मान लीजिए कि f को f(x) = begin{cases} frac{ta | vedclass

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Question

(B) $x 
eq 0$ के लिए,$f(x) = \frac{	an x}{x}$ है। $x = 0$ के निकट $	an x$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:$	an x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2

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कथन-$1$ सही है,कथन-$2$ सही है; कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण है।

Vedclass · Answer

(B) $x 
eq 0$ के लिए,$f(x) = \frac{	an x}{x}$ है। $x = 0$ के निकट $	an x$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:$	an x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots$अतः,$f(x) = \frac{x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots}{x} = 1 + \frac{x^2}{3} + \frac{2x^4}{15} + \dots$चूंकि $f(0) = 1$,फलन $x = 0$ पर सतत है।$x = 0$ के निकट,$f(x) \approx 1 + \frac{x^2}{3}$ है।चूंकि $x^2$ का गुणांक धनात्मक $(1/3 > 0)$ है,इसलिए $f(x)$ का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है। अतः,कथन-$1$ सही है।अब,$f'(x) = \frac{d}{dx} (1 + \frac{x^2}{3} + \dots) = \frac{2x}{3} + \dots$$x = 0$ पर,$f'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{(1 + h^2/3 + \dots) - 1}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{h}{3} = 0$ है।अतः,कथन-$2$ सही है।चूंकि $f'(0) = 0$ और $f''(0) = 2/3 > 0$ है,द्वितीय अवकलज परीक्षण यह पुष्टि करता है कि $x = 0$ एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है। इसलिए,कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण है।

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