यदि f(x) = e^{(x+1)^n}; (n in N) है,तो n का व | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = e^{(x+1)^n}$.प्रथम अवकलज: $f'(x) = e^{(x+1)^n} \cdot n(x+1)^{n-1} = f(x) \cdot n(x+1)^{n-1}$.द्वितीय अवकलज: $f''(x) = f'(x) \c

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$4$

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(D) दिया गया है $f(x) = e^{(x+1)^n}$.प्रथम अवकलज: $f'(x) = e^{(x+1)^n} \cdot n(x+1)^{n-1} = f(x) \cdot n(x+1)^{n-1}$.द्वितीय अवकलज: $f''(x) = f'(x) \cdot n(x+1)^{n-1} + f(x) \cdot n(n-1)(x+1)^{n-2}$.$f'(x)$ का मान रखने पर: $f''(x) = f(x) \cdot [n(x+1)^{n-1}]^2 + f(x) \cdot n(n-1)(x+1)^{n-2}$.$x=1$ पर,$f(1) = e^{2^n}$.$f''(1) = e^{2^n} \cdot [n(2)^{n-1}]^2 + e^{2^n} \cdot n(n-1)(2)^{n-2}$.$f''(1) = e^{2^n} \cdot [n^2 \cdot 2^{2n-2} + n(n-1) \cdot 2^{n-2}]$.$f''(1) = e^{2^n} \cdot 2^{n-2} [n^2 \cdot 2^n + n(n-1)]$.दिया गया है $f''(1) = 67 \cdot 2^n \cdot e^{2^n}$.अतः,$2^{n-2} [n^2 \cdot 2^n + n^2 - n] = 67 \cdot 2^n$.$2^{n-2}$ से भाग देने पर: $n^2 \cdot 2^n + n^2 - n = 67 \cdot 2^2 = 268$.$n=4$ के लिए: $16 \cdot 2^4 + 16 - 4 = 16 \cdot 16 + 12 = 256 + 12 = 268$.अतः,$n=4$ सही मान है।

यदि $f(x) = e^{(x+1)^n}; (n \in N)$ है,तो $n$ का वह मान जिसके लिए $f''(1) = 67(2^n e^{2^n})$ है,क्या होगा?

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