Differentiation of implicit function Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण: $2x \sqrt{y} + 2y \sqrt{x} = 4x \sqrt{x} + y \sqrt{y}$.
पूरे समीकरण को $x \sqrt{x}$ से विभाजित करने पर:
$2 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + 2 \frac{y}{x} = 4 + \frac{y \sqrt{y}}{x \sqrt{x}}$.
माना $v = \sqrt{\frac{y}{x}}$,तब $v^2 = \frac{y}{x}$.
समीकरण $v^3 - 2v^2 - 2v + 4 = 0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर: $v^2(v - 2) - 2(v - 2) = 0 \Rightarrow (v^2 - 2)(v - 2) = 0$.
$(1, 4)$ बिंदु पर,$v = \sqrt{\frac{4}{1}} = 2$,जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
$f(\frac{y}{x}) = c$ रूप के समघात समीकरण के लिए,अवकलज $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ होता है।
$(1, 4)$ बिंदु पर,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{1} = 4$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $xe^{xy} = y + e^{\sin 2x}$ है।
सबसे पहले,$x = 0$ पर $y$ का मान ज्ञात करें:
समीकरण में $x = 0$ रखने पर: $0 \cdot e^0 = y + e^{\sin 0} \implies 0 = y + e^0 \implies 0 = y + 1 \implies y = -1$ प्राप्त होता है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(xe^{xy}) = \frac{d}{dx}(y + e^{\sin 2x})$
$e^{xy} + x \cdot e^{xy} \cdot (y + x \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + e^{\sin 2x} \cdot \cos 2x \cdot 2$ प्राप्त होता है।
अब,अवकलित समीकरण में $x = 0$ और $y = -1$ रखने पर:
$e^{0(-1)} + 0 \cdot e^{0(-1)} \cdot (-1 + 0 \cdot \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + e^{\sin 0} \cdot \cos 0 \cdot 2$
$1 + 0 = \frac{dy}{dx} + 1 \cdot 1 \cdot 2$
$1 = \frac{dy}{dx} + 2$
$\frac{dy}{dx} = 1 - 2 = -1$।

(A) दिया गया समीकरण $f(x) \cdot f(f(x)) = x^2 + 1$ है।
समीकरण में $x = 1$ रखने पर:
$f(1) \cdot f(f(1)) = 1^2 + 1$
चूंकि $f(1) = 2$,इसलिए $2 \cdot f(2) = 2$,जिसका अर्थ है $f(2) = 1$।
मूल समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करके):
$f'(x) \cdot f(f(x)) + f(x) \cdot f'(f(x)) \cdot f'(x) = 2x$।
अवकलित समीकरण में $x = 1$ रखने पर:
$f'(1) \cdot f(f(1)) + f(1) \cdot f'(f(1)) \cdot f'(1) = 2(1)$।
$f(1) = 2$,$f'(1) = k$,और $f(2) = 1$ का उपयोग करने पर:
$k \cdot f(2) + 2 \cdot f'(2) \cdot k = 2$।
$f(2) = 1$ रखने पर:
$k(1) + 2k \cdot f'(2) = 2$।
$f'(2)$ के लिए हल करने पर:
$2k \cdot f'(2) = 2 - k$
$f'(2) = \frac{2 - k}{2k} = \frac{2}{2k} - \frac{k}{2k} = \frac{1}{k} - \frac{1}{2}$।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin(x + y) + \cos(2x + 2y) = \ln(3(x + y))$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\cos(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) - \sin(2x + 2y) \cdot (2 + 2\frac{dy}{dx}) = \frac{1}{3(x + y)} \cdot 3(1 + \frac{dy}{dx})$.
दाहिनी ओर को सरल करने पर:
$\cos(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) - 2\sin(2x + 2y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) = \frac{1}{x + y} \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(1 + \frac{dy}{dx}) [\cos(x + y) - 2\sin(2x + 2y) - \frac{1}{x + y}] = 0$.
चूंकि वर्ग कोष्ठक में दिया गया पद शून्य नहीं है,इसलिए:
$1 + \frac{dy}{dx} = 0$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -1$.

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $y^3 - 3xy + 2 = 0$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3y^2 \frac{dy}{dx} - 3y - 3x \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}(3y^2 - 3x) = 3y$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$।
स्पर्श रेखा के क्षैतिज होने के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $y = 0$।
वक्र समीकरण में $y = 0$ रखने पर: $0^3 - 3x(0) + 2 = 0 \Rightarrow 2 = 0$,जो असंभव है।
अतः,ऐसे कोई बिंदु नहीं हैं जहाँ स्पर्श रेखा क्षैतिज हो,इसलिए $H = \phi$।
स्पर्श रेखा के ऊर्ध्वाधर होने के लिए,$\frac{dy}{dx} = \infty$,जिसका अर्थ है हर $y^2 - x = 0$,यानी $x = y^2$।
वक्र समीकरण में $x = y^2$ रखने पर: $y^3 - 3(y^2)y + 2 = 0$
$y^3 - 3y^3 + 2 = 0$
$-2y^3 + 2 = 0 \Rightarrow y^3 = 1 \Rightarrow y = 1$।
चूंकि $x = y^2$,इसलिए $x = 1^2 = 1$।
अतः,$V = \{(1, 1)\}$।

(C) दिया गया है $(x - y) f(x + y) - (x + y) f(x - y) = 4xy(x^2 - y^2)$।
$(x^2 - y^2) = (x+y)(x-y)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{f(x+y)}{x+y} - \frac{f(x-y)}{x-y} = 4xy$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $u = x+y$ और $v = x-y$ है। तब $x = \frac{u+v}{2}$ और $y = \frac{u-v}{2}$ है।
अतः $4xy = 4(\frac{u+v}{2})(\frac{u-v}{2}) = u^2 - v^2$ है।
इस प्रकार,$\frac{f(u)}{u} - \frac{f(v)}{v} = u^2 - v^2 \Rightarrow \frac{f(u)}{u} - u^2 = \frac{f(v)}{v} - v^2 = c$ है।
इसलिए,$f(u) = cu + u^3$ है। दिया गया है $f(1) = 2$,तो $c(1) + 1^3 = 2 \Rightarrow c = 1$ है।
अतः $f(x) = x + x^3$ है।
असमिका $\frac{|x^3|^{1/3}}{17} + \frac{|y^3|^{1/3}}{2} \le \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{|x|}{17} + \frac{|y|}{2} \le \frac{1}{4}$ बन जाती है।
यह एक समचतुर्भुज (rhombus) को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(\pm \frac{17}{4}, 0)$ और $(0, \pm \frac{1}{2})$ हैं।
क्षेत्रफल $= 4 \times \text{प्रथम चतुर्थांश में त्रिभुज का क्षेत्रफल} = 4 \times (\frac{1}{2} \times \frac{17}{4} \times \frac{1}{2}) = \frac{17}{4}$ है।
चूंकि $f(4) = 4 + 4^3 = 68$ है,इसलिए $\frac{f(4)}{16} = \frac{68}{16} = \frac{17}{4}$ है।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{f(4)}{16}$ है।

(B) दिया गया संबंध: $4x{e^{xy}} = y + 5{\sin ^2}x$.
सबसे पहले,$x=0$ पर $y$ का मान ज्ञात करें।
समीकरण में $x=0$ रखने पर: $4(0){e^{0}} = y + 5{\sin ^2}(0) \implies 0 = y + 0 \implies y(0) = 0$.
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(4x{e^{xy}}) = \frac{d}{dx}(y + 5{\sin ^2}x)$
$4{e^{xy}} + 4x{e^{xy}}(y + x y') = y' + 10\sin x \cos x$.
अवकलित समीकरण में $x=0$ और $y=0$ रखने पर:
$4{e^{0}} + 4(0){e^{0}}(0 + 0 \cdot y'(0)) = y'(0) + 10\sin(0)\cos(0)$.
$4(1) + 0 = y'(0) + 0$.
अतः,$y'(0) = 4$.

(C) दिया गया समीकरण: $\ln \left( {(e - 1){e^{xy}} + {x^2}} \right) = {x^2} + {y^2}$.
सबसे पहले,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{(e - 1){e^{xy}} + {x^2}} \cdot \left( {(e - 1){e^{xy}} \cdot \left( y + x \frac{dy}{dx} \right) + 2x} \right) = 2x + 2y \frac{dy}{dx}$.
अब,बिंदु $(x, y) = (1, 0)$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = 1, y = 0$ के लिए,लघुगणक के अंदर का पद $(e - 1){e^0} + 1^2 = e - 1 + 1 = e$ है।
अतः,$\ln(e) = 1^2 + 0^2 = 1$,जो संगत है।
अवकलित समीकरण में $(1, 0)$ रखने पर:
$\frac{1}{e} \cdot \left( {(e - 1){e^0} \cdot \left( 0 + 1 \cdot \frac{dy}{dx} \right) + 2(1)} \right) = 2(1) + 2(0) \cdot \frac{dy}{dx}$.
$\frac{1}{e} \cdot \left( {(e - 1) \frac{dy}{dx} + 2} \right) = 2$.
$(e - 1) \frac{dy}{dx} + 2 = 2e$.
$(e - 1) \frac{dy}{dx} = 2e - 2$.
$(e - 1) \frac{dy}{dx} = 2(e - 1)$.
अतः,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,0)} = 2$.

(D) दिया गया फलन समीकरण: $f(x + 2y) = 2yf(x) + xf(y) - 3xy + 1$.
$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर,$f(0) = 0 + 0 - 0 + 1$,अतः $f(0) = 1$.
$f'(x)$ ज्ञात करने के लिए,दिए गए समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर ($y$ को अचर मानकर):
$f'(x + 2y) = 2yf'(x) + f(y) - 3y$.
इस अवकलित समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
$f'(2y) = 2yf'(0) + f(y) - 3y$.
चूंकि $f'(0) = 1$,इसलिए $f'(2y) = 2y(1) + f(y) - 3y = f(y) - y$.
अब,मूल समीकरण का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर ($x$ को अचर मानकर):
$2f'(x + 2y) = 2f(x) + xf'(y) - 3x$.
$y = 0$ रखने पर:
$2f'(x) = 2f(x) + xf'(0) - 3x$.
चूंकि $f'(0) = 1$,इसलिए $2f'(x) = 2f(x) + x - 3x$,जो सरल होकर $2f'(x) = 2f(x) - 2x$ या $f'(x) - f(x) = -x$ बनता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है। समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
समीकरण को $e^{-x}$ से गुणा करने पर: $e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = -x e^{-x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $f(x) e^{-x} = x e^{-x} + e^{-x} + C$.
$f(x) = x + 1 + Ce^x$.
$f(0) = 1$ का उपयोग करने पर: $1 = 0 + 1 + C(1) \Rightarrow C = 0$.
अतः,$f(x) = x + 1$.
इसलिए,$f(2) = 2 + 1 = 3$.

(A) दिया गया है कि $f'(x) = f^2(x)$ और $f(0) = 0$ है।
यदि $f(x)$ शून्य फलन नहीं है,तो $\frac{f'(x)}{f^2(x)} = 1$ होगा।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$-\frac{1}{f(x)} = x + c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(x) = -\frac{1}{x+c}$।
हालाँकि,$f(0) = 0$ का अर्थ है $-\frac{1}{c} = 0$,जो संभव नहीं है।
अतः,$f(0) = 0$ और $f'(x) = f^2(x)$ को संतुष्ट करने वाला एकमात्र अवकलनीय फलन $f(x) = 0$ है।
यदि $f(x) = 0$ है,तो $f'(x) = 0$ और $f''(x) = 0$ होगा।
इसलिए,$\lim_{x \to 2} (f(x) + xf'(x) + x^2f''(x)) = 0 + 2(0) + 4(0) = 0$।
विकल्पों की जाँच करने पर,$A$ और $B$ दोनों $0$ परिणाम देते हैं,अतः $A$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया समीकरण $y = x^{x^{x...\infty}}$ है।
चूंकि घातांक अनंत है,हम $y = x^y$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\log y = \log(x^y) = y \log x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} \log x + y \cdot \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।
पूरे समीकरण को $xy$ से गुणा करने पर,$x \frac{dy}{dx} = xy \log x \frac{dy}{dx} + y^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x \frac{dy}{dx} - xy \log x \frac{dy}{dx} = y^2$ प्राप्त होता है।
$x \frac{dy}{dx}$ को कॉमन लेने पर,$x \frac{dy}{dx} (1 - y \log x) = y^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x (1 - y \log x) \frac{dy}{dx} = y^2$ है।

(A) दिया गया समीकरण $F(x, y) = {x^2}{e^y} + 2xy{e^x} + 13 = 0$ है।
अस्पष्ट फलन के अवकलन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial F}{\partial x} = 2x{e^y} + 2y{e^x} + 2xy{e^x}$.
इसके बाद,$y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{\partial F}{\partial y} = {x^2}{e^y} + 2x{e^x}$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x{e^y} + 2y{e^x} + 2xy{e^x}}{{x^2}{e^y} + 2x{e^x}}$.
अंश और हर को ${e^x}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x{e^{y-x}} + 2y + 2xy}{{x^2}{e^{y-x}} + 2x}$.
अंश से $2$ और हर से $x$ कॉमन लेने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2(x{e^{y-x}} + y(1+x))}{x(x{e^{y-x}} + 2)}$.
यह विकल्प $A$ के समान है।

(A) दी गई अनंत श्रेणी $y = x^2 + \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2 + \dots \infty}}$ है।
चूंकि श्रेणी अनंत है,हम देख सकते हैं कि व्यंजक स्वयं को दोहराता है,इसलिए हम लिख सकते हैं: $y = x^2 + \frac{1}{y}$.
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $y^2 = x^2 y + 1$.
अब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = (x^2 \frac{dy}{dx} + y \cdot 2x) + 0$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} - x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy$.
$\frac{dy}{dx} (2y - x^2) = 2xy$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{2y - x^2}$.

(A) दी गई असमिका $f'(x) \cos x \le f(x) \sin x$ है,जहाँ $x \ge 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $f'(x) \cos x - f(x) \sin x \le 0$ प्राप्त होता है।
यह व्यंजक $f(x) \cos x$ के अवकलज का रूप है,अर्थात् $\frac{d}{dx}(f(x) \cos x) \le 0$ है।
मान लीजिए $g(x) = f(x) \cos x$ है। चूँकि $g'(x) \le 0$ है,इसलिए फलन $g(x)$ अंतराल $x \ge 0$ के लिए एक ह्रासमान फलन है।
$x \in [0, \pi/2]$ के लिए,$\cos x \ge 0$ होता है। जैसे-जैसे $x$,$\pi/2$ के करीब पहुँचता है,$g(x) = f(x) \cos x$ को अ-ऋणात्मक रहना चाहिए क्योंकि $f(x) \ge 0$ और $\cos x \ge 0$ है।
हालाँकि,$x = \pi/2$ पर,$g(\pi/2) = f(\pi/2) \cdot 0 = 0$ होता है।
चूँकि $g(x)$ एक ह्रासमान फलन है और $x \in [0, \pi/2]$ के लिए $g(x) \ge 0$ है,तथा $g(\pi/2) = 0$ है,इसका अर्थ है कि $x \ge \pi/2$ के लिए $g(x) = 0$ होगा।
अतः,$f(2\pi) \cos(2\pi) = 0$,जिसका अर्थ है कि $f(2\pi) \cdot 1 = 0$,इसलिए $f(2\pi) = 0$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $x \ln(\ln x) - x^2 + y^2 = 4$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}[x \ln(\ln x)] - \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(4)$
प्रथम पद पर गुणन नियम का उपयोग करने पर: $1 \cdot \ln(\ln x) + x \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$x = e$ रखने पर,$\ln(\ln e) = \ln(1) = 0$ और $\ln e = 1$:
$0 + \frac{1}{1} - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$1 - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2y}$
अब,मूल समीकरण में $x = e$ रखकर $y$ का मान ज्ञात करें:
$e \ln(\ln e) - e^2 + y^2 = 4$
$e(0) - e^2 + y^2 = 4 \implies y^2 = 4 + e^2 \implies y = \sqrt{4 + e^2}$ (क्योंकि $y > 0$)
$y$ का मान $\frac{dy}{dx}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2\sqrt{4 + e^2}}$

(C) दिया गया समीकरण ${e^y} + xy = e$ है।
$x = 0$ पर,${e^y} + 0 = e \implies {e^y} = e \implies y = 1$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
${e^y} \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$.
$(0, 1)$ बिंदु पर,${e^1} \frac{dy}{dx} + 0 + 1 = 0 \implies e \frac{dy}{dx} = -1 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$.
अब,${e^y} \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
${e^y} \frac{d^2y}{dx^2} + {e^y} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 0$.
$x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ रखने पर:
$e \frac{d^2y}{dx^2} + e \left( -\frac{1}{e} \right)^2 + 0 + 2 \left( -\frac{1}{e} \right) = 0$.
$e \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{e} - \frac{2}{e} = 0$.
$e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$.
अतः,क्रमित युग्म $\left( -\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2} \right)$ प्राप्त होता है।

(B) माना $x = \sin \theta$ और $y = \sin \alpha$ है।
दिए गए समीकरण $y \sqrt{1-x^{2}} = k - x \sqrt{1-y^{2}}$ में मान रखने पर:
$\sin \alpha \cos \theta = k - \sin \theta \cos \alpha$
$\sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta = k$
$\sin(\alpha + \theta) = k$
$\alpha + \theta = \sin^{-1} k$
वापस मान रखने पर,$\sin^{-1} y + \sin^{-1} x = \sin^{-1} k$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}} \frac{dy}{dx} = 0$
$x = \frac{1}{2}$ पर,$y = -\frac{1}{4}$ है।
$\sqrt{1-x^{2}} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sqrt{1-y^{2}} = \sqrt{1 - (-\frac{1}{4})^{2}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$
इन मानों को रखने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}/2} + \frac{1}{\sqrt{15}/4} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{4}{\sqrt{15}} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{15}}{4} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.

(C) दिया गया समीकरण $x^{k}+y^{k}=a^{k}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$k x^{k-1} + k y^{k-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
$k$ से भाग देने पर ($k > 0$ होने के कारण):
$x^{k-1} + y^{k-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{k-1}}{y^{k-1}} = -\left(\frac{x}{y}\right)^{k-1}$.
हमें दिया गया है कि $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}} = -\left(\frac{x}{y}\right)^{-\frac{1}{3}}$.
$\frac{dy}{dx}$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$-\left(\frac{x}{y}\right)^{k-1} = -\left(\frac{x}{y}\right)^{-\frac{1}{3}}$.
घातांकों की तुलना करने पर:
$k - 1 = -\frac{1}{3}$.
$k$ के लिए हल करने पर:
$k = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(A) दिए गए समीकरण $y+\sin y=\cos x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y) + \frac{d}{dx}(\sin y) = \frac{d}{dx}(\cos x)$
$\frac{d}{dx}(\sin y)$ के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} + \cos y \cdot \frac{dy}{dx} = -\sin x$
$\frac{dy}{dx}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{dy}{dx}(1 + \cos y) = -\sin x$
अतः,अवकलज है:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin x}{1+\cos y}$
जहाँ $y \neq (2n+1)\pi$।

(A) दिया गया समीकरण: $2x + 3y = \sin x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(2x + 3y) = \frac{d}{dx}(\sin x)$
योग नियम और अवकलन के नियमों को लागू करने पर:
$\frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(3y) = \cos x$
$2 + 3 \frac{dy}{dx} = \cos x$
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर:
$3 \frac{dy}{dx} = \cos x - 2$
$3$ से भाग देने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x - 2}{3}$

(A) दिया गया समीकरण $2x + 3y = \sin y$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(3y) = \frac{d}{dx}(\sin y)$
$2 + 3 \frac{dy}{dx} = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx} - 3 \frac{dy}{dx}$
$2 = (\cos y - 3) \frac{dy}{dx}$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\cos y - 3}$.

(A) दिया गया समीकरण $ax + by^2 = \cos y$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(ax) + \frac{d}{dx}(by^2) = \frac{d}{dx}(\cos y)$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$a + b(2y \frac{dy}{dx}) = -\sin y \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a = -\sin y \frac{dy}{dx} - 2by \frac{dy}{dx}$
$a = -\frac{dy}{dx}(2by + \sin y)$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{-a}{2by + \sin y}$.

(A) दिया गया समीकरण $xy + y^2 = \tan x + y$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(xy + y^2) = \frac{d}{dx}(\tan x + y)$
$xy$ के लिए गुणन नियम और $y^2$ के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करने पर:
$y \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = \sec^2 x + \frac{dy}{dx}$
$y + x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = \sec^2 x + \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक तरफ करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \sec^2 x - y$
$(x + 2y - 1) \frac{dy}{dx} = \sec^2 x - y$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2 x - y}{x + 2y - 1}$.

(A) दिया गया समीकरण $x^{2}+xy+y^{2}=100$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^{2}+xy+y^{2}) = \frac{d}{dx}(100)$
योग नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^{2}) + \frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^{2}) = 0$
$xy$ के लिए गुणन नियम लागू करने पर:
$2x + (y \cdot 1 + x \cdot \frac{dy}{dx}) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$2x + y + (x + 2y) \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात करने पर:
$(x + 2y) \frac{dy}{dx} = -(2x + y)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x+y}{x+2y}$

(A) दिया गया समीकरण $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=81$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}) = \frac{d}{dx}(81)$
योग और गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^{3}) + \frac{d}{dx}(x^{2}y) + \frac{d}{dx}(xy^{2}) + \frac{d}{dx}(y^{3}) = 0$
$3x^{2} + (x^{2}\frac{dy}{dx} + y(2x)) + (x(2y\frac{dy}{dx}) + y^{2}(1)) + 3y^{2}\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$(x^{2} + 2xy + 3y^{2})\frac{dy}{dx} + (3x^{2} + 2xy + y^{2}) = 0$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-(3x^{2} + 2xy + y^{2})}{x^{2} + 2xy + 3y^{2}}$

(A) दिया गया संबंध $\sin^{2} y + \cos(xy) = \pi$ है।
दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dy}(\sin^{2} y) + \frac{d}{dy}(\cos(xy)) = \frac{d}{dy}(\pi)$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dy}(\sin^{2} y) = 2 \sin y \cos y \frac{dy}{dy} = \sin(2y)$.
दूसरे पद के लिए:
$\frac{d}{dy}(\cos(xy)) = -\sin(xy) \cdot \frac{d}{dy}(xy) = -\sin(xy) \cdot (x + y \frac{dx}{dy})$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\sin(2y) - \sin(xy) \cdot (x + y \frac{dx}{dy}) = 0$.
$\frac{dx}{dy}$ के लिए हल करने पर:
$\sin(2y) - x \sin(xy) - y \sin(xy) \frac{dx}{dy} = 0$.
$y \sin(xy) \frac{dx}{dy} = \sin(2y) - x \sin(xy)$.
अतः,$\frac{dx}{dy} = \frac{\sin(2y) - x \sin(xy)}{y \sin(xy)}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin^{2} x + \cos^{2} y = 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\sin^{2} x) + \frac{d}{dx}(\cos^{2} y) = \frac{d}{dx}(1)$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$2 \sin x \cos x + 2 \cos y (-\sin y) \frac{dy}{dx} = 0$
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin 2x - \sin 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर:
$\sin 2y \frac{dy}{dx} = \sin 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin 2x}{\sin 2y}$

(A) दिया गया है कि $y^{x}+x^{y}+x^{x}=a^{b}$.
मान लीजिए $u=y^{x}, v=x^{y}$ और $w=x^{x}$,तब $u+v+w=a^{b}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}+\frac{dw}{dx}=0$ ... $(1)$.
$u=y^{x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log u = x \log y$.
अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \cdot 1 \implies \frac{du}{dx} = y^{x} \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right)$ ... $(2)$.
$v=x^{y}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log v = y \log x$.
अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx} \implies \frac{dv}{dx} = x^{y} \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right)$ ... $(3)$.
$w=x^{x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log w = x \log x$.
अवकलन करने पर: $\frac{1}{w} \frac{dw}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 \implies \frac{dw}{dx} = x^{x}(1 + \log x)$ ... $(4)$.
$(2), (3), (4)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^{x} \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right) + x^{y} \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right) + x^{x}(1 + \log x) = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को अलग करने पर: $\frac{dy}{dx} (x \cdot y^{x-1} + x^{y} \log x) = -[y^{x} \log y + y \cdot x^{y-1} + x^{x}(1 + \log x)]$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{-[y^{x} \log y + y \cdot x^{y-1} + x^{x}(1 + \log x)]}{x \cdot y^{x-1} + x^{y} \log x}$.

(A) दिया गया फलन $x^{y} + y^{x} = 1$ है।
माना $u = x^{y}$ और $v = y^{x}$ है।
तब समीकरण $u + v = 1$ हो जाता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0$ $(1)$.
$u = x^{y}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log u = y \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx}$.
अतः,$\frac{du}{dx} = x^{y} \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right) = y x^{y-1} + x^{y} \log x \frac{dy}{dx}$ $(2)$.
$v = y^{x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log v = x \log y$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \cdot 1$.
अतः,$\frac{dv}{dx} = y^{x} \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right) = x y^{x-1} \frac{dy}{dx} + y^{x} \log y$ $(3)$.
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में रखने पर:
$y x^{y-1} + x^{y} \log x \frac{dy}{dx} + x y^{x-1} \frac{dy}{dx} + y^{x} \log y = 0$.
$\frac{dy}{dx} (x^{y} \log x + x y^{x-1}) = -(y x^{y-1} + y^{x} \log y)$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y x^{y-1} + y^{x} \log y}{x^{y} \log x + x y^{x-1}}$.

(A) दिया गया फलन $y^{x} = x^{y}$ है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \log y = y \log x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\log y \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{d}{dx}(\log y) = \log x \cdot \frac{d}{dx}(y) + y \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
$\log y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \log x \cdot \frac{dy}{dx} + y \cdot \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{x}{y} \frac{dy}{dx} - \log x \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \log y$
$\left( \frac{x}{y} - \log x \right) \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \log y$
$\left( \frac{x - y \log x}{y} \right) \frac{dy}{dx} = \frac{y - x \log y}{x}$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \left( \frac{y - x \log y}{x - y \log x} \right)$.

(A) दिया गया फलन $xy = e^{(x-y)}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln(xy) = \ln(e^{(x-y)})$
$\ln x + \ln y = (x - y) \ln e$
चूंकि $\ln e = 1$,इसलिए:
$\ln x + \ln y = x - y$
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\ln x) + \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{dy}{dx}$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक तरफ करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{1+y}{y}\right) = \frac{x-1}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(x-1)}{x(y+1)}$

(A) दिया गया समीकरण: $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{dx}(y^{\frac{2}{3}}) = \frac{d}{dx}(a^{\frac{2}{3}})$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{3}}}$
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{3}} = -\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$

(A) दिया गया समीकरण: $x \sqrt{1+y} + y \sqrt{1+x} = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x \sqrt{1+y} = -y \sqrt{1+x}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2(1+y) = y^2(1+x)$
विस्तार करने पर: $x^2 + x^2y = y^2 + xy^2$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 - y^2 = xy^2 - x^2y$
गुणनखंड करने पर: $(x-y)(x+y) = -xy(x-y)$
चूंकि $x \neq y$,हम $(x-y)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$x+y = -xy$
$y + xy = -x$
$y(1+x) = -x$
$y = -\frac{x}{1+x}$
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\left[ \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} \right]$
$\frac{dy}{dx} = -\left[ \frac{1+x-x}{(1+x)^2} \right] = -\frac{1}{(1+x)^2}$
अतः,सिद्ध हुआ।

दिया गया है कि,$\cos y = x \cos (a+y)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\cos y) = \frac{d}{dx}(x \cos (a+y))$
श्रृंखला नियम (chain rule) और गुणन नियम (product rule) का उपयोग करने पर:
$-\sin y \frac{dy}{dx} = \cos (a+y) \cdot (1) + x \cdot (-\sin (a+y)) \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x \sin (a+y) \frac{dy}{dx} - \sin y \frac{dy}{dx} = \cos (a+y)$
$\frac{dy}{dx} [x \sin (a+y) - \sin y] = \cos (a+y) \quad \dots(1)$
मूल समीकरण से,$x = \frac{\cos y}{\cos (a+y)}$। इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} \left[ \frac{\cos y}{\cos (a+y)} \sin (a+y) - \sin y \right] = \cos (a+y)$
$\frac{dy}{dx} \left[ \frac{\cos y \sin (a+y) - \sin y \cos (a+y)}{\cos (a+y)} \right] = \cos (a+y)$
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin(a+y-y)}{\cos (a+y)} \right] = \cos (a+y)$
$\frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin a}{\cos (a+y)} \right] = \cos (a+y)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos^2 (a+y)}{\sin a}$।
अतः सिद्ध हुआ।

(B) दिया गया वक्र का समीकरण $y=(1+x)^{2y}+\cos^{2}(\sin^{-1} x)$ है।
$x=0$ पर,$y=(1+0)^{2y}+\cos^{2}(\sin^{-1} 0) = 1+1 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,हमें बिंदु $(0, 2)$ पर अभिलंब ज्ञात करना है।
समीकरण को $y=e^{2y \ln(1+x)} + (1-x^2)$ के रूप में पुनः लिखने पर।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = e^{2y \ln(1+x)} \left[ 2y \cdot \frac{1}{1+x} + \ln(1+x) \cdot 2y' \right] - 2x$.
$x=0$ और $y=2$ रखने पर:
$y' = e^{2(2) \ln(1)} \left[ 2(2) \cdot \frac{1}{1+0} + \ln(1) \cdot 2y' \right] - 2(0)$.
$y' = e^0 [4 + 0] - 0 = 4$.
इस प्रकार,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 4$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{4}$ होगी।
बिंदु $(0, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -\frac{1}{4}(x - 0)$ है।
$4y - 8 = -x$,जिसे सरल करने पर $x + 4y = 8$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $y^{2}+\ln(\cos^{2}x) = y$ जहाँ $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.
$x=0$ पर,$\cos^{2}(0) = 1$,इसलिए $\ln(1) = 0$. समीकरण $y^{2} = y$ बन जाता है,जिसका अर्थ है $y(y-1) = 0$,अतः $y=0$ या $y=1$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2yy^{\prime} + \frac{1}{\cos^{2}x} \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) = y^{\prime}$.
सरल करने पर: $2yy^{\prime} - 2\tan x = y^{\prime}$.
$x=0$ पर,$y=0$ और $y=1$ दोनों के लिए,हमें $2y(0) - 2(0) = y^{\prime}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^{\prime}(0) = 0$.
पुनः अवकलन करने पर: $2y y^{\prime \prime} + 2(y^{\prime})^{2} - 2\sec^{2}x = y^{\prime \prime}$.
$x=0$ और $y^{\prime}(0)=0$ पर: $2y y^{\prime \prime} + 0 - 2(1) = y^{\prime \prime}$.
यदि $y=0$ है,तो $0 - 2 = y^{\prime \prime} \implies y^{\prime \prime}(0) = -2$.
यदि $y=1$ है,तो $2y^{\prime \prime} - 2 = y^{\prime \prime} \implies y^{\prime \prime}(0) = 2$.
दोनों स्थितियों में,$|y^{\prime \prime}(0)| = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया सीमा $L = \lim_{t \rightarrow x} \frac{t^{2} f^{2}(x) - x^{2} f^{2}(t)}{t - x} = 0$ है।
$t$ के सापेक्ष $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करने पर:
$L = \lim_{t \rightarrow x} \frac{2t f^{2}(x) - x^{2} \cdot 2f(t) f'(t)}{1} = 0$.
$t = x$ रखने पर:
$2x f^{2}(x) - 2x^{2} f(x) f'(x) = 0$.
$2x f(x)$ से भाग देने पर (चूंकि $x > 0$ और $f(x) > 0$):
$f(x) - x f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{x} dx \Rightarrow \ln|f(x)| = \ln|x| + C$.
चूंकि $f(x) > 0$ और $x > 0$,इसलिए $f(x) = Cx$ है।
$f(1) = e$ शर्त का उपयोग करने पर:
$e = C(1) \Rightarrow C = e$.
अतः,$f(x) = ex$ है।
यदि $f(x) = 1$ है,तो $ex = 1$,जिसका अर्थ है कि $x = \frac{1}{e}$।

(D) दिया गया है $\log _{e}(x+y)=4 x y$। $x=0$ पर,$\log _{e}(y)=0$,जिसका अर्थ है $y=1$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x+y} \left(1+\frac{d y}{d x}\right) = 4y + 4x \frac{d y}{d x}$।
$x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$\frac{1}{1} \left(1+\frac{d y}{d x}\right) = 4(1) + 4(0) \frac{d y}{d x} \Rightarrow 1+\frac{d y}{d x} = 4 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 3$।
अब,$1+\frac{d y}{d x} = (x+y)(4y + 4x \frac{d y}{d x})$ का अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (1+\frac{d y}{d x})(4y + 4x \frac{d y}{d x}) + (x+y)(4 \frac{d y}{d x} + 4 \frac{d y}{d x} + 4x \frac{d^{2} y}{d x^{2}})$।
$x=0, y=1, \frac{d y}{d x}=3$ रखने पर:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (1+3)(4(1) + 0) + (0+1)(4(3) + 4(3) + 0)$।
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = (4)(4) + (1)(24) = 16 + 24 = 40$।

(D) दिया गया समीकरण $\int_{0}^{x} \sqrt{1-\left(f^{\prime}(t)\right)^{2}} \,d t=\int_{0}^{x} f(t) \,d t$ है,जहाँ $0 \leq x \leq 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\sqrt{1-\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}=f(x)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1-\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}=f^{2}(x)$
$\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} = 1 - f^{2}(x)$
$f^{\prime}(x) = \sqrt{1 - f^{2}(x)}$
चरों को अलग करने पर:
$\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{1-f^{2}(x)}}=1$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\sin^{-1}(f(x)) = x + C$
चूंकि $f(0)=0$ है,इसलिए $\sin^{-1}(0) = 0 + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \sin(x)$ है।
अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x} \sin(t) \,dt = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{[-\cos(t)]_{0}^{x}}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^{2}}$
मानक सीमा $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^{2}} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर,उत्तर $\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया वक्र $C: (x^{2}+y^{2}-3)+(x^{2}-y^{2}-1)^{5}=0$ है।
चूँकि $(\alpha, \alpha)$ वक्र $C$ पर स्थित है,इसलिए $x=\alpha$ और $y=\alpha$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\alpha^{2}+\alpha^{2}-3)+(\alpha^{2}-\alpha^{2}-1)^{5}=0$
$(2\alpha^{2}-3)+(-1)^{5}=0$
$2\alpha^{2}-3-1=0 \Rightarrow 2\alpha^{2}=4 \Rightarrow \alpha^{2}=2$. चूँकि $\alpha > 0$,इसलिए $\alpha = \sqrt{2}$।
वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2yy^{\prime} + 5(x^{2}-y^{2}-1)^{4}(2x - 2yy^{\prime}) = 0$.
बिंदु $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ पर:
$2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime} + 5(-1)^{4}(2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}y^{\prime}) = 0$
$2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime} + 10\sqrt{2} - 10\sqrt{2}y^{\prime} = 0$
$12\sqrt{2} - 8\sqrt{2}y^{\prime} = 0 \Rightarrow y^{\prime} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$।
पुनः अवकलन करने पर:
$2 + 2(y^{\prime})^{2} + 2yy^{\prime\prime} + 5[4(x^{2}-y^{2}-1)^{3}(2x-2yy^{\prime})^{2} + (x^{2}-y^{2}-1)^{4}(2-2(y^{\prime})^{2}-2yy^{\prime\prime})] = 0$.
$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ और $y^{\prime} = \frac{3}{2}$ पर:
$2 + 2(\frac{9}{4}) + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} + 5[4(-1)^{3}(2\sqrt{2}-2\sqrt{2}(\frac{3}{2}))^{2} + (-1)^{4}(2-2(\frac{9}{4})-2\sqrt{2}y^{\prime\prime})] = 0$
$2 + \frac{9}{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} + 5[-4(-\sqrt{2})^{2} + (2 - \frac{9}{2} - 2\sqrt{2}y^{\prime\prime})] = 0$
$\frac{13}{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} + 5[-8 - \frac{5}{2} - 2\sqrt{2}y^{\prime\prime}] = 0$
$\frac{13}{2} + 2\sqrt{2}y^{\prime\prime} - 40 - \frac{25}{2} - 10\sqrt{2}y^{\prime\prime} = 0$
$-8\sqrt{2}y^{\prime\prime} = 40 + \frac{25-13}{2} = 40 + 6 = 46 \Rightarrow y^{\prime\prime} = -\frac{46}{8\sqrt{2}} = -\frac{23}{4\sqrt{2}}$।
अब,$3y^{\prime} - y^{3}y^{\prime\prime} = 3(\frac{3}{2}) - (\sqrt{2})^{3}(-\frac{23}{4\sqrt{2}}) = \frac{9}{2} - (2\sqrt{2})(-\frac{23}{4\sqrt{2}}) = \frac{9}{2} + \frac{23}{2} = \frac{32}{2} = 16$।

(B) दिया गया समीकरण $2x^y + 3y^x = 20$ है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(2x^y) + \frac{d}{dx}(3y^x) = 0$.
$\frac{d}{dx}(a^b) = a^b \frac{d}{dx}(b \ln a)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$2x^y \left(\frac{y}{x} + \ln x \cdot \frac{dy}{dx}\right) + 3y^x \left(\frac{x}{y} \cdot \frac{dy}{dx} + \ln y\right) = 0$.
बिंदु $(2, 2)$ पर,$x=2$ और $y=2$ रखने पर:
$2(2^2) \left(\frac{2}{2} + \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx}\right) + 3(2^2) \left(\frac{2}{2} \cdot \frac{dy}{dx} + \ln 2\right) = 0$.
$8(1 + \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx}) + 12(\frac{dy}{dx} + \ln 2) = 0$.
$8 + 8 \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx} + 12 \frac{dy}{dx} + 12 \ln 2 = 0$.
$\frac{dy}{dx} (12 + 8 \ln 2) = -(8 + 12 \ln 2)$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{8 + 12 \ln 2}{12 + 8 \ln 2} = -\frac{2 + 3 \ln 2}{3 + 2 \ln 2}$.
चूँकि $3 \ln 2 = \ln 8$ और $2 \ln 2 = \ln 4$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{2 + \log_e 8}{3 + \log_e 4}\right)$.

(D) दिया गया है $f(x)=x^5+2x^3+3x+1$.
सबसे पहले,हम अवकलज $f^{\prime}(x) = 5x^4+6x^2+3$ ज्ञात करते हैं।
हमें दिया गया है $g(f(x))=x$। श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) = 1$ प्राप्त होता है।
$g(7)$ और $g^{\prime}(7)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)=7$ रखते हैं:
$x^5+2x^3+3x+1=7 \Rightarrow x^5+2x^3+3x-6=0$.
निरीक्षण द्वारा,$x=1$ एक हल है क्योंकि $1+2+3-6=0$ है।
अतः,$f(1)=7$,जिसका अर्थ है कि $g(7)=1$ है।
अब,$x=1$ को अवकलज समीकरण $g^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) = 1$ में रखने पर:
$g^{\prime}(7) \cdot f^{\prime}(1) = 1$।
हम $f^{\prime}(1) = 5(1)^4+6(1)^2+3 = 5+6+3 = 14$ की गणना करते हैं।
इसलिए,$g^{\prime}(7) = \frac{1}{f^{\prime}(1)} = \frac{1}{14}$।
अंत में,$\frac{g(7)}{g^{\prime}(7)} = \frac{1}{1/14} = 14$।

(A, D, B) $1.$ दिए गए समीकरण $y^3-3y+x=0$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $3y^2y^{\prime}-3y^{\prime}+1=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y^{\prime} = \frac{-1}{3(y^2-1)}$।
$x = -10\sqrt{2}$ पर,$y = 2\sqrt{2}$,इसलिए $y^{\prime} = \frac{-1}{3((2\sqrt{2})^2-1)} = \frac{-1}{3(8-1)} = -\frac{1}{21}$।
$3y^2y^{\prime}-3y^{\prime}+1=0$ का पुनः अवकलन करने पर,हमें $6yy^{\prime 2} + 3y^2y^{\prime\prime} - 3y^{\prime\prime} = 0$ प्राप्त होता है।
$y^{\prime\prime}(3y^2-3) = -6yy^{\prime 2} \Rightarrow y^{\prime\prime} = \frac{-2yy^{\prime 2}}{y^2-1}$।
$y=2\sqrt{2}$ और $y^{\prime}=-\frac{1}{21}$ रखने पर,हमें $f^{\prime\prime}(-10\sqrt{2}) = \frac{-2(2\sqrt{2})(-1/21)^2}{8-1} = \frac{-4\sqrt{2}}{7 \times 441} = -\frac{4\sqrt{2}}{7^3 \times 3^2}$ प्राप्त होता है।
$2.$ क्षेत्रफल $\int_a^b |f(x)| dx$ है। चूंकि $x < -2$ के लिए $f(x) < -2$,क्षेत्रफल $-\int_a^b f(x) dx$ है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int f(x) dx = xf(x) - \int xf^{\prime}(x) dx$।
चूंकि $f^{\prime}(x) = \frac{-1}{3(f(x)^2-1)}$,समाकलन $bf(b)-af(a) - \int_a^b x \left(\frac{-1}{3(f(x)^2-1)}\right) dx = bf(b)-af(a) + \int_a^b \frac{x}{3(f(x)^2-1)} dx$ है।
क्षेत्रफल $-\int_a^b f(x) dx = -bf(b)+af(a) - \int_a^b \frac{x}{3(f(x)^2-1)} dx$ है।
$3.$ $\int_{-1}^1 g^{\prime}(x) dx = g(1) - g(-1)$।
चूंकि $g(x)^3 - 3g(x) + x = 0$,$g(-x)^3 - 3g(-x) - x = 0$। मान लीजिए $h(x) = -g(-x)$,तो $(-h(x))^3 - 3(-h(x)) - x = 0 \Rightarrow -h(x)^3 + 3h(x) - x = 0 \Rightarrow h(x)^3 - 3h(x) + x = 0$।
अतः $g(x) = -g(-x)$,इसलिए $g$ एक विषम फलन है। $g(-1) = -g(1)$।
इसलिए,$g(1) - g(-1) = g(1) - (-g(1)) = 2g(1)$।

(D) दिया गया है $f^{\prime}(x) = e^{f(x)} e^{-g(x)} g^{\prime}(x)$।
$e^{f(x)}$ से विभाजित करने पर,हमें $e^{-f(x)} f^{\prime}(x) = e^{-g(x)} g^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int e^{-f(x)} f^{\prime}(x) dx = \int e^{-g(x)} g^{\prime}(x) dx$ प्राप्त होता है।
इससे $-e^{-f(x)} = -e^{-g(x)} + C$,या $e^{-g(x)} - e^{-f(x)} = C$ प्राप्त होता है।
शर्त $f(1) = 1$ और $g(2) = 1$ का उपयोग करके,हम स्थिरांक $C$ का मान ज्ञात करते हैं।
चूंकि $e^{-g(x)} - e^{-f(x)} = C$ सभी $x$ के लिए सत्य है,इसलिए $e^{-g(1)} - e^{-f(1)} = e^{-g(2)} - e^{-f(2)}$ है।
दिए गए मान $f(1) = 1$ और $g(2) = 1$ रखने पर,हमें $e^{-g(1)} - e^{-1} = e^{-1} - e^{-f(2)}$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $e^{-f(2)} + e^{-g(1)} = 2e^{-1} = \frac{2}{e}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e^{-f(2)} > 0$ और $e^{-g(1)} > 0$,इसलिए $e^{-f(2)} < \frac{2}{e}$ और $e^{-g(1)} < \frac{2}{e}$ होना चाहिए।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$-f(2) < \ln(2) - 1$,जिसका अर्थ है $f(2) > 1 - \ln(2)$।
इसी प्रकार,$-g(1) < \ln(2) - 1$,जिसका अर्थ है $g(1) > 1 - \ln(2)$।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सत्य हैं।

(A) दिया गया है कि $\int_0^1 f(\lambda x) d\lambda = a f(x)$.
मान लीजिए $\lambda x = t$,तो $d\lambda = \frac{1}{x} dt$.
समाकल में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt = a f(x)$,जिसका अर्थ है $\int_0^x f(t) dt = a x f(x)$.
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f(x) = a(f(x) + x f^{\prime}(x))$.
पदों को व्यवस्थित करने पर $(1 - a) f(x) = a x f^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1 - a}{a} \cdot \frac{1}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|f(x)| = \frac{1 - a}{a} \ln x + C$.
चूंकि $f(1) = 1$,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $f(x) = x^{\frac{1-a}{a}}$.
$f(16) = \frac{1}{8}$ दिया गया है,इसलिए $16^{\frac{1-a}{a}} = 2^{-3}$.
चूंकि $16 = 2^4$,हमारे पास $2^{4 \cdot \frac{1-a}{a}} = 2^{-3}$ है,इसलिए $\frac{4(1-a)}{a} = -3$.
$4 - 4a = -3a \Rightarrow a = 4$.
अतः,$f(x) = x^{\frac{1-4}{4}} = x^{-3/4}$.
तब $f^{\prime}(x) = -\frac{3}{4} x^{-7/4}$.
$f^{\prime}\left(\frac{1}{16}\right) = -\frac{3}{4} \left(2^{-4}\right)^{-7/4} = -\frac{3}{4} \cdot 2^7 = -\frac{3}{4} \cdot 128 = -3 \cdot 32 = -96$.
इसलिए,$16 - f^{\prime}\left(\frac{1}{16}\right) = 16 - (-96) = 112$.

(B) दिया गया है $f^{\prime\prime}(x) = f(x)$। दोनों पक्षों को $f^{\prime}(x)$ से गुणा करने पर,हमें $f^{\prime}(x)f^{\prime\prime}(x) = f(x)f^{\prime}(x)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\frac{1}{2}(f^{\prime}(x))^2 = \frac{1}{2}(f(x))^2 + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक शर्तों $f(0) = 0$ और $f^{\prime}(0) = 3$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2}(3)^2 = \frac{1}{2}(0)^2 + C$,जिससे $C = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(f^{\prime}(x))^2 = (f(x))^2 + 9$। चूंकि $f^{\prime}(x) \geq 0$,इसलिए $f^{\prime}(x) = \sqrt{(f(x))^2 + 9}$ है।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{df}{\sqrt{f^2 + 9}} = \int dx$,जो $\ln|f(x) + \sqrt{(f(x))^2 + 9}| = x + C_1$ देता है।
$f(0) = 0$ का उपयोग करने पर,$\ln|0 + \sqrt{0 + 9}| = 0 + C_1$,जिससे $C_1 = \ln 3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f(x) + \sqrt{(f(x))^2 + 9} = 3e^x$।
मान लीजिए $y = f(x)$। तो $\sqrt{y^2 + 9} = 3e^x - y$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$y^2 + 9 = 9e^{2x} - 6ye^x + y^2$,जो सरल होकर $6ye^x = 9e^{2x} - 9$ हो जाता है।
अतः,$f(x) = \frac{9(e^{2x} - 1)}{6e^x} = \frac{3}{2}(e^x - e^{-x}) = 3\sinh(x)$।
$x = \ln 3$ पर,$f(\ln 3) = \frac{3}{2}(3 - \frac{1}{3}) = \frac{3}{2}(\frac{8}{3}) = 4$।
अतः,$9f(\ln 3) = 9 \times 4 = 36$।

(A) वक्र का दिया गया समीकरण $x^4-2xy^2+y^2+3x-3y=0 \dots (i)$ है।
वक्र जिस कोण पर $X$-अक्ष को काटता है,उसे ज्ञात करने के लिए हमें $(0,0)$ बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करनी होगी।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$4x^3 - 2(y^2 + x \cdot 2y \frac{dy}{dx}) + 2y \frac{dy}{dx} + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$4x^3 - 2y^2 - 4xy \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
अब,$(x,y) = (0,0)$ का मान रखने पर:
$4(0)^3 - 2(0)^2 - 4(0)(0) \frac{dy}{dx} + 2(0) \frac{dy}{dx} + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$0 - 0 - 0 + 0 + 3 - 3 \frac{dy}{dx} = 0$.
$3 = 3 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = 1$.
चूंकि ढाल $m = \tan \theta = 1$ है,इसलिए $\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र $xy + ax + by = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(1, 1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$1(1) + a(1) + b(1) = 0 \implies a + b = -1$ ... $(i)$
अब,समीकरण $xy + ax + by = 0$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + y + a + b \frac{dy}{dx} = 0$
$(x + b) \frac{dy}{dx} = -(y + a)$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y + a}{x + b}$
बिंदु $(1, 1)$ पर ढाल $2$ दी गई है:
$2 = -\frac{1 + a}{1 + b}$
$2(1 + b) = -(1 + a)$
$2 + 2b = -1 - a$
$a + 2b = -3$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1)$
$b = -2$
$b = -2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a - 2 = -1 \implies a = 1$
अतः,$a - b = 1 - (-2) = 3$.

(B) दिया गया समीकरण: $x^k + y^k = a^k$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$k x^{k-1} + k y^{k-1} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{k x^{k-1}}{k y^{k-1}} = -\frac{x^{k-1}}{y^{k-1}} = -(\frac{x}{y})^{k-1}$
$\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{-(k-1)} = -(\frac{y}{x})^{1-k}$
अतः,$\frac{dy}{dx} + (\frac{y}{x})^{1-k} = 0$
इसे दिए गए समीकरण $\frac{dy}{dx} + (\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}} = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$1 - k = \frac{1}{3}$
$k = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

(B) दिया गया है $\frac{x}{x-y} = \log a - \log(x-y)$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\log(x-y) + \frac{x}{x-y} = \log a$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x-y} \left(1 - \frac{dy}{dx}\right) + \frac{(x-y)(1) - x(1 - \frac{dy}{dx})}{(x-y)^2} = 0$.
$(x-y)^2$ से गुणा करने पर:
$(x-y)(1 - \frac{dy}{dx}) + x - y - x + x \frac{dy}{dx} = 0$.
$x - y - (x-y) \frac{dy}{dx} - y + x \frac{dy}{dx} = 0$.
$x - 2y + \frac{dy}{dx} (x - x + y) = 0$.
$x - 2y + y \frac{dy}{dx} = 0$.
$y \frac{dy}{dx} = 2y - x$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x}{y}$.