Tangent and Normal Questions in Hindi

(D) दिया गया वक्र $y^2(x-a)=x^2(x+a)$ है।
स्पर्श रेखा के $X$-अक्ष के समांतर होने के लिए,ढाल $\frac{dy}{dx} = 0$ होनी चाहिए।
अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx}(x-a) + y^2 = 2x(x+a) + x^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,$y^2 = 3x^2 + 2ax$ मिलता है।
$y^2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{x^2(x+a)}{x-a} = 3x^2 + 2ax$।
$x=0$ के लिए $y=0$ मिलता है। अन्य हल के लिए $x$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - ax - a^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसके मूल $x = \frac{a \pm a\sqrt{5}}{2}$ हैं।
$y^2 = 5ax + 3a^2$ में मान रखने पर,केवल धनात्मक मान के लिए वास्तविक $y$ प्राप्त होता है,अतः $2$ स्पर्श रेखाएँ संभव हैं।

(A) स्पर्श रेखा का समीकरण $2y = 3x - 1$ है,जिसे $y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{3}{2}$ है।
दिए गए वक्र $y^2 = ax^3 + b$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$.
बिंदु $(1, 1)$ पर,ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{3a(1)^2}{2(1)} = \frac{3a}{2}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{3a}{2} = \frac{3}{2} \implies a = 1$.
चूंकि बिंदु $(1, 1)$ वक्र $y^2 = ax^3 + b$ पर स्थित है,इसलिए $x=1, y=1, a=1$ रखने पर:
$1^2 = 1(1)^3 + b \implies 1 = 1 + b \implies b = 0$.
अतः,$(a, b) = (1, 0)$.

(B) माना स्पर्श बिंदु $(h, k)$ है। चूँकि $(h, k)$ वक्र $y = \sin x$ पर स्थित है,इसलिए $k = \sin h$ है।
$(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = \cos x$ है। $(h, k)$ पर प्रवणता $\cos h$ है।
$(h, k)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - k = \cos h(x - h)$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$0 - k = \cos h(0 - h) \Rightarrow -k = -h \cos h \Rightarrow k = h \cos h$।
$k = \sin h$ से,$\cos h = \frac{k}{h}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^2 h + \cos^2 h = 1$ का उपयोग करते हुए,$\sin h = k$ और $\cos h = \frac{k}{h}$ रखने पर:
$k^2 + \left(\frac{k}{h}\right)^2 = 1
k^2 + \frac{k^2}{h^2} = 1
h^2 k^2 + k^2 = h^2
h^2 - k^2 = h^2 k^2$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x^2 - y^2 = x^2 y^2$ है।

(C) दिए गए वक्र का समीकरण $3 y^2 = 4 x^3$ ...$(i)$ है।
माना $P(h, k)$ वक्र पर एक बिंदु है।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$6 y \frac{dy}{dx} = 12 x^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2 x^2}{y}$।
बिंदु $(h, k)$ पर,ढाल $m = \frac{2 h^2}{k}$ है।
अधोस्पर्शक की लंबाई $T = \left| \frac{k}{m} \right| = \left| \frac{k}{2 h^2 / k} \right| = \frac{k^2}{2 h^2}$।
चूंकि $3 k^2 = 4 h^3$,इसलिए $k^2 = \frac{4}{3} h^3$।
इस मान को $T$ में प्रतिस्थापित करने पर,$T = \frac{4 h^3}{3(2 h^2)} = \frac{2}{3} h$।
अधोलंब की लंबाई $N = |k m| = \left| k \cdot \frac{2 h^2}{k} \right| = 2 h^2$।
हमें $T$ और $N$ के बीच संबंध ज्ञात करना है।
$N = 2 h^2$ से,$h^2 = \frac{N}{2}$,इसलिए $h = \sqrt{\frac{N}{2}}$।
अतः $T = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{N}{2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{N}{2} = \frac{2 N}{9}$।
इस प्रकार,$9 T^2 = 2 N$,जिसे $(3 T)^2 = 2 N$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना $(\beta T)^2 = 2 N$ से करने पर,हमें $\beta = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना $f(x) = x^3$ है। बिंदुओं $(-1, -1)$ और $(2, 8)$ को मिलाने वाली जीवा की प्रवणता $m = \frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \frac{8 - (-1)}{3} = \frac{9}{3} = 3$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा इस जीवा के समांतर है,इसलिए उस बिंदु पर अवकलज $f'(x)$ का मान जीवा की प्रवणता के बराबर होना चाहिए।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$।
$f'(x) = 3$ रखने पर,हमें $3x^2 = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$,अतः $x = 1$ या $x = -1$।
$x = 1$ के लिए,$y = (1)^3 = 1$,जिससे बिंदु $(1, 1)$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ के लिए,$y = (-1)^3 = -1$,जिससे बिंदु $(-1, -1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(-1, -1)$ जीवा का एक अंत बिंदु है,इसलिए वक्र पर अभीष्ट बिंदु $(1, 1)$ है।

(D) वक्रों $x^2+4y=0$ और $xy=2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए:
$y = \frac{2}{x}$ को $x^2+4y=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + 4(\frac{2}{x}) = 0$
$x^2 + \frac{8}{x} = 0$
$x^3 + 8 = 0 \Rightarrow x^3 = -8 \Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ के लिए,$y = \frac{2}{-2} = -1$. अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, -1)$ है।
प्रथम वक्र $x^2+4y=0$ की ढाल:
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 4\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$.
$x = -2$ पर,$m_1 = -\frac{-2}{2} = 1$.
दूसरे वक्र $xy=2$ की ढाल:
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y + x\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
$(-2, -1)$ पर,$m_2 = -\frac{-1}{-2} = -\frac{1}{2}$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$.

(C) दिया गया वक्र समीकरण $\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left(\frac{y}{b}\right)^n = 2$ है।
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$n\left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n\left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(a, b)$ पर,$x = a$ और $y = b$ रखने पर:
$n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{n}{a} + \frac{n}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{n}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{n}{a} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$.
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - b = m(x - a)$ है,जहाँ $m = -\frac{b}{a}$ है।
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$.
$a(y - b) = -b(x - a)$.
$ay - ab = -bx + ab$.
$bx + ay = 2ab$.
दोनों पक्षों को $ab$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) वक्र का समीकरण $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ है।
प्राचलिक समीकरण $x = a \cos^3 \theta$ और $y = a \sin^3 \theta$ हैं।
अवकलन $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\tan \theta$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m_T = -\tan \theta$ है।
अभिलंब की ढाल $m_N = \frac{-1}{m_T} = \cot \theta$ है।
दिया गया है कि अभिलंब $X$-अक्ष के साथ $\phi$ कोण बनाता है,इसलिए इसकी ढाल $\tan \phi$ है।
अतः,$\tan \phi = \cot \theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$,जिसका अर्थ है $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,या $\theta = \frac{\pi}{2} - \phi$.
$\theta$ का मान प्राचलिक निर्देशांकों में रखने पर: $x = a \cos^3(\frac{\pi}{2} - \phi) = a \sin^3 \phi$ और $y = a \sin^3(\frac{\pi}{2} - \phi) = a \cos^3 \phi$.
बिंदु $(a \sin^3 \phi, a \cos^3 \phi)$ पर और $\tan \phi$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण:
$y - a \cos^3 \phi = \tan \phi (x - a \sin^3 \phi)$
$y \cos \phi - a \cos^4 \phi = x \sin \phi - a \sin^4 \phi$
$y \cos \phi - x \sin \phi = a (\cos^4 \phi - \sin^4 \phi)$
$y \cos \phi - x \sin \phi = a (\cos^2 \phi - \sin^2 \phi)(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi)$
$y \cos \phi - x \sin \phi = a \cos 2 \phi$.

(A) दिए गए वक्र हैं:
$x^2 = 3y \quad ...(i)$
$x^2 + y^2 = 4 \quad ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ में $x^2 = 3y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3y + y^2 = 4$
$y^2 + 3y - 4 = 0$
$(y + 4)(y - 1) = 0$
चूंकि $x^2 = 3y$,$y$ गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $y = 1$.
$y = 1$ को $x^2 = 3y$ में रखने पर,$x^2 = 3$,इसलिए $x = \pm \sqrt{3}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(\sqrt{3}, 1)$ और $(-\sqrt{3}, 1)$ हैं।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(i)$ के लिए,$2x = 3 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3}$.
$(ii)$ के लिए,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
बिंदु $(\sqrt{3}, 1)$ पर:
$m_1 = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$m_2 = -\frac{\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} - (-\sqrt{3})}{1 + (\frac{2}{\sqrt{3}})(-\sqrt{3})} \right|$
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{2 + 3}{\sqrt{3}}}{1 - 2} \right| = \left| \frac{5/\sqrt{3}}{-1} \right| = \frac{5}{\sqrt{3}}$
इसलिए,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{5}{\sqrt{3}} \right)$.

(D) दिए गए वक्र $C_1: x^2 y = 1$ और $C_2: y(x^2 + 1) = 2$ हैं।
सबसे पहले,दूसरे समीकरण में $y = 1/x^2$ रखकर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $(1/x^2)(x^2 + 1) = 2 \implies 1 + 1/x^2 = 2 \implies 1/x^2 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
$x = 1$ के लिए,$y = 1$. $x = -1$ के लिए,$y = 1$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ और $(-1, 1)$ हैं।
$C_1$ के लिए,$y = x^{-2} \implies dy/dx = -2x^{-3} = -2/x^3$. $(1, 1)$ पर,$m_1 = -2$.
$C_2$ के लिए,$y = 2/(x^2 + 1) \implies dy/dx = -2(2x)/(x^2 + 1)^2 = -4x/(x^2 + 1)^2$. $(1, 1)$ पर,$m_2 = -4(1)/(1+1)^2 = -4/4 = -1$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |(m_1 - m_2) / (1 + m_1 m_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = |(-2 - (-1)) / (1 + (-2)(-1))| = |-1 / (1 + 2)| = |-1/3| = 1/3$.
अतः,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(1/3)$.

(D) दिए गए वक्र हैं:
$x^2+p y^2=1$ $(i)$
$q x^2+y^2=1$ (ii)
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2py \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = m_1 = -\frac{x}{py}$
(ii) का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2qx + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = m_2 = -\frac{qx}{y}$
चूंकि वक्र लंबकोणीय हैं,$m_1 \cdot m_2 = -1$:
$(-\frac{x}{py}) \cdot (-\frac{qx}{y}) = -1$
$\frac{qx^2}{py^2} = -1 \implies qx^2 = -py^2$
$(i)$ से,$x^2 = 1 - py^2$. इस मान को शर्त में रखने पर:
$q(1 - py^2) = -py^2$
$q - qpy^2 = -py^2$
$q = y^2(qp - p) \implies y^2 = \frac{q}{p(q-1)}$
इसी प्रकार,$x^2 = \frac{p(1-q)}{q-p}$. $x^2$ और $y^2$ के मान को $q x^2 + y^2 = 1$ में रखने पर:
$q(\frac{p(1-q)}{q-p}) + \frac{q}{p(q-1)} = 1$
सरल करने पर,हमें $p+q = 2pq$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 2$.

(C) दिया गया वक्र $y^4=a x^3$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$4 y^3 \frac{d y}{d x} = 3 a x^2$.
बिंदु $(a, a)$ पर स्पर्श रेखा (tangent) की ढाल:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a, a)} = \frac{3 a(a)^2}{4(a)^3} = \frac{3 a^3}{4 a^3} = \frac{3}{4}$.
अभिलंब की ढाल स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$m_{\text{normal}} = -\frac{1}{3/4} = -\frac{4}{3}$.
बिंदु $(a, a)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - a = -\frac{4}{3}(x - a)$.
$3$ से गुणा करने पर: $3y - 3a = -4x + 4a$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4x + 3y = 7a$.

(D) दिए गए वक्र $y^2=4x+4$ $(i)$ और $y^2=36(9-x)$ (ii) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$4x+4 = 324-36x$
$40x = 320 \Rightarrow x=8$.
$x=8$ को $(i)$ में रखने पर,$y^2 = 4(8)+4 = 36 \Rightarrow y = \pm 6$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(8,6)$ और $(8,-6)$ हैं।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$.
(ii) का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = -36 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-18}{y}$.
बिंदु $(8,6)$ पर:
$m_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ और $m_2 = \frac{-18}{6} = -3$.
चूंकि $m_1 \times m_2 = \frac{1}{3} \times (-3) = -1$,स्पर्श रेखाएं लंबवत हैं।
अतः,वक्रों के बीच का कोण $90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $2y^4 = x^5$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$8y^3 \frac{dy}{dx} = 5x^4$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(2, 2)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (slope):
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 2)} = \frac{5(2)^4}{8(2)^3} = \frac{5 \times 16}{8 \times 8} = \frac{80}{64} = \frac{5}{4}$ है।
अधःस्पर्शक की लंबाई का सूत्र $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ होता है।
मान रखने पर:
अधःस्पर्शक की लंबाई $= \frac{2}{5/4} = 2 \times \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$।

(D) वक्रों के समीकरण $xy=2$ $\dots(i)$ और $x^2+4y=0$ $\dots(ii)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$(ii)$ से $y = -x^2/4$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करें:
$x(-x^2/4) = 2 \Rightarrow -x^3 = 8 \Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ को $(ii)$ में रखने पर,हमें $4 + 4y = 0 \Rightarrow y = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, -1)$ है।
वक्र $(i)$ के लिए,$y = 2/x$,इसलिए $dy/dx = -2/x^2$। $x = -2$ पर,$m_1 = -2/(-2)^2 = -2/4 = -1/2$।
वक्र $(ii)$ के लिए,$x^2 + 4y = 0$,इसलिए $2x + 4(dy/dx) = 0 \Rightarrow dy/dx = -x/2$। $x = -2$ पर,$m_2 = -(-2)/2 = 1$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |(m_1 - m_2) / (1 + m_1 m_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = |(-1/2 - 1) / (1 + (-1/2)(1))| = |(-3/2) / (1/2)| = |-3| = 3$।

(B) दिए गए वक्र $x=y^2$ $(i)$ और $xy=a^3$ (ii) हैं।
वक्र $(i)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
वक्र (ii) के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x=y^2$ को $xy=a^3$ में रखने पर: $y^2 \cdot y = a^3 \Rightarrow y^3 = a^3 \Rightarrow y = a$.
अतः $x = a^2$. इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(a^2, a)$ है।
माना $(a^2, a)$ पर स्पर्श रेखाओं की प्रवणता $m_1$ और $m_2$ है।
$m_1 = \left(\frac{1}{2y}\right)_{(a^2, a)} = \frac{1}{2a}$.
$m_2 = \left(-\frac{y}{x}\right)_{(a^2, a)} = -\frac{a}{a^2} = -\frac{1}{a}$.
चूंकि वक्र लंबवत काटते हैं,इसलिए $m_1 m_2 = -1$.
$\left(\frac{1}{2a}\right) \left(-\frac{1}{a}\right) = -1$.
$-\frac{1}{2a^2} = -1$.
$2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2}$.

(C) माना स्पर्श बिंदु $(h, k)$ है। चूँकि $(h, k)$ वक्र $y=x^2+3x+4$ पर स्थित है,इसलिए $k=h^2+3h+4$ ... $(i)$.
स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = 2x+3$ है। $(h, k)$ पर प्रवणता $m = 2h+3$ है।
$(h, k)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y-k = (2h+3)(x-h)$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा $(0, 0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $x=0$ और $y=0$ रखने पर:
$0-k = (2h+3)(0-h) \Rightarrow -k = -2h^2-3h \Rightarrow k = 2h^2+3h$ ... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$h^2+3h+4 = 2h^2+3h$
$h^2 = 4 \Rightarrow h = \pm 2$.
यदि $h = -2$,तो $k = (-2)^2+3(-2)+4 = 2$। अतः,$(\alpha, \beta) = (-2, 2)$।
यदि $h = 2$,तो $k = (2)^2+3(2)+4 = 14$। अतः,$(\gamma, \delta) = (2, 14)$।
इस प्रकार,$\beta+\delta = 2+14 = 16$।

(A) दिया गया वक्र $3y^2 = (x+5)^3$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $6y \frac{dy}{dx} = 3(x+5)^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{(x+5)^2}{2y}$।
उपस्पर्शरेखा की लंबाई $ST = |\frac{y}{dy/dx}| = |\frac{y}{(x+5)^2 / 2y}| = |\frac{2y^2}{(x+5)^2}|$ है।
$y^2 = \frac{(x+5)^3}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $ST = |\frac{2(x+5)^3}{3(x+5)^2}| = |\frac{2(x+5)}{3}|$ प्राप्त होता है।
अतः,$(ST)^2 = \frac{4(x+5)^2}{9}$,इसलिए $9(ST)^2 = 4(x+5)^2$।
अभिलंब की लंबाई $SN = |y \frac{dy}{dx}| = |y \cdot \frac{(x+5)^2}{2y}| = |\frac{(x+5)^2}{2}|$ है।
इसलिए,$8 SN = 8 \cdot \frac{(x+5)^2}{2} = 4(x+5)^2$।
दोनों परिणामों की तुलना करने पर,हमें $9(ST)^2 = 8 SN$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया वक्र $y = \int_0^x \frac{1}{1+t^3} dt$ है।
लीबनीज़ के समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \int_0^x \frac{1}{1+t^3} dt \right) = \frac{1}{1+x^3}$.
$x = 1$ पर स्पर्श रेखा की ढाल उस बिंदु पर अवकलज का मान है:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=1} = \frac{1}{1+(1)^3} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.

(A) दिया गया वक्र $y=4x^4+x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 16x^3+1$ प्राप्त होता है।
$(0,0)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = 16(0)^3+1 = 1$ है।
माना बिंदु $P$ $(a, b)$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_2 = 16a^3+1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखाएं लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$ होगा।
$1 \times (16a^3+1) = -1$.
$16a^3 = -2$ $\Rightarrow a^3 = -\frac{1}{8}$ $\Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $P$ वक्र पर स्थित है,$b = 4(-\frac{1}{2})^4 + (-\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{16}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.
अतः,बिंदु $P$ $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$ है।

(D) दिया गया वक्र $y^2=4x$ और बिंदु $P(1,2)$ है।
$(1,2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $y^2=4x$ का अवकलन करने पर प्राप्त होती है: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$। $(1,2)$ पर ढाल $m_t = \frac{2}{2} = 1$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y-2 = 1(x-1) \Rightarrow y = x+1$ है।
स्पर्श रेखा $Y$-अक्ष $(x=0)$ को $A(0,1)$ पर काटती है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -1$ है।
अभिलंब का समीकरण $y-2 = -1(x-1) \Rightarrow y = -x+3$ है।
अभिलंब $Y$-अक्ष $(x=0)$ को $B(0,3)$ पर काटता है।
त्रिभुज के शीर्ष $P(1,2)$,$A(0,1)$ और $B(0,3)$ हैं।
$Y$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $A(0,1)$ और $B(0,3)$ के बीच की दूरी है,जो $|3-1| = 2$ इकाई है।
त्रिभुज की ऊँचाई $P(1,2)$ से $Y$-अक्ष की लंबवत दूरी है,जो $P$ का $x$-निर्देशांक यानी $1$ इकाई है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ वर्ग इकाई।

(B) वक्र के दिए गए प्राचलिक समीकरण $x=a(\theta+\sin \theta)$ और $y=a(1-\cos \theta)$ हैं।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1+\cos \theta)$ और $\frac{dy}{d\theta} = a\sin \theta$.
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ इस प्रकार है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\sin \theta}{a(1+\cos \theta)} = \frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$.
यह दिया गया है कि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\tan(\theta/2) = \tan(\frac{\pi}{4})$,जिसका अर्थ है $\theta/2 = \frac{\pi}{4}$,अतः $\theta = \frac{\pi}{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ का मान $x$ और $y$ के समीकरणों में रखने पर:
$x = a(\frac{\pi}{2} + \sin(\frac{\pi}{2})) = a(\frac{\pi}{2} + 1)$.
$y = a(1 - \cos(\frac{\pi}{2})) = a(1 - 0) = a$.
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $\left[a\left(\frac{\pi}{2}+1\right), a\right]$ हैं।

(A) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को बराबर रखें: $3x^2-2x-1 = x^3-1$.
$x^3-3x^2+2x = 0$.
$x(x-1)(x-2) = 0$.
अतः,$x=0, 1, 2$.
$x=0$ के लिए,$y=-1$ (प्रथम चतुर्थांश में नहीं है)।
$x=1$ के लिए,$y=0$ (अक्ष पर है,प्रथम चतुर्थांश में नहीं है)।
$x=2$ के लिए,$y=3(2)^2-2(2)-1 = 12-4-1 = 7$.
प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 7)$ है।
अब,$(2, 7)$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करें:
$y=3x^2-2x-1$ के लिए,$dy/dx = 6x-2$. $x=2$ पर,$m_1 = 6(2)-2 = 10$.
$y=x^3-1$ के लिए,$dy/dx = 3x^2$. $x=2$ पर,$m_2 = 3(2)^2 = 12$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |(m_1-m_2)/(1+m_1m_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = |(10-12)/(1+10 \times 12)| = |-2/121| = 2/121$.
अतः,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(2/121)$।

(C) दिया गया बिंदु $P(5,2)$ और स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = \frac{7}{2}$ है।
$P(5,2)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 2 = \frac{7}{2}(x - 5) \implies 2y - 4 = 7x - 35 \implies 7x - 2y = 31$ है।
स्पर्शरेखा का $x$-अंतःखंड $y=0$ रखकर प्राप्त किया जाता है: $7x = 31 \implies x = \frac{31}{7}$। अतः,स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को $A(\frac{31}{7}, 0)$ पर मिलती है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{2}{7}$ है।
$P(5,2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -\frac{2}{7}(x - 5) \implies 7y - 14 = -2x + 10 \implies 2x + 7y = 24$ है।
अभिलंब का $x$-अंतःखंड $y=0$ रखकर प्राप्त किया जाता है: $2x = 24 \implies x = 12$। अतः,अभिलंब $x$-अक्ष को $B(12, 0)$ पर मिलता है।
त्रिभुज बिंदुओं $P(5,2)$,$A(\frac{31}{7}, 0)$,और $B(12, 0)$ द्वारा बनता है।
$x$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $|12 - \frac{31}{7}| = |\frac{84 - 31}{7}| = \frac{53}{7}$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $P$ का $y$-निर्देशांक है,जो $2$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{53}{7} \times 2 = \frac{53}{7}$ वर्ग इकाई।

(A) माना बिंदु $P$ $(x_1, y_1)$ है। वक्र $y^2 = x^3 - x + 1$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{3x_1^2 - 1}{2y_1}$ प्राप्त होता है।
$P$ पर अभिलंब की प्रवणता $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{2y_1}{3x_1^2 - 1}$ है।
चूंकि अभिलंब अक्षों पर समान अंतःखंड बनाता है,इसलिए इसकी प्रवणता $\pm 1$ होनी चाहिए। वक्र को देखते हुए,हम $m_n = -1$ लेते हैं।
यदि $m_n = -1$ है,तो $\frac{2y_1}{3x_1^2 - 1} = 1 \implies 2y_1 = 3x_1^2 - 1$ प्राप्त होता है।
$y_1^2 = x_1^3 - x_1 + 1$ और $y_1 = \frac{3x_1^2 - 1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(\frac{3x_1^2 - 1}{2})^2 = x_1^3 - x_1 + 1$ मिलता है। इसे हल करने पर,$x_1 = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $y_1 = 1$ मिलता है। अतः $P = (1, 1)$ है।
$(1, 1)$ पर स्पर्शरेखा की प्रवणता $m_t = \frac{3(1)^2 - 1}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 1 = 1(x - 1)$ है,जो सरल होकर $y = x$ या $x - y = 0$ हो जाता है।

(D) दिया गया वक्र $xy^2 + x^2y = 12$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} + 2xy + x^2 \frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(1, 3)$ पर,हमें प्राप्त होता है: $3^2 + 2(1)(3) \frac{dy}{dx} + 2(1)(3) + (1)^2 \frac{dy}{dx} = 0$.
$9 + 6 \frac{dy}{dx} + 6 + \frac{dy}{dx} = 0 \implies 7 \frac{dy}{dx} = -15 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{15}{7}$.
बिंदु $(1, 3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 3 = -\frac{15}{7}(x - 1)$ है।
$T$ के लिए,$y = 0$ रखने पर: $-3 = -\frac{15}{7}(x - 1) \implies 21 = 15(x - 1) \implies x - 1 = \frac{21}{15} = \frac{7}{5} \implies x = 1 + \frac{7}{5} = \frac{12}{5}$. अतः $T = (\frac{12}{5}, 0)$.
बिंदु $(1, 3)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 3 = \frac{7}{15}(x - 1)$ है।
$N$ के लिए,$y = 0$ रखने पर: $-3 = \frac{7}{15}(x - 1) \implies -45 = 7(x - 1) \implies x - 1 = -\frac{45}{7} \implies x = 1 - \frac{45}{7} = -\frac{38}{7}$. अतः $N = (-\frac{38}{7}, 0)$.
$TN = |\frac{12}{5} - (-\frac{38}{7})| = |\frac{12}{5} + \frac{38}{7}| = |\frac{84 + 190}{35}| = \frac{274}{35}$.

(C) रेखा $y = x - 3$ की ढाल $m = 1$ है।
चूंकि बिंदु $P(x_1, y_1)$ वक्र $y = x^2 - x + 1$ पर रेखा के सबसे निकटतम बिंदु है,इसलिए $P$ पर स्पर्शरेखा दी गई रेखा के समानांतर होनी चाहिए।
अतः,अवकलज $\frac{dy}{dx} = 2x - 1$ का मान $1$ के बराबर होना चाहिए।
$2x_1 - 1 = 1 \implies 2x_1 = 2 \implies x_1 = 1$.
वक्र के समीकरण में $x_1 = 1$ रखने पर: $y_1 = (1)^2 - 1 + 1 = 1$.
अतः,बिंदु $P$ $(1, 1)$ है।
बिंदु $P(1, 1)$ से रेखा $3x + 4y - 2 = 0$ की लंबवत दूरी का सूत्र $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
$d = \frac{|3(1) + 4(1) - 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 4 - 2|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{5}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$.

(B) दिए गए वक्र $y^2 = 12x - 3$ और $y^2 = 12 - kx$ हैं।
मान लीजिए प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
$y^2 = 12x - 3$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 12 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6}{y}$। मान लीजिए $m_1 = \frac{6}{y_1}$।
$y^2 = 12 - kx$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = -k \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{k}{2y}$। मान लीजिए $m_2 = -\frac{k}{2y_1}$।
चूंकि वक्र लंबकोणीय काटते हैं,$m_1 m_2 = -1 \implies (\frac{6}{y_1})(-\frac{k}{2y_1}) = -1 \implies \frac{3k}{y_1^2} = 1 \implies y_1^2 = 3k$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ पर,$12x_1 - 3 = 12 - kx_1 \implies x_1(12 + k) = 15 \implies x_1 = \frac{15}{12+k}$।
साथ ही $y_1^2 = 12 - kx_1 = 3k \implies 12 - k(\frac{15}{12+k}) = 3k \implies 12(12+k) - 15k = 3k(12+k) \implies 144 + 12k - 15k = 36k + 3k^2 \implies 3k^2 + 39k - 144 = 0 \implies k^2 + 13k - 48 = 0 \implies (k+16)(k-3) = 0$।
चूंकि $k > 0$,इसलिए $k = 3$।
वक्र $y^2 = 12 - 3x$ है। $x = 1$ पर,$y^2 = 12 - 3(1) = 9 \implies y = 3$ ($b=3$ लेने पर)।
$(1, 3)$ पर ढाल $m = -\frac{3}{2(3)} = -\frac{1}{2}$ है।
उप-स्पर्शक की लंबाई $|\frac{y}{dy/dx}| = |\frac{3}{-1/2}| = 6$ है।

(C) दिया गया वक्र $\frac{x^n}{a^n} + \frac{y^n}{b^n} = 2$ है।
बिंदु $(a, b)$ पर,हम जाँचते हैं कि क्या यह वक्र पर स्थित है: $\frac{a^n}{a^n} + \frac{b^n}{b^n} = 1 + 1 = 2$. अतः,$(a, b)$ वक्र पर स्थित है।
समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{n x^{n-1}}{a^n} + \frac{n y^{n-1}}{b^n} \frac{dy}{dx} = 0$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{n-1}}{a^n} \cdot \frac{b^n}{y^{n-1}} = -\frac{b^n x^{n-1}}{a^n y^{n-1}}$.
बिंदु $(a, b)$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m = -\frac{b^n a^{n-1}}{a^n b^{n-1}} = -\frac{b}{a}$ प्राप्त होती है।
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ है,जिसे सरल करने पर $ay - ab = -bx + ab$ अर्थात $bx + ay = 2ab$ प्राप्त होता है।
$ab$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,यह रेखा $n > 1$ के सभी मानों के लिए एक स्पर्शरेखा है।

(B) दिया गया वक्र $y=x^3-2x^2+3x-4$ और रेखा $y=-2$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P(h, k)$ पर,$x^3-2x^2+3x-4 = -2$.
$\Rightarrow x^3-2x^2+3x-2 = 0$.
मानों की जाँच करने पर,$x=1$ के लिए,$1-2+3-2 = 0$. अतः,बिंदु $P$ $(1, -2)$ है।
अब,$P(1, -2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2-4x+3$.
$x=1$ पर,$\frac{dy}{dx} = 3(1)^2-4(1)+3 = 3-4+3 = 2$.
$(1, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - (-2) = 2(x - 1)$ है।
$\Rightarrow y+2 = 2x-2
\Rightarrow y = 2x-4$.
यह स्पर्श रेखा $X$-अक्ष को वहाँ मिलती है जहाँ $y=0$ है:
$0 = 2x_1 - 4
\Rightarrow 2x_1 = 4
\Rightarrow x_1 = 2$.

(D) दिया गया वक्र $y^3=4 x^5$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$3 y^2 \frac{d y}{d x} = 20 x^4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^4}{3 y^2}$।
बिंदु $(4, 16)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{20(4)^4}{3(16)^2} = \frac{20 \times 256}{3 \times 256} = \frac{20}{3}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{3}{20}$ होती है।
बिंदु $(4, 16)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 16 = -\frac{3}{20}(x - 4)$ है।
$20$ से गुणा करने पर,$20y - 320 = -3x + 12$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$3x + 20y = 332$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $m_1$ बिंदु $P$ पर वक्र $y=f(x)$ की स्पर्श रेखा की ढाल है। दिया गया है कि $m_1 = \frac{dy}{dx} = Q(x)$।
मान लीजिए $m_2$ बिंदु $P$ पर वक्र $x=g(y)$ की स्पर्श रेखा की ढाल है। दिया गया है कि $\frac{dx}{dy} = -Q(x)$,हम जानते हैं कि $m_2 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy} = \frac{1}{-Q(x)}$।
चूंकि $m_1 \times m_2 = Q(x) \times \left(-\frac{1}{Q(x)}\right) = -1$,प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्पर्श रेखाओं की ढाल का गुणनफल $-1$ है।
इसलिए,एक वक्र पर $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा दूसरे वक्र के लिए $P$ पर अभिलंब है।

(B) दिया गया वक्र: $y^3 - 3xy + 2 = 0$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3y^2 \frac{dy}{dx} - 3y - 3x \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} (3y^2 - 3x) = 3y \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$.
क्षैतिज स्पर्श रेखा के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0 \implies y = 0$.
$y = 0$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $0^3 - 3x(0) + 2 = 0 \implies 2 = 0$,जो असंभव है। अतः,$n(A) = 0$.
ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा के लिए,$\frac{dy}{dx} = \infty \implies y^2 - x = 0 \implies x = y^2$.
$x = y^2$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $y^3 - 3(y^2)y + 2 = 0 \implies y^3 - 3y^3 + 2 = 0 \implies -2y^3 = -2 \implies y^3 = 1 \implies y = 1$.
यदि $y = 1$ है,तो $x = 1^2 = 1$. बिंदु $(1, 1)$ प्राप्त होता है। अतः,$n(B) = 1$.
इसलिए,$n(A) + n(B) = 0 + 1 = 1$.

(B) दिया गया वक्र $x = 2(\cos 2t + t \sin 2t)$ और $y = 4(\sin 2t - t \cos 2t)$ है।
सबसे पहले,अवकलज $\frac{dx}{dt}$ और $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = 2(-2 \sin 2t + \sin 2t + 2t \cos 2t) = 2(2t \cos 2t - \sin 2t)$.
$\frac{dy}{dt} = 4(2 \cos 2t - \cos 2t + 2t \sin 2t) = 4(\cos 2t + 2t \sin 2t)$.
$t = \frac{\pi}{4}$ पर:
$\frac{dx}{dt} = 2(2(\frac{\pi}{4}) \cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) = 2(0 - 1) = -2$.
$\frac{dy}{dt} = 4(\cos \frac{\pi}{2} + 2(\frac{\pi}{4}) \sin \frac{\pi}{2}) = 4(0 + \frac{\pi}{2}) = 2\pi$.
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2\pi}{-2} = -\pi$ है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{dy/dx} = \frac{1}{\pi}$ है।
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$y = 4(\sin \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{2}) = 4(1 - 0) = 4$.
अभिलंब की लंबाई $|y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = |4| \sqrt{1 + (-\pi)^2} = 4 \sqrt{1 + \pi^2}$ है।

(C) दिया गया वक्र $y = \cos(x+y)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(x+y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$\frac{dy}{dx} (1 + \sin(x+y)) = -\sin(x+y)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)}$
स्पर्श रेखा का समीकरण $x + 2y = k$ है,जिसे $y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{-\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)} = -\frac{1}{2}$
$2\sin(x+y) = 1 + \sin(x+y)$
$\sin(x+y) = 1$
चूंकि $\sin(x+y) = 1$,इसलिए $y = \cos(x+y) = \cos(\frac{\pi}{2} + 2n\pi) = 0$।
$y = 0$ को $\sin(x+y) = 1$ में रखने पर,हमें $\sin(x) = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{\pi}{2}$।
अब,$x = \frac{\pi}{2}$ और $y = 0$ को स्पर्श रेखा के समीकरण $x + 2y = k$ में रखने पर:
$\frac{\pi}{2} + 2(0) = k$
$k = \frac{\pi}{2}$।

(C) दिया गया वक्र $y = x^3 - 10x^2 + 31x - 30$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 20x + 31$.
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ द्वारा दी जाती है।
इसे $-\frac{1}{14}$ के बराबर रखने पर:
$-\frac{1}{3x^2 - 20x + 31} = -\frac{1}{14} \implies 3x^2 - 20x + 31 = 14$.
$3x^2 - 20x + 17 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(3x - 17)(x - 1) = 0$.
इससे $x = 1$ या $x = \frac{17}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रश्न में $x$ एक पूर्णांक है,हम $x = 1$ लेते हैं।
$x = 1$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $y = (1)^3 - 10(1)^2 + 31(1) - 30 = 1 - 10 + 31 - 30 = -8$.
अतः,बिंदु $P$ $(1, -8)$ है।
$x = 1$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3(1)^2 - 20(1) + 31 = 14$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - (-8) = 14(x - 1) \implies y + 8 = 14x - 14 \implies y = 14x - 22$ है।
$x$-अंतःखंड के लिए,$y = 0$ रखें: $0 = 14x - 22 \implies 14x = 22 \implies x = \frac{22}{14} = \frac{11}{7}$.

(B) दिया गया है कि $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 5$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$y = \int (3x^2 - 5) dx = x^3 - 5x + C$.
चूंकि $f(1) = 2$,हमारे पास $2 = 1^3 - 5(1) + C$ है,जिससे $2 = 1 - 5 + C$ प्राप्त होता है,अतः $C = 6$.
इस प्रकार,वक्र का समीकरण $y = x^3 - 5x + 6$ है।
$(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा का ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 2)} = 3(1)^2 - 5 = -2$ है।
$(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 2 = -2(x - 1)$ है,जो सरल होकर $y = -2x + 4$ हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,वक्र के समीकरण को स्पर्श रेखा के समीकरण के बराबर रखें: $x^3 - 5x + 6 = -2x + 4$.
यह सरल होकर $x^3 - 3x + 2 = 0$ हो जाता है।
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(x - 1)^2(x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
मूल $x = 1$ और $x = -2$ हैं।
$x = 1$ के लिए,$y = 2$ (स्पर्श बिंदु)।
$x = -2$ के लिए,$y = -2(-2) + 4 = 8$.
अतः,स्पर्श रेखा वक्र को $(-2, 8)$ बिंदु पर काटती है।

(D) दिए गए वक्र $x^2 y - x^3 = 8$ $(1)$ और $y^3 - x y^2 = 32$ $(2)$ हैं।
$(1)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy - 3x^2 = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - 2xy}{x^2} = 3 - 2(\frac{y}{x}) = m_1$.
$(2)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $3y^2 \frac{dy}{dx} - (x \cdot 2y \frac{dy}{dx} + y^2) = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx}(3y^2 - 2xy) = y^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{3y^2 - 2xy} = \frac{y}{3y - 2x} = m_2$.
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर: $\frac{y^2(y - x)}{x^2(y - x)} = \frac{32}{8} = 4 \Rightarrow \frac{y^2}{x^2} = 4 \Rightarrow y = 2x$ (चूंकि $h, k \in N$).
$y = 2x$ को $(1)$ में रखने पर: $x^2(2x) - x^3 = 8 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$. अतः,$y = 4$.
$P(2, 4)$ पर,$m_1 = 3 - 2(\frac{4}{2}) = 3 - 4 = -1$.
$P(2, 4)$ पर,$m_2 = \frac{4}{3(4) - 2(2)} = \frac{4}{12 - 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}| = |\frac{1/2 - (-1)}{1 + (-1)(1/2)}| = |\frac{3/2}{1/2}| = 3$ द्वारा प्राप्त होता है।

(D) दिया गया वक्र $x = t^2 - 7t + 7$ और $y = t^2 - 4t - 10$ है।
सबसे पहले,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = 2t - 7$ और $\frac{dy}{dt} = 2t - 4$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2t - 4}{2t - 7}$.
बिंदु $(1, 2)$ पर,$t^2 - 7t + 7 = 1 \implies t^2 - 7t + 6 = 0 \implies (t-1)(t-6) = 0$,इसलिए $t = 1$ या $t = 6$.
साथ ही,$t^2 - 4t - 10 = 2 \implies t^2 - 4t - 12 = 0 \implies (t-6)(t+2) = 0$,इसलिए $t = 6$ या $t = -2$.
उभयनिष्ठ मान $t = 6$ है।
$t = 6$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{2(6) - 4}{2(6) - 7} = \frac{8}{5}$ है।
अभिलंब की ढाल $m = -\frac{1}{8/5} = -\frac{5}{8}$ है।
$(1, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = -\frac{5}{8}(x - 1)$ है।
$8y - 16 = -5x + 5 \implies 5x + 8y - 21 = 0$.
यहाँ $a = 5, b = 8, c = -21$ है। $(5, 8, -21)$ का म.स.प. $1$ है।
अतः $a + b + c = 5 + 8 - 21 = -8$.
अंत में,$m(a + b + c) = (-\frac{5}{8})(-8) = 5$.

(D) दिया गया वक्र $y = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 10x + 5$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 18x^2 + 26x - 10$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि स्पर्शरेखा की ढाल $2$ है,हम $\frac{dy}{dx} = 2$ रखते हैं:
$4x^3 - 18x^2 + 26x - 10 = 2$
$4x^3 - 18x^2 + 26x - 12 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर,$2x^3 - 9x^2 + 13x - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर $(x-1)(x-2)(2x-3) = 0$ प्राप्त होता है।
हल $x = 1, x = 2, x = 1.5$ हैं।
चूँकि $x_1, x_2 \in \mathbb{N}$,हम $x_1 = 1$ और $x_2 = 2$ चुनते हैं।
$x_1 = 1$ के लिए,$y_1 = 1^4 - 6(1)^3 + 13(1)^2 - 10(1) + 5 = 3$।
$x_2 = 2$ के लिए,$y_2 = 2^4 - 6(2)^3 + 13(2)^2 - 10(2) + 5 = 5$।
अतः,$x_1x_2 - y_1y_2 = (1 \times 2) - (3 \times 5) = 2 - 15 = -13$।

(A) दिया गया वक्र का समीकरण $\sin y = \sqrt{3} x \sin \left(\frac{\pi}{6} + y\right) \quad (i)$ है।
$x = 0$ पर,$\sin y = 0$,जिसका अर्थ है $y = 0$ है।
अब,समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\cos y \frac{dy}{dx} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6} + y\right) + \sqrt{3} x \cos \left(\frac{\pi}{6} + y\right) \frac{dy}{dx}$.
बिंदु $(0, 0)$ पर,$x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$\cos(0) \frac{dy}{dx} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6} + 0\right) + \sqrt{3}(0) \cos \left(\frac{\pi}{6} + 0\right) \frac{dy}{dx}$.
$1 \cdot \frac{dy}{dx} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
बिंदु $(0, 0)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - 0 = -\frac{2}{\sqrt{3}}(x - 0)$.
$\sqrt{3}y = -2x$,जिसे सरल करने पर $2x + \sqrt{3}y = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वक्र $y=x^2$ है। जब इसे धनात्मक $X$-अक्ष पर '$a$' इकाई खिसकाया जाता है,तो नया वक्र $y=(x-a)^2$ हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को बराबर रखते हैं:
$x^2 = (x-a)^2$
$x^2 = x^2 - 2ax + a^2$
$2ax = a^2$
चूंकि $a \neq 0$,हमें $x = \frac{a}{2}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{a}{2}$ को $y=x^2$ में रखने पर,$y = \frac{a^2}{4}$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{a}{2}, \frac{a^2}{4})$ है।
अब,इस बिंदु पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करते हैं:
$y=x^2$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 2x$. $x=\frac{a}{2}$ पर,$m_1 = 2(\frac{a}{2}) = a$.
$y=(x-a)^2$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 2(x-a)$. $x=\frac{a}{2}$ पर,$m_2 = 2(\frac{a}{2}-a) = -a$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{a - (-a)}{1 + (a)(-a)} \right| = \left| \frac{2a}{1 - a^2} \right| = \frac{2|a|}{|1 - a^2|}$.
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) दिए गए वक्र $x^2-y^2=4$ और $y^2=3x$ हैं।
प्रथम समीकरण में $y^2=3x$ रखने पर: $x^2-3x-4=0$.
$(x-4)(x+1)=0$. चूंकि $y^2=3x$,इसलिए $x$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $x=4$.
तब $y^2=12$,जिससे $y=\pm 2\sqrt{3}$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 2\sqrt{3})$ लें।
$x^2-y^2=4$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x-2y \frac{dy}{dx}=0 \implies \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}$.
$(4, 2\sqrt{3})$ पर,$m_1 = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$y^2=3x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx}=3 \implies \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2y}$.
$(4, 2\sqrt{3})$ पर,$m_2 = \frac{3}{2(2\sqrt{3})} = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
$\tan \theta = \left| \frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{4}}{1+(\frac{2}{\sqrt{3}})(\frac{\sqrt{3}}{4})} \right| = \left| \frac{\frac{8-3}{4\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{5}{4\sqrt{3}} \times \frac{2}{3} \right| = \frac{5}{6\sqrt{3}}$.