Differentiation of implicit function Questions in Hindi

(A) दिया गया समीकरण: $\log(x+y) = 2xy$ $(i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 2y + 2x \frac{dy}{dx}$ $(ii)$
$x=0$ पर,$(i)$ से: $\log(0+y) = 2(0)y \implies \log(y) = 0 \implies y = e^0 = 1$।
$x=0$ और $y=1$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{0+1} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 2(1) + 2(0) \frac{dy}{dx}$
$1 + \frac{dy}{dx} = 2$
$\frac{dy}{dx} = 2 - 1 = 1$
अतः,$x=0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान $1$ है।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $z$ के लिए,$\tan^{-1}(z) + \cot^{-1}(z) = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिए गए समीकरण $xy = \tan^{-1}(xy) + \cot^{-1}(xy)$ में $z = xy$ रखने पर,हमें $xy = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$
$x \frac{dy}{dx} + y(1) = 0$
$x \frac{dy}{dx} = -y$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$

(D) दिया गया है $a(4+x^2)=x$,अतः $a = \frac{x}{4+x^2}$.
$x=1$ पर,$a = \frac{1}{4+1^2} = \frac{1}{5}$.
$a(4+x^2)=x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{da}{dx}(4+x^2) + a(2x) = 1$.
$x=1$ और $a=\frac{1}{5}$ रखने पर:
$\frac{da}{dx}(4+1) + \frac{1}{5}(2(1)) = 1 \implies 5\frac{da}{dx} + \frac{2}{5} = 1 \implies 5\frac{da}{dx} = \frac{3}{5} \implies \frac{da}{dx} = \frac{3}{25}$.
दिया गया है $y = x^3 + a^2$,इसका $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2a\frac{da}{dx}$.
$x=1$,$a=\frac{1}{5}$ और $\frac{da}{dx}=\frac{3}{25}$ रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3(1)^2 + 2(\frac{1}{5})(\frac{3}{25}) = 3 + \frac{6}{125} = \frac{375+6}{125} = \frac{381}{125}$.

(C) माना $y = \log \left[f\left(e^x+2 x\right)\right]$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{f\left(e^x+2 x\right)} \cdot f^{\prime}\left(e^x+2 x\right) \cdot \frac{d}{dx}(e^x+2 x)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{f^{\prime}\left(e^x+2 x\right) \cdot (e^x+2)}{f\left(e^x+2 x\right)}$.
अब,$x=0$ पर मान ज्ञात करते हैं:
$x=0$ पर,$f$ का तर्क $e^0 + 2(0) = 1 + 0 = 1$ है।
अतः,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \frac{f^{\prime}(1) \cdot (e^0+2)}{f(1)}$.
दिया गया है कि $f(1)=3$ और $f^{\prime}(1)=2$ है:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \frac{2 \cdot (1+2)}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2$.

(D) दिया गया समीकरण $x = e^{\tan^{-1}\left(\frac{y-x^2}{x^2}\right)}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(x) = \tan^{-1}\left(\frac{y-x^2}{x^2}\right)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\tan(\ln x) = \frac{y-x^2}{x^2}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$y = x^2 \tan(\ln x) + x^2$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[x^2 \tan(\ln x)] + \frac{d}{dx}[x^2]$
$\frac{dy}{dx} = [2x \tan(\ln x) + x^2 \cdot \sec^2(\ln x) \cdot \frac{1}{x}] + 2x$
$\frac{dy}{dx} = 2x \tan(\ln x) + x \sec^2(\ln x) + 2x$।
अब,$x = 1$ पर मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} \Big|_{x=1} = 2(1) \tan(\ln 1) + 1 \sec^2(\ln 1) + 2(1)$
चूंकि $\ln 1 = 0$,$\tan 0 = 0$ और $\sec 0 = 1$ है:
$\frac{dy}{dx} \Big|_{x=1} = 2(0) + 1(1)^2 + 2 = 0 + 1 + 2 = 3$।

(C) दिया गया है कि $\tan y = \frac{x \sin \alpha}{1-x \cos \alpha}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\tan y) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x \sin \alpha}{1-x \cos \alpha}\right)$
$\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{(1-x \cos \alpha)(\sin \alpha) - (x \sin \alpha)(-\cos \alpha)}{(1-x \cos \alpha)^2}$
$\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\sin \alpha - x \sin \alpha \cos \alpha + x \sin \alpha \cos \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2} = \frac{\sin \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2}$
चूंकि $\tan y = \frac{x \sin \alpha}{1-x \cos \alpha}$,इसलिए $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + \frac{x^2 \sin^2 \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2} = \frac{(1-x \cos \alpha)^2 + x^2 \sin^2 \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2} = \frac{1 - 2x \cos \alpha + x^2 \cos^2 \alpha + x^2 \sin^2 \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2} = \frac{1 - 2x \cos \alpha + x^2}{(1-x \cos \alpha)^2}$।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1 - 2x \cos \alpha + x^2}{(1-x \cos \alpha)^2} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\sin \alpha}{(1-x \cos \alpha)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin \alpha}{x^2 - 2x \cos \alpha + 1}$।
इसकी तुलना $\frac{dy}{dx} = \frac{m}{x^2+2nx+1}$ से करने पर,हमें $m = \sin \alpha$ और $n = -\cos \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$m^2 + n^2 = \sin^2 \alpha + (-\cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $y=\sqrt{(x-\sin x)+\sqrt{(x-\sin x)+\sqrt{(x-\sin x)+\ldots}}}$ है।
हम इसे $y=\sqrt{(x-\sin x)+y}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = x - \sin x + y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dx} = 1 - \cos x + \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1 - \cos x$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $\frac{dy}{dx}(2y-1) = 1 - \cos x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1-\cos x}{2y-1}$.

(C) दिया गया है $f(x) = |\log 2 - \sin x|$। चूँकि $\log 2 \approx 0.693$ और $x=0$ के निकट $\sin x$ छोटा है,इसलिए $x=0$ के पड़ोस में $\log 2 - \sin x > 0$ है।
अतः,$x=0$ के निकट $f(x) = \log 2 - \sin x$ है।
तब $g(x) = f(f(x)) = \log 2 - \sin(\log 2 - \sin x)$।
चूँकि $g(x)$,$x=0$ के निकट अवकलनीय फलनों का संयोजन है,इसलिए यह $x=0$ पर अवकलनीय है।
अब,$g^{\prime}(x) = -\cos(\log 2 - \sin x) \cdot (-\cos x) = \cos(\log 2 - \sin x) \cdot \cos x$।
$x=0$ पर मान रखने पर: $g^{\prime}(0) = \cos(\log 2 - \sin 0) \cdot \cos 0 = \cos(\log 2) \cdot 1 = \cos(\log 2)$।

(A) दिया गया समीकरण $x^{3}+y^{3}-3 a x y=0$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x}(x^{3}) + \frac{d}{d x}(y^{3}) - 3 a \frac{d}{d x}(x y) = 0$
$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d y}{d x} - 3 a \left( x \frac{d y}{d x} + y \right) = 0$
$3$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + y^{2} \frac{d y}{d x} - a x \frac{d y}{d x} - a y = 0$
$\frac{d y}{d x}$ वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$\frac{d y}{d x} (y^{2} - a x) = a y - x^{2}$
अतः,$\frac{d y}{d x} = \frac{a y - x^{2}}{y^{2} - a x}$.

(D) दिया गया समीकरण: $x^{\frac{2}{5}} + y^{\frac{2}{5}} = a^{\frac{2}{5}}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{dx}(y^{\frac{2}{5}}) = \frac{d}{dx}(a^{\frac{2}{5}})$
घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{2}{5}x^{\frac{2}{5}-1} + \frac{2}{5}y^{\frac{2}{5}-1} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}} + \frac{2}{5}y^{-\frac{3}{5}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{5}$ से विभाजित करने पर:
$x^{-\frac{3}{5}} + y^{-\frac{3}{5}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$y^{-\frac{3}{5}} \cdot \frac{dy}{dx} = -x^{-\frac{3}{5}}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-\frac{3}{5}}}{y^{-\frac{3}{5}}}$
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{3}{5}}$
$\frac{dy}{dx} = -\sqrt[5]{\left(\frac{y}{x}\right)^3}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^{y} + y^{x} = a^{b}$ है।
मान लीजिए $u = x^{y}$ और $v = y^{x}$ है। तब $u + v = a^{b}$ होगा।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$u = x^{y}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log u = y \log x$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \implies \frac{du}{dx} = x^{y} (\frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx})$।
$x = 1, y = 2$ पर,$u = 1^{2} = 1$,इसलिए $\frac{du}{dx} = 1(\frac{2}{1} + \log 1 \frac{dy}{dx}) = 2$।
$v = y^{x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log v = x \log y$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \log y + \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} \implies \frac{dv}{dx} = y^{x} (\log y + \frac{x}{y} \frac{dy}{dx})$।
$x = 1, y = 2$ पर,$v = 2^{1} = 2$,इसलिए $\frac{dv}{dx} = 2(\log 2 + \frac{1}{2} \frac{dy}{dx}) = 2 \log 2 + \frac{dy}{dx}$।
इन मानों को योग के अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर: $2 + 2 \log 2 + \frac{dy}{dx} = 0$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -(2 + 2 \log 2) = -2(1 + \log 2)$।

(A) दिया गया समीकरण $y = \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}}}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = x + \sqrt{y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}}}$ प्राप्त होता है।
माना $u = \sqrt{y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}}}$,तो $y^2 = x + u$.
$u$ का वर्ग करने पर,$u^2 = y + \sqrt{x + \sqrt{y + \dots \infty}} = y + y = 2y$.
अतः,$u = \sqrt{2y}$.
$u$ का मान $y^2$ के समीकरण में रखने पर,$y^2 = x + \sqrt{2y}$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{2y}} \cdot 2 \frac{dy}{dx}$.
$2y \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2y}} \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} (2y - \frac{1}{\sqrt{2y}}) = 1$.
$\frac{dy}{dx} (\frac{2y\sqrt{2y} - 1}{\sqrt{2y}}) = 1$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{2y}}{2y\sqrt{2y} - 1}$.
वैकल्पिक रूप से,$y^2 - x = \sqrt{2y}$ से,वर्ग करने पर $(y^2 - x)^2 = 2y$.
अवकलन करने पर: $2(y^2 - x)(2y \frac{dy}{dx} - 1) = 2 \frac{dy}{dx}$.
$(y^2 - x)(2y \frac{dy}{dx} - 1) = \frac{dy}{dx}$.
$2y(y^2 - x) \frac{dy}{dx} - (y^2 - x) = \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx} (2y^3 - 2xy - 1) = y^2 - x$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - x}{2y^3 - 2xy - 1}$.

(A) दिया गया समीकरण $e^{y} + xy = e$ है।
$x = 0$ पर,$e^{y} + 0 = e$,जिसका अर्थ है $e^{y} = e$,इसलिए $y = 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(e^{y} + xy) = \frac{d}{dx}(e)$
$e^{y} \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$(x, y) = (0, 1)$ पर:
$e^{1} \frac{dy}{dx} + 1 + 0 = 0 \implies e \frac{dy}{dx} = -1 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(e^{y} \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx}) = 0$
$e^{y} (\frac{dy}{dx})^2 + e^{y} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$
$e^{y} (\frac{dy}{dx})^2 + e^{y} \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$ प्राप्त होता है।
$x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ का मान रखने पर:
$e(-\frac{1}{e})^2 + e \frac{d^2y}{dx^2} + 2(-\frac{1}{e}) + 0 = 0$
$\frac{1}{e} + e \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$।
अतः क्रमित युग्म $(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2})$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $x \cdot \log_{e}(\log_{e} x) - x^2 + y^2 = 4$.
सबसे पहले,$x=e$ पर $y$ का मान ज्ञात करें:
$e \cdot \log_{e}(\log_{e} e) - e^2 + y^2 = 4$.
चूंकि $\log_{e} e = 1$ और $\log_{e} 1 = 0$,हमारे पास $e \cdot 0 - e^2 + y^2 = 4$ है,जिसका अर्थ है $y^2 = 4 + e^2$.
चूंकि $y > 0$,इसलिए $y = \sqrt{4 + e^2}$.
अब,दिए गए समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}[x \cdot \log_{e}(\log_{e} x)] - \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = 0$.
पहले पद के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$1 \cdot \log_{e}(\log_{e} x) + x \cdot \frac{1}{\log_{e} x} \cdot \frac{1}{x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$\log_{e}(\log_{e} x) + \frac{1}{\log_{e} x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$x=e$ रखने पर:
$\log_{e}(\log_{e} e) + \frac{1}{\log_{e} e} - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$0 + 1 - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$2y \frac{dy}{dx} = 2e - 1$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2y}$.
$y = \sqrt{4 + e^2}$ रखने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2\sqrt{4 + e^2}}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\log(x+y)=2xy$ ... $(i)$
$x=0$ पर,$\log(0+y)=2(0)y$,जिसका अर्थ है $\log(y)=0$,अतः $y=e^0=1$।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 2y + 2x \frac{dy}{dx}$
अब $x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$\frac{1}{0+1} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 2(1) + 2(0) \frac{dy}{dx}$
$1 + \frac{dy}{dx} = 2$
$\frac{dy}{dx} = 2 - 1 = 1$
अतः,$x=0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान $1$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $(2x)^{2y} = 4e^{2x-2y}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\log_e)$ लेने पर:
$2y \log_e(2x) = \log_e 4 + (2x - 2y) \log_e e$
चूँकि $\log_e 4 = 2 \log_e 2$ और $\log_e e = 1$,इसलिए:
$2y \log_e(2x) = 2 \log_e 2 + 2x - 2y$
$2$ से भाग देने पर:
$y \log_e(2x) = \log_e 2 + x - y$
$y$ के लिए हल करने पर:
$y(1 + \log_e 2x) = x + \log_e 2$
$y = \frac{x + \log_e 2}{1 + \log_e 2x} \quad \dots(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} (1 + \log_e 2x) + y \left( \frac{1}{x} \right) = 1$
$\frac{dy}{dx} (1 + \log_e 2x) = 1 - \frac{y}{x} = \frac{x - y}{x}$
$(i)$ से $y$ का मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} (1 + \log_e 2x) = \frac{x - \frac{x + \log_e 2}{1 + \log_e 2x}}{x} = \frac{x(1 + \log_e 2x) - (x + \log_e 2)}{x(1 + \log_e 2x)}$
$= \frac{x + x \log_e 2x - x - \log_e 2}{x(1 + \log_e 2x)} = \frac{x \log_e 2x - \log_e 2}{x(1 + \log_e 2x)}$
दोनों पक्षों को $(1 + \log_e 2x)$ से गुणा करने पर:
$(1 + \log_e 2x)^2 \frac{dy}{dx} = \frac{x \log_e 2x - \log_e 2}{x}$

(B) दिया गया है $y^{\frac{1}{m}}+y^{-\frac{1}{m}}=2x$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(y^{\frac{1}{m}}+y^{-\frac{1}{m}})^2 = (2x)^2$,जिसका अर्थ है $y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}+2 = 4x^2$,इसलिए $y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}} = 4x^2-2$ ... $(1)$
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{m} y^{\frac{1}{m}-1} - \frac{1}{m} y^{-\frac{1}{m}-1} = 2 \frac{dx}{dy}$ प्राप्त होता है।
$my$ से गुणा करने पर,$y^{\frac{1}{m}} - y^{-\frac{1}{m}} = 2my \frac{dx}{dy} = \frac{2my}{dy/dx}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(y^{\frac{1}{m}}-y^{-\frac{1}{m}})^2 = \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}-2 = \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$ ... $(2)$ हो जाता है।
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर,$(y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}+2) - (y^{\frac{2}{m}}+y^{-\frac{2}{m}}-2) = 4x^2 - \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$.
$4 = 4x^2 - \frac{4m^2y^2}{(dy/dx)^2}$.
$4$ से विभाजित करने पर,$1 = x^2 - \frac{m^2y^2}{(dy/dx)^2}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{m^2y^2}{(dy/dx)^2} = x^2-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x^2-1)(\frac{dy}{dx})^2 = m^2y^2$.

(A) दिया गया समीकरण: $e^x + e^y = e^{x+y}$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(e^x) + \frac{d}{dx}(e^y) = \frac{d}{dx}(e^{x+y})$
$e^x + e^y \cdot \frac{dy}{dx} = e^{x+y} \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$e^x + e^y \cdot \frac{dy}{dx} = e^{x+y} + e^{x+y} \cdot \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$e^y \cdot \frac{dy}{dx} - e^{x+y} \cdot \frac{dy}{dx} = e^{x+y} - e^x$
$\frac{dy}{dx} (e^y - e^{x+y}) = e^{x+y} - e^x$
चूंकि $e^{x+y} = e^x + e^y$,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} (e^y - (e^x + e^y)) = (e^x + e^y) - e^x$
$\frac{dy}{dx} (e^y - e^x - e^y) = e^y$
$\frac{dy}{dx} (-e^x) = e^y$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{e^y}{e^x} = -e^{y-x}$

(A) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan^{-1}(u) + \cot^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ होती है,जहाँ $u \in \mathbb{R}$ है।
दिए गए समीकरण $xy = \tan^{-1}(xy) + \cot^{-1}(xy)$ में इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें $xy = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$y + x \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ मिलता है।
बिंदु $(4, 2)$ पर इसका मान ज्ञात करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(4,2)} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\log (x+y) = \log (xy) + 3$
लघुगणक के गुणधर्म $\log a - \log b = \log (\frac{a}{b})$ का उपयोग करने पर:
$\log (x+y) - \log (xy) = 3$
$\log \left(\frac{x+y}{xy}\right) = 3$
लघुगणकीय रूप को घातांकीय रूप में बदलने पर:
$\frac{x+y}{xy} = e^3$
$\frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = e^3$
$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = e^3$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} (y^{-1}) + \frac{d}{dx} (x^{-1}) = \frac{d}{dx} (e^3)$
$-y^{-2} \frac{dy}{dx} - x^{-2} = 0$
$-\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2}{x^2} = -\left(\frac{y}{x}\right)^2$

(A) दिया गया समीकरण: $\log (x+y) = \log (xy) + a$
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $\log (x+y) - \log (xy) = a$
$\log \left( \frac{x+y}{xy} \right) = a$
$\frac{x+y}{xy} = e^a$
$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = e^a$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2}{x^2}$
$x=2$ और $y=4$ रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4^2}{2^2} = -\frac{16}{4} = -4$

(D) दिया गया समीकरण $e^{-y} \cdot y = x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y e^{-y}) = \frac{d}{dx}(x)$
गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$y \cdot \frac{d}{dx}(e^{-y}) + e^{-y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1$
$y \cdot (-e^{-y}) \frac{dy}{dx} + e^{-y} \frac{dy}{dx} = 1$
$\frac{dy}{dx}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{dy}{dx} (e^{-y} - y e^{-y}) = 1$
$\frac{dy}{dx} e^{-y} (1 - y) = 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{-y}(1 - y)}$
चूंकि $e^{-y} = \frac{x}{y}$,इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(\frac{x}{y})(1 - y)} = \frac{y}{x(1 - y)}$.

(B) दिया गया समीकरण: $y = x \tan y$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = x \sec^2 y \frac{d y}{d x} + \tan y$
$\frac{d y}{d x}$ को अलग करने पर:
$\frac{d y}{d x} - x \sec^2 y \frac{d y}{d x} = \tan y$
$\frac{d y}{d x} (1 - x \sec^2 y) = \tan y$
$\frac{d y}{d x} = \frac{\tan y}{1 - x \sec^2 y}$
अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{x \tan y}{x - x^2 \sec^2 y}$
चूंकि $y = x \tan y$,इसलिए $\tan y = \frac{y}{x}$:
$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x - x^2 (1 + \tan^2 y)} = \frac{y}{x - x^2 - x^2 \tan^2 y}$
$x^2 \tan^2 y = y^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x - x^2 - y^2}$

(A) दिया गया समीकरण: $y = 1 + xe^y$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{dy}{dx} = 0 + \left( x \cdot e^y \frac{dy}{dx} + e^y \cdot 1 \right)$
$\frac{dy}{dx} = xe^y \frac{dy}{dx} + e^y$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} - xe^y \frac{dy}{dx} = e^y$
$\frac{dy}{dx} (1 - xe^y) = e^y$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{1 - xe^y}$
मूल समीकरण से,हम जानते हैं कि $xe^y = y - 1$ है। इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{1 - (y - 1)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{1 - y + 1}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{2 - y}$

(C) दिया गया समीकरण: $\sin ^2 x + \cos ^2 y = 1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\sin ^2 x) + \frac{d}{dx}(\cos ^2 y) = \frac{d}{dx}(1)$
$2 \sin x \cos x + 2 \cos y (-\sin y) \frac{dy}{dx} = 0$
$\sin 2x - \sin 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\sin 2y \frac{dy}{dx} = \sin 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2x}{\sin 2y}$

(A) दिया गया समीकरण $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{xy}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} = 1$
$\frac{1}{\sqrt{y}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 1$
$y^{-1/2} + x^{-1/2} = 1$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{2} y^{-3/2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{2} x^{-3/2} = 0$
$-\frac{1}{2 y^{3/2}} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 x^{3/2}}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2 y^{3/2}}{2 x^{3/2}}$
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{3/2}$

(B) दिया गया है $\sin \left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\tan \frac{\pi}{5}$।
माना $K = \sin^{-1}(\tan \frac{\pi}{5})$,जो एक स्थिरांक है।
तब $\frac{x+y}{x-y} = K$।
$x+y = K(x-y)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$1 + \frac{dy}{dx} = K(1 - \frac{dy}{dx})$।
$1 + \frac{dy}{dx} = K - K\frac{dy}{dx}$।
$\frac{dy}{dx}(1+K) = K-1$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{K-1}{K+1}$।
$K = \frac{x+y}{x-y}$ का मान वापस रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{x+y}{x-y} - 1}{\frac{x+y}{x-y} + 1} = \frac{x+y - (x-y)}{x+y + (x-y)} = \frac{2y}{2x} = \frac{y}{x}$।

(A) दिया गया समीकरण $y \sqrt{1-x^{2}}+x \sqrt{1-y^{2}}=1$ है।
$x = \sin \alpha$ और $y = \sin \beta$ रखने पर,जहाँ $\alpha = \sin^{-1} x$ और $\beta = \sin^{-1} y$ है।
समीकरण $\sin \beta \cos \alpha + \sin \alpha \cos \beta = 1$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin(\alpha + \beta) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = \sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$।
मान वापस रखने पर,$\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) + \frac{d}{dx}(\sin^{-1} y) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$।
$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \frac{dy}{dx} = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}}$।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x}{\sqrt{1+x}} + \frac{y}{\sqrt{1+y}} = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{x}{\sqrt{1+x}} = -\frac{y}{\sqrt{1+y}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{x^2}{1+x} = \frac{y^2}{1+y}$
वज्र-गुणन करने पर: $x^2(1+y) = y^2(1+x)$
$x^2 + x^2y = y^2 + xy^2$
$x^2 - y^2 + x^2y - xy^2 = 0$
$(x-y)(x+y) + xy(x-y) = 0$
चूंकि $x \neq y$,हम $(x-y)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$x + y + xy = 0$
$y(1+x) = -x$
$y = -\frac{x}{1+x}$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+x-x}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x)^2}$

(B) दिया है: $\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=4$
$\therefore \frac{x+y}{\sqrt{x y}}=4 \Rightarrow x+y=4 \sqrt{x y}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x+y)^{2}=16 x y \Rightarrow x^{2}+2 x y+y^{2}=16 x y \Rightarrow x^{2}+y^{2}=14 x y$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 x+2 y \frac{d y}{d x}=14 \left(x \frac{d y}{d x}+y\right)$
$2$ से विभाजित करने पर:
$x+y \frac{d y}{d x}=7 x \frac{d y}{d x}+7 y$
$\frac{d y}{d x}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y \frac{d y}{d x}-7 x \frac{d y}{d x}=7 y-x$
$(y-7 x) \frac{d y}{d x}=7 y-x$
$\frac{d y}{d x}=\frac{7 y-x}{y-7 x}$

(C) दिया गया समीकरण $x^y = e^{x - y}$ है।
दोनों पक्षों का $\log$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $y \log x = (x - y) \log e = x - y$ . . . . . . $(i)$.
जब $x = 1$,तो $(i)$ में मान रखने पर $y \log 1 = 1 - y$,जिसका अर्थ है $0 = 1 - y$,अतः $y = 1$.
$x$ के सापेक्ष $(i)$ का अवकलन करने पर:
$y \cdot (\frac{1}{x}) + \log x \cdot \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} (\log x + 1) = 1 - \frac{y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x (\log x + 1)}$.
$x = 1$ और $y = 1$ पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 1}{1 (\log 1 + 1)} = \frac{0}{1} = 0$.

(D) दिया गया समीकरण: $x^{p} + y^{q} = (x + y)^{p + q}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर: $p \ln x + q \ln y = (p + q) \ln (x + y)$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{p}{x} + \frac{q}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{p + q}{x + y} \left( 1 + \frac{dy}{dx} \right)$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{p}{x} - \frac{p + q}{x + y} = \left( \frac{p + q}{x + y} - \frac{q}{y} \right) \frac{dy}{dx}$.
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
$\frac{p(x + y) - x(p + q)}{x(x + y)} = \left( \frac{y(p + q) - q(x + y)}{y(x + y)} \right) \frac{dy}{dx}$.
$\frac{px + py - px - qx}{x(x + y)} = \left( \frac{py + qy - qx - qy}{y(x + y)} \right) \frac{dy}{dx}$.
$\frac{py - qx}{x(x + y)} = \frac{py - qx}{y(x + y)} \cdot \frac{dy}{dx}$.
दोनों पक्षों से सामान्य पद $(py - qx)$ और $(x + y)$ को हटाने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(B) दिया गया है: $x^2+y^2=t+\frac{1}{t}$ और $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$.
प्रथम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x^2+y^2)^2 = (t+\frac{1}{t})^2$
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$.
चूंकि $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(t^2+\frac{1}{t^2})+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$.
इससे $2x^2y^2 = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2y^2 = 1$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2y^2) = \frac{d}{dx}(1)$
$x^2(2y\frac{dy}{dx}) + y^2(2x) = 0$.
$2x^2y\frac{dy}{dx} = -2xy^2$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^2}{2x^2y} = \frac{-y}{x}$.

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$x^{2}+y^{2}=t+\frac{1}{t}$ ... $(1)$
$x^{4}+y^{4}=t^{2}+\frac{1}{t^{2}}$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ का दोनों पक्षों में वर्ग करने पर:
$(x^{2}+y^{2})^{2} = (t+\frac{1}{t})^{2}$
$x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2} = t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2$
समीकरण $(2)$ से मान इस परिणाम में रखने पर:
$(t^{2}+\frac{1}{t^{2}}) + 2x^{2}y^{2} = t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2$
$2x^{2}y^{2} = 2$
$x^{2}y^{2} = 1$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$x^{2}(2y \frac{dy}{dx}) + y^{2}(2x) = 0$
$2x^{2}y \frac{dy}{dx} = -2xy^{2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^{2}}{2x^{2}y} = -\frac{y}{x}$

(D) दिया गया समीकरण: $\log (x+y) = \sin (x+y)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = \cos (x+y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\left(1 + \frac{dy}{dx}\right) \left(\frac{1}{x+y} - \cos (x+y)\right) = 0$
चूंकि $\log (x+y) = \sin (x+y)$,पद $\frac{1}{x+y} - \cos (x+y)$ डोमेन के सभी $x, y$ के लिए शून्य नहीं हो सकता है।
इसलिए,हमारे पास होना चाहिए:
$1 + \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -1$

(A) दिया गया समीकरण: $\log (x+y)=2xy \quad ...(i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x+y} \cdot (1 + y^{\prime}) = 2(x y^{\prime} + y)$
$y^{\prime}$ के लिए हल करने पर:
$1 + y^{\prime} = 2(x+y)(x y^{\prime} + y)$
$1 + y^{\prime} = 2x^2 y^{\prime} + 2xy + 2xy y^{\prime} + 2y^2$
$y^{\prime}(1 - 2x^2 - 2xy) = 2xy + 2y^2 - 1$
$y^{\prime} = \frac{2xy + 2y^2 - 1}{1 - 2x^2 - 2xy}$
अब,समीकरण $(i)$ में $x=0$ रखकर $y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\log(0+y) = 2(0)y$
$\log(y) = 0$
$y = e^0 = 1$
अब $x=0$ और $y=1$ को $y^{\prime}$ के व्यंजक में रखने पर:
$y^{\prime}(0) = \frac{2(0)(1) + 2(1)^2 - 1}{1 - 2(0)^2 - 2(0)(1)}$
$y^{\prime}(0) = \frac{0 + 2 - 1}{1 - 0 - 0} = \frac{1}{1} = 1$

(C) दिया गया है $x = e^{(x/y)}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log x = \frac{x}{y}$.
इसका अर्थ है $y \log x = x$.
गुणन नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} \cdot \log x + y \cdot \frac{1}{x} = 1$.
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x \log x \cdot \frac{dy}{dx} + y = x$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x \log x \cdot \frac{dy}{dx} = x - y$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{x-y}{x \log x}$.

(B) दिया गया है: $(2x)^{2y} = 4e^{2x-2y}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$2y \log(2x) = \log 4 + 2x - 2y$
$2y \log(2x) = 2 \log 2 + 2x - 2y$
$2$ से विभाजित करने पर:
$y \log(2x) = \log 2 + x - y$
$y(1 + \log 2x) = x + \log 2$
$y = \frac{x + \log 2}{1 + \log 2x}$ ... $(1)$
अब,$y \log(2x) = \log 2 + x - y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} \log(2x) + y \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = 0 + 1 - \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} \log(2x) + \frac{y}{x} = 1 - \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} (1 + \log 2x) = 1 - \frac{y}{x} = \frac{x - y}{x}$
$(1)$ से $y$ का मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} (1 + \log 2x) = \frac{x - \frac{x + \log 2}{1 + \log 2x}}{x} = \frac{x(1 + \log 2x) - x - \log 2}{x(1 + \log 2x)}$
$\frac{dy}{dx} (1 + \log 2x) = \frac{x + x \log 2x - x - \log 2}{x(1 + \log 2x)} = \frac{x \log 2x - \log 2}{x(1 + \log 2x)}$
दोनों पक्षों को $(1 + \log 2x)$ से गुणा करने पर:
$(1 + \log 2x)^2 \frac{dy}{dx} = \frac{x \log 2x - \log 2}{x}$

(D) दिया गया समीकरण: $(2x)^{2y} = 4e^{2x-2y}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$2y \log_e(2x) = \log_e(4) + 2x - 2y$
$2y \log_e(2x) + 2y = 2x + 2 \log_e(2)$
$y(1 + \log_e(2x)) = x + \log_e(2)$
$y = \frac{x + \log_e(2)}{1 + \log_e(2x)}$
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log_e(2x)) \cdot 1 - (x + \log_e(2)) \cdot \frac{1}{x}}{(1 + \log_e(2x))^2}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = 1 + \log_e(2x) - \frac{x + \log_e(2)}{x}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = 1 + \log_e(2x) - 1 - \frac{\log_e(2)}{x}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = \frac{x \log_e(2x) - \log_e(2)}{x}$

(A) दिया गया समीकरण $x^y \cdot y^x = 16$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$y \ln x + x \ln y = \ln 16$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y \ln x) + \frac{d}{dx}(x \ln y) = \frac{d}{dx}(\ln 16)$.
$\left( \frac{dy}{dx} \ln x + y \cdot \frac{1}{x} \right) + \left( 1 \cdot \ln y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} \right) = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने पर:
$\frac{dy}{dx} (\ln x + \frac{x}{y}) = -(\frac{y}{x} + \ln y)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{y}{x} + \ln y}{\ln x + \frac{x}{y}}$.
अब,बिंदु $(2, 2)$ का मान रखने पर:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(2, 2)} = -\frac{\frac{2}{2} + \ln 2}{\ln 2 + \frac{2}{2}} = -\frac{1 + \ln 2}{1 + \ln 2} = -1$.

(C) दिया गया है कि $\log _{10}\left(\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}\right)=2$.
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,$\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{3}+y^{3}}=10^{2}=100$.
अतः,$x^{3}-y^{3}=100(x^{3}+y^{3})$.
$x^{3}-y^{3}=100x^{3}+100y^{3}$.
$-99x^{3}=101y^{3}$.
$y$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$-99 \cdot 3x^{2} \frac{dx}{dy} = 101 \cdot 3y^{2}$.
$-297x^{2} \frac{dx}{dy} = 303y^{2}$.
$\frac{dx}{dy} = -\frac{303y^{2}}{297x^{2}} = -\frac{101y^{2}}{99x^{2}}$.
इस प्रकार,$\frac{dx}{dy} = \left(-\frac{101}{99}\right) \frac{y^{2}}{x^{2}}$.

(D) दिया है,$\log _{10}\left(\frac{x^3-y^3}{x^3+y^3}\right)=2$
$\Rightarrow \frac{x^3-y^3}{x^3+y^3} = 10^2 = 100$
$\Rightarrow x^3 - y^3 = 100x^3 + 100y^3$
$\Rightarrow -99x^3 = 101y^3$
$\Rightarrow y^3 = -\frac{99}{101}x^3$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3y^2 \frac{dy}{dx} = -\frac{99}{101} \cdot 3x^2$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{99}{101} \cdot \frac{x^2}{y^2}$
चूंकि $y^3 = -\frac{99}{101}x^3$,इसलिए $-\frac{99}{101} = \frac{y^3}{x^3}$
इस मान को अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{x^3} \cdot \frac{x^2}{y^2} = \frac{y}{x}$

(A) दिया गया है,$\log _{10}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)=2$.
लघुगणक की परिभाषा लागू करने पर,$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = 10^2 = 100$.
वज्र-गुणन करने पर,$x^2 - y^2 = 100(x^2 + y^2)$.
$x^2 - y^2 = 100x^2 + 100y^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2 - 100x^2 = 100y^2 + y^2$,जो सरल होकर $-99x^2 = 101y^2$ प्राप्त होता है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(-99x^2) = \frac{d}{dx}(101y^2)$.
$-99(2x) = 101(2y) \frac{dy}{dx}$.
$-198x = 202y \frac{dy}{dx}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{198x}{202y} = -\frac{99x}{101y}$.

(C) दिया गया समीकरण: $e^{x} + e^{y} = e^{x+y}$.
दोनों पक्षों को $e^{x+y}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{e^{x}}{e^{x+y}} + \frac{e^{y}}{e^{x+y}} = 1$
$e^{-y} + e^{-x} = 1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(e^{-y}) + \frac{d}{dx}(e^{-x}) = \frac{d}{dx}(1)$
$-e^{-y} \frac{dy}{dx} - e^{-x} = 0$
$-e^{-y} \frac{dy}{dx} = e^{-x}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{-x}}{e^{-y}}$
$\frac{dy}{dx} = -e^{y-x}$

(D) हम जानते हैं कि सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिया गया समीकरण $x^2 y^2 = \frac{\pi}{2}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2 y^2) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$
$2x y^2 + x^2 (2y \frac{dy}{dx}) = 0$
$2x$ से भाग देने पर:
$y^2 + xy \frac{dy}{dx} = 0$
$x = 1$ और $y = 2$ रखने पर:
$(2)^2 + (1)(2) \frac{dy}{dx} = 0$
$4 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$
$2 \frac{dy}{dx} = -4$
$\frac{dy}{dx} = -2$

(D) दिया है: $x^2+y^2=t+\frac{1}{t}$ और $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$.
पहले समीकरण का वर्ग करने पर: $(x^2+y^2)^2 = (t+\frac{1}{t})^2$.
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$.
$x^4+y^4 = t^2+\frac{1}{t^2}$ का मान रखने पर:
$(t^2+\frac{1}{t^2}) + 2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$.
$2x^2y^2 = 2 \implies x^2y^2 = 1$.
अतः,$y^2 = \frac{1}{x^2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^3y}$.

(C) दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}=1$ है।
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dy} + 2y = 0$
$2x \frac{dx}{dy} = -2y$
$\frac{dx}{dy} = -\frac{y}{x}$
अब,भागफल नियम का उपयोग करके $\frac{dx}{dy}$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = \frac{d}{dy} \left( -\frac{y}{x} \right) = -\left[ \frac{x(1) - y(\frac{dx}{dy})}{x^{2}} \right]$
$\frac{dx}{dy} = -\frac{y}{x}$ का मान रखने पर:
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = -\left[ \frac{x - y(-\frac{y}{x})}{x^{2}} \right]$
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = -\left[ \frac{x + \frac{y^{2}}{x}}{x^{2}} \right] = -\left[ \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{3}} \right]$
चूंकि $x^{2}+y^{2}=1$,इसलिए:
$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = -\frac{1}{x^{3}}$