$\frac{1}{(1+x^2)^2}$
Solution
(A) माना $y = \tan^{-1} x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$।
अब,द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = \frac{d}{dx}(1+x^2)^{-1}$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -1 \cdot (1+x^2)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(1+x^2)$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = -1 \cdot (1+x^2)^{-2} \cdot (2x)$।
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$।
अब,द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = \frac{d}{dx}(1+x^2)^{-1}$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -1 \cdot (1+x^2)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(1+x^2)$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = -1 \cdot (1+x^2)^{-2} \cdot (2x)$।
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$।
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View Solution76
DifficultMCQ
फलन $\log (\log x)$ का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{-(1+\log x)}{(x \log x)^2}$
B
$\frac{1+\log x}{(x \log x)^2}$
C
$\frac{-(1-\log x)}{(x \log x)^2}$
D
$\frac{1-\log x}{(x \log x)^2}$
Solution
(A) माना $y = \log (\log x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\log (\log x)] = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x \log x} = (x \log x)^{-1}$.
अब,द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[(x \log x)^{-1}] = -1 \cdot (x \log x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x \log x)$.
$\frac{d}{dx}(x \log x)$ के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx}(x \log x) = x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{d}{dx}(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 = 1 + \log x$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-1}{(x \log x)^2} \cdot (1 + \log x) = \frac{-(1 + \log x)}{(x \log x)^2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\log (\log x)] = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x \log x} = (x \log x)^{-1}$.
अब,द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[(x \log x)^{-1}] = -1 \cdot (x \log x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x \log x)$.
$\frac{d}{dx}(x \log x)$ के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx}(x \log x) = x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \cdot \frac{d}{dx}(x) = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 = 1 + \log x$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-1}{(x \log x)^2} \cdot (1 + \log x) = \frac{-(1 + \log x)}{(x \log x)^2}$.
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View Solution77
MediumMCQ
फलन $\sin (\log x)$ का द्वितीय कोटि का अवकलज ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{-[\sin (\log x)+\cos (\log x)]}{x^{2}}$
B
$\frac{\sin (\log x)+\cos (\log x)}{x^{2}}$
C
$\frac{\cos (\log x)-\sin (\log x)}{x^{2}}$
D
$\frac{\sin (\log x)-\cos (\log x)}{x^{2}}$
Solution
(A) माना $y = \sin (\log x)$ है।
सबसे पहले,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\sin (\log x)] = \cos (\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{\cos (\log x)}{x}$.
अब,भागफल नियम (quotient rule) $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}$ का उपयोग करके द्वितीय कोटि का अवकलज $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}\left[\frac{\cos (\log x)}{x}\right]$
$= \frac{x \cdot \frac{d}{dx}[\cos (\log x)] - \cos (\log x) \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^{2}}$
$= \frac{x \cdot [-\sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}] - \cos (\log x) \cdot 1}{x^{2}}$
$= \frac{-\sin (\log x) - \cos (\log x)}{x^{2}}$
$= \frac{-[\sin (\log x) + \cos (\log x)]}{x^{2}}$.
सबसे पहले,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\sin (\log x)] = \cos (\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{\cos (\log x)}{x}$.
अब,भागफल नियम (quotient rule) $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}$ का उपयोग करके द्वितीय कोटि का अवकलज $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}\left[\frac{\cos (\log x)}{x}\right]$
$= \frac{x \cdot \frac{d}{dx}[\cos (\log x)] - \cos (\log x) \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^{2}}$
$= \frac{x \cdot [-\sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}] - \cos (\log x) \cdot 1}{x^{2}}$
$= \frac{-\sin (\log x) - \cos (\log x)}{x^{2}}$
$= \frac{-[\sin (\log x) + \cos (\log x)]}{x^{2}}$.
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View Solution78
Medium
यदि $y=5 \cos x-3 \sin x$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0.$
Solution
दिया गया है,$y=5 \cos x-3 \sin x.$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(5 \cos x) - \frac{d}{d x}(3 \sin x) = -5 \sin x - 3 \cos x.$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x}(-5 \sin x - 3 \cos x) = -5 \cos x - 3(-\sin x) = -5 \cos x + 3 \sin x.$
$-1$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = -(5 \cos x - 3 \sin x).$
चूंकि $y = 5 \cos x - 3 \sin x$ है,इसलिए:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = -y.$
अतः,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = 0.$
इति सिद्धम्।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(5 \cos x) - \frac{d}{d x}(3 \sin x) = -5 \sin x - 3 \cos x.$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x}(-5 \sin x - 3 \cos x) = -5 \cos x - 3(-\sin x) = -5 \cos x + 3 \sin x.$
$-1$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = -(5 \cos x - 3 \sin x).$
चूंकि $y = 5 \cos x - 3 \sin x$ है,इसलिए:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = -y.$
अतः,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = 0.$
इति सिद्धम्।
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View Solution79
DifficultMCQ
यदि $y = \cos^{-1} x$ है,तो $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ को केवल $y$ के पदों में ज्ञात कीजिए।
A
$-\cot y \cdot \csc^{2} y$
B
$\cot y \cdot \csc^{2} y$
C
$-\csc^{2} y$
D
$\cot y \cdot \csc y$
Solution
(A) दिया गया है $y = \cos^{-1} x$,जिसका अर्थ है $x = \cos y$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -(1-x^2)^{-1/2}$.
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} [-(1-x^2)^{-1/2}]$
$= -(-\frac{1}{2})(1-x^2)^{-3/2} \cdot (-2x)$
$= -\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$.
चूंकि $x = \cos y$,इसलिए $1-x^2 = 1-\cos^2 y = \sin^2 y$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{\cos y}{(\sin^2 y)^{3/2}}$
$= -\frac{\cos y}{\sin^3 y}$
$= -\frac{\cos y}{\sin y} \cdot \frac{1}{\sin^2 y}$
$= -\cot y \cdot \csc^2 y$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -(1-x^2)^{-1/2}$.
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} [-(1-x^2)^{-1/2}]$
$= -(-\frac{1}{2})(1-x^2)^{-3/2} \cdot (-2x)$
$= -\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$.
चूंकि $x = \cos y$,इसलिए $1-x^2 = 1-\cos^2 y = \sin^2 y$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{\cos y}{(\sin^2 y)^{3/2}}$
$= -\frac{\cos y}{\sin^3 y}$
$= -\frac{\cos y}{\sin y} \cdot \frac{1}{\sin^2 y}$
$= -\cot y \cdot \csc^2 y$.
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View Solution80
Difficult
यदि $y=3 \cos (\log x)+4 \sin (\log x)$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $x^{2} y_{2}+x y_{1}+y=0$ है।
Solution
दिया गया है कि $y=3 \cos (\log x)+4 \sin (\log x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_{1} = 3 \cdot \frac{d}{dx}[\cos (\log x)] + 4 \cdot \frac{d}{dx}[\sin (\log x)]$
$y_{1} = 3 \cdot [-\sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}] + 4 \cdot [\cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}]$
$x y_{1} = -3 \sin (\log x) + 4 \cos (\log x)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x y_{1}) = \frac{d}{dx}[-3 \sin (\log x) + 4 \cos (\log x)]$
$x y_{2} + y_{1} \cdot 1 = -3 \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} - 4 \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}$
$x^{2} y_{2} + x y_{1} = -3 \cos (\log x) - 4 \sin (\log x)$
$x^{2} y_{2} + x y_{1} = -(3 \cos (\log x) + 4 \sin (\log x))$
$x^{2} y_{2} + x y_{1} = -y$
$x^{2} y_{2} + x y_{1} + y = 0$
अतः,सिद्ध हुआ।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_{1} = 3 \cdot \frac{d}{dx}[\cos (\log x)] + 4 \cdot \frac{d}{dx}[\sin (\log x)]$
$y_{1} = 3 \cdot [-\sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}] + 4 \cdot [\cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}]$
$x y_{1} = -3 \sin (\log x) + 4 \cos (\log x)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x y_{1}) = \frac{d}{dx}[-3 \sin (\log x) + 4 \cos (\log x)]$
$x y_{2} + y_{1} \cdot 1 = -3 \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} - 4 \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}$
$x^{2} y_{2} + x y_{1} = -3 \cos (\log x) - 4 \sin (\log x)$
$x^{2} y_{2} + x y_{1} = -(3 \cos (\log x) + 4 \sin (\log x))$
$x^{2} y_{2} + x y_{1} = -y$
$x^{2} y_{2} + x y_{1} + y = 0$
अतः,सिद्ध हुआ।
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View Solution81
Difficult
यदि $y=A e^{m x}+B e^{n x}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-(m+n) \frac{d y}{d x}+m n y=0$ है।
Solution
दिया गया है,$y = A e^{mx} + B e^{nx}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = A \cdot m e^{mx} + B \cdot n e^{nx} = Am e^{mx} + Bn e^{nx}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(Am e^{mx} + Bn e^{nx}) = Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx}$.
अब,इन मानों को व्यंजक $\frac{d^2y}{dx^2} - (m+n) \frac{dy}{dx} + mny$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx}) - (m+n)(Am e^{mx} + Bn e^{nx}) + mn(A e^{mx} + B e^{nx})$
$= Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx} - Am^2 e^{mx} - Bmn e^{nx} - Amn e^{mx} - Bn^2 e^{nx} + Amn e^{mx} + Bmn e^{nx}$
$= (Am^2 e^{mx} - Am^2 e^{mx}) + (Bn^2 e^{nx} - Bn^2 e^{nx}) + (-Bmn e^{nx} + Bmn e^{nx}) + (-Amn e^{mx} + Amn e^{mx})$
$= 0$.
अतः,सिद्ध हुआ।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = A \cdot m e^{mx} + B \cdot n e^{nx} = Am e^{mx} + Bn e^{nx}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(Am e^{mx} + Bn e^{nx}) = Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx}$.
अब,इन मानों को व्यंजक $\frac{d^2y}{dx^2} - (m+n) \frac{dy}{dx} + mny$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx}) - (m+n)(Am e^{mx} + Bn e^{nx}) + mn(A e^{mx} + B e^{nx})$
$= Am^2 e^{mx} + Bn^2 e^{nx} - Am^2 e^{mx} - Bmn e^{nx} - Amn e^{mx} - Bn^2 e^{nx} + Amn e^{mx} + Bmn e^{nx}$
$= (Am^2 e^{mx} - Am^2 e^{mx}) + (Bn^2 e^{nx} - Bn^2 e^{nx}) + (-Bmn e^{nx} + Bmn e^{nx}) + (-Amn e^{mx} + Amn e^{mx})$
$= 0$.
अतः,सिद्ध हुआ।
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View Solution82
Difficult
यदि $y=500 e^{7 x}+600 e^{-7 x}$ है,तो दर्शाइए कि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=49 y$.
Solution
दिया गया है कि,$y=500 e^{7 x}+600 e^{-7 x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = 500 \cdot \frac{d}{d x}(e^{7 x}) + 600 \cdot \frac{d}{d x}(e^{-7 x})$
$= 500 \cdot e^{7 x} \cdot 7 + 600 \cdot e^{-7 x} \cdot (-7)$
$= 3500 e^{7 x} - 4200 e^{-7 x}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 3500 \cdot \frac{d}{d x}(e^{7 x}) - 4200 \cdot \frac{d}{d x}(e^{-7 x})$
$= 3500 \cdot e^{7 x} \cdot 7 - 4200 \cdot e^{-7 x} \cdot (-7)$
$= 24500 e^{7 x} + 29400 e^{-7 x}$.
$49$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= 49(500 e^{7 x} + 600 e^{-7 x})$.
चूँकि $y = 500 e^{7 x} + 600 e^{-7 x}$,इसलिए:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 49 y$.
अतः,सिद्ध हुआ।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = 500 \cdot \frac{d}{d x}(e^{7 x}) + 600 \cdot \frac{d}{d x}(e^{-7 x})$
$= 500 \cdot e^{7 x} \cdot 7 + 600 \cdot e^{-7 x} \cdot (-7)$
$= 3500 e^{7 x} - 4200 e^{-7 x}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 3500 \cdot \frac{d}{d x}(e^{7 x}) - 4200 \cdot \frac{d}{d x}(e^{-7 x})$
$= 3500 \cdot e^{7 x} \cdot 7 - 4200 \cdot e^{-7 x} \cdot (-7)$
$= 24500 e^{7 x} + 29400 e^{-7 x}$.
$49$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= 49(500 e^{7 x} + 600 e^{-7 x})$.
चूँकि $y = 500 e^{7 x} + 600 e^{-7 x}$,इसलिए:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 49 y$.
अतः,सिद्ध हुआ।
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View Solution83
Medium
यदि $e^{y}(x+1)=1$ है,तो दर्शाइए कि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$.
Solution
दिया गया संबंध $e^{y}(x+1)=1$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$y + \ln(x+1) = \ln(1) = 0$
$y = -\ln(x+1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+1}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\left(-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right) = \frac{1}{(x+1)^{2}}$
चूंकि $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+1}$,इसलिए $\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = \left(-\frac{1}{x+1}\right)^{2} = \frac{1}{(x+1)^{2}}$.
अतः,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
इति सिद्धम्।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$y + \ln(x+1) = \ln(1) = 0$
$y = -\ln(x+1)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+1}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\left(-\frac{1}{(x+1)^{2}}\right) = \frac{1}{(x+1)^{2}}$
चूंकि $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+1}$,इसलिए $\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = \left(-\frac{1}{x+1}\right)^{2} = \frac{1}{(x+1)^{2}}$.
अतः,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}$.
इति सिद्धम्।
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View Solution84
Medium
यदि $y=(\tan^{-1} x)^{2}$ है,तो दर्शाइए कि $(x^{2}+1)^{2} y_{2}+2 x(x^{2}+1) y_{1}=2$ है।
Solution
दिया गया है: $y=(\tan^{-1} x)^{2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_{1} = 2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$
$y_{1} = 2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^{2}}$
$(1+x^{2}) y_{1} = 2 \tan^{-1} x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}[(1+x^{2}) y_{1}] = \frac{d}{dx}[2 \tan^{-1} x]$
$(1+x^{2}) y_{2} + y_{1}(2x) = 2 \cdot \frac{1}{1+x^{2}}$
दोनों पक्षों को $(1+x^{2})$ से गुणा करने पर:
$(1+x^{2})^{2} y_{2} + 2x(1+x^{2}) y_{1} = 2$
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_{1} = 2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$
$y_{1} = 2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^{2}}$
$(1+x^{2}) y_{1} = 2 \tan^{-1} x$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}[(1+x^{2}) y_{1}] = \frac{d}{dx}[2 \tan^{-1} x]$
$(1+x^{2}) y_{2} + y_{1}(2x) = 2 \cdot \frac{1}{1+x^{2}}$
दोनों पक्षों को $(1+x^{2})$ से गुणा करने पर:
$(1+x^{2})^{2} y_{2} + 2x(1+x^{2}) y_{1} = 2$
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।
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View Solution85
Difficult
यदि $f(x) = |x|^3$ है,तो दर्शाइए कि $f''(x)$ सभी वास्तविक $x$ के लिए अस्तित्व में है,और इसे ज्ञात कीजिए।
Solution
हम जानते हैं कि निरपेक्ष मान फलन इस प्रकार परिभाषित है:
$|x| = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \ge 0 \\ -x, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$
स्थिति $1$: जब $x \ge 0$,तब $f(x) = |x|^3 = x^3$.
अतः,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$.
और $f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$.
स्थिति $2$: जब $x < 0$,तब $f(x) = |x|^3 = (-x)^3 = -x^3$.
अतः,$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3) = -3x^2$.
और $f''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2) = -6x$.
इस प्रकार,$f''(x) = 6|x|$ सभी वास्तविक $x$ के लिए अस्तित्व में है।
$|x| = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \ge 0 \\ -x, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$
स्थिति $1$: जब $x \ge 0$,तब $f(x) = |x|^3 = x^3$.
अतः,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$.
और $f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$.
स्थिति $2$: जब $x < 0$,तब $f(x) = |x|^3 = (-x)^3 = -x^3$.
अतः,$f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3) = -3x^2$.
और $f''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2) = -6x$.
इस प्रकार,$f''(x) = 6|x|$ सभी वास्तविक $x$ के लिए अस्तित्व में है।
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View Solution86
Difficult
यदि $y = e^{a \cos^{-1} x}$,$-1 \le x \le 1$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} - a^{2} y = 0$.
Solution
(N/A) दिया गया है,$y = e^{a \cos^{-1} x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln y = a \cos^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = a \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$.
इसे सरल करने पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{ay}{\sqrt{1-x^2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{a^2 y^2}{1-x^2}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $(1-x^2) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = a^2 y^2$.
गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$(1-x^2) \cdot 2 \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d^2 y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \cdot (-2x) = a^2 \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx}$.
दोनों पक्षों को $2 \frac{dy}{dx}$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\frac{dy}{dx} \neq 0$),हमें प्राप्त होता है $(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = a^2 y$.
अतः,$(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} - a^2 y = 0$. इति सिद्धम्।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln y = a \cos^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = a \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)$.
इसे सरल करने पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{ay}{\sqrt{1-x^2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{a^2 y^2}{1-x^2}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $(1-x^2) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = a^2 y^2$.
गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$(1-x^2) \cdot 2 \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d^2 y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \cdot (-2x) = a^2 \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx}$.
दोनों पक्षों को $2 \frac{dy}{dx}$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\frac{dy}{dx} \neq 0$),हमें प्राप्त होता है $(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = a^2 y$.
अतः,$(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} - a^2 y = 0$. इति सिद्धम्।
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View Solution87
DifficultMCQ
मान लीजिए $f : S \rightarrow S$ जहाँ $S =(0, \infty)$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(x+1) = xf(x)$ है। यदि $g : S \rightarrow R$ को $g(x) = \log_{e} f(x)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,तो $|g''(5) - g''(1)|$ का मान क्या होगा?
A
$\frac{205}{144}$
B
$\frac{197}{144}$
C
$\frac{187}{144}$
D
$1$
Solution
(A) दिया गया है $f(x+1) = xf(x)$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln f(x+1) = \ln(x f(x))$।
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\ln f(x+1) = \ln x + \ln f(x)$।
चूंकि $g(x) = \ln f(x)$,यह समीकरण $g(x+1) = \ln x + g(x)$ या $g(x+1) - g(x) = \ln x$ बन जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर,$g''(x+1) - g''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(\ln x) = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
अब,इस संबंध में $x = 1, 2, 3, 4$ रखने पर:
$x=1$ के लिए: $g''(2) - g''(1) = -\frac{1}{1^2}$
$x=2$ के लिए: $g''(3) - g''(2) = -\frac{1}{2^2}$
$x=3$ के लिए: $g''(4) - g''(3) = -\frac{1}{3^2}$
$x=4$ के लिए: $g''(5) - g''(4) = -\frac{1}{4^2}$
इन चार समीकरणों को जोड़ने पर,मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$g''(5) - g''(1) = -\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}\right) = -\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}\right)$।
योग की गणना करने पर: $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} = \frac{144 + 36 + 16 + 9}{144} = \frac{205}{144}$।
अतः,$|g''(5) - g''(1)| = \frac{205}{144}$।
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\ln f(x+1) = \ln x + \ln f(x)$।
चूंकि $g(x) = \ln f(x)$,यह समीकरण $g(x+1) = \ln x + g(x)$ या $g(x+1) - g(x) = \ln x$ बन जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर,$g''(x+1) - g''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(\ln x) = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
अब,इस संबंध में $x = 1, 2, 3, 4$ रखने पर:
$x=1$ के लिए: $g''(2) - g''(1) = -\frac{1}{1^2}$
$x=2$ के लिए: $g''(3) - g''(2) = -\frac{1}{2^2}$
$x=3$ के लिए: $g''(4) - g''(3) = -\frac{1}{3^2}$
$x=4$ के लिए: $g''(5) - g''(4) = -\frac{1}{4^2}$
इन चार समीकरणों को जोड़ने पर,मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$g''(5) - g''(1) = -\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}\right) = -\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16}\right)$।
योग की गणना करने पर: $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} = \frac{144 + 36 + 16 + 9}{144} = \frac{205}{144}$।
अतः,$|g''(5) - g''(1)| = \frac{205}{144}$।
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View Solution88
DifficultMCQ
यदि $y^{1/4} + y^{-1/4} = 2x$,और $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \alpha x \frac{dy}{dx} + \beta y = 0$ है,तो $|\alpha - \beta|$ का मान ...... है।
A
$17$
B
$18$
C
$19$
D
$20$
Solution
(A) दिया गया है $y^{1/4} + y^{-1/4} = 2x$. मान लीजिए $u = y^{1/4}$,तो $u + \frac{1}{u} = 2x$,जिसका अर्थ है $u^2 - 2xu + 1 = 0$. $u$ के लिए हल करने पर,हमें $u = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y^{1/4} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$,यानी $y = (x \pm \sqrt{x^2 - 1})^4$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 4(x \pm \sqrt{x^2 - 1})^3 \left(1 \pm \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) = 4(x \pm \sqrt{x^2 - 1})^3 \left(\frac{\sqrt{x^2 - 1} \pm x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right)$.
चूंकि $y^{1/4} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$,हमें $\frac{dy}{dx} = 4(y^{3/4}) \left(\frac{\pm(x \pm \sqrt{x^2 - 1})}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) = \frac{4y}{\sqrt{x^2 - 1}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x^2 - 1) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 16y^2$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$(x^2 - 1) \cdot 2 \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + 2x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 32y \frac{dy}{dx}$.
$2 \frac{dy}{dx}$ से भाग देने पर (मानते हुए कि $\frac{dy}{dx} \neq 0$),हमें $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - 16y = 0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \alpha x \frac{dy}{dx} + \beta y = 0$ से करने पर,हमें $\alpha = 1$ और $\beta = -16$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\alpha - \beta| = |1 - (-16)| = |1 + 16| = 17$.
अतः,$y^{1/4} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$,यानी $y = (x \pm \sqrt{x^2 - 1})^4$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 4(x \pm \sqrt{x^2 - 1})^3 \left(1 \pm \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) = 4(x \pm \sqrt{x^2 - 1})^3 \left(\frac{\sqrt{x^2 - 1} \pm x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right)$.
चूंकि $y^{1/4} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$,हमें $\frac{dy}{dx} = 4(y^{3/4}) \left(\frac{\pm(x \pm \sqrt{x^2 - 1})}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) = \frac{4y}{\sqrt{x^2 - 1}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x^2 - 1) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 16y^2$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$(x^2 - 1) \cdot 2 \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + 2x \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 32y \frac{dy}{dx}$.
$2 \frac{dy}{dx}$ से भाग देने पर (मानते हुए कि $\frac{dy}{dx} \neq 0$),हमें $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - 16y = 0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $(x^2 - 1) \frac{d^2y}{dx^2} + \alpha x \frac{dy}{dx} + \beta y = 0$ से करने पर,हमें $\alpha = 1$ और $\beta = -16$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\alpha - \beta| = |1 - (-16)| = |1 + 16| = 17$.
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View Solution89
DifficultMCQ
यदि $x > 0$ के लिए $y(x) = x^{x^x}$ है,तो $x = 1$ पर $\frac{d^2 x}{dy^2} + 20$ का मान क्या होगा?
A
$06$
B
$16$
C
$26$
D
$36$
Solution
(B) दिया गया है $y = x^{x^x}$. दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\ln y = x^x \ln x$ प्राप्त होता है।
अवकलन करने पर,$y' = y [x^x(1 + \ln x) \ln x + x^x \cdot \frac{1}{x}]$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर,$y = 1$ और $y' = 1$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज $y''$ का मान $x = 1$ पर $4$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\frac{d^2 x}{dy^2} = -\frac{y''}{(y')^3}$ का उपयोग करने पर,$\frac{d^2 x}{dy^2} = -\frac{4}{(1)^3} = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,$-4 + 20 = 16$।
अवकलन करने पर,$y' = y [x^x(1 + \ln x) \ln x + x^x \cdot \frac{1}{x}]$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ पर,$y = 1$ और $y' = 1$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज $y''$ का मान $x = 1$ पर $4$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\frac{d^2 x}{dy^2} = -\frac{y''}{(y')^3}$ का उपयोग करने पर,$\frac{d^2 x}{dy^2} = -\frac{4}{(1)^3} = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,$-4 + 20 = 16$।
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DifficultMCQ
यदि $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)=\log _{e}\left(\frac{x}{5}\right)^{5}$ और $|y| < 2$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
A
$x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+25 y=0$
B
$x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-25 y=0$
C
$x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+25 y=0$
D
$x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+25 y=0$
Solution
(A) दिया गया है: $\cos ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)=5 \log _{e}\left(\frac{x}{5}\right)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{y^{2}}{4}}} \cdot \frac{y^{\prime}}{2} = 5 \cdot \frac{1}{x/5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{5}{x}$.
$\frac{-y^{\prime}}{\sqrt{4-y^{2}}} = \frac{5}{x} \implies -x y^{\prime} = 5 \sqrt{4-y^{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^{2} (y^{\prime})^{2} = 25(4-y^{2}) = 100 - 25y^{2}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x^{2} \cdot 2 y^{\prime} y^{\prime \prime} + 2x (y^{\prime})^{2} = -50 y y^{\prime}$.
$2 y^{\prime}$ से भाग देने पर (मान लीजिए $y^{\prime} \neq 0$):
$x^{2} y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -25 y$.
अतः,$x^{2} y^{\prime \prime} + x y^{\prime} + 25 y = 0$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{y^{2}}{4}}} \cdot \frac{y^{\prime}}{2} = 5 \cdot \frac{1}{x/5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{5}{x}$.
$\frac{-y^{\prime}}{\sqrt{4-y^{2}}} = \frac{5}{x} \implies -x y^{\prime} = 5 \sqrt{4-y^{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^{2} (y^{\prime})^{2} = 25(4-y^{2}) = 100 - 25y^{2}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x^{2} \cdot 2 y^{\prime} y^{\prime \prime} + 2x (y^{\prime})^{2} = -50 y y^{\prime}$.
$2 y^{\prime}$ से भाग देने पर (मान लीजिए $y^{\prime} \neq 0$):
$x^{2} y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -25 y$.
अतः,$x^{2} y^{\prime \prime} + x y^{\prime} + 25 y = 0$.
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AdvancedMCQ
माना $p(x)$ एक बहुपद है ताकि $p(x) - p'(x) = x^n$,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है। तो,$p(0)$ का मान क्या है?
A
$n!$
B
$(n-1)!$
C
$\frac{1}{n!}$
D
$0$
Solution
(A) दिया गया है $p(x) - p'(x) = x^n$.
बहुपद के गुणांकों की तुलना करने पर,$p(x) = x^n + n x^{n-1} + n(n-1) x^{n-2} + \dots + n!$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 0$ रखने पर $p(0) = n!$ प्राप्त होता है।
बहुपद के गुणांकों की तुलना करने पर,$p(x) = x^n + n x^{n-1} + n(n-1) x^{n-2} + \dots + n!$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 0$ रखने पर $p(0) = n!$ प्राप्त होता है।
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AdvancedMCQ
वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद $P(x)$ यह गुण रखता है कि सभी $x$ के लिए $P^{\prime \prime}(x) \neq 0$ है। मान लीजिए $P(0) = 1$ और $P^{\prime}(0) = -1$ है। तो आप $P(1)$ के बारे में क्या कह सकते हैं?
A
$P(1) \geq 0$
B
$P(1) \neq 0$
C
$P(1) \leq 0$
D
$-\frac{1}{2} < P(1) < \frac{1}{2}$
Solution
(B) दिया गया है कि $P(x)$ वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद है और सभी $x$ के लिए $P^{\prime \prime}(x) \neq 0$ है।
द्विघात बहुपद के लिए $P^{\prime \prime}(x)$ एक स्थिरांक होता है,इसलिए हम सबसे सरल स्थिति पर विचार करते हैं जहाँ $P(x)$ एक द्विघात बहुपद है:
$P(x) = ax^2 + bx + c$,जहाँ $a \neq 0$ है।
तब,$P^{\prime}(x) = 2ax + b$ और $P^{\prime \prime}(x) = 2a$ होगा।
$P(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $c = 1$ है।
$P^{\prime}(0) = -1$ दिया गया है,इसलिए $b = -1$ है।
अतः,$P(x) = ax^2 - x + 1$ है।
$x = 1$ पर मान ज्ञात करने पर:
$P(1) = a(1)^2 - (1) + 1 = a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P^{\prime \prime}(x) = 2a \neq 0$,इसलिए $a \neq 0$ है।
अतः,$P(1) = a \neq 0$ है।
यह गुण उच्च घात वाले बहुपदों के लिए भी सत्य है,क्योंकि प्रारंभिक शर्तों के तहत $P^{\prime \prime}(x) \neq 0$ की बाधा के अंतर्गत $P(1)$ शून्य नहीं हो सकता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।
द्विघात बहुपद के लिए $P^{\prime \prime}(x)$ एक स्थिरांक होता है,इसलिए हम सबसे सरल स्थिति पर विचार करते हैं जहाँ $P(x)$ एक द्विघात बहुपद है:
$P(x) = ax^2 + bx + c$,जहाँ $a \neq 0$ है।
तब,$P^{\prime}(x) = 2ax + b$ और $P^{\prime \prime}(x) = 2a$ होगा।
$P(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $c = 1$ है।
$P^{\prime}(0) = -1$ दिया गया है,इसलिए $b = -1$ है।
अतः,$P(x) = ax^2 - x + 1$ है।
$x = 1$ पर मान ज्ञात करने पर:
$P(1) = a(1)^2 - (1) + 1 = a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P^{\prime \prime}(x) = 2a \neq 0$,इसलिए $a \neq 0$ है।
अतः,$P(1) = a \neq 0$ है।
यह गुण उच्च घात वाले बहुपदों के लिए भी सत्य है,क्योंकि प्रारंभिक शर्तों के तहत $P^{\prime \prime}(x) \neq 0$ की बाधा के अंतर्गत $P(1)$ शून्य नहीं हो सकता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।
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DifficultMCQ
यदि $f(x)=x^3-x^2 f^{\prime}(1)+x f^{\prime \prime}(2)-f^{\prime \prime \prime}(3), x \in R$ है,तो
A
$3 f(1)+f(2)=f(3)$
B
$f(3)-f(2)=f(1)$
C
$2 f(0)-f(1)+f(3)=f(2)$
D
$f(1)+f(2)+f(3)=f(0)$
Solution
(C) दिया गया है $f(x)=x^3-x^2 f^{\prime}(1)+x f^{\prime \prime}(2)-f^{\prime \prime \prime}(3)$.
मान लीजिए $f^{\prime}(1)=a$,$f^{\prime \prime}(2)=b$,और $f^{\prime \prime \prime}(3)=c$.
तब $f(x)=x^3-ax^2+bx-c$.
अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x)=3x^2-2ax+b$
$f^{\prime \prime}(x)=6x-2a$
$f^{\prime \prime \prime}(x)=6$
अब,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime \prime \prime}(3)=6 \implies c=6$.
$f^{\prime \prime}(2)=6(2)-2a=12-2a=b \implies 2a+b=12$.
$f^{\prime}(1)=3(1)^2-2a(1)+b=3-2a+b=a \implies 3a-b=3$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(2a+b)+(3a-b)=12+3 \implies 5a=15 \implies a=3$.
$a=3$ को $2a+b=12$ में रखने पर: $2(3)+b=12 \implies b=6$.
अतः,$f(x)=x^3-3x^2+6x-6$.
मान ज्ञात करने पर:
$f(0)=-6$
$f(1)=1-3+6-6=-2$
$f(2)=8-12+12-6=2$
$f(3)=27-27+18-6=12$
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $2f(0)-f(1)+f(3) = 2(-6)-(-2)+12 = -12+2+12 = 2 = f(2)$.
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।
मान लीजिए $f^{\prime}(1)=a$,$f^{\prime \prime}(2)=b$,और $f^{\prime \prime \prime}(3)=c$.
तब $f(x)=x^3-ax^2+bx-c$.
अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x)=3x^2-2ax+b$
$f^{\prime \prime}(x)=6x-2a$
$f^{\prime \prime \prime}(x)=6$
अब,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$f^{\prime \prime \prime}(3)=6 \implies c=6$.
$f^{\prime \prime}(2)=6(2)-2a=12-2a=b \implies 2a+b=12$.
$f^{\prime}(1)=3(1)^2-2a(1)+b=3-2a+b=a \implies 3a-b=3$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(2a+b)+(3a-b)=12+3 \implies 5a=15 \implies a=3$.
$a=3$ को $2a+b=12$ में रखने पर: $2(3)+b=12 \implies b=6$.
अतः,$f(x)=x^3-3x^2+6x-6$.
मान ज्ञात करने पर:
$f(0)=-6$
$f(1)=1-3+6-6=-2$
$f(2)=8-12+12-6=2$
$f(3)=27-27+18-6=12$
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $2f(0)-f(1)+f(3) = 2(-6)-(-2)+12 = -12+2+12 = 2 = f(2)$.
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।
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DifficultMCQ
मान लीजिए $f(x) = \frac{\sin x + \cos x - \sqrt{2}}{\sin x - \cos x}$,$x \in [0, \pi] - \{\frac{\pi}{4}\}$. तो $f(\frac{7\pi}{12}) f''(\frac{7\pi}{12})$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{-2}{3}$
B
$\frac{2}{9}$
C
$-\frac{1}{3\sqrt{3}}$
D
$\frac{-2}{3\sqrt{3}}$
Solution
(B) दिया गया है $f(x) = \frac{\sin x + \cos x - \sqrt{2}}{\sin x - \cos x}$.
अंश और हर को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,$f(x) = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - 1}{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x} = \frac{\sin(x + \frac{\pi}{4}) - 1}{\sin(x - \frac{\pi}{4})}$.
$\sin \theta - 1 = -2 \sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2})$ और $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करके,$f(x) = \tan(\frac{\pi}{8} - \frac{x}{2})$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = -\tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
$f'(x) = -\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
$f''(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2 \sec(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \cdot \sec(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
$x = \frac{7\pi}{12}$ के लिए,$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} = \frac{7\pi}{24} - \frac{3\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$.
$f(\frac{7\pi}{12}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$f''(\frac{7\pi}{12}) = -\frac{1}{2} \sec^2(\frac{\pi}{6}) \tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{3\sqrt{3}}$.
इसलिए,$f(\frac{7\pi}{12}) f''(\frac{7\pi}{12}) = (-\frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot (-\frac{2}{3\sqrt{3}}) = \frac{2}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9}$.
अंश और हर को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,$f(x) = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - 1}{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x} = \frac{\sin(x + \frac{\pi}{4}) - 1}{\sin(x - \frac{\pi}{4})}$.
$\sin \theta - 1 = -2 \sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2})$ और $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करके,$f(x) = \tan(\frac{\pi}{8} - \frac{x}{2})$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = -\tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
$f'(x) = -\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
$f''(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2 \sec(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \cdot \sec(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8}) \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8})$.
$x = \frac{7\pi}{12}$ के लिए,$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{8} = \frac{7\pi}{24} - \frac{3\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$.
$f(\frac{7\pi}{12}) = -\tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$f''(\frac{7\pi}{12}) = -\frac{1}{2} \sec^2(\frac{\pi}{6}) \tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{3\sqrt{3}}$.
इसलिए,$f(\frac{7\pi}{12}) f''(\frac{7\pi}{12}) = (-\frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot (-\frac{2}{3\sqrt{3}}) = \frac{2}{3 \cdot 3} = \frac{2}{9}$.
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DifficultMCQ
माना $y = \log_8 \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right)$ जहाँ $-1 < x < 1$ है। तो $x = \frac{1}{2}$ पर,$225(y' - y'')$ का मान क्या होगा?
A
$732$
B
$746$
C
$742$
D
$736$
Solution
(D) दिया गया है $y = \log_8 \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right)$.
प्रथम अवकलज $y' = \frac{-4x}{1-x^4}$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज $y'' = \frac{-4(1+3x^4)}{(1-x^4)^2}$ प्राप्त होता है।
अब,$y' - y'' = \frac{-4x}{1-x^4} + \frac{4(1+3x^4)}{(1-x^4)^2}$.
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $y' - y'' = \frac{736}{225}$ प्राप्त होता है।
अतः,$225(y' - y'') = 225 \times \frac{736}{225} = 736$.
प्रथम अवकलज $y' = \frac{-4x}{1-x^4}$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज $y'' = \frac{-4(1+3x^4)}{(1-x^4)^2}$ प्राप्त होता है।
अब,$y' - y'' = \frac{-4x}{1-x^4} + \frac{4(1+3x^4)}{(1-x^4)^2}$.
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $y' - y'' = \frac{736}{225}$ प्राप्त होता है।
अतः,$225(y' - y'') = 225 \times \frac{736}{225} = 736$.
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DifficultMCQ
यदि $y(\theta) = \frac{2 \cos \theta + \cos 2 \theta}{\cos 3 \theta + 4 \cos 2 \theta + 5 \cos \theta + 2}$ है,तो $\theta = \frac{\pi}{2}$ पर $y'' + y' + y$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{3}{2}$
B
$1$
C
$\frac{1}{2}$
D
$2$
Solution
(D) दिया गया है $y(\theta) = \frac{2 \cos \theta + 2 \cos^2 \theta - 1}{4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta + 8 \cos^2 \theta - 4 + 5 \cos \theta + 2}$.
हर का सरलीकरण करने पर: $4 \cos^3 \theta + 8 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 2 = 2(2 \cos^3 \theta + 4 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1)$.
व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें प्राप्त होता है $y(\theta) = \frac{2 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 1}{(2 \cos \theta + 2)(2 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 1)} = \frac{1}{2(1 + \cos \theta)}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,$y = \frac{1}{2(1 + 0)} = \frac{1}{2}$.
अब,$y' = \frac{d}{d\theta} [\frac{1}{2}(1 + \cos \theta)^{-1}] = \frac{1}{2} (-1)(1 + \cos \theta)^{-2} (-\sin \theta) = \frac{\sin \theta}{2(1 + \cos \theta)^2}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,$y' = \frac{1}{2(1)^2} = \frac{1}{2}$.
आगे,$y'' = \frac{d}{d\theta} [\frac{\sin \theta}{2(1 + \cos \theta)^2}] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\cos \theta (1 + \cos \theta)^2 - \sin \theta (2(1 + \cos \theta)(-\sin \theta))}{(1 + \cos \theta)^4} \right]$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,$y'' = \frac{1}{2} \left[ \frac{0(1)^2 - 1(2(1)(-1))}{1^4} \right] = \frac{1}{2} [2] = 1$.
अतः,$y'' + y' + y = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$.
हर का सरलीकरण करने पर: $4 \cos^3 \theta + 8 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 2 = 2(2 \cos^3 \theta + 4 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1)$.
व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें प्राप्त होता है $y(\theta) = \frac{2 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 1}{(2 \cos \theta + 2)(2 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 1)} = \frac{1}{2(1 + \cos \theta)}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,$y = \frac{1}{2(1 + 0)} = \frac{1}{2}$.
अब,$y' = \frac{d}{d\theta} [\frac{1}{2}(1 + \cos \theta)^{-1}] = \frac{1}{2} (-1)(1 + \cos \theta)^{-2} (-\sin \theta) = \frac{\sin \theta}{2(1 + \cos \theta)^2}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,$y' = \frac{1}{2(1)^2} = \frac{1}{2}$.
आगे,$y'' = \frac{d}{d\theta} [\frac{\sin \theta}{2(1 + \cos \theta)^2}] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\cos \theta (1 + \cos \theta)^2 - \sin \theta (2(1 + \cos \theta)(-\sin \theta))}{(1 + \cos \theta)^4} \right]$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,$y'' = \frac{1}{2} \left[ \frac{0(1)^2 - 1(2(1)(-1))}{1^4} \right] = \frac{1}{2} [2] = 1$.
अतः,$y'' + y' + y = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$.
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DifficultMCQ
यदि $f(x) = \begin{cases} x^3 \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ है,तो
A
$f^{\prime \prime}(0) = 1$
B
$f^{\prime \prime}\left(\frac{2}{\pi}\right) = \frac{24-\pi^2}{2 \pi}$
C
$f^{\prime \prime}\left(\frac{2}{\pi}\right) = \frac{12-\pi^2}{2 \pi}$
D
$f^{\prime \prime}(0) = 0$
Solution
(B) सबसे पहले,अवकलज की परिभाषा का उपयोग करके $f^{\prime}(0)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h^2 \sin(1/h) = 0$.
अब,$x \neq 0$ के लिए,$f^{\prime}(x) = 3x^2 \sin(1/x) - x \cos(1/x)$.
परिभाषा के अनुसार $f^{\prime \prime}(0)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime \prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{\prime}(h) - f^{\prime}(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h^2 \sin(1/h) - h \cos(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} (3h \sin(1/h) - \cos(1/h))$.
यहाँ $\lim_{h \to 0} 3h \sin(1/h) = 0$ है लेकिन $\lim_{h \to 0} \cos(1/h)$ का अस्तित्व नहीं है,इसलिए $f^{\prime \prime}(0)$ का अस्तित्व नहीं है।
$x \neq 0$ के लिए,$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx} [3x^2 \sin(1/x) - x \cos(1/x)] = 6x \sin(1/x) - 3 \cos(1/x) - (\cos(1/x) + x(-\sin(1/x))(-1/x^2)) = 6x \sin(1/x) - 4 \cos(1/x) - \frac{1}{x} \sin(1/x)$.
$x = \frac{2}{\pi}$ पर मान रखने पर:
$f^{\prime \prime}\left(\frac{2}{\pi}\right) = 6(\frac{2}{\pi}) \sin(\frac{\pi}{2}) - 4 \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{12}{\pi}(1) - 4(0) - \frac{\pi}{2}(1) = \frac{12}{\pi} - \frac{\pi}{2} = \frac{24-\pi^2}{2 \pi}$.
$f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^3 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h^2 \sin(1/h) = 0$.
अब,$x \neq 0$ के लिए,$f^{\prime}(x) = 3x^2 \sin(1/x) - x \cos(1/x)$.
परिभाषा के अनुसार $f^{\prime \prime}(0)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime \prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{\prime}(h) - f^{\prime}(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h^2 \sin(1/h) - h \cos(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} (3h \sin(1/h) - \cos(1/h))$.
यहाँ $\lim_{h \to 0} 3h \sin(1/h) = 0$ है लेकिन $\lim_{h \to 0} \cos(1/h)$ का अस्तित्व नहीं है,इसलिए $f^{\prime \prime}(0)$ का अस्तित्व नहीं है।
$x \neq 0$ के लिए,$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx} [3x^2 \sin(1/x) - x \cos(1/x)] = 6x \sin(1/x) - 3 \cos(1/x) - (\cos(1/x) + x(-\sin(1/x))(-1/x^2)) = 6x \sin(1/x) - 4 \cos(1/x) - \frac{1}{x} \sin(1/x)$.
$x = \frac{2}{\pi}$ पर मान रखने पर:
$f^{\prime \prime}\left(\frac{2}{\pi}\right) = 6(\frac{2}{\pi}) \sin(\frac{\pi}{2}) - 4 \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{12}{\pi}(1) - 4(0) - \frac{\pi}{2}(1) = \frac{12}{\pi} - \frac{\pi}{2} = \frac{24-\pi^2}{2 \pi}$.
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DifficultMCQ
मान लीजिए $f(x)=ax^3+bx^2+cx+41$ इस प्रकार है कि $f(1)=40, f'(1)=2$ और $f''(1)=4$ है। तो $a^2+b^2+c^2$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$62$
B
$73$
C
$54$
D
$51$
Solution
(D) दिया गया है $f(x)=ax^3+bx^2+cx+41$.
प्रथम अवकलज: $f'(x)=3ax^2+2bx+c$.
दिया है $f'(1)=2$,अतः $3a+2b+c=2$ ... $(1)$.
द्वितीय अवकलज: $f''(x)=6ax+2b$.
दिया है $f''(1)=4$,अतः $6a+2b=4$,जिसे सरल करने पर $3a+b=2$ प्राप्त होता है ... $(2)$.
$(1)$ और $(2)$ से,$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$(3a+2b+c) - (3a+b) = 2 - 2$
$b+c=0$ ... $(3)$.
दिया है $f(1)=40$:
$a(1)^3+b(1)^2+c(1)+41=40$
$a+b+c+41=40$
$a+(b+c)=-1$.
$(3)$ का उपयोग करने पर,$b+c=0$,अतः $a+0=-1$,जिससे $a=-1$ प्राप्त होता है।
$a=-1$ को $(2)$ में रखने पर:
$3(-1)+b=2$
$-3+b=2 \Rightarrow b=5$.
$(3)$ का उपयोग करने पर,$5+c=0 \Rightarrow c=-5$.
अंततः,$a^2+b^2+c^2 = (-1)^2 + (5)^2 + (-5)^2 = 1 + 25 + 25 = 51$.
प्रथम अवकलज: $f'(x)=3ax^2+2bx+c$.
दिया है $f'(1)=2$,अतः $3a+2b+c=2$ ... $(1)$.
द्वितीय अवकलज: $f''(x)=6ax+2b$.
दिया है $f''(1)=4$,अतः $6a+2b=4$,जिसे सरल करने पर $3a+b=2$ प्राप्त होता है ... $(2)$.
$(1)$ और $(2)$ से,$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$(3a+2b+c) - (3a+b) = 2 - 2$
$b+c=0$ ... $(3)$.
दिया है $f(1)=40$:
$a(1)^3+b(1)^2+c(1)+41=40$
$a+b+c+41=40$
$a+(b+c)=-1$.
$(3)$ का उपयोग करने पर,$b+c=0$,अतः $a+0=-1$,जिससे $a=-1$ प्राप्त होता है।
$a=-1$ को $(2)$ में रखने पर:
$3(-1)+b=2$
$-3+b=2 \Rightarrow b=5$.
$(3)$ का उपयोग करने पर,$5+c=0 \Rightarrow c=-5$.
अंततः,$a^2+b^2+c^2 = (-1)^2 + (5)^2 + (-5)^2 = 1 + 25 + 25 = 51$.
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DifficultMCQ
यदि $\log _e y=3 \sin ^{-1} x$ है,तो $x=\frac{1}{2}$ पर $(1-x^2) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}$ का मान ज्ञात कीजिए:
A
$9 e^{\pi / 6}$
B
$3 e^{\pi / 6}$
C
$3 e^{\pi / 2}$
D
$9 e^{\pi / 2}$
Solution
(D) दिया गया है $\ln y = 3 \sin^{-1} x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} y' = \frac{3}{\sqrt{1-x^2}} \implies y' = \frac{3y}{\sqrt{1-x^2}}$.
$x = \frac{1}{2}$ पर,$y = e^{3 \sin^{-1}(1/2)} = e^{3(\pi/6)} = e^{\pi/2}$.
अतः,$y' = \frac{3 e^{\pi/2}}{\sqrt{1-(1/2)^2}} = \frac{3 e^{\pi/2}}{\sqrt{3}/2} = 2\sqrt{3} e^{\pi/2}$.
अब,$y' \sqrt{1-x^2} = 3y$ का अवकलन करने पर:
$y'' \sqrt{1-x^2} + y' \left( \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} \right) = 3y'$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{1-x^2}$ से गुणा करने पर:
$y'' (1-x^2) - xy' = 3y' \sqrt{1-x^2}$.
$y' = \frac{3y}{\sqrt{1-x^2}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y'' (1-x^2) - xy' = 3 \left( \frac{3y}{\sqrt{1-x^2}} \right) \sqrt{1-x^2} = 9y$.
$x = \frac{1}{2}$ पर,$y = e^{\pi/2}$,अतः मान $9 e^{\pi/2}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} y' = \frac{3}{\sqrt{1-x^2}} \implies y' = \frac{3y}{\sqrt{1-x^2}}$.
$x = \frac{1}{2}$ पर,$y = e^{3 \sin^{-1}(1/2)} = e^{3(\pi/6)} = e^{\pi/2}$.
अतः,$y' = \frac{3 e^{\pi/2}}{\sqrt{1-(1/2)^2}} = \frac{3 e^{\pi/2}}{\sqrt{3}/2} = 2\sqrt{3} e^{\pi/2}$.
अब,$y' \sqrt{1-x^2} = 3y$ का अवकलन करने पर:
$y'' \sqrt{1-x^2} + y' \left( \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} \right) = 3y'$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{1-x^2}$ से गुणा करने पर:
$y'' (1-x^2) - xy' = 3y' \sqrt{1-x^2}$.
$y' = \frac{3y}{\sqrt{1-x^2}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y'' (1-x^2) - xy' = 3 \left( \frac{3y}{\sqrt{1-x^2}} \right) \sqrt{1-x^2} = 9y$.
$x = \frac{1}{2}$ पर,$y = e^{\pi/2}$,अतः मान $9 e^{\pi/2}$ है।
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View Solution100
DifficultMCQ
$\frac{d^2 x}{d y^2}$ किसके बराबर है?
A
$\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{-1}$
B
$-\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{-1}\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-3}$
C
$\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-2}$
D
$-\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-3}$
Solution
(D) हम जानते हैं कि $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{d y / d x} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$.
अब,दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d y} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right]$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d x} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right] \cdot \frac{d x}{d y}$.
घात नियम (power rule) लागू करने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} \cdot \frac{d x}{d y}$.
चूंकि $\frac{d x}{d y} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} \cdot \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$.
$\frac{d y}{d x}$ की घातों को जोड़ने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-3}$.
अब,दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d y} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right]$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = \frac{d}{d x} \left[ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1} \right] \cdot \frac{d x}{d y}$.
घात नियम (power rule) लागू करने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} \cdot \frac{d x}{d y}$.
चूंकि $\frac{d x}{d y} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d y}{d x}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2 y}{d x^2} \cdot \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-1}$.
$\frac{d y}{d x}$ की घातों को जोड़ने पर:
$\frac{d^2 x}{d y^2} = -\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right) \left(\frac{d y}{d x}\right)^{-3}$.
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View SolutionContinuity and Differentiation — Higher order derivatives · Frequently Asked Questions
1Are these Continuity and Differentiation questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
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