Higher order derivatives Questions in Hindi

(A) दिया गया है $g(x) = \log(f(x))$ और $f(x+1) = x f(x)$।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log(f(x+1)) = \log(x) + \log(f(x))$।
इसका अर्थ है $g(x+1) = g(x) + \log(x)$,या $g(x+1) - g(x) = \log(x)$।
$x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर,हमें $g^{\prime \prime}(x+1) - g^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
हमें $g^{\prime \prime}\left(N+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right)$ ज्ञात करना है।
हम इसे एक टेलीस्कोपिंग योग के रूप में लिख सकते हैं:
$g^{\prime \prime}\left(N+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right) = \sum_{k=1}^{N} \left[ g^{\prime \prime}\left(k+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(k-\frac{1}{2}\right) \right]$।
संबंध $g^{\prime \prime}(x+1) - g^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2}$ का उपयोग करते हुए,हम $x = k - \frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$g^{\prime \prime}\left(k+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(k-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{(k-\frac{1}{2})^2} = -\frac{1}{(\frac{2k-1}{2})^2} = -\frac{4}{(2k-1)^2}$।
$k=1$ से $N$ तक योग करने पर:
$\sum_{k=1}^{N} -\frac{4}{(2k-1)^2} = -4 \left[ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{(2N-1)^2} \right]$।
यह $-4 \left\{ 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \ldots + \frac{1}{(2N-1)^2} \right\}$ में सरल हो जाता है।

(B) $x=2$ के परितः $P(x)$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$P(x) = P(2) + P^{\prime}(2)(x-2) + \frac{P^{\prime \prime}(2)}{2!}(x-2)^2$
दिया गया है $P(2)=-1, P^{\prime}(2)=0, P^{\prime \prime}(2)=2$:
$P(x) = -1 + 0(x-2) + \frac{2}{2}(x-2)^2$
$P(x) = -1 + (x-2)^2$
अब,$x=1.001$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P(1.001) = -1 + (1.001-2)^2$
$P(1.001) = -1 + (-0.999)^2$
$P(1.001) = -1 + 0.998001$
$P(1.001) = -0.001999$
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $-0.002$ है।

(B) दिया गया है $y = (\tan^{-1} x)^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^2}$.
दोनों पक्षों को $(1+x^2)$ से गुणा करने पर:
$(1+x^2) \frac{dy}{dx} = 2 \tan^{-1} x$.
बाईं ओर गुणन नियम का उपयोग करते हुए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(1+x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot (2x) = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2}$.
पूरे समीकरण को $(1+x^2)$ से गुणा करने पर:
$(1+x^2)^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x(1+x^2) \frac{dy}{dx} = 2$.
अतः,मान $2$ है।

(C) दिया गया है $y = 3 e^{5 x} + 5 e^{3 x}$।
सबसे पहले,प्रथम अवकलज $\frac{d y}{d x}$ ज्ञात करें:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(3 e^{5 x} + 5 e^{3 x}) = 3(5 e^{5 x}) + 5(3 e^{3 x}) = 15 e^{5 x} + 15 e^{3 x}$।
इसके बाद,द्वितीय अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x}(15 e^{5 x} + 15 e^{3 x}) = 15(5 e^{5 x}) + 15(3 e^{3 x}) = 75 e^{5 x} + 45 e^{3 x}$।
अब,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 8 \frac{d y}{d x}$ की गणना करें:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 8 \frac{d y}{d x} = (75 e^{5 x} + 45 e^{3 x}) - 8(15 e^{5 x} + 15 e^{3 x})$
$= 75 e^{5 x} + 45 e^{3 x} - 120 e^{5 x} - 120 e^{3 x}$
$= -45 e^{5 x} - 75 e^{3 x}$
$= -15(3 e^{5 x} + 5 e^{3 x})$
$= -15 y$।

(B) दिया गया है $(a+bx) e^{\frac{y}{x}}=x$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(a+bx) + \frac{y}{x} = \ln x$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{y}{x} = \ln x - \ln(a+bx) = \ln \left(\frac{x}{a+bx}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = x \ln \left(\frac{x}{a+bx}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \ln \left(\frac{x}{a+bx}\right) + x \cdot \frac{a+bx}{x} \cdot \frac{(a+bx)(1) - x(b)}{(a+bx)^2} = \frac{y}{x} + \frac{a}{(a+bx)}$.
इस प्रकार,$x \frac{dy}{dx} = y + \frac{ax}{a+bx}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} + \frac{(a+bx)(a) - ax(b)}{(a+bx)^2} = \frac{dy}{dx} + \frac{a^2}{(a+bx)^2}$.
अतः,$x \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{a^2}{(a+bx)^2}$.
$x \frac{dy}{dx} - y = \frac{ax}{a+bx}$ से,$\left(x \frac{dy}{dx} - y\right)^2 = \frac{a^2 x^2}{(a+bx)^2}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $x \frac{d^2y}{dx^2}$ से करने पर,$x^3 \frac{d^2y}{dx^2} = x^2 \cdot \frac{a^2}{(a+bx)^2} = \left(x \frac{dy}{dx} - y\right)^2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$x^{2} y^{5}=(x+y)^{7}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$2 \ln x + 5 \ln y = 7 \ln (x+y)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2}{x} + \frac{5}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{7}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{5}{y} - \frac{7}{x+y}\right) = \frac{7}{x+y} - \frac{2}{x}$.
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{5x + 5y - 7y}{y(x+y)}\right) = \frac{7x - 2x - 2y}{x(x+y)}$.
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{5x - 2y}{y(x+y)}\right) = \frac{5x - 2y}{x(x+y)}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^{2}}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ रखने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{x(y/x) - y}{x^{2}} = \frac{y - y}{x^{2}} = 0$.

(B) दिया गया है $x = \log t$ और $y = \frac{1}{t}$।
सबसे पहले,चेन नियम का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$।
चूंकि $y = t^{-1}$,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -t^{-2} = -\frac{1}{t^2}$।
चूंकि $x = \log t$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{-1/t^2}{1/t} = -\frac{1}{t} = -y$।
अब,$\frac{d^2 y}{dx^2}$ ज्ञात करने के लिए $\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-y) = -\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = -(-t^{-2}) \cdot t = t^{-1} = y$।
इस प्रकार,$\frac{d^2 y}{dx^2} = y$।

(D) दिया गया है कि $x = \sin \theta$ और $y = \sin^3 \theta$ है।
चूँकि $y = (\sin \theta)^3$,हम $x = \sin \theta$ को प्रतिस्थापित करके $y = x^3$ प्राप्त कर सकते हैं।
अब,$x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$।
इसके बाद,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{dx^2}$ ज्ञात करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$।
जब $\theta = \frac{\pi}{2}$ है,तो $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ होगा।
अतः $x = 1$ रखने पर:
$\left(\frac{d^2 y}{dx^2}\right)_{x=1} = 6(1) = 6$।

(C) दिया गया है $y=3 \cos (\log x)+4 \sin (\log x)$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = -3 \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x} + 4 \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}$.
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर:
$x y_1 = -3 \sin (\log x) + 4 \cos (\log x)$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (बाईं ओर गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$1 \cdot y_1 + x \cdot y_2 = -3 \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} - 4 \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}$.
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x y_1 + x^2 y_2 = -3 \cos (\log x) - 4 \sin (\log x)$.
दाईं ओर से $-1$ कॉमन लेने पर:
$x^2 y_2 + x y_1 = -(3 \cos (\log x) + 4 \sin (\log x))$.
चूंकि $y = 3 \cos (\log x) + 4 \sin (\log x)$,इसलिए:
$x^2 y_2 + x y_1 = -y$.

(D) दिया गया फलन $f(x) = b \cdot e^{ax} + a \cdot e^{bx}$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(b \cdot e^{ax} + a \cdot e^{bx}) = b \cdot a \cdot e^{ax} + a \cdot b \cdot e^{bx} = ab(e^{ax} + e^{bx})$.
इसके बाद,द्वितीय अवकलज $f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx}(ab \cdot e^{ax} + ab \cdot e^{bx}) = ab \cdot a \cdot e^{ax} + ab \cdot b \cdot e^{bx} = a^2b \cdot e^{ax} + ab^2 \cdot e^{bx}$.
अब,$x = 0$ पर मान ज्ञात करें:
$f^{\prime \prime}(0) = a^2b \cdot e^{a(0)} + ab^2 \cdot e^{b(0)} = a^2b(1) + ab^2(1) = a^2b + ab^2$.
$ab$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime \prime}(0) = ab(a + b)$.

(B) दिया गया है $y = (\sin^{-1} x)^2 + (\cos^{-1} x)^2$.
हम जानते हैं कि $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$y = (\sin^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2(\sin^{-1} x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + 2(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x) \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} (\sin^{-1} x - \frac{\pi}{2} + \sin^{-1} x) = \frac{2(2\sin^{-1} x - \frac{\pi}{2})}{\sqrt{1-x^2}}$.
$\sqrt{1-x^2}$ से गुणा करने पर: $\sqrt{1-x^2} y_1 = 4\sin^{-1} x - \pi$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\sqrt{1-x^2} y_2 + y_1 \cdot (\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}) = \frac{4}{\sqrt{1-x^2}}$.
पूरे समीकरण को $\sqrt{1-x^2}$ से गुणा करने पर: $(1-x^2) y_2 - x y_1 = 4$.

(C) दिया गया है $x = \sqrt{e^{\sin^{-1} t}}$ और $y = \sqrt{e^{\cos^{-1} t}}$.
$x$ और $y$ का गुणा करने पर:
$xy = \sqrt{e^{\sin^{-1} t}} \cdot \sqrt{e^{\cos^{-1} t}} = \sqrt{e^{\sin^{-1} t + \cos^{-1} t}}$.
चूंकि $\sin^{-1} t + \cos^{-1} t = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $xy = \sqrt{e^{\pi/2}}$,जो एक अचर पद है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} \quad ... (i)$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) = -\left( \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2} \right)$.
समीकरण $(i)$ से $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ रखने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\left( \frac{x(-\frac{y}{x}) - y}{x^2} \right) = -\left( \frac{-y - y}{x^2} \right) = -\left( \frac{-2y}{x^2} \right) = \frac{2y}{x^2}$.

(A) दिया गया है,$y^{2}=a x^{2}+b x+c$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2 y \frac{d y}{d x}=2 a x+b$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{d y}{d x} = \frac{2 a x + b}{2 y}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2(\frac{d y}{d x})^{2} + 2 y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 a$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $(\frac{d y}{d x})^{2} + y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = a$ प्राप्त होता है।
$\frac{d y}{d x} = \frac{2 a x + b}{2 y}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = a - (\frac{2 a x + b}{2 y})^{2}$ प्राप्त होता है।
$y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a y^{2} - (2 a x + b)^{2}}{4 y^{2}}$.
$y^{2} = a x^{2} + b x + c$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a (a x^{2} + b x + c) - (4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2})}{4 y^{2}}$ प्राप्त होता है।
$y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c - 4 a^{2} x^{2} - 4 a b x - b^{2}}{4 y^{2}}$.
$y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a c - b^{2}}{4 y^{2}}$.
दोनों पक्षों को $y^{2}$ से गुणा करने पर,हमें $y^{3} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a c - b^{2}}{4}$ प्राप्त होता है,जो कि एक स्थिरांक है।

(B) दिया गया है $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$.
प्रथम अवकलज: $\frac{dy}{dx} = a(n+1)x^n + b(-n)x^{-n-1}$.
द्वितीय अवकलज: $\frac{d^2y}{dx^2} = a(n+1)nx^{n-1} + b(-n)(-n-1)x^{-n-2}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = an(n+1)x^{n-1} + bn(n+1)x^{-n-2}$.
$x^2$ से गुणा करने पर: $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = an(n+1)x^{n+1} + bn(n+1)x^{-n}$.
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1) [a x^{n+1} + b x^{-n}]$.
चूँकि $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$,इसलिए $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1)y$.

(C) दिया गया है $y = a^x \cdot b^{2x-1}$।
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $y = a^x \cdot (b^2)^x \cdot b^{-1} = \frac{1}{b} (a b^2)^x$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log y = \log \left( \frac{1}{b} (a b^2)^x \right) = \log(1) - \log(b) + x \log(a b^2) = -\log b + x \log(a b^2)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log(a b^2)$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \log(a b^2)$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{dy}{dx} \log(a b^2)$।
$\frac{dy}{dx} = y \log(a b^2)$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{d^2 y}{d x^2} = (y \log(a b^2)) \cdot \log(a b^2) = y(\log(a b^2))^2$।

(D) माना $y = \log x$.
अतः,प्रथम अवकलज $y_1 = \frac{d}{dx}(\log x) = x^{-1}$ है।
द्वितीय अवकलज $y_2 = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2}$ है।
तृतीय अवकलज $y_3 = \frac{d}{dx}(-1 \cdot x^{-2}) = (-1)(-2) \cdot x^{-3} = 2 \cdot x^{-3}$ है।
चतुर्थ अवकलज $y_4 = \frac{d}{dx}(2 \cdot x^{-3}) = 2(-3) \cdot x^{-4} = -6 \cdot x^{-4} = -3! \cdot x^{-4}$ है।
इस पैटर्न को देखने पर,$n$-वां अवकलज $y_n = (-1)^{n-1} \cdot (n-1)! \cdot x^{-n}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{d^{n}}{d x^{n}}(\log x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^{n}}$।

(B) दिया गया है $f(x) = 3x^3 + Ax^2 + Bx + C$,जहाँ $A = 2f'(1)$,$B = f''(2)$,और $C = f'''(3)$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें:
$f'(x) = 9x^2 + 2Ax + B$
$f''(x) = 18x + 2A$
$f'''(x) = 18$
अब,स्थिरांकों का मान ज्ञात करें:
$f'''(3) = 18$,इसलिए $C = 18$ है।
$f''(2) = 18(2) + 2A = 36 + 2A$ है। चूँकि $B = f''(2)$,इसलिए $B = 36 + 2A$ है।
$f'(1) = 9(1)^2 + 2A(1) + B = 9 + 2A + B$ है। चूँकि $A = 2f'(1)$,इसलिए $A = 2(9 + 2A + B) = 18 + 4A + 2B$ है।
$B = 36 + 2A$ को $A$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$A = 18 + 4A + 2(36 + 2A)$
$A = 18 + 4A + 72 + 4A$
$A = 90 + 8A$
$-7A = 90 \implies A = -\frac{90}{7}$ है।
अब $B$ ज्ञात करें:
$B = 36 + 2(-\frac{90}{7}) = 36 - \frac{180}{7} = \frac{252 - 180}{7} = \frac{72}{7}$ है।
अतः,$f(x) = 3x^3 - \frac{90}{7}x^2 + \frac{72}{7}x + 18 = \frac{1}{7}(21x^3 - 90x^2 + 72x + 126)$ है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(D) दी गई दीर्घवृत्त का समीकरण: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{a^2} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$.
अब,भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{y} \right) = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{y(1) - x(dy/dx)}{y^2} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$ का मान रखने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{y - x(-b^2 x / a^2 y)}{y^2} \right) = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{a^2 y^2 + b^2 x^2}{a^2 y^3} \right)$.
चूंकि $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$,इसलिए $b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{b^2}{a^2} \cdot \left( \frac{a^2 b^2}{a^2 y^3} \right) = -\frac{b^4}{a^2 y^3}$.

(A) दिया गया है $y = A \cos nx + B \sin nx$ ...$(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = -An \sin nx + Bn \cos nx$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -An^2 \cos nx - Bn^2 \sin nx$
$-n^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -n^2 (A \cos nx + B \sin nx)$
समीकरण $(i)$ से $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -n^2 y$

(A) दिया गया है $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = a(n+1) x^n - bn x^{-n-1}$.
अब,द्वितीय अवकलज प्राप्त करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = a(n+1)n x^{n-1} - bn(-n-1) x^{-n-2}$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = a n(n+1) x^{n-1} + b n(n+1) x^{-n-2}$.
$n(n+1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = n(n+1) [a x^{n-1} + b x^{-n-2}]$.
दोनों पक्षों को $x^2$ से गुणा करने पर:
$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = n(n+1) [a x^{n+1} + b x^{-n}]$.
चूंकि $y = a x^{n+1} + b x^{-n}$,इसलिए $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = n(n+1) y$.

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$ जानते हैं।
दिया गया है $y = \cos^2\left(\frac{5x}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{5x}{2}\right)$,यहाँ $\theta = \frac{5x}{2}$ रखने पर।
अतः,$y = \cos\left(2 \times \frac{5x}{2}\right) = \cos(5x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(5x) \times \frac{d}{dx}(5x) = -5\sin(5x)$.
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -5 \times \cos(5x) \times \frac{d}{dx}(5x) = -5 \times 5 \cos(5x) = -25\cos(5x)$.
चूंकि $y = \cos(5x)$,इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} = -25y$.

(D) दिया गया है $y = 2 \sin x + 3 \cos x$।
सबसे पहले,प्रथम अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2 \cos x - 3 \sin x$।
इसके बाद,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $\frac{d^2y}{dx^2} = -2 \sin x - 3 \cos x$।
हम इसे $\frac{d^2y}{dx^2} = -(2 \sin x + 3 \cos x) = -y$ के रूप में लिख सकते हैं।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y + \frac{d^2y}{dx^2} = 0$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए समीकरण $y + A \frac{d^2y}{dx^2} = B$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 1$ और $B = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $y^2 = ax^2 + bx + c$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 2ax + b$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2ax + b}{2y}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{2ax + b}{2y} \right) = \frac{2a(2y) - (2ax + b)(2 \frac{dy}{dx})}{4y^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2ax + b}{2y}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4ay - (2ax + b) \frac{2ax + b}{y}}{4y^2} = \frac{4ay^2 - (2ax + b)^2}{4y^3}$
अब,$y^3$ से गुणा करने पर:
$y^3 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4ay^2 - (2ax + b)^2}{4} = \frac{4a(ax^2 + bx + c) - (4a^2x^2 + 4abx + b^2)}{4}$
$y^3 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4a^2x^2 + 4abx + 4ac - 4a^2x^2 - 4abx - b^2}{4} = \frac{4ac - b^2}{4}$
चूंकि $a, b, c$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\frac{4ac - b^2}{4}$ एक स्थिरांक है।

(A) दिया गया है $y = e^{4x} \cos 5x$।
गुणन नियम का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = e^{4x}(-5 \sin 5x) + \cos 5x(4e^{4x}) = e^{4x}(4 \cos 5x - 5 \sin 5x)$।
अब,$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^{4x}(-20 \sin 5x - 25 \cos 5x) + (4 \cos 5x - 5 \sin 5x)(4e^{4x})$।
$x=0$ पर मान रखने पर:
$\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)_{x=0} = e^{0}(-20 \sin 0 - 25 \cos 0) + (4 \cos 0 - 5 \sin 0)(4e^{0})$।
चूंकि $\sin 0 = 0$ और $\cos 0 = 1$:
$\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)_{x=0} = 1(0 - 25) + (4 - 0)(4) = -25 + 16 = -9$।

(A) दिया गया है $\sqrt{x+y}+\sqrt{y-x}=5$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\sqrt{y-x}=5-\sqrt{x+y}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y-x = 25 + (x+y) - 10\sqrt{x+y}$.
सरल करने पर,$-2x = 25 - 10\sqrt{x+y}$,जिससे $10\sqrt{x+y} = 2x + 25$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$10 \times \frac{1}{2\sqrt{x+y}} \times (1 + \frac{dy}{dx}) = 2$.
$\frac{5}{\sqrt{x+y}} \times (1 + \frac{dy}{dx}) = 2$.
$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{2\sqrt{x+y}}{5}$.
$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{5} \times \frac{1}{2\sqrt{x+y}} \times (1 + \frac{dy}{dx})$.
पिछले चरण से $(1 + \frac{dy}{dx})$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{5\sqrt{x+y}} \times \frac{2\sqrt{x+y}}{5} = \frac{2}{25}$.

(D) हमें फलन $y = \cos^{2}\left(\frac{5x}{2}\right) - \sin^{2}\left(\frac{5x}{2}\right)$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(2\theta) = \cos^{2}(\theta) - \sin^{2}(\theta)$ का उपयोग करके,हम $\theta = \frac{5x}{2}$ रखकर व्यंजक को सरल कर सकते हैं।
अतः,$y = \cos\left(2 \times \frac{5x}{2}\right) = \cos(5x)$।
अब,हम $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos(5x)) = -5 \sin(5x)$।
इसके बाद,हम $x$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}(-5 \sin(5x)) = -5 \times 5 \cos(5x) = -25 \cos(5x)$।
चूंकि $y = \cos(5x)$,हम व्यंजक में $y$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -25y$।

(D) दिया गया है कि $h(x) = [f(x)]^2 + [g(x)]^2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2g(x)g^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f^{\prime}(x) = g(x)$,इसलिए $g^{\prime}(x) = f^{\prime \prime}(x)$ होगा।
दिया गया है कि $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$,इन मानों को अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)g(x) + 2g(x)(-f(x)) = 2f(x)g(x) - 2f(x)g(x) = 0$।
चूंकि $h^{\prime}(x) = 0$ है,इसलिए $h(x)$ एक अचर फलन है।
अतः,$h(5) = h(10) = 1$ होगा।

(B) दिया गया है $h(x) = [f(x)]^2 + [g(x)]^2$।
$x$ के सापेक्ष $h(x)$ का अवकलन करने पर:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2g(x)g^{\prime}(x)$।
चूंकि $f^{\prime}(x) = g(x)$,इसलिए $f^{\prime \prime}(x) = g^{\prime}(x)$ होगा।
दिया गया है $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$,अतः $g^{\prime}(x) = -f(x)$ होगा।
इन मानों को अवकलन समीकरण में रखने पर:
$h^{\prime}(x) = 2f(x)g(x) + 2g(x)(-f(x)) = 2f(x)g(x) - 2f(x)g(x) = 0$।
चूंकि $h^{\prime}(x) = 0$,इसलिए $h(x)$ एक अचर फलन है।
अतः,$h(5) = h(10) = 1$।

(C) दिया गया समीकरण $y = 7 \sin x + 5 \cos x$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(7 \sin x + 5 \cos x) = 7 \cos x - 5 \sin x$.
इसके बाद,$x$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(7 \cos x - 5 \sin x) = -7 \sin x - 5 \cos x$.
व्यंजक से $-1$ कॉमन लेने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -(7 \sin x + 5 \cos x)$.
चूंकि $y = 7 \sin x + 5 \cos x$,हम समीकरण में $y$ का मान प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -y$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} - my = 0$ से करने पर,हमें $-m = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $m = -1$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया समीकरण $y = 100 e^{2x} + 200 e^{-2x}$ है।
सबसे पहले,प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = 100 \cdot 2 e^{2x} + 200 \cdot (-2) e^{-2x} = 200 e^{2x} - 400 e^{-2x}$.
इसके बाद,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{dx^2}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 200 \cdot 2 e^{2x} - 400 \cdot (-2) e^{-2x} = 400 e^{2x} + 800 e^{-2x}$.
इस व्यंजक से $4$ कॉमन लेने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 4(100 e^{2x} + 200 e^{-2x})$.
चूंकि $y = 100 e^{2x} + 200 e^{-2x}$,हम समीकरण में $y$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 4y$.
इसकी तुलना $\frac{d^2 y}{dx^2} = ay$ से करने पर,हमें $a = 4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $x+1 = e^{-y}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(x+1) = -y$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = -\ln(x+1)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1}$ प्राप्त होता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{d^2 y}{d x^2} = -(-1)(x+1)^{-2} = \frac{1}{(x+1)^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1}$,इसलिए $\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \left(-\frac{1}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{(x+1)^2}$ होता है।
अतः,$\frac{d^2 y}{d x^2} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^2$।

(C) दिया गया है $x = \sin y$,अतः $y = \arcsin x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = (1 - x^2)^{-1/2}$ प्राप्त होता है।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{2}(1 - x^2)^{-3/2} \cdot \frac{d}{dx}(1 - x^2)$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{2}(1 - x^2)^{-3/2} \cdot (-2x)$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{x}{(1 - x^2)^{3/2}}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है $y = 5 \cos x - 3 \sin x$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(5 \cos x - 3 \sin x) = -5 \sin x - 3 \cos x$.
अब,द्वितीय अवकलज प्राप्त करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d x}(-5 \sin x - 3 \cos x) = -5 \cos x - 3(-\sin x) = -5 \cos x + 3 \sin x$.
$-1$ कॉमन लेने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = -(5 \cos x - 3 \sin x)$.
चूंकि $y = 5 \cos x - 3 \sin x$,इसलिए:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = -y$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया समीकरण $e^y(x+1)=1$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(e^y) + \ln(x+1) = \ln(1)$.
$y + \ln(x+1) = 0$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x+1} = 0$.
अतः,$\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1} = -(x+1)^{-1}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^2 y}{d x^2} = -(-1)(x+1)^{-2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.
चूंकि $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1}$,इसलिए $\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \left(-\frac{1}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{(x+1)^2}$.
अतः,$\frac{d^2 y}{d x^2} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^2$.

(C) दिया गया है $y = \log_e(\log_e x)$.
सबसे पहले,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x) = \frac{1}{x \log_e x} = (x \log_e x)^{-1}$.
अब,घात नियम और गुणन नियम का उपयोग करके द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{dx^2}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -1(x \log_e x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x \log_e x)$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{(x \log_e x)^2} \cdot [1 \cdot \log_e x + x \cdot \frac{1}{x}] = -\frac{\log_e x + 1}{x^2 (\log_e x)^2}$.
चूंकि $\log_e x + 1 = \log_e x + \log_e e = \log_e(ex)$,इसलिए:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{\log_e(ex)}{x^2 (\log_e x)^2}$.

(A) दिया गया फलन $y = \tan^{-1} x$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$।
इसे $(1 + x^2) y_1 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अब,गुणन नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} [(1 + x^2) y_1] = \frac{d}{dx} (1)$।
$(1 + x^2) y_2 + y_1 (2x) = 0$।
अतः,$(1 + x^2) y_2 = -2x y_1$।

(C) दिया गया है $y = (\cos^{-1} x)^2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y_1 = 2(\cos^{-1} x) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{1-x^2} y_1 = -2 \cos^{-1} x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(1-x^2) y_1^2 = 4 (\cos^{-1} x)^2 = 4y$ प्राप्त होता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$(1-x^2) \cdot 2y_1 y_2 + y_1^2 (-2x) = 4y_1$ प्राप्त होता है।
$2y_1$ से भाग देने पर ($y_1 \neq 0$ मानते हुए),$(1-x^2) y_2 - x y_1 = 2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$(1-x^2) y_2 - x y_1 - 2 = 0$।
इसकी तुलना $(1-x^2) y_2 + p x y_1 + q = 0$ से करने पर,$p = -1$ और $q = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$p+q = -1 + (-2) = -3$।

(D) दिया गया है $ y = (\tan^{-1} x)^2 $.
सबसे पहले,$ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$ y_1 = \frac{dy}{dx} = 2(\tan^{-1} x) \cdot \frac{1}{1+x^2} $.
इसका अर्थ है $ (1+x^2) y_1 = 2 \tan^{-1} x $.
अब पुनः $ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$ (1+x^2) y_2 + y_1(2x) = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} $.
पूरे समीकरण को $ (1+x^2) $ से गुणा करने पर:
$ (1+x^2)^2 y_2 + 2x(1+x^2) y_1 = 2 $.
अतः,मान $ 2 $ है।

(C) दिया गया है,$h(x) = f(x) \cdot g(x)$ और $f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x) = c$.
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके $h(x)$ का प्रथम अवकलज ज्ञात करें:
$h^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime}(x)$.
अब,द्वितीय अवकलज $h^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करें:
$h^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx}[f^{\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime}(x)]$
$h^{\prime \prime}(x) = [f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x)] + [f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x) + f(x) \cdot g^{\prime \prime}(x)]$
$h^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime \prime}(x) + 2f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x)$.
चूंकि $f^{\prime}(x) \cdot g^{\prime}(x) = c$,इसलिए:
$h^{\prime \prime}(x) = f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{\prime \prime}(x) + 2c \quad \dots(i)$.
अब,व्यंजक का मान ज्ञात करें:
$\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)} + \frac{g^{\prime \prime}(x)}{g(x)} + \frac{2c}{f(x) \cdot g(x)} = \frac{f^{\prime \prime}(x) \cdot g(x) + g^{\prime \prime}(x) \cdot f(x) + 2c}{f(x) \cdot g(x)}$.
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{h^{\prime \prime}(x)}{h(x)}$.

(C) दिया गया है,$f(x) = b e^{ax} + a e^{bx}$।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(b e^{ax} + a e^{bx}) = b(a e^{ax}) + a(b e^{bx}) = ab e^{ax} + ab e^{bx}$।
अब,द्वितीय अवकलज प्राप्त करने के लिए $f^{\prime}(x)$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime \prime}(x) = \frac{d}{dx}(ab e^{ax} + ab e^{bx}) = ab(a e^{ax}) + ab(b e^{bx}) = a^2 b e^{ax} + ab^2 e^{bx}$।
अंत में,$x = 0$ रखने पर:
$f^{\prime \prime}(0) = a^2 b e^{a(0)} + ab^2 e^{b(0)} = a^2 b(1) + ab^2(1) = a^2 b + ab^2$।
$ab$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime \prime}(0) = ab(a + b)$।

(A) दिया गया है,$y = \log(\log x) \quad (1)$
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x} \quad (2)$
अब,समीकरण $(2)$ का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर (भागफल नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}((x \log x)^{-1}) = -1(x \log x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x \log x)$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{(x \log x)^2} \cdot [x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1]$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1 + \log x}{(x \log x)^2}$

(B) दिया गया है $y = \tan^{-1} \sqrt{x^{2}-1}$.
मान लीजिए $x = \sec \theta$,तो $\sqrt{x^{2}-1} = \tan \theta$.
अतः,$y = \tan^{-1}(\tan \theta) = \theta = \sec^{-1} x$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sec^{-1} x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}}$.
अब,द्वितीय अवकलज $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx} \left( (x(x^{2}-1)^{1/2})^{-1} \right) = -1 \cdot (x(x^{2}-1)^{1/2})^{-2} \cdot \frac{d}{dx} (x(x^{2}-1)^{1/2})$.
गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{d}{dx} (x(x^{2}-1)^{1/2}) = (x^{2}-1)^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2}(x^{2}-1)^{-1/2} \cdot 2x = \sqrt{x^{2}-1} + \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{x^{2}-1+x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}} = \frac{2x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-1}}$.
इस प्रकार,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = - \frac{1}{x^{2}(x^{2}-1)} \cdot \frac{2x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}-1}} = - \frac{2x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}-1)^{3/2}}$.
अंत में,अनुपात है:
$\frac{d^{2}y/dx^{2}}{dy/dx} = \left( - \frac{2x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}-1)^{3/2}} \right) \div \left( \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \right) = - \frac{2x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}-1)^{3/2}} \cdot x \sqrt{x^{2}-1} = - \frac{2x^{2}-1}{x(x^{2}-1)} = \frac{1-2x^{2}}{x(x^{2}-1)}$.

(A) दिया गया है,$y=e^{\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}}}, x>1$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\log _e y = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}} \log _e e = \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x \ldots}}}$.
चूंकि वर्गमूल के नीचे का व्यंजक दोहराया जा रहा है,हम लिख सकते हैं:
$\log _e y = \sqrt{x \log _e y}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\log _e y)^2 = x \log _e y$.
$\log _e y$ से विभाजित करने पर (चूंकि $x>1$,$y>1$,इसलिए $\log _e y \neq 0$):
$\log _e y = x$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 \implies \frac{d y}{d x} = y$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} = y$.
$x = \log _e 3$ पर,हमारे पास $\log _e y = \log _e 3$ है,जिसका अर्थ है $y = 3$.
अतः,$\frac{d^2 y}{d x^2} = y = 3$.

(D) दिया गया है,$\sqrt{r} = a e^{\theta \cot \alpha}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $r = a^{2} e^{2 \theta \cot \alpha}$ प्राप्त होता है।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dr}{d\theta} = a^{2} \cdot e^{2 \theta \cot \alpha} \cdot (2 \cot \alpha) = 2 a^{2} \cot \alpha \cdot e^{2 \theta \cot \alpha}$.
पुनः $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}r}{d\theta^{2}} = 2 a^{2} \cot \alpha \cdot e^{2 \theta \cot \alpha} \cdot (2 \cot \alpha) = 4 a^{2} \cot^{2} \alpha \cdot e^{2 \theta \cot \alpha}$.
चूंकि $r = a^{2} e^{2 \theta \cot \alpha}$,हम इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{d^{2}r}{d\theta^{2}} = 4 \cot^{2} \alpha \cdot (a^{2} e^{2 \theta \cot \alpha}) = 4 r \cot^{2} \alpha$.
अतः,$\frac{d^{2}r}{d\theta^{2}} - 4 r \cot^{2} \alpha = 0$.

(C) दिया गया है,$y = \cos^{2} \frac{3x}{2} - \sin^{2} \frac{3x}{2}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(2\theta) = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$ का उपयोग करते हुए,यहाँ $\theta = \frac{3x}{2}$ है,इसलिए $2\theta = 3x$ होगा।
अतः,$y = \cos(3x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)$.
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -3 \cdot \cos(3x) \cdot 3 = -9\cos(3x)$.
चूंकि $y = \cos(3x)$,इसलिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -9y$.

(A) दिया गया है,$f(x)=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}x^3+\ldots+x^n$.
द्विपद प्रमेय के अनुसार,हम जानते हैं कि $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots + x^n$.
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = (1+x)^n$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का प्रथम अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(1+x)^n = n(1+x)^{n-1}$.
इसके बाद,$f(x)$ का द्वितीय अवकलन करने पर:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[n(1+x)^{n-1}] = n(n-1)(1+x)^{n-2}$.
अंत में,द्वितीय अवकलन में $x=1$ रखने पर:
$f''(1) = n(n-1)(1+1)^{n-2} = n(n-1)2^{n-2}$.

(B) दिया गया है,$y = 2 x^{n+1} + 3 x^{-n} \dots (i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2(n+1)x^n + 3(-n)x^{-n-1} = 2(n+1)x^n - 3nx^{-n-1}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2(n+1)(n)x^{n-1} - 3n(-n-1)x^{-n-2}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = 2n(n+1)x^{n-1} + 3n(n+1)x^{-n-2}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1) [2x^{n-1} + 3x^{-n-2}]$
दोनों पक्षों को $x^2$ से गुणा करने पर:
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1) [2x^{n+1} + 3x^{-n}]$
समीकरण $(i)$ से $y$ का मान रखने पर:
$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = n(n+1)y$

(A) दिया गया है,$m \sin ^{-1} x = \log _{e} y$
$\Rightarrow y = e^{m \sin ^{-1} x}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y' = e^{m \sin ^{-1} x} \times \frac{m}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\Rightarrow \sqrt{1 - x^{2}} \cdot y' = m y$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1 - x^{2}) (y')^{2} = m^{2} y^{2}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(1 - x^{2}) \cdot 2 y' \cdot y'' + (y')^{2} (-2 x) = m^{2} \cdot 2 y y' $
दोनों पक्षों को $2 y'$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1 - x^{2}) y'' - x y' = m^{2} y$

(D) दिया गया है,$f^{\prime \prime}(x)+f(x)=0$ ... $(i)$
और $g(x)=[f(x)]^{2}+[f^{\prime}(x)]^{2}$।
$g(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2f^{\prime}(x)f^{\prime \prime}(x)$
समीकरण $(i)$ से $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$ रखने पर:
$g^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2f^{\prime}(x)(-f(x))$
$g^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) - 2f(x)f^{\prime}(x) = 0$।
चूँकि $g(x)$ का अवकलज $0$ है,इसलिए $g(x)$ एक अचर फलन है।
दिया गया है कि $g(3) = 8$,अतः सभी $x$ के लिए $g(x) = 8$ होगा।
इस प्रकार,$g(8) = 8$।

(A) दिया गया समीकरण: $f(x) = f'(x) + f''(x) + f'''(x) + \ldots$
मान लीजिए $f(x) = e^{kx}$। तब $f'(x) = ke^{kx}$,$f''(x) = k^2e^{kx}$,$f'''(x) = k^3e^{kx}$,इत्यादि।
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर:
$e^{kx} = ke^{kx} + k^2e^{kx} + k^3e^{kx} + \ldots$
$e^{kx}$ से भाग देने पर:
$1 = k + k^2 + k^3 + \ldots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = k$ और सार्व अनुपात $r = k$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
अतः,$1 = \frac{k}{1-k}$।
$1 - k = k \implies 2k = 1 \implies k = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,$f(x) = Ce^{x/2}$।
चूंकि $f(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $Ce^0 = 1$,जिसका अर्थ है $C = 1$।
अतः,$f(x) = e^{x/2}$।