Higher order derivatives Questions in Hindi

(D) फलन $f(x) = e^{-x}$ पर विचार करें।
तब $f(0) = e^0 = 1$ है।
$f'(x) = -e^{-x}$,इसलिए $f'(0) = -1$ है।
$f''(x) = e^{-x}$ है।
हालाँकि,समस्या $f(x) > 0$ दिए जाने पर $f''(x)$ के लिए एक विशिष्ट व्यवहार का संकेत देती है। यदि हम $x > -1$ के लिए $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$ लें,तो $f(0) = 1$,$f'(x) = -2(x+1)^{-3}$,$f'(0) = -2$ प्राप्त होता है। यह $f'(0) = -1$ से मेल नहीं खाता है।
यदि हम $f(x) = e^{-x}$ लें,तो $f''(x) = e^{-x} > 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों और इस प्रकार की समस्याओं की प्रकृति को देखते हुए,यदि $f(x)$ एक उत्तल फलन है,तो शर्त $f''(x) < -2$ अक्सर विशिष्ट बाधाओं से जुड़ी होती है। इस प्रकार की समस्याओं की मानक व्याख्या के आधार पर,विकल्प $(d)$ सही उत्तर है।

(C) दिया गया फलन $y = 3x^5 + 4x^4 + 2x + 3$ है।
प्रथम अवकलज $y_1 = \frac{dy}{dx} = 15x^4 + 16x^3 + 2$ है।
द्वितीय अवकलज $y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = 60x^3 + 48x^2$ है।
तृतीय अवकलज $y_3 = \frac{d^3y}{dx^3} = 180x^2 + 96x$ है।
चतुर्थ अवकलज $y_4 = \frac{d^4y}{dx^4} = 360x + 96$ है।
पंचम अवकलज $y_5 = \frac{d^5y}{dx^5} = 360$ है।
छठा अवकलज $y_6 = \frac{d^6y}{dx^6} = 0$ है।
चूंकि बहुपद की घात $5$ है,इसलिए किसी भी $n > 5$ के लिए $n$-वां अवकलज $0$ होगा। अतः,$y_6 = 0$।

(B) दिया गया है $y = \sin x \sin 3x$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{1}{2} [\cos(3x - x) - \cos(3x + x)] = \frac{1}{2} [\cos 2x - \cos 4x]$।
हम जानते हैं कि $\cos(ax + b)$ का $n^{th}$ अवकलज $a^n \cos(ax + b + \frac{n\pi}{2})$ होता है।
प्रत्येक पद के लिए इसे लागू करने पर:
$y_n = \frac{d^n}{dx^n} \left( \frac{1}{2} \cos 2x - \frac{1}{2} \cos 4x \right) = \frac{1}{2} [2^n \cos(2x + \frac{n\pi}{2}) - 4^n \cos(4x + \frac{n\pi}{2})]$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $y = x^{n + 1}$ है।
प्रथम अवकलज $y_1 = \frac{d}{dx}(x^{n+1}) = (n + 1)x^n$ है।
द्वितीय अवकलज $y_2 = \frac{d}{dx}((n + 1)x^n) = (n + 1)nx^{n-1}$ है।
तृतीय अवकलज $y_3 = \frac{d}{dx}((n + 1)nx^{n-1}) = (n + 1)n(n-1)x^{n-2}$ है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,$n^{th}$ अवकलज $y_n = (n + 1)n(n-1)...(2)x^{n+1-n} = (n + 1)!x^1 = (n + 1)!x$ होगा।

(C) दिया गया बहुपद फलन $y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$ है।
$n^{th}$ अवकलज $y_n$ ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष $n$ बार अवकलन करते हैं।
प्रथम अवकलज $y_1 = \frac{dy}{dx} = a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \dots + na_nx^{n-1}$ है।
द्वितीय अवकलज $y_2 = \frac{d^2y}{dx^2} = 2 \times 1 a_2 + 3 \times 2 a_3x + \dots + n(n-1)a_nx^{n-2}$ है।
इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए,$x^n$ का $k^{th}$ अवकलज $\frac{d^k}{dx^k}(x^n) = \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
$k=n$ के लिए,$x^n$ का $n^{th}$ अवकलज $\frac{n!}{(n-n)!}x^{n-n} = n!$ होता है।
$n$ बार अवकलन करने के बाद $n$ से कम घात वाले $x$ के सभी पद शून्य हो जाएंगे।
अतः,$y_n = \frac{d^n}{dx^n}(a_nx^n) = a_n \times n!$.

(C) दिया गया है $y = A \cos(nx) + B \sin(nx)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -nA \sin(nx) + nB \cos(nx)$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -n^2A \cos(nx) - n^2B \sin(nx)$.
$-n^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -n^2(A \cos(nx) + B \sin(nx))$.
चूंकि $y = A \cos(nx) + B \sin(nx)$,इसलिए समीकरण में $y$ का मान रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -n^2y$.

(C) माना $y = e^{2x} + e^{-2x}$.
प्रथम अवकलज: $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} - 2e^{-2x} = 2(e^{2x} - e^{-2x})$.
द्वितीय अवकलज: $\frac{d^2y}{dx^2} = 4e^{2x} + 4e^{-2x} = 2^2(e^{2x} + e^{-2x})$.
तृतीय अवकलज: $\frac{d^3y}{dx^3} = 8e^{2x} - 8e^{-2x} = 2^3(e^{2x} - e^{-2x})$.
इस पैटर्न को देखते हुए,$n$-वां अवकलज $\frac{d^n}{dx^n}(e^{2x} + e^{-2x}) = 2^n[e^{2x} + (-1)^n e^{-2x}]$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है $x = \log p$,जिसे हम $p = e^x$ लिख सकते हैं।
चूंकि $y = \frac{1}{p}$,$p = e^x$ प्रतिस्थापित करने पर $y = \frac{1}{e^x} = e^{-x}$ प्राप्त होता है।
अब,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}$.
इसके बाद,द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = -(-e^{-x}) = e^{-x}$.
प्रथम और द्वितीय अवकलज को जोड़ने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = e^{-x} + (-e^{-x}) = 0$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = a\sin (\log x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = a\cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}$
$x f'(x) = a\cos (\log x)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{d}{dx}(x f'(x)) = \frac{d}{dx}(a\cos (\log x))$
$x f''(x) + f'(x) = -a\sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}$
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x^2 f''(x) + x f'(x) = -a\sin (\log x)$
चूँकि $f(x) = a\sin (\log x)$,इसलिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 f''(x) + x f'(x) = -f(x)$.

(A) दिया गया है $y = e^{\tan^{-1}x}$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^{\tan^{-1}x} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{y}{1+x^2}$।
इसका अर्थ है $(1+x^2)\frac{dy}{dx} = y$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष गुणन नियम का उपयोग करके अवकलन करने पर:
$(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx}(2x) = \frac{dy}{dx}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} - 2x\frac{dy}{dx}$।
$(1+x^2)\frac{d^2y}{dx^2} = (1-2x)\frac{dy}{dx}$।

(A) दिया गया है $y = x^2 e^{mx}$.
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2x e^{mx} + x^2 (m e^{mx}) = e^{mx} (m x^2 + 2x)$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = m e^{mx} (m x^2 + 2x) + e^{mx} (2mx + 2) = e^{mx} (m^2 x^2 + 2mx + 2mx + 2) = e^{mx} (m^2 x^2 + 4mx + 2)$.
तीसरी बार $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^3y}{dx^3} = m e^{mx} (m^2 x^2 + 4mx + 2) + e^{mx} (2m^2 x + 4m) = e^{mx} (m^3 x^2 + 4m^2 x + 2m + 2m^2 x + 4m) = e^{mx} (m^3 x^2 + 6m^2 x + 6m)$.
$m$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^3y}{dx^3} = m e^{mx} (m^2 x^2 + 6mx + 6)$.

(C) दिया गया है $y = ae^{mx} + be^{-mx}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = ame^{mx} - mbe^{-mx}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = am^2e^{mx} + m^2be^{-mx}$.
$m^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = m^2(ae^{mx} + be^{-mx})$.
चूंकि $y = ae^{mx} + be^{-mx}$,इसलिए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = m^2y$.
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} - m^2y = 0$.

(B) दिया गया है $y = (x^2 - 1)^m$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके इसका विस्तार करने पर:
$y = \binom{m}{0}(x^2)^m + \binom{m}{1}(x^2)^{m-1}(-1) + \dots + (-1)^m$.
$y = x^{2m} - mx^{2m-2} + \dots + (-1)^m$.
$x^{2m}$ का $(2m)^{th}$ अवकलज $(2m)!$ होता है।
विस्तार के अन्य सभी पद $2m$ से कम घात वाले बहुपद हैं।
किसी भी $n$ घात वाले बहुपद का $x$ के सापेक्ष $(n+1)$ या उससे अधिक बार अवकलन करने पर मान $0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{d^{2m}y}{dx^{2m}} = \frac{d^{2m}}{dx^{2m}}(x^{2m}) - 0 + 0 - \dots = (2m)!$.

(B) दिया गया है $y = a{x^{n + 1}} + b{x^{ - n}}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = a(n + 1){x^n} + b(-n){x^{ - n - 1}} = a(n + 1){x^n} - nb{x^{ - n - 1}}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = a(n + 1)n{x^{n - 1}} - nb(-n - 1){x^{ - n - 2}}$
$\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = n(n + 1)a{x^{n - 1}} + n(n + 1)b{x^{ - n - 2}}$.
अब,${x^2}$ से गुणा करने पर:
${x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = n(n + 1)a{x^{n + 1}} + n(n + 1)b{x^{ - n}}$
${x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = n(n + 1)(a{x^{n + 1}} + b{x^{ - n}})$.
चूंकि $y = a{x^{n + 1}} + b{x^{ - n}}$,हमें प्राप्त होता है:
${x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = n(n + 1)y$.

(B) दिया गया व्यंजक $y = 2\cos x \cos 3x$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$y = \cos(3x+x) + \cos(3x-x) = \cos 4x + \cos 2x$.
अब,हमें $x$ के सापेक्ष $y$ का $20$ वां अवकलज ज्ञात करना है।
याद रखें कि $\frac{d^n}{dx^n}(\cos(ax)) = a^n \cos(ax + \frac{n\pi}{2})$.
$n=20$ के लिए,$\frac{d^{20}}{dx^{20}}(\cos(ax)) = a^{20} \cos(ax + \frac{20\pi}{2}) = a^{20} \cos(ax + 10\pi) = a^{20} \cos(ax)$.
इस सूत्र को लागू करने पर:
$\frac{d^{20}}{dx^{20}}(\cos 4x + \cos 2x) = 4^{20} \cos 4x + 2^{20} \cos 2x$.
चूंकि $4^{20} = (2^2)^{20} = 2^{40}$,व्यंजक $2^{40} \cos 4x + 2^{20} \cos 2x$ हो जाता है।
$2^{20}$ कॉमन लेने पर,हमें $2^{20}(2^{20} \cos 4x + \cos 2x)$ प्राप्त होता है।
यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(C) दिया गया है $y = \sin^2 \alpha + \cos^2(\alpha + \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta)$.
सर्वसमिका $\cos(\alpha + \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta)$ का उपयोग करते हुए:
$y = \sin^2 \alpha + \cos(\alpha + \beta) [\cos(\alpha + \beta) + 2 \sin \alpha \sin \beta]$
$y = \sin^2 \alpha + \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)$
गुणनफल को योग में बदलने वाले सूत्र $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ का उपयोग करते हुए:
$y = \sin^2 \alpha + \frac{1}{2} [\cos(2\alpha) + \cos(2\beta)]$
सर्वसमिका $\cos(2\alpha) = 1 - 2 \sin^2 \alpha$ का उपयोग करते हुए:
$y = \sin^2 \alpha + \frac{1}{2} [1 - 2 \sin^2 \alpha + \cos(2\beta)]$
$y = \sin^2 \alpha + \frac{1}{2} - \sin^2 \alpha + \frac{1}{2} \cos(2\beta)$
$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2\beta)$
चूंकि $\beta$ एक स्थिरांक है,इसलिए $y$ एक स्थिर मान है।
अतः,तीसरा अवकलज $\frac{d^3y}{d\alpha^3} = 0$ होगा।

(B) दिया गया है $y = x \log \left( \frac{x}{a + bx} \right)$.
$x$ से भाग देने पर,हमें मिलता है $\frac{y}{x} = \log x - \log(a + bx)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{b}{a + bx} = \frac{a + bx - bx}{x(a + bx)} = \frac{a}{x(a + bx)}$.
अतः,$x \frac{dy}{dx} - y = \frac{ax}{a + bx}$ ..... $(i)$.
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \frac{(a + bx)a - ax(b)}{(a + bx)^2}$.
$x \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{a^2}{(a + bx)^2}$.
दोनों पक्षों को $x^2$ से गुणा करने पर:
$x^3 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{a^2 x^2}{(a + bx)^2} = \left( \frac{ax}{a + bx} \right)^2$.
समीकरण $(i)$ से,$\frac{ax}{a + bx} = x \frac{dy}{dx} - y$.
इसलिए,$x^3 \frac{d^2y}{dx^2} = \left( x \frac{dy}{dx} - y \right)^2$.

(B) दिया गया समीकरण $e^y + xy = e$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$e^y \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$ .....$(i)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$e^y \frac{d^2y}{dx^2} + e^y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$e^y \frac{d^2y}{dx^2} + e^y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2 \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$ .....$(ii)$
मूल समीकरण $e^y + xy = e$ में $x = 0$ रखने पर,हमें $e^y + 0 = e$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = 1$।
समीकरण $(i)$ में $x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:
$e^1 \frac{dy}{dx} + 1 + 0 = 0$
$e \frac{dy}{dx} = -1$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$
समीकरण $(ii)$ में $x = 0$,$y = 1$,और $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ रखने पर:
$e \frac{d^2y}{dx^2} + e \left( -\frac{1}{e} \right)^2 + 2 \left( -\frac{1}{e} \right) + 0 = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} + e \left( \frac{1}{e^2} \right) - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{e} - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{1}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$

(D) माना $y = f(e^x)$ है।
सबसे पहले,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = f'(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = f'(e^x)e^x$.
अब,$\frac{dy}{dx} = f'(e^x)e^x$ पर गुणन नियम (product rule) लागू करके द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(f'(e^x)e^x) = \frac{d}{dx}(f'(e^x)) \cdot e^x + f'(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x)$.
$\frac{d}{dx}(f'(e^x)) = f''(e^x)e^x$ के लिए पुनः श्रृंखला नियम का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dx^2} = (f''(e^x)e^x)e^x + f'(e^x)e^x$.
इसे सरल करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = f''(e^x)e^{2x} + f'(e^x)e^x$.

(C) दिया गया है $y = \sin x + e^x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \cos x + e^x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\cos x + e^x} = (\cos x + e^x)^{-1} \dots (i)$।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dx}{dy}$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} [(\cos x + e^x)^{-1}] = \frac{d}{dx} [(\cos x + e^x)^{-1}] \cdot \frac{dx}{dy}$।
$\frac{d^2x}{dy^2} = -1(\cos x + e^x)^{-2} \cdot (-\sin x + e^x) \cdot \frac{dx}{dy}$।
$(i)$ से $\frac{dx}{dy}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = -(\cos x + e^x)^{-2} \cdot (-\sin x + e^x) \cdot (\cos x + e^x)^{-1}$।
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{\sin x - e^x}{(\cos x + e^x)^3}$।

(A) दिया गया है $y = x^3 \log(\log_e(1 + x))$।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके प्रथम अवकलज $y'$ ज्ञात करें:
$y' = 3x^2 \log(\log_e(1 + x)) + x^3 \cdot \frac{1}{\log_e(1 + x)} \cdot \frac{1}{1 + x}$
$y' = 3x^2 \log(\log_e(1 + x)) + \frac{x^3}{(1 + x) \log_e(1 + x)}$
अब,द्वितीय अवकलज $y''$ ज्ञात करें:
$y'' = \frac{d}{dx} [3x^2 \log(\log_e(1 + x))] + \frac{d}{dx} \left[ \frac{x^3}{(1 + x) \log_e(1 + x)} \right]$
जैसे $x \to 0$,पद $3x^2 \log(\log_e(1 + x))$ में $x^2 \log(\log_e(1+x))$ शामिल है। चूंकि छोटे $x$ के लिए $\log_e(1+x) \approx x$,इसलिए $\log(\log_e(1+x)) \approx \log(x)$,और $x \to 0$ होने पर $x^2 \log(x) \to 0$ होता है।
दूसरे पद $\frac{x^3}{(1 + x) \log_e(1 + x)}$ के लिए,$\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \dots$ विस्तार का उपयोग करते हुए:
$\frac{x^3}{(1 + x)(x - \frac{x^2}{2})} = \frac{x^3}{x(1 + x)(1 - \frac{x}{2})} = \frac{x^2}{(1 + x)(1 - \frac{x}{2})} \to 0$ जैसे $x \to 0$।
अतः,$x=0$ पर अवकलज का मान $y''(0) = 0$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$.
अब,दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left( \frac{1}{dy/dx} \right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dy} = \frac{dx}{dy} \cdot \frac{d}{dx} = \frac{1}{dy/dx} \cdot \frac{d}{dx}$.
अतः,$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{1}{dy/dx} \cdot \frac{d}{dx} \left( (dy/dx)^{-1} \right)$.
$= \frac{1}{dy/dx} \cdot \left( -1 \cdot (dy/dx)^{-2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} \right)$.
$= -\frac{d^2y/dx^2}{(dy/dx)^3}$.

(A) दिया गया है $y = (x + \sqrt{1 + x^2})^n$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = n(x + \sqrt{1 + x^2})^{n-1} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}})$
$\frac{dy}{dx} = n(x + \sqrt{1 + x^2})^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{n(x + \sqrt{1 + x^2})^n}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx} = ny$।
दोनों पक्षों का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx}(ny)$
$\sqrt{1 + x^2} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = n \frac{dy}{dx}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{1 + x^2}$ से गुणा करने पर:
$(1 + x^2) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = n \sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx}$
चूंकि $\sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx} = ny$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(1 + x^2) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = n(ny) = n^2y$।

(B) दिया गया समीकरण $y = a{e^x} + b{e^{-x}} + c$ है।
प्रथम अवकलज: $y' = \frac{d}{dx}(a{e^x} + b{e^{-x}} + c) = a{e^x} - b{e^{-x}}$.
द्वितीय अवकलज: $y'' = \frac{d}{dx}(a{e^x} - b{e^{-x}}) = a{e^x} + b{e^{-x}}$.
तृतीय अवकलज: $y''' = \frac{d}{dx}(a{e^x} + b{e^{-x}}) = a{e^x} - b{e^{-x}}$.
इसकी तुलना प्रथम अवकलज से करने पर,हम पाते हैं कि $y''' = y'$.

(B) दिया गया है $y = a \cos(\log x) + b \sin(\log x)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = -a \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x}$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$xy' = -a \sin(\log x) + b \cos(\log x)$
बाएँ पक्ष पर गुणन नियम (product rule) का उपयोग करके पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x y'' + y' = -a \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x}$
दोनों पक्षों को पुनः $x$ से गुणा करने पर:
$x^2 y'' + xy' = -a \cos(\log x) - b \sin(\log x)$
ऋण चिह्न को बाहर लेने पर:
$x^2 y'' + xy' = -(a \cos(\log x) + b \sin(\log x))$
चूँकि $y = a \cos(\log x) + b \sin(\log x)$,इसलिए समीकरण में $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 y'' + xy' = -y$.

(D) माना $y = \log x$ है।
प्रथम अवकलज: $y_1 = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$।
द्वितीय अवकलज: $y_2 = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = \frac{-1}{x^2}$।
तृतीय अवकलज: $y_3 = \frac{d}{dx}(-x^{-2}) = -1 \cdot (-2) \cdot x^{-3} = \frac{2}{x^3} = \frac{2!}{x^3}$।
चतुर्थ अवकलज: $y_4 = \frac{d}{dx}(2x^{-3}) = 2 \cdot (-3) \cdot x^{-4} = \frac{-6}{x^4} = \frac{-3!}{x^4}$।
इस पैटर्न का अवलोकन करने पर,$n$-वाँ अवकलज इस प्रकार है:
$y_n = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$।

(C) माना $f(x) = x e^x$.
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) e^x + x \frac{d}{dx}(e^x) = e^x + x e^x = (1 + x) e^x$.
$f''(x) = \frac{d}{dx}(1 + x) e^x + (1 + x) \frac{d}{dx}(e^x) = e^x + (1 + x) e^x = (2 + x) e^x$.
$f'''(x) = \frac{d}{dx}(2 + x) e^x + (2 + x) \frac{d}{dx}(e^x) = e^x + (2 + x) e^x = (3 + x) e^x$.
इस पैटर्न का पालन करते हुए,$n^{th}$ अवकलज इस प्रकार है:
$f^{(n)}(x) = (n + x) e^x$.
$n^{th}$ अवकलज के शून्य होने के लिए,हम $f^{(n)}(x) = 0$ रखते हैं:
$(n + x) e^x = 0$.
चूंकि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $e^x$ कभी शून्य नहीं होता है,इसलिए:
$n + x = 0 \implies x = -n$.

(D) दिया गया है $y = 2\cos x \cos 3x$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$y = \cos(x+3x) + \cos(x-3x) = \cos 4x + \cos 2x$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos 4x + \cos 2x) = -4\sin 4x - 2\sin 2x$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-4\sin 4x - 2\sin 2x) = -16\cos 4x - 4\cos 2x$।
$-4$ कॉमन लेने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -4(\cos 2x + 4\cos 4x) = -2^2(\cos 2x + 2^2\cos 4x)$।

(D) दी गई श्रेणी घातांकीय फलन $e^{-x}$ का मैकलॉरिन विस्तार है।
$y = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots = e^{-x}$.
अब,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}$.
इसके बाद,द्वितीय अवकलज ज्ञात करने के लिए $\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = -(-e^{-x}) = e^{-x}$.
चूंकि $y = e^{-x}$,इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} = y$.

(A) दिया गया समीकरण: $x = A \cos 4t + B \sin 4t$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = -4A \sin 4t + 4B \cos 4t$
पुनः $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -16A \cos 4t - 16B \sin 4t$
$-16$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -16(A \cos 4t + B \sin 4t)$
चूंकि $x = A \cos 4t + B \sin 4t$ है,इसलिए $x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2x}{dt^2} = -16x$

(A) दिया गया है ${y^2} = a{x^2} + bx + c$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y\frac{{dy}}{{dx}} = 2ax + b \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{2ax + b}}{{2y}}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} + 2y\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = 2a$.
$2$ से विभाजित करने पर:
${\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} + y\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = a$.
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{2ax + b}}{{2y}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = a - {\left( {\frac{{2ax + b}}{{2y}}} \right)^2} = a - \frac{{{{(2ax + b)}^2}}}{{4{y^2}}}$.
$y\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{4a{y^2} - {{(2ax + b)}^2}}}{{4{y^2}}}$.
${y^2} = a{x^2} + bx + c$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4{y^3}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = 4a(a{x^2} + bx + c) - (4{a^2}{x^2} + 4abx + {b^2})$.
$4{y^3}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = 4{a^2}{x^2} + 4abx + 4ac - 4{a^2}{x^2} - 4abx - {b^2} = 4ac - {b^2}$.
अतः,${y^3}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{4ac - {b^2}}}{4}$,जो कि एक स्थिरांक है।

(D) दिया गया है कि $y = a^x \cdot b^{2x - 1}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln y = x \ln a + (2x - 1) \ln b$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln a + 2 \ln b$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = y(\ln a + \ln b^2) = y \ln(ab^2)$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{dy}{dx} \ln(ab^2)$।
$\frac{dy}{dx}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = [y \ln(ab^2)] \cdot \ln(ab^2) = y(\ln(ab^2))^2$।

(C) दिया गया है ${y^2} = p(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dx} = p'(x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{p'(x)}{2y}$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} = p''(x)$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{p'(x)}{2y}$ रखने पर,हमें $2 \left( \frac{p'(x)}{2y} \right)^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} = p''(x)$ प्राप्त होता है।
$2y \frac{d^2y}{dx^2} = p''(x) - \frac{(p'(x))^2}{2y^2} = p''(x) - \frac{(p'(x))^2}{2p(x)}$।
$y^2$ से गुणा करने पर,हमें $2y^3 \frac{d^2y}{dx^2} = p(x) p''(x) - \frac{1}{2} (p'(x))^2$ प्राप्त होता है।
अब,$2y^3 \frac{d^2y}{dx^2}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( 2y^3 \frac{d^2y}{dx^2} \right) = \frac{d}{dx} \left( p(x) p''(x) - \frac{1}{2} (p'(x))^2 \right)$।
$= p'(x) p''(x) + p(x) p'''(x) - \frac{1}{2} \cdot 2 p'(x) p''(x)$।
$= p'(x) p''(x) + p(x) p'''(x) - p'(x) p''(x) = p(x) p'''(x)$।

(B) दिया गया है $f(x)g(x) = 1$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 0$ --- $(i)$
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f''(x)g(x) + f'(x)g'(x) + f'(x)g'(x) + f(x)g''(x) = 0$
$f''(x)g(x) + 2f'(x)g'(x) + f(x)g''(x) = 0$ --- $(ii)$
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'''(x)g(x) + f''(x)g'(x) + 2f''(x)g'(x) + 2f'(x)g''(x) + f'(x)g''(x) + f(x)g'''(x) = 0$
$f'''(x)g(x) + 3f''(x)g'(x) + 3f'(x)g''(x) + f(x)g'''(x) = 0$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{f'''}{f'} - \frac{g'''}{g'} = 3\left( \frac{f''}{f} - \frac{g''}{g} \right)$.

(D) दिया गया है ${I_n} = \frac{d^n}{dx^n}(x^n \log x)$.
अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं ${I_n} = \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left( \frac{d}{dx}(x^n \log x) \right)$.
गुणन नियम का उपयोग करने पर: $\frac{d}{dx}(x^n \log x) = n x^{n-1} \log x + x^n \cdot \frac{1}{x} = n x^{n-1} \log x + x^{n-1}$.
अतः,${I_n} = \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(n x^{n-1} \log x + x^{n-1})$.
${I_n} = n \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{n-1} \log x) + \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{n-1})$.
परिभाषा के अनुसार,${I_{n-1}} = \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^{n-1} \log x)$.
साथ ही,$x^{n-1}$ का $(n-1)$-वाँ अवकलज $(n-1)!$ होता है।
इसलिए,${I_n} = n{I_{n-1}} + (n-1)!$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें ${I_n} - n{I_{n-1}} = (n-1)!$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: $y = a{x^{n + 1}} + b{x^{ - n}}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = a(n + 1){x^n} - bn{x^{ - n - 1}}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = a(n + 1)n{x^{n - 1}} - bn(-n - 1){x^{ - n - 2}}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = an(n + 1){x^{n - 1}} + bn(n + 1){x^{ - n - 2}}$
अब,${x^2}$ से गुणा करने पर:
${x^2}\frac{d^2y}{dx^2} = {x^2}[an(n + 1){x^{n - 1}} + bn(n + 1){x^{ - n - 2}}]$
${x^2}\frac{d^2y}{dx^2} = an(n + 1){x^{n + 1}} + bn(n + 1){x^{ - n}}$
${x^2}\frac{d^2y}{dx^2} = n(n + 1)[a{x^{n + 1}} + b{x^{ - n}}]$
चूंकि $y = a{x^{n + 1}} + b{x^{ - n}}$,इसलिए:
${x^2}\frac{d^2y}{dx^2} = n(n + 1)y$

(B) दिया गया है कि $f''(x) = 6(x - 1)$ है।
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f'(x) = \int 6(x - 1) dx = 3(x - 1)^2 + c_1$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(2, 1)$ पर स्पर्श रेखा $y = 3x - 5$ है,इसलिए $x = 2$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $f'(2) = 3$ है।
$f'(x)$ के व्यंजक में $x = 2$ रखने पर,$3 = 3(2 - 1)^2 + c_1$,जिसका अर्थ है $3 = 3 + c_1$,अतः $c_1 = 0$ है।
इस प्रकार,$f'(x) = 3(x - 1)^2$ है।
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$f(x) = \int 3(x - 1)^2 dx = (x - 1)^3 + c_2$ प्राप्त होता है।
चूंकि ग्राफ बिंदु $(2, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $f(2) = 1$ है।
$f(x)$ के व्यंजक में $x = 2$ रखने पर,$1 = (2 - 1)^3 + c_2$,जिसका अर्थ है $1 = 1 + c_2$,अतः $c_2 = 0$ है।
इसलिए,फलन $f(x) = (x - 1)^3$ है।

(B) दिया गया है कि $f''(x) = 6(x - 1)$ है।
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$f'(x) = \int 6(x - 1) \, dx = 3(x - 1)^2 + C_1$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(2, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y = 3x - 5$ है,इसलिए $x = 2$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $f'(2) = 3$ है।
$f'(x)$ में $x = 2$ रखने पर,$f'(2) = 3(2 - 1)^2 + C_1 = 3 + C_1$ प्राप्त होता है।
इसे $3$ के बराबर रखने पर,$3 + C_1 = 3$,जिसका अर्थ है कि $C_1 = 0$ है।
अतः,$f'(x) = 3(x - 1)^2$ है।
पुनः समाकलन करने पर,$f(x) = \int 3(x - 1)^2 \, dx = (x - 1)^3 + C_2$ प्राप्त होता है।
चूंकि ग्राफ बिंदु $(2, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $f(2) = 1$ है।
$f(x)$ में $x = 2$ रखने पर,$f(2) = (2 - 1)^3 + C_2 = 1 + C_2$ प्राप्त होता है।
इसे $1$ के बराबर रखने पर,$1 + C_2 = 1$,जिसका अर्थ है कि $C_2 = 0$ है।
इसलिए,फलन $f(x) = (x - 1)^3$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$.
अब,$y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left( \frac{dx}{dy} \right) = \frac{d}{dy} \left( \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dy} = \frac{dx}{dy} \cdot \frac{d}{dx} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \cdot \frac{d}{dx}$:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \left( \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \right)$.
घात नियम (power rule) लागू करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \left( \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \right) \cdot \left( -1 \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} \right)$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = - \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = - \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-3} \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)$.

(A) दिया गया समीकरण: ${x^p}{y^q} = {(x + y)^{p + q}}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$p \ln x + q \ln y = (p + q) \ln (x + y)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{p}{x} + \frac{q}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{p + q}{x + y} \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right)$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{q}{y} - \frac{p + q}{x + y} \right) = \frac{p + q}{x + y} - \frac{p}{x}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx + qy - py - qy}{y(x + y)} \right) = \frac{px + qx - px - py}{x(x + y)}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx - py}{y(x + y)} \right) = \frac{qx - py}{x(x + y)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$
भागफल नियम का उपयोग करके पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x(\frac{y}{x}) - y}{x^2} = \frac{y - y}{x^2} = 0$

(B) दिया गया है कि $x = \int\limits_0^y \frac{dt}{\sqrt{1 + t^2}}$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \int\limits_0^y \frac{dt}{\sqrt{1 + t^2}} \right)$
$1 = \frac{1}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \frac{dy}{dx}$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + y^2}$.
अब,$\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करने के लिए $\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\sqrt{1 + y^2})$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 + y^2}} \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx}$
यहाँ $\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 + y^2}$ का मान रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{y}{\sqrt{1 + y^2}} \cdot \sqrt{1 + y^2} = y$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है $y^2 = P(x)$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y y_1 = P'(x) \implies y y_1 = \frac{1}{2} P'(x)$.
पुनः अवकलन करने पर:
$y y_2 + y_1^2 = \frac{1}{2} P''(x)$.
$2y^2$ से गुणा करने पर:
$2y^3 y_2 + 2y^2 y_1^2 = y^2 P''(x) = P(x) P''(x)$.
चूंकि $y_1 = \frac{P'(x)}{2y}$,इसलिए $y_1^2 = \frac{(P'(x))^2}{4y^2} = \frac{(P'(x))^2}{4P(x)}$.
$y_1^2$ का मान रखने पर:
$2y^3 y_2 + 2P(x) \cdot \frac{(P'(x))^2}{4P(x)} = P(x) P''(x) \implies 2y^3 y_2 + \frac{1}{2} (P'(x))^2 = P(x) P''(x)$.
अतः,$2y^3 y_2 = P(x) P''(x) - \frac{1}{2} (P'(x))^2$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} (2y^3 y_2) = P'(x) P''(x) + P(x) P'''(x) - P'(x) P''(x) = P(x) P'''(x)$.
इसलिए,व्यंजक का मान $P(x) P'''(x)$ है।

(B) दिया गया है $y = x + e^x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 1 + e^x$.
अतः,$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1 + e^x} = (1 + e^x)^{-1}$.
चेन नियम का उपयोग करते हुए $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left( (1 + e^x)^{-1} \right) = -(1 + e^x)^{-2} \cdot \frac{d}{dy}(1 + e^x)$.
$\frac{d^2x}{dy^2} = -(1 + e^x)^{-2} \cdot e^x \cdot \frac{dx}{dy}$.
$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1 + e^x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{e^x}{(1 + e^x)^2} \cdot \frac{1}{1 + e^x} = -\frac{e^x}{(1 + e^x)^3}$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2y + y^3 = 2$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2y) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(2)$
$x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$
बिंदु $(1, 1)$ पर:
$(1)^2 \frac{dy}{dx} + 2(1)(1) + 3(1)^2 \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} + 2 + 3 \frac{dy}{dx} = 0$
$4 \frac{dy}{dx} = -2 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$
अब,$x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2 \frac{dy}{dx}) + \frac{d}{dx}(2xy) + \frac{d}{dx}(3y^2 \frac{dy}{dx}) = 0$
$(x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 2x \frac{dy}{dx}) + (2x \frac{dy}{dx} + 2y) + (3y^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 6y (\frac{dy}{dx})^2) = 0$
$x=1, y=1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$(1)^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 2(1)(-\frac{1}{2}) + 2(1)(-\frac{1}{2}) + 2(1) + 3(1)^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 6(1)(-\frac{1}{2})^2 = 0$
$\frac{d^2y}{dx^2} - 1 - 1 + 2 + 3 \frac{d^2y}{dx^2} + 6(\frac{1}{4}) = 0$
$4 \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{3}{2} = 0$
$4 \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{3}{2} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{3}{8}$

(C) दिया गया है $h'(x) = [f(x)]^2 + [g(x)]^2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h''(x) = 2f(x)f'(x) + 2g(x)g'(x)$।
चूंकि $f'(x) = g(x)$,इसलिए $g'(x) = f''(x) = -f(x)$।
इन मानों को $h''(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$h''(x) = 2f(x)g(x) + 2g(x)(-f(x)) = 2f(x)g(x) - 2f(x)g(x) = 0$।
चूंकि $h''(x) = 0$,इसलिए $h'(x)$ एक स्थिरांक $C$ होना चाहिए।
अतः,$h(x) = Cx + D$।
$h(0) = 2$ दिया गया है,जिससे $D = 2$ प्राप्त होता है।
$h(1) = 4$ दिया गया है,जिससे $C(1) + 2 = 4$,जिसका अर्थ है $C = 2$।
इसलिए,$h(x) = 2x + 2$।
यह $2$ ढाल और $2$ के $y$-अंतःखंड वाली एक सीधी रेखा है।

(D) मान लीजिए $y = f(e^x)$ है।
सबसे पहले,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = f'(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = f'(e^x) \cdot e^x$.
अब,गुणन नियम (product rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $\frac{dy}{dx}$ का अवकलन करके द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[f'(e^x) \cdot e^x]$
$= \frac{d}{dx}[f'(e^x)] \cdot e^x + f'(e^x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x)$
$= [f''(e^x) \cdot e^x] \cdot e^x + f'(e^x) \cdot e^x$
$= f''(e^x) \cdot e^{2x} + f'(e^x) \cdot e^x$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{dx}{dy} \right)^{-1} \right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left( \frac{dx}{dy} \right)^{-2} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{dx}{dy} \right)$.
चूंकि $\frac{d}{dx} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d}{dy}$,इसलिए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left( \frac{dx}{dy} \right)^{-2} \cdot \frac{dy}{dx} \cdot \frac{d}{dy} \left( \frac{dx}{dy} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left( \frac{dx}{dy} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{dx}{dy} \right)^{-1} \cdot \frac{d^2x}{dy^2} = -\left( \frac{dx}{dy} \right)^{-3} \cdot \frac{d^2x}{dy^2}$.
चूंकि $\frac{dx}{dy} = \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1}$,इसलिए $\left( \frac{dx}{dy} \right)^{-3} = \left( \frac{dy}{dx} \right)^3$.
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\left( \frac{dy}{dx} \right)^3 \cdot \frac{d^2x}{dy^2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{d^2x}{dy^2} \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + \frac{d^2y}{dx^2} = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,$K = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $y = at^2 + 2bt + c$ और $t = ax^2 + 2bx + c$ है।
सबसे पहले,चेन रूल का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$।
$\frac{dy}{dt} = 2at + 2b = 2(at + b)$।
$\frac{dt}{dx} = 2ax + 2b = 2(ax + b)$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = 2(at + b) \cdot 2(ax + b) = 4(at + b)(ax + b)$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4 \left[ \frac{d}{dx}(at + b) \cdot (ax + b) + (at + b) \cdot \frac{d}{dx}(ax + b) \right]$।
चूंकि $\frac{dt}{dx} = 2(ax + b)$,इसलिए $\frac{d}{dx}(at + b) = a \cdot \frac{dt}{dx} = 2a(ax + b)$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = 4 \left[ 2a(ax + b)^2 + (at + b) \cdot a \right] = 8a(ax + b)^2 + 4a(at + b)$।
अंत में,$\frac{d^3y}{dx^3}$ ज्ञात करने के लिए पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^3y}{dx^3} = 8a \cdot 2(ax + b) \cdot a + 4a \cdot \frac{d}{dx}(at + b) = 16a^2(ax + b) + 4a \cdot 2a(ax + b) = 16a^2(ax + b) + 8a^2(ax + b) = 24a^2(ax + b)$।

(A) माना $g(x) = f(x) - f(2x)$ है। तब $g'(x) = f'(x) - 2f'(2x)$ होगा।
दिया है $g'(1) = 5$,अतः $f'(1) - 2f'(2) = 5$ --- $(1)$.
दिया है $g'(2) = 7$,अतः $f'(2) - 2f'(4) = 7$ --- $(2)$.
हमें $x = 1$ पर $h(x) = f(x) - f(4x)$ का अवकलज ज्ञात करना है।
$h'(x) = f'(x) - 4f'(4x)$ होगा।
$x = 1$ पर,$h'(1) = f'(1) - 4f'(4)$ होगा।
समीकरण $(2)$ से,$f'(2) = 7 + 2f'(4)$ है।
$f'(2)$ का मान $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f'(1) - 2(7 + 2f'(4)) = 5$
$f'(1) - 14 - 4f'(4) = 5$
$f'(1) - 4f'(4) = 19$ प्राप्त होता है।
अतः,$h'(1) = 19$।

(D) दिया गया है $f(x) = e^{(x+1)^n}$.
प्रथम अवकलज: $f'(x) = e^{(x+1)^n} \cdot n(x+1)^{n-1} = f(x) \cdot n(x+1)^{n-1}$.
द्वितीय अवकलज: $f''(x) = f'(x) \cdot n(x+1)^{n-1} + f(x) \cdot n(n-1)(x+1)^{n-2}$.
$f'(x)$ का मान रखने पर: $f''(x) = f(x) \cdot [n(x+1)^{n-1}]^2 + f(x) \cdot n(n-1)(x+1)^{n-2}$.
$x=1$ पर,$f(1) = e^{2^n}$.
$f''(1) = e^{2^n} \cdot [n(2)^{n-1}]^2 + e^{2^n} \cdot n(n-1)(2)^{n-2}$.
$f''(1) = e^{2^n} \cdot [n^2 \cdot 2^{2n-2} + n(n-1) \cdot 2^{n-2}]$.
$f''(1) = e^{2^n} \cdot 2^{n-2} [n^2 \cdot 2^n + n(n-1)]$.
दिया गया है $f''(1) = 67 \cdot 2^n \cdot e^{2^n}$.
अतः,$2^{n-2} [n^2 \cdot 2^n + n^2 - n] = 67 \cdot 2^n$.
$2^{n-2}$ से भाग देने पर: $n^2 \cdot 2^n + n^2 - n = 67 \cdot 2^2 = 268$.
$n=4$ के लिए: $16 \cdot 2^4 + 16 - 4 = 16 \cdot 16 + 12 = 256 + 12 = 268$.
अतः,$n=4$ सही मान है।