Differentiation of implicit function Questions in Hindi

(B) दिया गया समीकरण: $(2 x)^{2 y}=4 e^{2 x-2 y}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$2 y \log(2 x) = \log(4) + \log(e^{2 x-2 y})$
$2 y \log(2 x) = 2 \log 2 + 2 x - 2 y$
$2$ से विभाजित करने पर:
$y \log(2 x) = \log 2 + x - y$
$y(1 + \log(2 x)) = x + \log 2$
$y = \frac{x + \log 2}{1 + \log(2 x)}$
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + \log(2 x)) \cdot \frac{d}{d x}(x + \log 2) - (x + \log 2) \cdot \frac{d}{d x}(1 + \log(2 x))}{(1 + \log(2 x))^2}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + \log(2 x)) \cdot 1 - (x + \log 2) \cdot \frac{1}{2 x} \cdot 2}{(1 + \log(2 x))^2}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \log(2 x) - \frac{x + \log 2}{x}}{(1 + \log(2 x))^2}$
$(1 + \log(2 x))^2$ से गुणा करने पर:
$(1 + \log(2 x))^2 \frac{d y}{d x} = 1 + \log(2 x) - 1 - \frac{\log 2}{x}$
$= \log(2 x) - \frac{\log 2}{x} = \frac{x \log(2 x) - \log 2}{x}$.

(C) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) \cdot f(y)$ है।
$x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(0)=f(0) \cdot f^{\prime}(0)+f^{\prime}(0) \cdot f(0) = 2 f(0) \cdot f^{\prime}(0)$.
चूंकि $f(0)=1$,हमारे पास $1 = 2(1) \cdot f^{\prime}(0)$ है,जिसका अर्थ है $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$.
अब,$x$ को चर के रूप में रखते हुए और $y=0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x+0)=f(x) \cdot f^{\prime}(0)+f^{\prime}(x) \cdot f(0)$.
$f(0)=1$ और $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = f(x) \cdot \frac{1}{2} + f^{\prime}(x) \cdot 1$ प्राप्त होता है।
यह $f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} f(x)$ या $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{2}$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{2} dx$,जिसका परिणाम $\log(f(x)) = \frac{1}{2}x + C$ है।
$f(0)=1$ का उपयोग करने पर,$\log(1) = 0 + C$,इसलिए $C=0$.
अतः,$\log(f(x)) = \frac{1}{2}x$.
$x=4$ के लिए,$\log(f(4)) = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.

(A) हम जानते हैं कि किसी भी $\theta \in [-1, 1]$ के लिए,$\sin^{-1} \theta + \cos^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^{2} y^{2} = \sin^{-1} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \cos^{-1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ में दाईं ओर का सरलीकरण करने पर,हमें $x^{2} y^{2} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^{2} y^{2}) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$
$x^{2} \cdot (2y \frac{dy}{dx}) + y^{2} \cdot (2x) = 0$
$2x^{2}y \frac{dy}{dx} = -2xy^{2}$
दोनों पक्षों को $2xy$ से विभाजित करने पर ($x, y \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^{2}}{2x^{2}y} = -\frac{y}{x}$.

(B) माना $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=\theta$,तो $\cos \theta=\frac{1}{3}$ है।
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,दिया गया समीकरण $\sin (x+y)+\cos (x+y)=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।
चूँकि $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ एक अचर है,इसलिए $(x+y)$ भी अचर होगा।
माना $x+y = C$,जहाँ $C$ एक अचर है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x+y) = \frac{d}{dx}(C)$
$1 + \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -1$.

(B) दिया गया समीकरण: $y = \sqrt{\sin^{-1} x + y}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $y^2 = \sin^{-1} x + y$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x + y)$
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(2y - 1) \sqrt{1 - x^2}}$
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया समीकरण $xy = e^{x-y}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln(xy) = \ln(e^{x-y})$
$\ln x + \ln y = x - y$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\ln x) + \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(y)$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} + 1) = \frac{x-1}{x}$
$\frac{dy}{dx} (\frac{1+y}{y}) = \frac{x-1}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y(x-1)}{x(y+1)}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिए गए वक्र $x^{3}-3xy^{2}+2=0$ $(1)$ और $3x^{2}y-y^{3}=2$ $(2)$ हैं।
$(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3x^{2}-3(y^{2}+2xyy')=0 \Rightarrow x^{2}-y^{2}=2xyy' \Rightarrow y' = \frac{x^{2}-y^{2}}{2xy} = m_{1}$.
$(2)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3(2xy+x^{2}y')-3y^{2}y'=0 \Rightarrow 2xy+x^{2}y'-y^{2}y'=0 \Rightarrow y'(x^{2}-y^{2}) = -2xy \Rightarrow y' = -\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}} = m_{2}$.
अब,$m_{1} \cdot m_{2} = \left(\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy}\right) \cdot \left(-\frac{2xy}{x^{2}-y^{2}}\right) = -1$.
चूंकि ढाल का गुणनफल $-1$ है,इसलिए वक्र समकोण पर काटते हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\sqrt[3]{y} \sqrt{x} = \sqrt[6]{(x+y)^{5}}$
दोनों पक्षों की घात $6$ करने पर:
$(y^{1/3} x^{1/2})^6 = ((x+y)^{5/6})^6$
$y^2 x^3 = (x+y)^5$
माना $y = vx$,तब $dy = v dx + x dv$. इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(vx)^2 x^3 = (x + vx)^5$
$v^2 x^5 = x^5(1+v)^5$
$v^2 = (1+v)^5$
यह दर्शाता है कि $v$ एक स्थिरांक है। समघात फलनों के लिए,यदि $f(y/x) = c$ है,तो $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ होता है।
वैकल्पिक रूप से,$y^2 x^3 = (x+y)^5$ का अवकलन करने पर:
$2y y' x^3 + 3x^2 y^2 = 5(x+y)^4 (1+y')$
चूंकि $(x+y)^5 = y^2 x^3$,इसलिए $(x+y)^4 = \frac{y^2 x^3}{x+y}$ रखने पर:
$2y y' x^3 + 3x^2 y^2 = 5 \frac{y^2 x^3}{x+y} (1+y')$
$x^2 y$ से भाग देने पर:
$2x y' + 3y = \frac{5xy}{x+y} (1+y')$
$(2x y' + 3y)(x+y) = 5xy + 5xy y'$
$2x^2 y' + 2xy y' + 3xy + 3y^2 = 5xy + 5xy y'$
$y'(2x^2 + 2xy - 5xy) = 5xy - 3xy - 3y^2$
$y'(2x^2 - 3xy) = 2xy - 3y^2$
$y' x(2x - 3y) = y(2x - 3y)$
चूंकि $2x - 3y \neq 0$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $ \cos y = x \cos (a+y) $
हम $ x $ को इस प्रकार लिख सकते हैं: $ x = \frac{\cos y}{\cos (a+y)} $
$ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर,भागफल नियम का उपयोग करते हुए: $ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2} $
$ 1 = \frac{\cos (a+y) \cdot (-\sin y \frac{dy}{dx}) - \cos y \cdot (-\sin (a+y) \frac{dy}{dx})}{\cos^2 (a+y)} $
$ 1 = \frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin (a+y) \cos y - \cos (a+y) \sin y}{\cos^2 (a+y)} \right] $
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $ \sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ का उपयोग करने पर:
$ 1 = \frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin (a+y-y)}{\cos^2 (a+y)} \right] $
$ 1 = \frac{dy}{dx} \left[ \frac{\sin a}{\cos^2 (a+y)} \right] $
अतः,$ \frac{dy}{dx} = \frac{\cos^2 (a+y)}{\sin a} $

(A) दिया गया है,$ x^{y}=e^{x-y} $.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$ y \log x = x - y $
$ y $ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$ y + y \log x = x $
$ y(1 + \log x) = x $
$ y = \frac{x}{1 + \log x} $
अब,भागफल नियम $ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2} $ का उपयोग करके $ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$ \frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log x) \cdot \frac{d}{dx}(x) - x \cdot \frac{d}{dx}(1 + \log x)}{(1 + \log x)^2} $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log x)(1) - x \cdot (\frac{1}{x})}{(1 + \log x)^2} $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{1 + \log x - 1}{(1 + \log x)^2} $
$ \frac{dy}{dx} = \frac{\log x}{(1 + \log x)^2} $

(A) दिया गया है कि,$\tan^{-1}(x^2 + y^2) = \alpha$.
दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2 + y^2 = \tan \alpha$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(\tan \alpha)$.
चूंकि $\alpha$ एक स्थिरांक है,इसलिए $\frac{d}{dx}(\tan \alpha) = 0$ होगा।
अतः,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
$2y \frac{dy}{dx} = -2x$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$.

(B) दिया गया समीकरण $2^{x}+2^{y}=2^{x+y} \quad ...(i)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(2^{x}) + \frac{d}{dx}(2^{y}) = \frac{d}{dx}(2^{x+y})$
$2^{x} \ln 2 + 2^{y} \ln 2 \cdot \frac{dy}{dx} = 2^{x+y} \ln 2 \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$\ln 2$ से भाग देने पर:
$2^{x} + 2^{y} \frac{dy}{dx} = 2^{x+y} + 2^{x+y} \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2^{y} \frac{dy}{dx} - 2^{x+y} \frac{dy}{dx} = 2^{x+y} - 2^{x}$
$\frac{dy}{dx} (2^{y} - 2^{x+y}) = 2^{x+y} - 2^{x}$
समीकरण $(i)$ से,हम जानते हैं कि $2^{x+y} = 2^{x} + 2^{y}$। यह मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} (2^{y} - (2^{x} + 2^{y})) = (2^{x} + 2^{y}) - 2^{x}$
$\frac{dy}{dx} (-2^{x}) = 2^{y}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2^{y}}{2^{x}} = -2^{y-x}$

(D) दिया गया है,$x^{x}=y^{y}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \log x = y \log y$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x \log x) = \frac{d}{dx}(y \log y)$।
गुणन नियम $(uv)' = u'v + uv'$ का उपयोग करने पर:
$(1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x}) = (1 \cdot \log y + y \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx})$।
$(\log x + 1) = (\log y + 1) \frac{dy}{dx}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1+\log x}{1+\log y}$।

(B) दिया गया है,$x+y=\tan ^{-1} y$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+y^2} \cdot \frac{dy}{dx}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{1+y^2} - 1 \right) = 1$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - 1 - y^2}{1+y^2} \right) = 1$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{-y^2}{1+y^2} \right) = 1$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y^2}{y^2} = -\left( \frac{1}{y^2} + 1 \right)$
अब,$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{d}{dx} (y^{-2} + 1)$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -(-2y^{-3}) \cdot \frac{dy}{dx}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{y^3} \cdot \frac{dy}{dx}$
इसे दिए गए समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = f(y) \frac{dy}{dx}$ से तुलना करने पर,हमें $f(y) = \frac{2}{y^3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$\sec ^{-1}\left(\frac{1+x}{1-y}\right)=a$
दोनों पक्षों में $\sec$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1+x}{1-y}=\sec a$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$1+x = (1-y) \sec a$
$1+x = \sec a - y \sec a$
$y \sec a = \sec a - 1 - x$
$y = \frac{\sec a - 1 - x}{\sec a} = 1 - \frac{1+x}{\sec a}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = 0 - \frac{1}{\sec a} \cdot \frac{d}{d x}(1+x)$
$\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{\sec a} \cdot (1)$
चूंकि $\sec a = \frac{1+x}{1-y}$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{\frac{1+x}{1-y}} = -\frac{1-y}{1+x} = \frac{y-1}{x+1}$

(D) दिया गया समीकरण $e^y + xy = e$ है।
$x = 0$ पर,$e^y + 0 = e \Rightarrow e^y = e \Rightarrow y = 1$।
$e^y + xy = e$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$e^y \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} (e^y + x) = -y$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{e^y + x}$।
$x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e^1 + 0} = -\frac{1}{e}$।
अब,$\frac{dy}{dx} (e^y + x) = -y$ का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} (e^y + x) + \frac{dy}{dx} (e^y \frac{dy}{dx} + 1) = -\frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} (e^y + x) + e^y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{dy}{dx} = -\frac{dy}{dx}$
$\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} (e^y + x) + e^y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$।
$x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} (e + 0) + e \left(-\frac{1}{e}\right)^2 + 2 \left(-\frac{1}{e}\right) = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} + e \left(\frac{1}{e^2}\right) - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{e} - \frac{2}{e} = 0$
$e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$।
अतः,क्रमित युग्म $\left(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2}\right)$ है।

(B) दिए गए वक्र हैं:
$x^{3}-3xy^{2}+2=0 \quad (1)$
$3x^{2}y-y^{3}=2 \quad (2)$
समीकरण $(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3x^{2} - 3(y^{2} + x(2yy')) = 0$
$x^{2} - y^{2} - 2xyy' = 0$
$y' = \frac{x^{2}-y^{2}}{2xy} = m_{1}$
समीकरण $(2)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3(2xy + x^{2}y') - 3y^{2}y' = 0$
$2xy + x^{2}y' - y^{2}y' = 0$
$y' = \frac{-2xy}{x^{2}-y^{2}} = m_{2}$
अब,ढालों का गुणनफल ज्ञात करने पर:
$m_{1} \times m_{2} = \left(\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy}\right) \times \left(\frac{-2xy}{x^{2}-y^{2}}\right) = -1$
चूंकि ढालों का गुणनफल $-1$ है,इसलिए दोनों वक्र एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं।

(A) दिया गया समीकरण $(x e)^{y}=e^{x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$y \log(x e) = x \log e$
चूंकि $\log(x e) = \log x + \log e$ और $\log e = 1$,इसलिए:
$y(\log x + 1) = x$
$y = \frac{x}{\log x + 1}$
भागफल नियम $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(\log x + 1)(1) - x(\frac{1}{x} + 0)}{(\log x + 1)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log x + 1 - 1}{(\log x + 1)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log x}{(\log x + 1)^2}$

(B) दिया गया है,$\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=n \log \left(\frac{x}{n}\right)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{\sqrt{1-(y/b)^2}} \cdot \frac{1}{b} \cdot y_1 = n \cdot \frac{1}{(x/n)} \cdot \frac{1}{n}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$-\frac{1}{\sqrt{(b^2-y^2)/b^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$
$-\frac{b}{\sqrt{b^2-y^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$
$-\frac{y_1}{\sqrt{b^2-y^2}} = \frac{n}{x}$
वज्र गुणन करने पर:
$-x y_1 = n \sqrt{b^2-y^2}$
$x y_1 + n \sqrt{b^2-y^2} = 0$.

(A) दिया गया समीकरण $y = \sqrt{\cosh x + y}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $y^2 = \cosh x + y$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\cosh x + y)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2y \frac{dy}{dx} = \sinh x + \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \sinh x$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$\frac{dy}{dx}(2y - 1) = \sinh x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{\sinh x}{2y - 1}$।

(A) दिया गया है कि $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$.
हम जानते हैं कि $(x^2+y^2)^2 = x^4+y^4+2x^2y^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(t+\frac{1}{t})^2 = (t^2+\frac{1}{t^2}) + 2x^2y^2$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$t^2 + 2(t)(\frac{1}{t}) + \frac{1}{t^2} = t^2 + \frac{1}{t^2} + 2x^2y^2$.
$t^2 + 2 + \frac{1}{t^2} = t^2 + \frac{1}{t^2} + 2x^2y^2$.
दोनों पक्षों से $t^2 + \frac{1}{t^2}$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 = 2x^2y^2 \Rightarrow x^2y^2 = 1$.
अतः,$y^2 = \frac{1}{x^2}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{x^3}$.
दोनों पक्षों को $\frac{x^3}{2}$ से गुणा करने पर:
$x^3 y \frac{dy}{dx} = -1$.

(B) दिया गया है कि $x \sqrt{1+y} + y \sqrt{1+x} = 0$ ... $(i)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है
$x \sqrt{1+y} = -y \sqrt{1+x}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है
$x^2(1+y) = y^2(1+x)$
$x^2 + x^2y = y^2 + xy^2$
$x^2 - y^2 + x^2y - xy^2 = 0$
$(x-y)(x+y) + xy(x-y) = 0$
$(x-y)(x+y+xy) = 0$
चूंकि $x-y \neq 0$ (क्योंकि यह मूल समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है),इसलिए हमारे पास होना चाहिए
$x+y+xy = 0$
$y(1+x) = -x$
$y = -\frac{x}{1+x}$
अब,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)\frac{d}{dx}(x) - x\frac{d}{dx}(1+x)}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+x-x}{(1+x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x)^2}$

(C) दिया गया समीकरण $\sin x \sqrt{\cos y} - \cos y \sqrt{\sin x} = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sin x \sqrt{\cos y} = \cos y \sqrt{\sin x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\sin^2 x \cos y = \cos^2 y \sin x$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $\sin x \neq 0$ और $\cos y \neq 0$,तो $\sin x \cos y$ से भाग देने पर $\frac{\sin x}{\cos y} = \frac{\cos y}{\sin x}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin^2 x = \cos^2 y$।
अतः,$\sin x = \cos y$ या $\sin x = -\cos y$।
$\sin x = \cos y$ लेने पर,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(\sin x) = \frac{d}{dx}(\cos y)$।
इससे $\cos x = -\sin y \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{\sin y}$।
चूंकि $\cos y = \sin x$,इसलिए $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \cos x$।
यह मान रखने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{\cos x} = -1$।

$(D)$ $\text{दिया गया समीकरण: } x^3 - 2x^2y^2 + 5x + y - 5 = 0$.
$\text{$x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलन करने पर:}$
$3x^2 - (4xy^2 + 4x^2yy') + 5 + y' = 0$.
$\text{बिंदु } (1, 1) \text{ पर, } x=1 \text{ और } y=1 \text{ रखने पर:}$
$3 - (4 + 4y') + 5 + y' = 0$
$\Rightarrow 3 - 4 - 4y' + 5 + y' = 0$
$\Rightarrow 4 - 3y' = 0$
$\Rightarrow y' = 4/3$.
$\text{अब, प्रथम अवकलन समीकरण का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:}$
$6x - [4y^2 + 8xyy' + 8xyy' + 4x^2(y')^2 + 4x^2yy''] + y'' = 0$.
$\text{$x=1, y=1, y'=4/3$ रखने पर:}$
$6 - [4 + 8(4/3) + 8(4/3) + 4(16/9) + 4y''] + y'' = 0$
$6 - 4 - 64/3 - 64/9 - 4y'' + y'' = 0$
$2 - 192/9 - 64/9 - 3y'' = 0$
$2 - 256/9 = 3y''$
$(18 - 256)/9 = 3y''$
$-238/9 = 3y''$
$y'' = -238/27$.

(A) दिया गया है,$x \sin (\alpha+y)=\sin y$ और $y=\frac{m}{x^2+2 n x+1}$।
$x \sin (\alpha+y)=\sin y$ से,हमें प्राप्त होता है $\frac{\sin (\alpha+y)}{\sin y} = \frac{1}{x}$।
विस्तार $\sin (\alpha+y) = \sin \alpha \cos y + \cos \alpha \sin y$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\sin \alpha \cot y + \cos \alpha = \frac{1}{x}$।
अतः,$\cot y = \frac{1 - x \cos \alpha}{x \sin \alpha}$,जिसका अर्थ है $\tan y = \frac{x \sin \alpha}{1 - x \cos \alpha}$।
$y = \tan^{-1} \left( \frac{x \sin \alpha}{1 - x \cos \alpha} \right)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = \frac{1}{1 + \left( \frac{x \sin \alpha}{1 - x \cos \alpha} \right)^2} \cdot \frac{(1 - x \cos \alpha)(\sin \alpha) - (x \sin \alpha)(-\cos \alpha)}{(1 - x \cos \alpha)^2}$।
अंश को सरल करने पर: $(1 - x \cos \alpha)(\sin \alpha) + x \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha - x \sin \alpha \cos \alpha + x \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha$।
हर को सरल करने पर: $(1 - x \cos \alpha)^2 + (x \sin \alpha)^2 = 1 - 2x \cos \alpha + x^2 \cos^2 \alpha + x^2 \sin^2 \alpha = 1 - 2x \cos \alpha + x^2$।
अतः,$y' = \frac{\sin \alpha}{x^2 - 2x \cos \alpha + 1}$।
इसकी तुलना $y = \frac{m}{x^2 + 2nx + 1}$ के अवकलन से करने पर,हमें $m = \sin \alpha$ और $n = -\cos \alpha$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m^2 = \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-n)^2 = 1 - n^2$।

(C) दिया गया समीकरण $3 \sin xy + 4 \cos xy = 5$ है।
माना $xy = t$ है।
$xy = t$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,गुणन नियम का उपयोग करते हुए,हमें $x \frac{dy}{dx} + y = \frac{dt}{dx} \dots (I)$ प्राप्त होता है।
अब,दिए गए समीकरण $3 \sin t + 4 \cos t = 5$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dt}(3 \sin t + 4 \cos t) = \frac{d}{dt}(5)$
$3 \cos t - 4 \sin t = 0$।
अतः,$\frac{dt}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(I)$ में रखने पर,$x \frac{dy}{dx} + y = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{-y}{x}$।

(C) दिया गया समीकरण: $x^{2019} \cdot y^{2020} = (x+y)^{4039}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$2019 \ln(x) + 2020 \ln(y) = 4039 \ln(x+y)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2019}{x} + \frac{2020}{y} \frac{dy}{dx} = 4039 \cdot \frac{1}{x+y} \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$.
सरल बनाने के लिए $x(x+y)y$ से गुणा करने पर:
$2019(x+y)y + 2020x(x+y) \frac{dy}{dx} = 4039xy(1 + \frac{dy}{dx})$.
$2019xy + 2019y^2 + 2020x^2 \frac{dy}{dx} + 2020xy \frac{dy}{dx} = 4039xy + 4039xy \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} (2020x^2 + 2020xy - 4039xy) = 4039xy - 2019xy - 2019y^2$.
$\frac{dy}{dx} (2020x^2 - 2019xy) = 2020xy - 2019y^2$.
$\frac{dy}{dx} [x(2020x - 2019y)] = y(2020x - 2019y)$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(D) प्रत्येक फलन के लिए $\frac{dy}{dx}$ की गणना करते हैं:
$A. x^2 + y^2 + 3xy = 7$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y\frac{dy}{dx} + 3(y + x\frac{dy}{dx}) = 0 \implies \frac{dy}{dx}(2y + 3x) = -(2x + 3y) \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-(2x + 3y)}{3x + 2y}$. यह $II$ से मेल खाता है।
$B. x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$. अवकलन करने पर: $\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3}\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -(\frac{y}{x})^{1/3}$. यह $III$ से मेल खाता है।
$C. x^3 + y^3 = 3axy$. अवकलन करने पर: $3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 3a(y + x\frac{dy}{dx}) \implies x^2 + y^2\frac{dy}{dx} = ay + ax\frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx}(y^2 - ax) = ay - x^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - ay}{ax - y^2}$. यह $IV$ से मेल खाता है।
$D. xy(x - y) = 2 \implies x^2y - xy^2 = 2$. अवकलन करने पर: $(2xy + x^2\frac{dy}{dx}) - (y^2 + 2xy\frac{dy}{dx}) = 0 \implies \frac{dy}{dx}(x^2 - 2xy) = y^2 - 2xy \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 2xy}{x^2 - 2xy}$. दिए गए विकल्पों के अनुसार,$D$ का मिलान $V$ से होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^3+y^3=3xy$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(3xy)$.
$3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 3(y + x \frac{dy}{dx})$.
$3$ से विभाजित करने पर:
$x^2 + y^2 \frac{dy}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y^2 \frac{dy}{dx} - x \frac{dy}{dx} = y - x^2$.
$\frac{dy}{dx}(y^2 - x) = y - x^2$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y-x^2}{y^2-x}$.

(A) दिया गया है,$x^m y^n = (x+y)^{m+n}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर:
$m \ln x + n \ln y = (m+n) \ln(x+y)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{m}{x} + \frac{n}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{m+n}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{m}{x} - \frac{m+n}{x+y} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{m+n}{x+y} - \frac{n}{y} \right)$.
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
$\frac{m(x+y) - x(m+n)}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{y(m+n) - n(x+y)}{y(x+y)} \right)$.
$\frac{mx + my - mx - nx}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{my + ny - nx - ny}{y(x+y)} \right)$.
$\frac{my - nx}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{my - nx}{y(x+y)} \right)$.
चूंकि $my - nx \neq 0$,इसलिए यह पद कट जाएगा:
$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{y}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(A) दिया गया समीकरण: $2 x^2-3 x y+y^2+x+2 y-8=0$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x}(2 x^2) - \frac{d}{d x}(3 x y) + \frac{d}{d x}(y^2) + \frac{d}{d x}(x) + \frac{d}{d x}(2 y) - \frac{d}{d x}(8) = 0$
$4 x - (3 y + 3 x \frac{d y}{d x}) + 2 y \frac{d y}{d x} + 1 + 2 \frac{d y}{d x} = 0$
$\frac{d y}{d x}$ वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$(2 y - 3 x + 2) \frac{d y}{d x} = 3 y - 4 x - 1$
अतः,$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y - 4 x - 1}{2 y - 3 x + 2}$

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2} \quad \dots (i)$
$x^2+y^2=t-\frac{1}{t} \quad \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x^2+y^2)^2 = (t-\frac{1}{t})^2$
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
समीकरण $(i)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(t^2+\frac{1}{t^2}) + 2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
$2x^2y^2 = -2$
$x^2y^2 = -1$
$y^2 = -\frac{1}{x^2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(-x^{-2})$
$2y \frac{dy}{dx} = -(-2)x^{-3}$
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x^3}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^3y}$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$x^2+y^2=t+\frac{1}{t}$ ... $(i)$
$x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x^2+y^2)^2 = (t+\frac{1}{t})^2$
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}+2$
समीकरण (ii) से मान इस समीकरण में रखने पर:
$(x^4+y^4)+2x^2y^2 = (x^4+y^4)+2$
$2x^2y^2 = 2$
$x^2y^2 = 1$
अब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2y^2) = \frac{d}{dx}(1)$
$x^2(2y \frac{dy}{dx}) + y^2(2x) = 0$
$2x^2y \frac{dy}{dx} = -2xy^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2xy^2}{2x^2y} = -\frac{y}{x}$

(B) दिया गया समीकरण: $f(x+ay)+g(x-ay)=0$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x+ay)(1+a \frac{dy}{dx}) + g^{\prime}(x-ay)(1-a \frac{dy}{dx}) = 0$।
पदों का विस्तार करने पर:
$f^{\prime}(x+ay) + a \frac{dy}{dx} f^{\prime}(x+ay) + g^{\prime}(x-ay) - a \frac{dy}{dx} g^{\prime}(x-ay) = 0$।
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को अलग करने पर:
$a \frac{dy}{dx} [f^{\prime}(x+ay) - g^{\prime}(x-ay)] = -[f^{\prime}(x+ay) + g^{\prime}(x-ay)]$।
अतः:
$a \frac{dy}{dx} = \frac{-(f^{\prime}(x+ay) + g^{\prime}(x-ay))}{f^{\prime}(x+ay) - g^{\prime}(x-ay)} = \frac{f^{\prime}(x+ay) + g^{\prime}(x-ay)}{g^{\prime}(x-ay) - f^{\prime}(x+ay)}$।

(D) दिया गया है,$\log(\sqrt{1+x^2}-x) = y(\sqrt{1+x^2})$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} [\log(\sqrt{1+x^2}-x)] = \frac{d}{dx} [y(\sqrt{1+x^2})]$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x} \cdot \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} - 1 \right) = \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} + y \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x} \cdot \left( \frac{x - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} \right) = \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{xy}{\sqrt{1+x^2}}$
$\Rightarrow \frac{-(\sqrt{1+x^2}-x)}{(\sqrt{1+x^2}-x) \sqrt{1+x^2}} = \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{xy}{\sqrt{1+x^2}}$
$\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \sqrt{1+x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{xy}{\sqrt{1+x^2}}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{1+x^2}$ से गुणा करने पर:
$-1 = (1+x^2) \frac{dy}{dx} + xy$
अतः,$(1+x^2) \frac{dy}{dx} + xy = -1$।

(C) दिया गया है $y = \prod_{k=1}^{n} (1 + \frac{k}{x}) = \frac{(x+1)(x+2)...(x+n)}{x^n}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\ln y = \sum_{k=1}^{n} \ln(1 + \frac{k}{x})$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sum_{k=1}^{n} \frac{-k}{x(x+k)}$.
गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए,$x = -1$ पर केवल वह पद बचेगा जिसमें $(x+1)$ गुणनखंड है।
$\frac{dy}{dx} |_{x=-1} = (\frac{d}{dx} (1 + \frac{1}{x}))_{x=-1} \cdot (1 + \frac{2}{x}) (1 + \frac{3}{x}) ... (1 + \frac{n}{x}) |_{x=-1}$.
$= (-1) \cdot (1-2)(1-3)...(1-n) = (-1) \cdot (-1)^{n-1} (n-1)! = (-1)^n (n-1)!$.

(C) दिया गया समीकरण $y = \log_y x$ है।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,हम इसे $y = \frac{\log_e x}{\log_e y}$ के रूप में लिख सकते हैं।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $y \cdot \log_e y = \log_e x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y \cdot \log_e y) = \frac{d}{dx}(\log_e x)$
$y \cdot \frac{d}{dx}(\log_e y) + \log_e y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
$y \cdot (\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}) + \log_e y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
$1 \cdot \frac{dy}{dx} + \log_e y \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
$(1 + \log_e y) \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x(1 + \log_e y)}$।

(B) दिया गया समीकरण: $\log(x+y) - 2xy = 0$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x+y} \cdot (1 + y') - 2(x y' + y) = 0$.
$y'$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{x+y} + \frac{y'}{x+y} - 2xy' - 2y = 0$.
$y' \left( \frac{1}{x+y} - 2x \right) = 2y - \frac{1}{x+y}$.
$y' = \frac{2y - \frac{1}{x+y}}{\frac{1}{x+y} - 2x}$.
अब,$x = 0$ पर मान ज्ञात करने पर:
$x = 0$ रखने पर,मूल समीकरण $\log(y) - 0 = 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\log(y) = 0$,इसलिए $y = e^0 = 1$.
$y'$ के समीकरण में $x = 0$ और $y = 1$ रखने पर:
$y'(0) = \frac{2(1) - \frac{1}{0+1}}{\frac{1}{0+1} - 2(0)} = \frac{2 - 1}{1 - 0} = 1$.
नोट: दिए गए विकल्प $y$ के रूप में हैं। व्यंजक $\frac{2y - \frac{1}{y}}{\frac{1}{y}} = 2y^2 - 1$ होता है।
अतः,$y'(0) = 2y^2 - 1$.

(C) दिया गया समीकरण $x^2 \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)-y^2 \tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)=k$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x^2 \cdot \frac{1}{1+(y/x)^2} \cdot \frac{x(dy/dx)-y}{x^2} + 2x \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - y^2 \cdot \frac{1}{1+(x/y)^2} \cdot \frac{y-x(dy/dx)}{y^2} - 2y \tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) \frac{dy}{dx} = 0$.
पदों को सरल करने पर:
$\frac{x^2}{x^2+y^2} \cdot \frac{x(dy/dx)-y}{1} + 2x \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y^2}{x^2+y^2} \cdot \frac{y-x(dy/dx)}{1} - 2y \tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) \frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(1,1)$ पर,$x=1, y=1$ और $dy/dx = y_1$ रखने पर:
$\frac{1}{2}(y_1-1) + 2(1) \tan ^{-1}(1) - \frac{1}{2}(1-y_1) - 2(1) \tan ^{-1}(1) y_1 = 0$.
यहाँ $\tan ^{-1}(1) = \pi/4$ है।
$\frac{1}{2}y_1 - \frac{1}{2} + 2(\pi/4) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}y_1 - 2(\pi/4)y_1 = 0$.
$y_1 - 1 + \pi/2 - \pi/2 y_1 = 0$.
$y_1(1 - \pi/2) = 1 - \pi/2$.
अतः,$y_1 = 1$.

(A) दिया गया है,$\cos ^{-1}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)=\sin ^{-1}(a)$.
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर,$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \cos(\sin^{-1} a)$ प्राप्त होता है।
माना $\cos(\sin^{-1} a) = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अतः,$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$.
$x^2 - y^2 = k(x^2 + y^2) \Rightarrow x^2(1-k) = y^2(1+k)$.
$y^2 = x^2 \left(\frac{1-k}{1+k}\right)$.
माना $C = \sqrt{\frac{1-k}{1+k}}$,जो एक स्थिरांक है।
अतः $y^2 = C^2 x^2 \Rightarrow y = Cx$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y = Cx$,इसलिए $C = \frac{y}{x}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\log \sqrt{x^2+y^2}=\tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+y^2}) = \frac{1}{1+(\frac{x}{y})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{x}{y})$
$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (2x + 2y \frac{dy}{dx}) = \frac{y^2}{x^2+y^2} \cdot \frac{y - x \frac{dy}{dx}}{y^2}$
$\frac{2(x + y \frac{dy}{dx})}{2(x^2+y^2)} = \frac{y - x \frac{dy}{dx}}{x^2+y^2}$
$x + y \frac{dy}{dx} = y - x \frac{dy}{dx}$
$y \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} = y - x$
$\frac{dy}{dx}(x + y) = y - x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{x+y}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है $y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{4+5 \sin x}{5+4 \sin x}\right)$.
माना $f(x) = \frac{4+5 \sin x}{5+4 \sin x}$.
$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हैं: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - [f(x)]^2}} \cdot f'(x)$.
सबसे पहले,भागफल नियम (quotient rule) $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके $f'(x)$ ज्ञात करें:
$u = 4+5 \sin x \implies u' = 5 \cos x$
$v = 5+4 \sin x \implies v' = 4 \cos x$
$f'(x) = \frac{(5 \cos x)(5+4 \sin x) - (4+5 \sin x)(4 \cos x)}{(5+4 \sin x)^2} = \frac{9 \cos x}{(5+4 \sin x)^2}$.
अब,$1 - [f(x)]^2 = \frac{9 \cos^2 x}{(5+4 \sin x)^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{1 - [f(x)]^2} = \frac{3 |\cos x|}{5+4 \sin x}$.
मान रखने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{5+4 \sin x}{3 |\cos x|} \cdot \frac{9 \cos x}{(5+4 \sin x)^2} = \frac{3 \cos x}{|\cos x| (5+4 \sin x)}$.
इस प्रकार,$\cos x > 0$ के लिए $\frac{3}{5+4 \sin x}$ और $\cos x < 0$ के लिए $\frac{-3}{5+4 \sin x}$ प्राप्त होता है। विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $\frac{\pm 3}{5+4 \sin x}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $y = x \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$ है।
$x$ से भाग देने पर: $\frac{y}{x} = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$.
माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$. तो $\frac{x}{y} = \frac{1}{v}$.
समीकरण $v = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{v}\right)$ बन जाता है,जिसका अर्थ है $\tan(v) = \frac{1}{v}$,या $v \tan(v) = 1$.
हालाँकि,$y = x \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + x \cdot \frac{1}{1 + (x/y)^2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{y}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x}{y}\right) + x \cdot \frac{y^2}{x^2+y^2} \cdot \left(\frac{y - x \frac{dy}{dx}}{y^2}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{x}{x^2+y^2} \cdot (y - x \frac{dy}{dx})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{xy}{x^2+y^2} - \frac{x^2}{x^2+y^2} \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} \left(1 + \frac{x^2}{x^2+y^2}\right) = \frac{y}{x} + \frac{xy}{x^2+y^2}$
$\frac{dy}{dx} \left(\frac{2x^2+y^2}{x^2+y^2}\right) = \frac{2x^2y+y^3}{x(x^2+y^2)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(B) दिया गया समीकरण: $3 f(x)-2 f\left(\frac{1}{x}\right)=x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3 f^{\prime}(x)-2 f^{\prime}\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=1$
$3 f^{\prime}(x)+\frac{2}{x^2} f^{\prime}\left(\frac{1}{x}\right)=1$
$x=2$ के लिए:
$3 f^{\prime}(2)+\frac{2}{4} f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=1 \Rightarrow 3 f^{\prime}(2)+\frac{1}{2} f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ...$(i)$
$x=\frac{1}{2}$ के लिए:
$3 f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{(1/4)} f^{\prime}(2)=1 \Rightarrow 3 f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)+8 f^{\prime}(2)=1$ ...(ii)
$(i)$ से,$f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=2-6 f^{\prime}(2)$ प्राप्त होता है।
इस मान को (ii) में रखने पर:
$3(2-6 f^{\prime}(2))+8 f^{\prime}(2)=1$
$6-18 f^{\prime}(2)+8 f^{\prime}(2)=1$
$-10 f^{\prime}(2)=-5$
$f^{\prime}(2)=\frac{1}{2}$

(C) दिया गया समीकरण $x^3+y^3=3axy$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3x^2+3y^2 \frac{dy}{dx} = 3ay + 3ax \frac{dy}{dx}$
$(y^2-ax) \frac{dy}{dx} = ay-x^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{ay-x^2}{y^2-ax}$
बिंदु $\left(\frac{3a}{2}, \frac{3a}{2}\right)$ पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{a(\frac{3a}{2}) - (\frac{3a}{2})^2}{(\frac{3a}{2})^2 - a(\frac{3a}{2})} = \frac{\frac{3a^2}{2} - \frac{9a^2}{4}}{\frac{9a^2}{4} - \frac{3a^2}{2}} = \frac{-\frac{3a^2}{4}}{\frac{3a^2}{4}} = -1$.
$\frac{dy}{dx}(y^2-ax) = ay-x^2$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(2y \frac{dy}{dx} - a) \frac{dy}{dx} + (y^2-ax) \frac{d^2y}{dx^2} = a \frac{dy}{dx} - 2x$
बिंदु $\left(\frac{3a}{2}, \frac{3a}{2}\right)$ और $\frac{dy}{dx} = -1$ रखने पर:
$(2(\frac{3a}{2})(-1) - a)(-1) + ((\frac{3a}{2})^2 - a(\frac{3a}{2})) y^{\prime \prime} = a(-1) - 2(\frac{3a}{2})$
$(-3a-a)(-1) + (\frac{9a^2}{4} - \frac{6a^2}{4}) y^{\prime \prime} = -a - 3a$
$4a + \frac{3a^2}{4} y^{\prime \prime} = -4a$
$\frac{3a^2}{4} y^{\prime \prime} = -8a$
$3ay^{\prime \prime} = -32$
अतः,$3ay^{\prime \prime} + 40 = -32 + 40 = 8$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $f(x) f^{\prime}(-x) - f(-x) f^{\prime}(x) = 0$ है।
इसे $\frac{d}{dx} [f(x) f(-x)] = f^{\prime}(x) f(-x) - f(x) f^{\prime}(-x) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$f(x) f(-x) = c$,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है।
$x = 0$ पर,$f(0) f(0) = c \Rightarrow 3 \times 3 = 9$,इसलिए $c = 9$ है।
इस प्रकार,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) f(-x) = 9$ है।
$x = 3$ के लिए,$f(3) f(-3) = 9 \Rightarrow 9 \times f(-3) = 9 \Rightarrow f(-3) = 1$ है।
अंत में,$(1 + f(-3))^3 + 1 = (1 + 1)^3 + 1 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9$।