Derivatives of Functions in Parametric Forms Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $x = a(t - \sin t)$ અને $y = a(1 - \cos t).$
પ્રથમ,$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t).$
ત્યારબાદ,$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = a(0 - (-\sin t)) = a \sin t.$
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}.$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin t = 2 \sin \left( \frac{t}{2} \right) \cos \left( \frac{t}{2} \right)$ અને $1 - \cos t = 2 \sin^2 \left( \frac{t}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin (t/2) \cos (t/2)}{2 \sin^2 (t/2)} = \frac{\cos (t/2)}{\sin (t/2)} = \cot \left( \frac{t}{2} \right).$

(A) આપેલ છે કે $x = a(\cos t + \log \tan \frac{t}{2})$ અને $y = a \sin t$.
$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = a \cos t$ .....$(i)$
$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = a [-\sin t + \frac{1}{\tan(t/2)} \cdot \sec^2(t/2) \cdot \frac{1}{2}]$
$= a [-\sin t + \frac{\cos(t/2)}{\sin(t/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(t/2)} \cdot \frac{1}{2}]$
$= a [-\sin t + \frac{1}{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}]$
$= a [-\sin t + \frac{1}{\sin t}] = a [\frac{1 - \sin^2 t}{\sin t}] = a \frac{\cos^2 t}{\sin t}$ .....$(ii)$
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \cos t}{a \cos^2 t / \sin t} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tan t$.

(C) આપેલ છે કે $\tan y = \frac{2t}{1 - t^2}$ અને $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}.$
ધારો કે $t = \tan \theta.$
તેથી $\tan y = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \tan(2\theta),$ જેનો અર્થ છે કે $y = 2\theta.$
તે જ રીતે,$\sin x = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \sin(2\theta),$ જેનો અર્થ છે કે $x = 2\theta.$
કારણ કે $y = 2\theta$ અને $x = 2\theta,$ તેથી $y = x.$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1.$

(C) આપેલ છે કે $x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ અને $y = \frac{2t}{1 + t^2}$.
બંને સમીકરણોમાં $t = \tan \theta$ મૂકતા:
$x = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos 2\theta$
$y = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \sin 2\theta$
બંનેનું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = -2 \sin 2\theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 2 \cos 2\theta$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2 \cos 2\theta}{-2 \sin 2\theta} = -\cot 2\theta$.
કારણ કે $x = \cos 2\theta$ અને $y = \sin 2\theta$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} = -\frac{x}{y}$.

(D) આપેલ છે કે $x = at^2$ અને $y = 2at$.
પ્રથમ,$\frac{dx}{dt} = 2at$ અને $\frac{dy}{dt} = 2a$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$.
હવે,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{t}) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{t}) \cdot \frac{dt}{dx}$.
કારણ કે $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{2at}$,તેથી:
$\frac{d^2y}{dx^2} = (-\frac{1}{t^2}) \cdot \frac{1}{2at} = -\frac{1}{2at^3}$.

(A) આપેલ છે કે $x = 2\cos t - \cos 2t$ અને $y = 2\sin t - \sin 2t$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = -2\sin t + 2\sin 2t$
$\frac{dy}{dt} = 2\cos t - 2\cos 2t$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2\cos t - 2\cos 2t}{-2\sin t + 2\sin 2t} = \frac{\cos t - \cos 2t}{\sin 2t - \sin t}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ આગળ:
$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos \frac{\pi}{2} = 0$,$\sin \frac{\pi}{2} = 1$,$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - 0}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2} + 1$.

(A) આપેલ છે કે $x = a \sin 2\theta (1 + \cos 2\theta ) = 4a \sin \theta \cos^3 \theta$.
આપેલ છે કે $y = b \cos 2\theta (1 - \cos 2\theta ) = 2b \sin^2 \theta (2 \cos^2 \theta - 1)$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = 2a(\cos 2\theta + \cos 4\theta) = 4a \cos 3\theta \cos \theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = 2b(\sin 4\theta - \sin 2\theta) = 4b \cos 3\theta \sin \theta$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{4b \cos 3\theta \sin \theta}{4a \cos 3\theta \cos \theta} = \frac{b}{a} \tan \theta$.

(B) આપેલ છે કે $x = \frac{3at}{1 + t^3}$ અને $y = \frac{3at^2}{1 + t^3}$.
અહીં નોંધો કે $y = tx$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = t + x \frac{dt}{dx}$ ... $(i)$
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 3a \left[ \frac{(1 + t^3)(1) - t(3t^2)}{(1 + t^3)^2} \right] = \frac{3a(1 - 2t^3)}{(1 + t^3)^2}$.
તેથી,$\frac{dt}{dx} = \frac{(1 + t^3)^2}{3a(1 - 2t^3)}$.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = t + \left( \frac{3at}{1 + t^3} \right) \left( \frac{(1 + t^3)^2}{3a(1 - 2t^3)} \right)$
$\frac{dy}{dx} = t + \frac{t(1 + t^3)}{1 - 2t^3} = \frac{t(1 - 2t^3) + t + t^4}{1 - 2t^3} = \frac{t - 2t^4 + t + t^4}{1 - 2t^3} = \frac{2t - t^4}{1 - 2t^3} = \frac{t(2 - t^3)}{1 - 2t^3}$.

(B) આપેલ છે કે $x = t + \frac{1}{t}$ અને $y = t - \frac{1}{t}$.
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 - 1}{t^2}$
$\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 + 1}{t^2}$
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{(t^2 + 1)/t^2}{(t^2 - 1)/t^2} = \frac{t^2 + 1}{t^2 - 1}$
હવે,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left( \frac{t^2 + 1}{t^2 - 1} \right) \cdot \frac{dt}{dx}$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(2t)(t^2 - 1) - (t^2 + 1)(2t)}{(t^2 - 1)^2} = \frac{2t^3 - 2t - 2t^3 - 2t}{(t^2 - 1)^2} = \frac{-4t}{(t^2 - 1)^2}$
કારણ કે $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{t^2}{t^2 - 1}$,તેથી:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \left( \frac{-4t}{(t^2 - 1)^2} \right) \cdot \left( \frac{t^2}{t^2 - 1} \right) = \frac{-4t^3}{(t^2 - 1)^3} = -4t^3(t^2 - 1)^{-3}$.

(B) આપેલ છે કે $x = t^2$ અને $y = t^3$.
પ્રથમ,પ્રચલિત સમીકરણો માટે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dx}{dt} = 2t$ અને $\frac{dy}{dt} = 3t^2$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3}{2}t$.
હવે,$\frac{d^2y}{dx^2}$ શોધવા માટે $\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}t\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{3}{2}t\right) \cdot \frac{dt}{dx}$.
કારણ કે $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{2t}$,તેથી:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2t} = \frac{3}{4t}$.

(C) આપેલ છે કે $x = a \sin \theta$ અને $y = b \cos \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a \cos \theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = -b \sin \theta$.
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{-b \sin \theta}{a \cos \theta} = -\frac{b}{a} \tan \theta$.
ત્યારબાદ,$\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b}{a} \tan \theta \right) = -\frac{b}{a} \sec^2 \theta \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
કારણ કે $\frac{dx}{d\theta} = a \cos \theta$,તેથી $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{a \cos \theta}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{b}{a} \sec^2 \theta \cdot \frac{1}{a \cos \theta} = -\frac{b}{a^2} \sec^3 \theta$.

(C) આપેલ છે કે $y = t^{10} + 1$ અને $x = t^8 + 1.$
પ્રથમ,આપણે $t$ ને $x$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ: $t^8 = x - 1 \Rightarrow t^2 = (x - 1)^{1/4}.$
$y$ ના સમીકરણમાં $t^2$ ની કિંમત મૂકતા: $y = (t^2)^5 + 1 = ((x - 1)^{1/4})^5 + 1 = (x - 1)^{5/4} + 1.$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{4}(x - 1)^{5/4 - 1} = \frac{5}{4}(x - 1)^{1/4}.$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{5}{4} \times \frac{1}{4}(x - 1)^{1/4 - 1} = \frac{5}{16}(x - 1)^{-3/4} = \frac{5}{16(x - 1)^{3/4}}.$
કારણ કે $x - 1 = t^8$,તેથી $(x - 1)^{3/4} = (t^8)^{3/4} = t^6.$
તેથી,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{5}{16t^6}.$

(D) આપેલ છે કે $x = a \cos^3 \theta$ અને $y = a \sin^3 \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$\frac{dx}{d\theta} = 3a \cos^2 \theta (-\sin \theta) = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta (\cos \theta) = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\tan \theta$.
તેથી,$\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = (-\tan \theta)^2 = \tan^2 \theta$.
અંતે,$\sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = |\sec \theta|$.

(A) આપેલ પ્રાચલિત સમીકરણો:
$x = a(t + \sin t)$
$y = a(1 - \cos t)$
આપણે $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}[a(1 - \cos t)] = a(0 - (-\sin t)) = a \sin t$
ત્યારબાદ,$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[a(t + \sin t)] = a(1 + \cos t)$
હવે,$\frac{dy}{dx}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{a \sin t}{a(1 + \cos t)} = \frac{\sin t}{1 + \cos t}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin t = 2 \sin(t/2) \cos(t/2)$ અને $1 + \cos t = 2 \cos^2(t/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}{2 \cos^2(t/2)} = \frac{\sin(t/2)}{\cos(t/2)} = \tan(t/2)$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x = \frac{2t}{1 + t^2}$ અને $y = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$.
$t = \tan \theta$ લેતા.
તેથી $x = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \sin 2\theta$.
અને $y = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos 2\theta$.
હવે,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = 2 \cos 2\theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = -2 \sin 2\theta$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{-2 \sin 2\theta}{2 \cos 2\theta} = -\tan 2\theta$.
કારણ કે $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2t}{1 - t^2}$,
તેથી $\frac{dy}{dx} = -\left( \frac{2t}{1 - t^2} \right) = \frac{2t}{t^2 - 1}$.

(D) આપેલ છે કે $\cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}$. ધારો કે $t = \tan \theta$,તો $\cos x = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sec \theta} = \cos \theta$. તેથી,$x = \theta = \tan^{-1} t$.
આપેલ છે કે $\sin y = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}$. $t = \tan \theta$ મૂકતા,આપણને $\sin y = \frac{\tan \theta}{\sec \theta} = \sin \theta$ મળે છે. તેથી,$y = \theta = \tan^{-1} t$.
કારણ કે $x = \tan^{-1} t$ અને $y = \tan^{-1} t$,તેથી $x = y$ થાય.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$.

(B) આપેલ પ્રાચલિત સમીકરણો $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta )$ અને $y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta )$ છે.
પ્રથમ,$x$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a[-\sin \theta + (\sin \theta + \theta \cos \theta)] = a\theta \cos \theta$.
ત્યારબાદ,$y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = a[\cos \theta - (\cos \theta - \theta \sin \theta)] = a\theta \sin \theta$.
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\theta \sin \theta}{a\theta \cos \theta} = \tan \theta$.

(A) આપેલ છે કે $x = a \cos^4 \theta$ અને $y = a \sin^4 \theta$.
$y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = 4a \sin^3 \theta \cos \theta$.
$x$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = 4a \cos^3 \theta (-\sin \theta) = -4a \cos^3 \theta \sin \theta$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{4a \sin^3 \theta \cos \theta}{-4a \cos^3 \theta \sin \theta} = -\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = -\tan^2 \theta$.
$\theta = \frac{3\pi}{4}$ માટે,$\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -(\tan(\frac{3\pi}{4}))^2 = -(-1)^2 = -1$.

(D) આપેલ છે કે $x = \sin^{-1}(3t - 4t^3)$ અને $y = \cos^{-1}(\sqrt{1 - t^2})$.
$y = \cos^{-1}(\sqrt{1 - t^2})$ માટે,ધારો કે $t = \sin \theta$,તો $\sqrt{1 - t^2} = \cos \theta$.
તેથી,$y = \cos^{-1}(\cos \theta) = \theta = \sin^{-1} t$.
$x = \sin^{-1}(3t - 4t^3)$ માટે,ધારો કે $t = \sin \theta$,તો $x = \sin^{-1}(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta) = \sin^{-1}(\sin 3 \theta) = 3 \theta = 3 \sin^{-1} t$.
હવે,$x$ અને $y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}$
$\frac{dy}{dt} = 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1/\sqrt{1 - t^2}}{3/\sqrt{1 - t^2}} = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $x = a(t - \frac{1}{t})$ $(i)$ અને $y = a(t + \frac{1}{t})$ $(ii)$ છે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 = a^2(t^2 - 2 + \frac{1}{t^2})$ અને $y^2 = a^2(t^2 + 2 + \frac{1}{t^2})$ મળે છે.
$(ii)^2$ માંથી $(i)^2$ બાદ કરતા,$y^2 - x^2 = a^2(t^2 + 2 + \frac{1}{t^2} - (t^2 - 2 + \frac{1}{t^2})) = a^2(4) = 4a^2$ મળે છે.
$y^2 - x^2 = 4a^2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} - 2x = 0$ મળે છે.
તેથી,$2y \frac{dy}{dx} = 2x$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $x = \sin t \cos 2t$ $(i)$ અને $y = \cos t \sin 2t$ $(ii)$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $t$ ની સાપેક્ષે $(i)$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = \cos t \cos 2t - 2 \sin t \sin 2t$ $(iii)$
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $t$ ની સાપેક્ષે $(ii)$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = - \sin t \sin 2t + 2 \cos t \cos 2t$ $(iv)$
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2 \cos t \cos 2t - \sin t \sin 2t}{\cos t \cos 2t - 2 \sin t \sin 2t}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ આગળ,આપણી પાસે $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos 2(\frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{2} = 0$,અને $\sin 2(\frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2(\frac{1}{\sqrt{2}})(0) - (\frac{1}{\sqrt{2}})(1)}{(\frac{1}{\sqrt{2}})(0) - 2(\frac{1}{\sqrt{2}})(1)} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{-\frac{2}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $y = {\cos ^{ - 1}}(\sqrt x )$ અને $z = \sqrt {1 - x} $.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \times \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \times \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
ત્યારબાદ,$x$ ની સાપેક્ષમાં $z$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dz}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x}} \times \frac{d}{dx}(1 - x) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x}} \times (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{1 - x}}$.
હવે,$z$ ની સાપેક્ષમાં $y$ નું વિકલન સહગુણક શોધતા:
$\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \times \frac{1}{2\sqrt{x}}}{-\frac{1}{2\sqrt{1 - x}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે $y_1 = \sin^{-1}x$ અને $y_2 = \cos^{-1}\sqrt{1-x^2}$ છે.
$y_2$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [0, 1]$ માટે $\cos^{-1}\sqrt{1-x^2} = \sin^{-1}x$ થાય છે.
તેથી,$y_2 = y_1$ મળે.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy_1}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{dy_2}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
આમ,$y_1$ નું $y_2$ ની સાપેક્ષ વિકલન સહગુણક $\frac{dy_1}{dy_2} = \frac{dy_1/dx}{dy_2/dx} = \frac{1/\sqrt{1-x^2}}{1/\sqrt{1-x^2}} = 1$ થાય છે.

(B) ધારો કે $u = x^3$ અને $v = x^2$ છે.
આપણે $u$ નું $v$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન શોધવાનું છે,જે $\frac{du}{dv}$ છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$.
પ્રથમ,$u$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$.
ત્યારબાદ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.
તેથી,$\frac{du}{dv} = \frac{3x^2}{2x} = \frac{3}{2}x$.

(D) ધારો કે $y = \sin^2 x$ અને $z = \cos^2 x$.
પ્રથમ,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^2 x) = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$.
ત્યારબાદ,$z$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos^2 x) = 2 \cos x (-\sin x) = -2 \sin x \cos x = -\sin 2x$.
હવે,સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $y$ નું $z$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ:
$\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{\sin 2x}{-\sin 2x} = -1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $y = a \sin^3 t$ અને $x = a \cos^3 t$.
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$
$\frac{dx}{dt} = 3a \cos^2 t (-\sin t) = -3a \cos^2 t \sin t$
હવે,$\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\tan t$
આગળ,$x$ ની સાપેક્ષમાં $\frac{dy}{dx}$ નું વિકલન કરો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\tan t) = -\sec^2 t \cdot \frac{dt}{dx}$
કારણ કે $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{-3a \cos^2 t \sin t}$,તેથી:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\sec^2 t \cdot \frac{1}{-3a \cos^2 t \sin t} = \frac{\sec^2 t}{3a \cos^2 t \sin t} = \frac{1}{3a} \cdot \frac{\sec^4 t}{\sin t}$
$t = \frac{\pi}{4}$ પર,$\sec(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$ અને $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)_{t = \pi/4} = \frac{1}{3a} \cdot \frac{(\sqrt{2})^4}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{3a} \cdot \frac{4}{1/\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3a}$

(C) આપેલ છે કે $x = a \cos \theta + \frac{1}{2}b \cos 2\theta$ અને $y = a \sin \theta + \frac{1}{2}b \sin 2\theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta - b \sin 2\theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta + b \cos 2\theta$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta + b \cos 2\theta}{-a \sin \theta - b \sin 2\theta}$.
$\frac{d^2y}{dx^2}$ શોધવા માટે,આપણે $\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{d\theta}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{d\theta}{dx}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ લેતા,$\frac{d}{d\theta}(\frac{dy}{dx})$ નો અંશ શૂન્ય થવો જોઈએ.
સાદુરૂપ આપતા,આ શરત મળે છે:
$a^2 + 2b^2 + 3ab(\cos 2\theta \cos \theta + \sin 2\theta \sin \theta) = 0$
નિત્યસમ $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^2 + 2b^2 + 3ab \cos(2\theta - \theta) = 0$
$a^2 + 2b^2 + 3ab \cos \theta = 0$
તેથી,$\cos \theta = - \frac{a^2 + 2b^2}{3ab}$.

(D) સ્થાનના યામ $x = a + bt - ct^2$ અને $y = at + bt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગના ઘટકો શોધીએ છીએ:
$v_x = \frac{dx}{dt} = b - 2ct$
$v_y = \frac{dy}{dt} = a + 2bt$
ત્યારબાદ,વેગના ઘટકોનું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને પ્રવેગના ઘટકો શોધીએ છીએ:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} = -2c$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d^2y}{dt^2} = 2b$
પરિણામી પ્રવેગ $a$ એ પ્રવેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$
$a = \sqrt{(-2c)^2 + (2b)^2}$
$a = \sqrt{4c^2 + 4b^2}$
$a = 2\sqrt{b^2 + c^2}$

(B) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x = t^2 + 3t - 8$ અને $y = 2t^2 - 2t - 5$ છે.
પ્રથમ,બિંદુ $(2, -1)$ માટે $t$ ની કિંમત શોધીએ.
$x = 2$ ને $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $2 = t^2 + 3t - 8 \implies t^2 + 3t - 10 = 0 \implies (t+5)(t-2) = 0$. તેથી,$t = 2$ અથવા $t = -5$.
$t = 2$ ને $y$ ના સમીકરણમાં ચકાસતા: $y = 2(2)^2 - 2(2) - 5 = 8 - 4 - 5 = -1$. આ આપેલ બિંદુ સાથે સુસંગત છે.
હવે,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dx}{dt} = 2t + 3$ અને $\frac{dy}{dt} = 4t - 2$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4t - 2}{2t + 3}$ દ્વારા મળે છે.
$t = 2$ આગળ,ઢાળ $\frac{4(2) - 2}{2(2) + 3} = \frac{8 - 2}{4 + 3} = \frac{6}{7}$ થાય છે.

(A) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x = 3t^2 + 1$ અને $y = t^3 - 1$ છે.
પ્રથમ,આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dx}{dt} = 6t$
$\frac{dy}{dt} = 3t^2$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ આ મુજબ મળે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3t^2}{6t} = \frac{t}{2}$ (જ્યાં $t \neq 0$).
$x = 1$ માટે,$3t^2 + 1 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $3t^2 = 0$,તેથી $t = 0$.
જેમ $t \to 0$,તેમ ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{t}{2} \to 0$.
આમ,$x = 1$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $0$ છે.

(C) આપેલ પ્રાચલિત સમીકરણો $x = 2\cos^3\theta$ અને $y = 3\sin^3\theta$ છે.
$\theta = \pi/4$ પર,યામો:
$x = 2(\cos(\pi/4))^3 = 2(1/\sqrt{2})^3 = 2/(2\sqrt{2}) = 1/\sqrt{2}$.
$y = 3(\sin(\pi/4))^3 = 3(1/\sqrt{2})^3 = 3/(2\sqrt{2})$.
હવે,વિકલિત $dy/dx = (dy/d\theta) / (dx/d\theta)$ શોધો:
$dy/d\theta = 9\sin^2\theta \cos\theta$.
$dx/d\theta = -6\cos^2\theta \sin\theta$.
$dy/dx = (9\sin^2\theta \cos\theta) / (-6\cos^2\theta \sin\theta) = -3/2 \tan\theta$.
$\theta = \pi/4$ પર,$dy/dx = -3/2 \tan(\pi/4) = -3/2$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે:
$y - 3/(2\sqrt{2}) = -3/2(x - 1/\sqrt{2})$.
$2\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$2\sqrt{2}y - 3 = -3\sqrt{2}x + 3$.
$3\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y = 6$.
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$3x + 2y = 6/\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

(A) આપેલ છે કે $x = \sec \theta - \cos \theta$ અને $y = \sec^n \theta - \cos^n \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)$.
$\frac{dy}{d\theta} = n \sec^{n-1} \theta (\sec \theta \tan \theta) + n \cos^{n-1} \theta \sin \theta = n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)}{\tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)} = \frac{n(\sec^n \theta + \cos^n \theta)}{\sec \theta + \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{n^2(\sec^n \theta + \cos^n \theta)^2}{(\sec \theta + \cos \theta)^2}$.
નિત્યસમ $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sec^n \theta + \cos^n \theta)^2 = (\sec^n \theta - \cos^n \theta)^2 + 4 \sec^n \theta \cos^n \theta = y^2 + 4$.
તે જ રીતે,$(\sec \theta + \cos \theta)^2 = (\sec \theta - \cos \theta)^2 + 4 \sec \theta \cos \theta = x^2 + 4$.
આમ,$\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{n^2(y^2 + 4)}{x^2 + 4}$,જે દર્શાવે છે કે $(x^2 + 4) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = n^2(y^2 + 4)$.

(D) આપેલ છે $x = \sin t$ અને $y = \cos pt$.
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = \cos t$ અને $\frac{dy}{dt} = -p \sin pt$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-p \sin pt}{\cos t}$.
તેથી,$\cos t \frac{dy}{dx} = -p \sin pt$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-\sin t + \cos t \frac{d^2y}{dx^2} = -p^2 \cos pt \frac{dt}{dx}$.
કારણ કે $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos t}$,તેથી:
$-\sin t \frac{dy}{dx} + \cos t \frac{d^2y}{dx^2} = -p^2 \cos pt \frac{1}{\cos t}$.
$\cos t$ વડે ગુણતા:
$-\sin t \cos t \frac{dy}{dx} + \cos^2 t \frac{d^2y}{dx^2} = -p^2 \cos pt$.
$x = \sin t$,$\cos^2 t = 1 - x^2$,અને $y = \cos pt$ મૂકતા:
$(1 - x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} + p^2 y = 0$.
તેથી,$(1 - x^2)y_2 - xy_1 + p^2y = 0$.

(A) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો: $x = a \cos^3 \theta$ અને $y = a \sin^3 \theta$.
સૌ પ્રથમ,વિકલન સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dx}{d\theta} = 3a \cos^2 \theta (-\sin \theta) = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta (\cos \theta) = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\tan \theta$
$\theta = \pi / 4$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\tan(\pi / 4) = -1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t}$ દ્વારા મળે છે.
$m_n = -\frac{1}{-1} = 1$.

(D) આપેલ પ્રાચલિત સમીકરણો: $x = 1 - a \sin \theta$ અને $y = b \cos^2 \theta$.
પ્રથમ,વિકલિત $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ શોધો.
$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(1 - a \sin \theta) = -a \cos \theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(b \cos^2 \theta) = b(2 \cos \theta)(-\sin \theta) = -2b \cos \theta \sin \theta$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{-2b \cos \theta \sin \theta}{-a \cos \theta} = \frac{2b}{a} \sin \theta$.
$\theta = \pi / 2$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{2b}{a} \sin(\pi / 2) = \frac{2b}{a}$ થાય.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2b/a} = -\frac{a}{2b}$ થાય.

(D) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $x = t^2 + 3t - 8$,તેથી $\frac{dx}{dt} = 2t + 3$.
આપેલ છે કે $y = 2t^2 - 2t - 5$,તેથી $\frac{dy}{dt} = 4t - 2$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{4t - 2}{2t + 3}$.
$t = 2$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{4(2) - 2}{2(2) + 3} = \frac{8 - 2}{4 + 3} = \frac{6}{7}$ થાય.

(A) જો સ્પર્શક $x$-અક્ષને લંબ હોય,તો તેનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત હોય છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $\frac{dx}{dt} = 0$ અને $\frac{dy}{dt} \neq 0$ હોય.
આપેલ પ્રચલિત સમીકરણો $x = t^2 - 1$ અને $y = t^2 - t$ છે.
આપણે $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 1) = 2t$.
$\frac{dx}{dt} = 0$ લેતા,$2t = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $t = 0$.
$t = 0$ આગળ,આપણે $\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - t) = 2t - 1$ તપાસીએ. $t = 0$ મૂકતા,આપણને $\frac{dy}{dt} = -1 \neq 0$ મળે છે.
આમ,$t = 0$ આગળ $\frac{dx}{dt} = 0$ અને $\frac{dy}{dt} \neq 0$ હોવાથી,સ્પર્શક $x$-અક્ષને લંબ છે.

(A) ધારો કે $u = \sqrt{x^2 + 16}$ અને $v = \frac{x}{x - 1}$.
પ્રથમ,$u$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 16}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}}$.
ત્યારબાદ,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $v$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = \frac{(x - 1)(1) - x(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-1}{(x - 1)^2}$.
હવે,$u$ નો $v$ ની સાપેક્ષ બદલવાનો દર:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} \cdot \frac{(x - 1)^2}{-1}$.
$x = 3$ કિંમત મૂકતા:
$\left( \frac{du}{dv} \right)_{x=3} = \frac{3}{\sqrt{3^2 + 16}} \cdot \frac{(3 - 1)^2}{-1} = \frac{3}{\sqrt{25}} \cdot \frac{4}{-1} = \frac{3}{5} \cdot (-4) = -\frac{12}{5}$.

(C) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો:
$x = t^2 + 3t - 8$ અને $y = 2t^2 - 2t - 5$.
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 2t + 3$
$\frac{dy}{dt} = 4t - 2$
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4t - 2}{2t + 3}$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(2, -1)$ આગળ $t$ ની કિંમત શોધવા માટે,યામોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 = t^2 + 3t - 8 \Rightarrow t^2 + 3t - 10 = 0 \Rightarrow (t+5)(t-2) = 0 \Rightarrow t = 2, -5$.
$-1 = 2t^2 - 2t - 5 \Rightarrow 2t^2 - 2t - 4 = 0 \Rightarrow t^2 - t - 2 = 0 \Rightarrow (t-2)(t+1) = 0 \Rightarrow t = 2, -1$.
બંને માટે સામાન્ય કિંમત $t = 2$ છે.
હવે,$t = 2$ ને ઢાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{4(2) - 2}{2(2) + 3} = \frac{8 - 2}{4 + 3} = \frac{6}{7}$.

(D) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x = a \sin^3 t$ અને $y = a \cos^3 t$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ:
$\frac{dx}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$
$\frac{dy}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dy}{dx} = \frac{-3a \cos^2 t \sin t}{3a \sin^2 t \cos t} = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\cot t$.
$t = \frac{\pi}{3}$ આગળ,ઢાળ:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{t = \pi/3} = -\cot\left( \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે વેગ $v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2t}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{v} \right) = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx}$.
સાંકળના નિયમ (chain rule) મુજબ,$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = f \cdot \frac{1}{v} = \frac{f}{v}$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{d^2t}{dx^2} = -\frac{1}{v^2} \left( \frac{f}{v} \right) = -\frac{f}{v^3}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે $f = -v^3 \frac{d^2t}{dx^2}$.

(C) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો:
$x = a(\theta - \sin \theta)$ અને $y = a(1 - \cos \theta)$.
સૌ પ્રથમ,આપણે વિકલન $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ શોધીશું.
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos \theta)$ અને $\frac{dy}{d\theta} = a(\sin \theta)$.
આમ,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{a \sin \theta}{a(1 - \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}$ થાય.
$\theta = \pi / 2$ આગળ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(\pi / 2)}{1 - \cos(\pi / 2)} = \frac{1}{1 - 0} = 1$.
અભિલંબનો ઢાળ $= -\frac{1}{\text{સ્પર્શકનો ઢાળ}}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $-1 / 1 = -1$ થાય.

(D) આપેલ પ્રાચલ સમીકરણો $x = \frac{t - 1}{t + 1}$ અને $y = \frac{t + 1}{t - 1}$ છે.
$t = 2$ માટે,$x = \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$ અને $y = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$ મળે.
અહીં $xy = \left(\frac{t - 1}{t + 1}\right) \times \left(\frac{t + 1}{t - 1}\right) = 1$ થાય છે.
તેથી,$y = \frac{1}{x}$,જેનું વિકલન કરતા $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ મળે.
$x = \frac{1}{3}$ આગળ ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1/3)^2} = -9$ થાય.
બિંદુ $(\frac{1}{3}, 3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ સૂત્ર મુજબ:
$y - 3 = -9(x - \frac{1}{3})$.
$y - 3 = -9x + 3$.
$9x + y - 6 = 0$.

(D) અહીં $x = t^2 + 3t - 8 = 2$
$t^2 + 3t - 10 = 0$
$(t + 5)(t - 2) = 0$
$t = -5$ અથવા $t = 2$
તે જ રીતે $y = 2t^2 - 2t - 5 = -1$
$2t^2 - 2t - 4 = 0$
$t^2 - t - 2 = 0$
$(t - 2)(t + 1) = 0$
$t = 2$ અથવા $t = -1$
બંને સમીકરણો માટે સામાન્ય કિંમત $t = 2$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dx}{dt} = 2t + 3$
$\frac{dy}{dt} = 4t - 2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{4t - 2}{2t + 3}$
$t = 2$ માટે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{4(2) - 2}{2(2) + 3} = \frac{8 - 2}{4 + 3} = \frac{6}{7}$.

(C) આપેલ છે કે $x = a \cos \theta$ અને $y = b \sin \theta$.
પ્રથમ,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{b \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\frac{b}{a} \cot \theta$.
ત્યારબાદ,બીજું વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ શોધો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b}{a} \cot \theta \right) = -\frac{b}{a} (-\csc^2 \theta) \frac{d\theta}{dx} = \frac{b}{a} \csc^2 \theta \left( \frac{1}{-a \sin \theta} \right) = -\frac{b}{a^2} \csc^3 \theta$.
અંતે,ત્રીજું વિકલન $\frac{d^3y}{dx^3}$ શોધો:
$\frac{d^3y}{dx^3} = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b}{a^2} \csc^3 \theta \right) = -\frac{b}{a^2} (3 \csc^2 \theta \cdot -\csc \theta \cot \theta) \frac{d\theta}{dx} = \frac{3b}{a^2} \csc^3 \theta \cot \theta \left( \frac{1}{-a \sin \theta} \right) = -\frac{3b}{a^3} \csc^4 \theta \cot \theta$.

(A) આપેલ છે કે $x = e^t \sin t$ અને $y = e^t \cos t$. બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,$1 = e^t \sin t$ અને $1 = e^t \cos t$ થાય.
આ બંનેનો ભાગાકાર કરતા,$\tan t = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{\pi}{4}$.
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t(\sin t + \cos t)$
$\frac{dy}{dt} = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t(\cos t - \sin t)$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t}$.
હવે,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(\cos t + \sin t)(-\sin t - \cos t) - (\cos t - \sin t)(-\sin t + \cos t)}{(\cos t + \sin t)^2} = \frac{-2}{(\cos t + \sin t)^2}$.
આમ,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2}{(\cos t + \sin t)^2} \cdot \frac{1}{e^t(\sin t + \cos t)} = \frac{-2}{e^t(\sin t + \cos t)^3}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ મુકતા,$e^t \sin t = 1$ અને $e^t \cos t = 1$,તેથી $e^t = \sqrt{2}$ અને $\sin t = \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કિંમતો મુકતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2}{\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})^3} = \frac{-2}{\sqrt{2}(\sqrt{2})^3} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) આપેલ પ્રચલિત સમીકરણો: $x = a(2 \cos t - \cos 2t)$ અને $y = a(2 \sin t - \sin 2t)$.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ ગણીએ છીએ.
$\frac{dy}{dt} = a(2 \cos t - 2 \cos 2t) = 2a(\cos t - \cos 2t)$.
$\frac{dx}{dt} = a(-2 \sin t + 2 \sin 2t) = 2a(\sin 2t - \sin t)$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{2a(\cos t - \cos 2t)}{2a(\sin 2t - \sin t)} = \frac{\cos t - \cos 2t}{\sin 2t - \sin t}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોવા માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\cos t = \cos 2t$.
નિત્યસમ $\cos A = \cos B \implies A = 2n\pi \pm B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2t = 2n\pi \pm t$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $2t = 2n\pi + t \implies t = 2n\pi$.
કિસ્સો $2$: $2t = 2n\pi - t \implies 3t = 2n\pi \implies t = \frac{2n\pi}{3}$.
$n=1$ માટે,$t = 2\pi/3$. $n=2$ માટે,$t = 4\pi/3$.
આ મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત $\frac{4\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ છે.

(A) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો:
$x = a(t + \sin t \cos t) = a(t + \frac{1}{2} \sin 2t)$
$y = a(1 + \sin t)^2$
પ્રથમ,$x$ અને $y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = a(1 + \cos 2t) = a(2 \cos^2 t) = 2a \cos^2 t$
$\frac{dy}{dt} = 2a(1 + \sin t) \cos t$
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan \theta = \frac{dy/dt}{dx/dt}$:
$\tan \theta = \frac{2a(1 + \sin t) \cos t}{2a \cos^2 t} = \frac{1 + \sin t}{\cos t}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$1 + \sin t = (\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2})^2$
$\cos t = \cos^2 \frac{t}{2} - \sin^2 \frac{t}{2} = (\cos \frac{t}{2} - \sin \frac{t}{2})(\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2})$
તેથી,$\tan \theta = \frac{\cos \frac{t}{2} + \sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2} - \sin \frac{t}{2}}$
અંશ અને છેદને $\cos \frac{t}{2}$ વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{1 + \tan \frac{t}{2}}{1 - \tan \frac{t}{2}} = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{t}{2})$
આમ,$\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{t}{2} = \frac{\pi + 2t}{4}$.

(B) આપેલ પ્રાચલિત સમીકરણો:
$x = t^3 - 4t^2 - 3t$
$y = 2t^2 + 3t - 5$
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$\frac{dx}{dt} = 3t^2 - 8t - 3$
$\frac{dy}{dt} = 4t + 3$
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4t + 3}{3t^2 - 8t - 3}$ દ્વારા મળે છે.
સમક્ષિતિજ સ્પર્શક માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dt} = 0$ અને $\frac{dx}{dt} \neq 0$:
$4t + 3 = 0 \implies t = -\frac{3}{4}$.
$t = -\frac{3}{4}$ માટે,$\frac{dx}{dt} = 3(-\frac{3}{4})^2 - 8(-\frac{3}{4}) - 3 = \frac{27}{16} + 3 \neq 0$.
આમ,$1$ સમક્ષિતિજ સ્પર્શક છે,તેથી $H = 1$.
શિરોલંબ સ્પર્શક માટે,$\frac{dx}{dt} = 0$ અને $\frac{dy}{dt} \neq 0$:
$3t^2 - 8t - 3 = 0$
$(3t + 1)(t - 3) = 0$
$t = -\frac{1}{3}$ અથવા $t = 3$.
આ કિંમતો માટે,$\frac{dy}{dt} = 4t + 3 \neq 0$.
આમ,$2$ શિરોલંબ સ્પર્શક છે,તેથી $V = 2$.
તેથી,$H = 1$ અને $V = 2$.

(C) આપેલ છે કે $x = \frac{1}{t^3} + \frac{1}{t^2}$ અને $y = \frac{3}{2t^2} + \frac{2}{t}$.
$x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = -\frac{3}{t^4} - \frac{2}{t^3} = -\frac{3 + 2t}{t^4}$.
$y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{2} \left( -\frac{2}{t^3} \right) - \frac{2}{t^2} = -\frac{3}{t^3} - \frac{2}{t^2} = -\frac{3 + 2t}{t^3}$.
હવે,$\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-(3 + 2t)/t^3}{-(3 + 2t)/t^4} = \frac{t^4}{t^3} = t$.
હવે $\frac{dy}{dx} = t$ ની કિંમત $x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - \frac{dy}{dx}$ માં મૂકતા:
$x(t)^3 - t = \left( \frac{1 + t}{t^3} \right) t^3 - t = (1 + t) - t = 1$.