Tangent and Normal Questions in Hindi

(D) वक्र का दिया गया समीकरण $y=\pi e^{\frac{-x}{\pi}}$ है।
वह बिंदु जहाँ वक्र $y$-अक्ष को काटता है,उसे ज्ञात करने के लिए हम $x=0$ रखते हैं।
समीकरण में $x=0$ रखने पर,हमें $y = \pi e^{0} = \pi$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, \pi)$ है।
अब,स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \pi \cdot e^{\frac{-x}{\pi}} \cdot \left(-\frac{1}{\pi}\right) = -e^{\frac{-x}{\pi}}$.
बिंदु $(0, \pi)$ पर ढाल $m$:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0, \pi)} = -e^{0} = -1$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ और ढाल $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है।
मान रखने पर,$y - \pi = -1(x - 0)$.
$y - \pi = -x$,जिसे सरल करने पर $x + y = \pi$ प्राप्त होता है।

(B) वह बिंदु जिस पर वक्र की स्पर्श रेखा क्षैतिज होती है,इसका अर्थ है कि स्पर्श रेखा की ढाल शून्य है।
वक्र का दिया गया समीकरण: $y = \frac{16}{x} - x^2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{16}{x} - x^2) = -\frac{16}{x^2} - 2x$.
स्पर्श रेखा के क्षैतिज होने के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखें:
$-\frac{16}{x^2} - 2x = 0$.
$-\frac{16 + 2x^3}{x^2} = 0$.
$16 + 2x^3 = 0 \implies 2x^3 = -16 \implies x^3 = -8$.
अतः,$x = -2$.
अब,$y$ का मान ज्ञात करने के लिए मूल समीकरण में $x = -2$ रखें:
$y = \frac{16}{-2} - (-2)^2 = -8 - 4 = -12$.
इसलिए,अभीष्ट बिंदु $(-2, -12)$ है।

(A) दिए गए वक्र $x=y^2 \dots(i)$ और $xy=k \dots(ii)$ हैं।
$(i)$ से,$x=y^2$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$y^2 \cdot y = k$,अतः $y^3 = k$,जिसका अर्थ है $y = k^{1/3}$ और $x = k^{2/3}$।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} = m_1$।
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $y + x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} = m_2$।
चूंकि वक्र समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,$m_1 m_2 = -1$।
$\left(\frac{1}{2y}\right) \left(-\frac{y}{x}\right) = -1 \Rightarrow \frac{1}{2x} = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$।
चूंकि $x = y^2$,इसलिए $y^2 = \frac{1}{2}$,अतः $y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$xy=k$ से,$k^2 = x^2 y^2 = x^2 (x) = x^3$।
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर,$k^2 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$।
अतः,$8k^2 = 8 \times \frac{1}{8} = 1$।

(B) दिया गया वक्र: $x y^5+2 x^2 y-x^3+y+1=0$
$x=0$ रखने पर,समीकरण $0+0-0+y+1=0$ हो जाता है,जिससे $y=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, -1)$ है।
समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x y^5) + \frac{d}{dx}(2 x^2 y) - \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y) + \frac{d}{dx}(1) = 0$
$y^5 + 5 x y^4 \frac{d y}{d x} + 4 x y + 2 x^2 \frac{d y}{d x} - 3 x^2 + \frac{d y}{d x} = 0$
$(x, y) = (0, -1)$ रखने पर:
$(-1)^5 + 5(0)(-1)^4 \frac{d y}{d x} + 4(0)(-1) + 2(0)^2 \frac{d y}{d x} - 3(0)^2 + \frac{d y}{d x} = 0$
$-1 + 0 + 0 + 0 - 0 + \frac{d y}{d x} = 0$
$\frac{d y}{d x} = 1$
$(0, -1)$ बिंदु पर और $m=1$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - (-1) = 1(x - 0)$
$y + 1 = x$
$y = x - 1$

(B) दिया गया वक्र $xy+ax+by=0$ है।
चूंकि वक्र $(1,1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $1(1)+a(1)+b(1)=0$,जिसका अर्थ है $a+b=-1$ (समीकरण $1$)।
वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $x \frac{dy}{dx} + y + a + b \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx}(x+b) = -(y+a)$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{y+a}{x+b}$।
बिंदु $(1,1)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1,1)} = -\frac{1+a}{1+b}$ है।
यह दिया गया है कि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\tan^{-1} 2$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $m = \tan(\tan^{-1} 2) = 2$ है।
ढाल के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $-\frac{1+a}{1+b} = 2$,जो $-(1+a) = 2(1+b)$,या $a+2b = -3$ (समीकरण $2$) में सरल हो जाता है।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(a+2b) - (a+b) = -3 - (-1)$,जिससे $b = -2$ प्राप्त होता है।
$b = -2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $a - 2 = -1$,इसलिए $a = 1$।
अंत में,$\frac{a+b}{ab} = \frac{1+(-2)}{(1)(-2)} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$।

(B) दिया गया वक्र $y = \sin 3x$ है ... $(i)$
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$y = \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,बिंदु $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ है।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3 \cos 3x$
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल $m_T = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{4}} = 3 \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 3 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{2}}$.
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{1}{-3/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.
$\left(\frac{\pi}{4}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3} \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$
$y = \frac{\sqrt{2}}{3}x - \frac{\sqrt{2}\pi}{12} + \frac{1}{\sqrt{2}}$
$y = \frac{\sqrt{2}}{3}x - \frac{\sqrt{2}\pi}{12} + \frac{6\sqrt{2}}{12}$
$y = \frac{\sqrt{2}}{3}x + \frac{\sqrt{2}(6-\pi)}{12}$
$y = \frac{\sqrt{2}}{3} \left(x + \frac{6-\pi}{4}\right)$.

(A) दिया गया वक्र का समीकरण $y^2=(2x+1)^3$ ... $(i)$ है।
माना $P(x_1, y_1)$ वक्र पर कोई बिंदु है। अतः,$y_1^2=(2x_1+1)^3$.
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 3(2x+1)^2 \times 2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x+1)^2}{y}$
बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx} = \frac{3(2x_1+1)^2}{y_1}$ है।
अधःस्पर्शरेखा (subtangent) की लंबाई $(ST)$ = $\left| \frac{y_1}{m} \right| = \left| \frac{y_1}{\frac{3(2x_1+1)^2}{y_1}} \right| = \frac{y_1^2}{3(2x_1+1)^2}$.
अधोलंब (subnormal) की लंबाई $(SN)$ = $|y_1 m| = \left| y_1 \times \frac{3(2x_1+1)^2}{y_1} \right| = 3(2x_1+1)^2$.
हमें अनुपात $\frac{SN}{(ST)^2}$ ज्ञात करना है:
$\frac{SN}{(ST)^2} = \frac{3(2x_1+1)^2}{\left[ \frac{y_1^2}{3(2x_1+1)^2} \right]^2} = \frac{3(2x_1+1)^2 \times 9(2x_1+1)^4}{y_1^4} = \frac{27(2x_1+1)^6}{y_1^4}$.
चूंकि $y_1^2 = (2x_1+1)^3$,इसलिए $y_1^4 = (2x_1+1)^6$.
इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{SN}{(ST)^2} = \frac{27(2x_1+1)^6}{(2x_1+1)^6} = 27$.

(C) दिए गए वक्र के समीकरण: $x=a(\cos \theta+\theta \sin \theta)$ और $y=a(\sin \theta-\theta \cos \theta)$ हैं।
सबसे पहले,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta + \sin \theta + \theta \cos \theta) = a \theta \cos \theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = a(\cos \theta - (\cos \theta - \theta \sin \theta)) = a \theta \sin \theta$.
अतः,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta} = \tan \theta$ है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{\tan \theta} = -\cot \theta = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ होगी।
बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - a(\sin \theta - \theta \cos \theta) = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} (x - a(\cos \theta + \theta \sin \theta))$.
$\sin \theta$ से गुणा करने पर:
$y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta = -x \cos \theta + a \cos^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x \cos \theta + y \sin \theta - a(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 0$.
$x \cos \theta + y \sin \theta - a = 0$.
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A = \cos \theta$,$B = \sin \theta$,और $C = -a$ है।
$d = \frac{|-a|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \frac{a}{1} = a$।

(D) दिए गए वक्र का समीकरण: $y = \frac{x^n}{a^{n-1}}$.
सबसे पहले,हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{n x^{n-1}}{a^{n-1}}$.
किसी बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर अभिलंब की लंबाई का सूत्र: $L = |y \frac{dy}{dx}|$.
बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर मान रखने पर:
$L = \beta \cdot \left( \frac{n \alpha^{n-1}}{a^{n-1}} \right) = \left( \frac{\alpha^n}{a^{n-1}} \right) \cdot \left( \frac{n \alpha^{n-1}}{a^{n-1}} \right) = \frac{n \alpha^{2n-1}}{a^{2n-2}}$.
यह दिया गया है कि अभिलंब की लंबाई $a^2$ के समानुपाती है। इस शर्त के अनुसार $n = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया वक्र $x^2-a^2=\frac{x^2 y^2}{a^2}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x = \frac{1}{a^2} [x^2(2y) \frac{dy}{dx} + (2x)y^2]$.
$2x$ से भाग देने पर:
$1 = \frac{1}{a^2} [xy \frac{dy}{dx} + y^2]$.
$a^2 = xy \frac{dy}{dx} + y^2 \Rightarrow xy \frac{dy}{dx} = a^2 - y^2$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{a^2 - y^2}{xy}$.
बिंदु $P(\alpha, y)$ पर,ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{a^2 - y^2}{\alpha y}$ है।
अभिलंब की लंबाई $|y \frac{dy}{dx}| = |y \cdot \frac{a^2 - y^2}{\alpha y}| = |\frac{a^2 - y^2}{\alpha}|$ होती है।
चूंकि $P(\alpha, y)$ वक्र पर स्थित है,$\alpha^2 - a^2 = \frac{\alpha^2 y^2}{a^2} \Rightarrow y^2 = \frac{a^2}{\alpha^2}(\alpha^2 - a^2) = a^2 - \frac{a^4}{\alpha^2}$.
$y^2$ का मान अभिलंब की लंबाई के सूत्र में रखने पर:
लंबाई $= \frac{a^2 - (a^2 - \frac{a^4}{\alpha^2})}{\alpha} = \frac{a^4}{\alpha^3}$.
$\frac{k}{\alpha^3}$ से तुलना करने पर,हमें $k = a^4$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y=x^4-6x^3+13x^2-10x+5$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx}=4x^3-18x^2+26x-10$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदुओं $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $2$ है,इसलिए $\frac{dy}{dx}=2$ रखने पर:
$4x^3-18x^2+26x-10=2$
$4x^3-18x^2+26x-12=0$
$2$ से विभाजित करने पर,$2x^3-9x^2+13x-6=0$ प्राप्त होता है।
इस त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर $(x-1)(2x^2-7x+6)=0$ प्राप्त होता है,जिसे $(x-1)(x-2)(2x-3)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल $x=1, 2, \frac{3}{2}$ हैं।
चूंकि $x_1, x_2 \in N$ दिया गया है,हम $x_1=1$ और $x_2=2$ चुनते हैं।
$x_1=1$ के लिए,$y_1=1^4-6(1)^3+13(1)^2-10(1)+5=3$।
$x_2=2$ के लिए,$y_2=2^4-6(2)^3+13(2)^2-10(2)+5=5$।
अतः,$x_1x_2+y_1y_2=(1 \times 2)+(3 \times 5)=2+15=17$।

(C) दिया गया वक्र $x=a(\theta+\sin \theta)$ और $y=a(1-\cos \theta)$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1+\cos \theta)} = \tan \frac{\theta}{2}$.
$P\left(\theta=\frac{\pi}{2}\right)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_T = \tan \frac{\pi}{4} = 1$ और अभिलंब की ढाल $m_N = -1$ है।
बिंदु $P$ के निर्देशांक $x = a(\frac{\pi}{2} + 1)$ और $y = a(1 - 0) = a$ हैं।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - a = 1(x - a(\frac{\pi}{2} + 1))$। $y=0$ रखने पर,हमें $x = a(\frac{\pi}{2} + 1) - a = \frac{a\pi}{2}$ प्राप्त होता है। अतः,$A = (\frac{a\pi}{2}, 0)$।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण: $y - a = -1(x - a(\frac{\pi}{2} + 1))$। $y=0$ रखने पर,हमें $-a = -x + a(\frac{\pi}{2} + 1)$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = a(\frac{\pi}{2} + 2)$। अतः,$B = (a(\frac{\pi}{2} + 2), 0)$।
$\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times |x_B - x_A| \times y_P$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |a(\frac{\pi}{2} + 2) - \frac{a\pi}{2}| \times a = \frac{1}{2} \times |2a| \times a = a^2$.

(C) दिया गया वक्र: $(\frac{x}{3})^n + (\frac{y}{4})^n = 2$। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n}{3} (\frac{x}{3})^{n-1} + \frac{n}{4} (\frac{y}{4})^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$।
बिंदु $(3,4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{3} (\frac{3/3}{4/4})^{n-1} = -\frac{4}{3}$।
$(3,4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण: $y - 4 = -\frac{4}{3}(x - 3) \Rightarrow 4x + 3y = 24$।
स्पर्श रेखा का $X$-अंतःखंड $y=0$ रखने पर प्राप्त होता है,जो $4x = 24 \Rightarrow x = 6$ है। अतः,बिंदु $C$ $(6,0)$ है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{dy/dx} = \frac{3}{4}$ है।
$(3,4)$ पर अभिलंब का समीकरण: $y - 4 = \frac{3}{4}(x - 3) \Rightarrow 3x - 4y + 7 = 0$।
अभिलंब का $X$-अंतःखंड $y=0$ रखने पर प्राप्त होता है,जो $3x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{3}$ है। अतः,बिंदु $B$ $(-\frac{7}{3}, 0)$ है।
त्रिभुज शीर्षों $A(3,4)$,$B(-\frac{7}{3}, 0)$,और $C(6,0)$ द्वारा निर्मित है।
आधार $BC = 6 - (-\frac{7}{3}) = 6 + \frac{7}{3} = \frac{25}{3}$।
त्रिभुज की ऊँचाई $A$ का $y$-निर्देशांक है,जो $4$ है।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{25}{3} \times 4 = \frac{50}{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया है $y=f(x)$। बिंदु $P$ $(\alpha, 1)$ है।
$P(\alpha, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y-1=f^{\prime}(\alpha)(x-\alpha)$ है।
$y=0$ रखने पर,$X$-अंतःखंड $A$,$\alpha - \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}$ है। अतः $A = (\alpha - \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}, 0)$।
$P(\alpha, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-1=-\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}(x-\alpha)$ है।
$y=0$ रखने पर,$X$-अंतःखंड $B$,$\alpha + f^{\prime}(\alpha)$ है। अतः $B = (\alpha + f^{\prime}(\alpha), 0)$।
बिंदु $C$ $(\alpha, 0)$ है।
तब $AC = |\alpha - (\alpha - \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)})| = \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)}$ और $CB = |(\alpha + f^{\prime}(\alpha)) - \alpha| = f^{\prime}(\alpha)$।
हमें $AC+CB = \frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} + f^{\prime}(\alpha)$ को न्यूनतम करना है।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} + f^{\prime}(\alpha) \geq 2 \sqrt{\frac{1}{f^{\prime}(\alpha)} \cdot f^{\prime}(\alpha)} = 2$।
न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $f^{\prime}(\alpha) = 1$।
$P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $f^{\prime}(\alpha) = 1$ है।
स्पर्श रेखा के समानांतर रेखा की ढाल $1$ होनी चाहिए। रेखा $x-y=0$ की ढाल $1$ है।

(C) दिए गए वक्र $xy=1$ $(i)$ और $x^2+8y=0$ (ii) हैं।
$(i)$ से,$y = \frac{1}{x}$. (ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + 8(\frac{1}{x}) = 0 \Rightarrow x^3 + 8 = 0 \Rightarrow x^3 = -8 \Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ के लिए,$y = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, -\frac{1}{2})$ है।
$(i)$ का अवकलन करने पर: $y + x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$. बिंदु $(-2, -\frac{1}{2})$ पर,$m_1 = -\frac{-1/2}{-2} = -\frac{1}{4}$.
(ii) का अवकलन करने पर: $2x + 8 \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4}$. बिंदु $(-2, -\frac{1}{2})$ पर,$m_2 = -\frac{-2}{4} = \frac{1}{2}$.
वक्रों के बीच के कोण $\theta$ की स्पर्शज्या $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\tan \theta = |\frac{-1/4 - 1/2}{1 + (-1/4)(1/2)}| = |\frac{-3/4}{1 - 1/8}| = |\frac{-3/4}{7/8}| = |-\frac{3}{4} \times \frac{8}{7}| = |-\frac{6}{7}| = \frac{6}{7}$.

(B) वक्र $y = g(x)$ के किसी भी बिंदु $x$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $g'(x)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिअवकलज है,इसलिए $g'(x) = f(x) = ax^2 + bx + c$ है।
$x = 1$ और $x = 2$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल समान है,इसलिए $g'(1) = g'(2)$ है।
इसका अर्थ है $f(1) = f(2)$।
मान रखने पर,$a(1)^2 + b(1) + c = a(2)^2 + b(2) + c$ प्राप्त होता है।
$a + b + c = 4a + 2b + c$।
$3a + b = 0 \implies b = -3a$।
हमें समीकरण $2a + 3b + 6c = 0$ दिया गया है।
इस समीकरण में $b = -3a$ रखने पर: $2a + 3(-3a) + 6c = 0$।
$2a - 9a + 6c = 0 \implies -7a + 6c = 0 \implies 6c = 7a$।
इस प्रकार,$a : b : c = a : -3a : \frac{7a}{6}$।
$6$ से गुणा करने पर,हमें $6 : -18 : 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a}{6} = \frac{b}{-18} = \frac{c}{7}$।

(B) वक्र $y=f(x)$ के बिंदु $(1,2)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $f^{\prime}(1)$ है।
बिंदु $(1,2)$ पर वक्र के अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{f^{\prime}(1)}$ है।
दिया गया है कि अभिलंब धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\theta = \frac{3 \pi}{4}$ का कोण बनाता है,इसलिए अभिलंब की ढाल $m_n = \tan\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ है।
हम जानते हैं कि $\tan\left(\frac{3 \pi}{4}\right) = -1$ होता है।
अभिलंब की ढाल के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $-\frac{1}{f^{\prime}(1)} = -1$।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{1}{f^{\prime}(1)} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^{\prime}(1) = 1$।

(B) हम जानते हैं कि अधःस्पर्शक (subtangent) की लंबाई $|y_1 \frac{dx}{dy}|$ द्वारा और अधोलंब (subnormal) की लंबाई $|y_1 \frac{dy}{dx}|$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $(x_1, y_1)$ पर अधःस्पर्शक और अधोलंब की लंबाइयाँ बराबर हैं,इसलिए:
$|y_1 \frac{dx}{dy}| = |y_1 \frac{dy}{dx}|$
यदि $y_1 \neq 0$ है,तो हमें प्राप्त होता है:
$|\frac{dx}{dy}| = |\frac{dy}{dx}|$
चूंकि $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}$,यह दर्शाता है कि:
$|\frac{1}{dy/dx}| = |\frac{dy}{dx}|$
$|\frac{dy}{dx}|^2 = 1 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \pm 1$.
स्पर्श रेखा की लंबाई का सूत्र है:
$L = |y_1 \sqrt{1 + (\frac{dx}{dy})^2}|$
चूंकि $\frac{dy}{dx} = \pm 1$,इसलिए $\frac{dx}{dy} = \pm 1$.
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$L = |y_1 \sqrt{1 + (\pm 1)^2}| = |y_1 \sqrt{1 + 1}| = \sqrt{2}|y_1|$.
अतः,स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{2}|y_1|$ है।

(B) माना बिंदु $P(h, k)$ वक्र $y=3x^2-5x+7$ पर स्थित है।
बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = 6x-5$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $P(h, k)$ पर,प्रवणता $6h-5$ है।
जीवा बिंदुओं $(1, y_1)$ और $(2, y_2)$ को जोड़ती है।
$x=1$ के लिए,$y_1 = 3(1)^2 - 5(1) + 7 = 5$.
$x=2$ के लिए,$y_2 = 3(2)^2 - 5(2) + 7 = 12 - 10 + 7 = 9$.
जीवा की प्रवणता $\frac{y_2-y_1}{2-1} = \frac{9-5}{1} = 4$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा जीवा के समांतर है,इसलिए उनकी प्रवणताएँ समान हैं:
$6h-5 = 4$.
$6h = 9$.
$h = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
अतः,बिंदु $P$ का $x$-निर्देशांक $\frac{3}{2}$ है।

(B) दिया गया वक्र $x=a(\theta+\sin \theta)$ और $y=a(1-\cos \theta)$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\psi = \frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.
अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = a(1+\cos \theta)$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{a \sin \theta}{a(1+\cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = 1$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$ और $1+\cos \theta = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})}{2 \cos^2(\frac{\theta}{2})} = \tan(\frac{\theta}{2}) = 1$.
इसलिए,$\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$.
अब,$x$ और $y$ के समीकरणों में $\theta = \frac{\pi}{2}$ रखने पर:
$x = a(\frac{\pi}{2} + \sin(\frac{\pi}{2})) = a(\frac{\pi}{2} + 1)$
$y = a(1 - \cos(\frac{\pi}{2})) = a(1 - 0) = a$.
बिंदु के निर्देशांक $\left(a(\frac{\pi}{2}+1), a\right)$ हैं।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) दिए गए वक्र $x^2-y^2=4$ और $x^2+y^2=4 \sqrt{2}$ हैं।
मान लीजिए $(x_0, y_0)$ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
वक्रों के बीच का कोण प्रतिच्छेदन बिंदु पर उनकी स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण होता है।
पहले वक्र $x^2-y^2=4$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$। $(x_0, y_0)$ पर,$m_1 = \frac{x_0}{y_0}$।
दूसरे वक्र $x^2+y^2=4 \sqrt{2}$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$। $(x_0, y_0)$ पर,$m_2 = -\frac{x_0}{y_0}$।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
ढाल के मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{\frac{x_0}{y_0} - (-\frac{x_0}{y_0})}{1 + (\frac{x_0}{y_0})(-\frac{x_0}{y_0})} \right| = \left| \frac{2 \frac{x_0}{y_0}}{1 - \frac{x_0^2}{y_0^2}} \right| = \left| \frac{2 x_0 y_0}{y_0^2 - x_0^2} \right|$.
चूंकि $x_0^2 - y_0^2 = 4$,इसलिए $y_0^2 - x_0^2 = -4$ है।
अतः,$\tan \theta = \left| \frac{2 x_0 y_0}{-4} \right| = \frac{|x_0 y_0|}{2}$।
समीकरणों $x_0^2 - y_0^2 = 4$ और $x_0^2 + y_0^2 = 4 \sqrt{2}$ को हल करने पर:
जोड़ने पर: $2x_0^2 = 4(1 + \sqrt{2}) \Rightarrow x_0^2 = 2(1 + \sqrt{2})$।
घटाने पर: $2y_0^2 = 4(\sqrt{2} - 1) \Rightarrow y_0^2 = 2(\sqrt{2} - 1)$।
अतः $x_0^2 y_0^2 = 4(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1) = 4(2 - 1) = 4$।
इसलिए,$|x_0 y_0| = 2$।
इस मान को $\tan \theta$ में रखने पर: $\tan \theta = \frac{2}{2} = 1$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।

(C) दिया गया वक्र $y^2 = ax^3 + b$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$।
बिंदु $(1,2)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,2)} = \frac{3a(1)^2}{2(2)} = \frac{3a}{4}$ है।
दी गई स्पर्शरेखा $y = 2x$ है,जिसकी ढाल $2$ है।
ढालों की तुलना करने पर,$\frac{3a}{4} = 2$,इसलिए $a = \frac{8}{3}$।
चूँकि वक्र $(1,2)$ से होकर गुजरता है,हम इन मानों को वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $2^2 = \frac{8}{3}(1)^3 + b$।
$4 = \frac{8}{3} + b$,जिससे $b = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a, b) = (\frac{8}{3}, \frac{4}{3})$।

(D) माना $(x_1, y_1)$ परवलय $y^2 = 16ax$ पर मूल बिंदु के अलावा कोई भी बिंदु है।
$(x_1, y_1)$ पर उपस्पर्शज्या की लंबाई $y_1 \left| \frac{dx}{dy} \right|_{(x_1, y_1)}$ द्वारा दी जाती है।
$y^2 = 16ax$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dx} = 16a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{8a}{y}$।
इसलिए,$\frac{dx}{dy} = \frac{y}{8a}$।
$(x_1, y_1)$ पर उपस्पर्शज्या की लंबाई $y_1 \left( \frac{y_1}{8a} \right) = \frac{y_1^2}{8a}$ है।
चूंकि बिंदु $(x_1, y_1)$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $y_1^2 = 16ax_1$ होगा।
इस मान को उपस्पर्शज्या की लंबाई के व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{16ax_1}{8a} = 2x_1$ प्राप्त होता है।
उपस्पर्शज्या की लंबाई और भुज $x_1$ का अनुपात $\frac{2x_1}{x_1} = 2:1$ है।

(B) दिए गए वक्रों के समीकरण हैं:
$y = \sin 2x$ $(i)$
$y = \cos 2x$ (ii)
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को बराबर रखते हैं:
$\sin 2x = \cos 2x$
$\tan 2x = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$2x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = \frac{\pi}{8}$
जब $x = \frac{\pi}{8}$ है,तो $y = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{\pi}{8}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
अब,इस बिंदु पर ढाल $m_1$ और $m_2$ ज्ञात करते हैं:
$m_1 = \frac{dy}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x$. $x = \frac{\pi}{8}$ पर,$m_1 = 2 \cos \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$m_2 = \frac{dy}{dx} (\cos 2x) = -2 \sin 2x$. $x = \frac{\pi}{8}$ पर,$m_2 = -2 \sin \frac{\pi}{4} = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}|$
$\tan \theta = |\frac{-\sqrt{2} - \sqrt{2}}{1 + (\sqrt{2})(-\sqrt{2})}| = |\frac{-2\sqrt{2}}{1 - 2}| = |\frac{-2\sqrt{2}}{-1}| = 2\sqrt{2}$.
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.

(B) दिए गए वक्रों के समीकरण $x^2=8y$ $(i)$ और $xy=8$ $(ii)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$(i)$ से $y = \frac{x^2}{8}$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$x\left(\frac{x^2}{8}\right) = 8 \Rightarrow x^3 = 64 \Rightarrow x = 4$.
$x=4$ को $(ii)$ में रखने पर,हमें $4y=8 \Rightarrow y=2$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 2)$ है।
वक्र $(i)$ के लिए,$x^2=8y \Rightarrow 2x = 8 \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{4}$.
बिंदु $(4, 2)$ पर,ढाल $m_1 = \frac{4}{4} = 1$.
वक्र $(ii)$ के लिए,$xy=8 \Rightarrow x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
बिंदु $(4, 2)$ पर,ढाल $m_2 = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(3)$।

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $(\frac{x}{a})^n+(\frac{y}{b})^n=2$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n x^{n-1}}{a^n} + \frac{n y^{n-1}}{b^n} \frac{dy}{dx} = 0$।
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{b^n x^{n-1}}{a^n y^{n-1}}$।
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता:
$(\frac{dy}{dx})_{(a, b)} = -\frac{b^n a^{n-1}}{a^n b^{n-1}} = -\frac{b}{a}$।
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$।
$ay - ab = -bx + ab$।
$bx + ay = 2ab$।
दोनों पक्षों को $ab$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$।

(A) वक्र $y=ax^3+bx+4$ बिंदु $(2, 14)$ से होकर गुजरता है। इन निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$14 = a(2)^3 + b(2) + 4$
$14 = 8a + 2b + 4$
$10 = 8a + 2b$
$5 = 4a + b$ --- $(i)$
वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है:
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + b$
बिंदु $(2, 14)$ पर ढाल $21$ है:
$21 = 3a(2)^2 + b$
$21 = 12a + b$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(12a + b) - (4a + b) = 21 - 5$
$8a = 16$
$a = 2$
$a = 2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$5 = 4(2) + b$
$5 = 8 + b$
$b = -3$
अतः,$a = 2$ और $b = -3$ है।

(B) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण हैं:
$x = a \cos^3 t$
$y = a \sin^3 t$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$
$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$
स्पर्श रेखा की ढाल:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t}$
$(a \cos^3 t, a \sin^3 t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - a \sin^3 t = -\frac{\sin t}{\cos t} (x - a \cos^3 t)$
$y \cos t - a \sin^3 t \cos t = -x \sin t + a \cos^3 t \sin t$
$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos t (\sin^2 t + \cos^2 t)$
$x \sin t + y \cos t = a \sin t \cos t$
अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$y=0$ रखने पर $x = a \cos t$ प्राप्त होता है,और $x=0$ रखने पर $y = a \sin t$ प्राप्त होता है।
बिंदु $A(a \cos t, 0)$ और $B(0, a \sin t)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ की लंबाई:
$L = \sqrt{(a \cos t - 0)^2 + (0 - a \sin t)^2} = \sqrt{a^2 \cos^2 t + a^2 \sin^2 t} = \sqrt{a^2(1)} = a$.

(A) रेखा $y=-4x+b$ की ढाल $m=-4$ है।
वक्र $y=\frac{1}{x}$ की स्पर्शरेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि रेखा वक्र की स्पर्शरेखा है,इसलिए स्पर्श बिंदु पर उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$-\frac{1}{x^2} = -4
\Rightarrow x^2 = \frac{1}{4}
\Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$.
जब $x = \frac{1}{2}$ है,तो वक्र पर $y$-निर्देशांक $y = \frac{1}{1/2} = 2$ है।
जब $x = -\frac{1}{2}$ है,तो वक्र पर $y$-निर्देशांक $y = \frac{1}{-1/2} = -2$ है।
इन बिंदुओं $(x, y)$ को रेखा के समीकरण $y = -4x + b$ में रखने पर:
स्थिति $1$: $2 = -4(\frac{1}{2}) + b \Rightarrow 2 = -2 + b \Rightarrow b = 4$.
स्थिति $2$: $-2 = -4(-\frac{1}{2}) + b \Rightarrow -2 = 2 + b \Rightarrow b = -4$.
अतः,$b = \pm 4$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया वक्र $y = 5^x$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 5^x \log_e 5$.
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_1, y_1)} = 5^{x_1} \log_e 5$.
अधोस्पर्श रेखा (subtangent) की लंबाई का सूत्र है:
$L = \left| \frac{y_1}{\frac{dy}{dx}} \right|$.
मान रखने पर:
$L = \frac{y_1}{5^{x_1} \log_e 5}$.
चूंकि $(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $y_1 = 5^{x_1}$ है।
अतः,$L = \frac{5^{x_1}}{5^{x_1} \log_e 5} = \frac{1}{\log_e 5}$.

(D) दिया गया वक्र $y=x^2+x-1$ और बिंदु $(x_1, y_1)=(1,1)$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 2x+1$.
$(1,1)$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx} = 2(1)+1 = 3$.
स्पर्शरेखा की लंबाई $A = \left|\frac{y_1 \sqrt{1+m^2}}{m}\right| = \left|\frac{1 \sqrt{1+3^2}}{3}\right| = \frac{\sqrt{10}}{3} \approx 1.054$.
उपस्पर्शरेखा की लंबाई $B = \left|\frac{y_1}{m}\right| = \frac{1}{3} \approx 0.333$.
अभिलंब की लंबाई $C = \left|y_1 \sqrt{1+m^2}\right| = |1 \sqrt{1+3^2}| = \sqrt{10} \approx 3.162$.
उपअभिलंब की लंबाई $D = |y_1 m| = |1 \times 3| = 3$.
मानों की तुलना करने पर: $B (0.333) < A (1.054) < D (3) < C (3.162)$.
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $B, A, D, C$ है।

(A) दिए गए वक्र $y=\sin x$ और $y=\cos x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$\sin x = \cos x$ रखें,जिसका अर्थ है $\tan x = 1$।
अतः,$x = \frac{\pi}{4}$।
अब,$x = \frac{\pi}{4}$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करें।
$y = \sin x$ के लिए,ढाल $m_1 = \frac{dy}{dx} = \cos x$। $x = \frac{\pi}{4}$ पर,$m_1 = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$y = \cos x$ के लिए,ढाल $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\sin x$। $x = \frac{\pi}{4}$ पर,$m_2 = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = |\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})}| = |\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}}| = |\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}| = 2\sqrt{2}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$।

(B) दिया गया वक्र $6y = 7 - x^3$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$6 \frac{dy}{dx} = -3x^2$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2}{6} = -\frac{x^2}{2}$
बिंदु $(1, 1)$ पर,ढाल $m$ है:
$m = -\frac{(1)^2}{2} = -\frac{1}{2}$
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 1)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{1}{2}$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है:
$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$
$2(y - 1) = -(x - 1)$
$2y - 2 = -x + 1$
$x + 2y = 3$

(B) वक्रों $y^2 = x$ और $x^2 + y^2 = 2$ के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनका प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y^2 = x$ को $x^2 + y^2 = 2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 + x - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
$(x + 2)(x - 1) = 0$,जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है (क्योंकि $y^2 = x$ के लिए $x = -2$ संभव नहीं है)।
$x = 1$ के लिए,$y^2 = 1$,अतः $y = 1$ (प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु को ध्यान में रखते हुए)।
अब,$(1, 1)$ बिंदु पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करने के लिए वक्रों का अवकलन करते हैं:
$y^2 = x$ के लिए,$2y \frac{dy}{dx} = 1 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$। $(1, 1)$ पर,$m_1 = \frac{1}{2}$।
$x^2 + y^2 = 2$ के लिए,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$। $(1, 1)$ पर,$m_2 = -1$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{2} - (-1)}{1 + (\frac{1}{2})(-1)} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \right| = 3$।

(A) दिया गया वक्र $\Gamma: y = b e^{-x/a}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} e^{-x/a}$ प्राप्त होता है।
जहाँ वक्र $y$-अक्ष को काटता है,वहाँ $x = 0$,इसलिए $y = b e^0 = b$ है।
$(0, b)$ बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = -\frac{b}{a}$ है।
$(0, b)$ बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - b = -\frac{b}{a}(x - 0)$ है,जो सरल होकर $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ हो जाता है।
यह रेखा $L$ का समीकरण है,अतः $L$,$\Gamma$ को $(0, b)$ पर स्पर्श करता है।
चूँकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $e^{-x/a} > 0$ है,इसलिए $y = b e^{-x/a}$ कभी भी $0$ नहीं होता है। अतः,$\Gamma$ कभी भी $x$-अक्ष को स्पर्श नहीं करता है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से $A$ और $D$ दोनों गणितीय रूप से सही हैं।

(A) मान लीजिए $P(x, y)$ वक्र $y=f(x)$ पर एक बिंदु है और $C(a, b)$ वक्र पर स्थित नहीं एक निश्चित बिंदु है।
$P$ और $C$ के बीच की दूरी $d$,$d^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2$ द्वारा दी जाती है।
$d$ के अधिकतम या न्यूनतम होने के लिए,$d^2$ का भी अधिकतम या न्यूनतम होना आवश्यक है।
$x$ के सापेक्ष $d^2$ का अवकलन करने पर,हमें $\frac{d}{dx}(d^2) = 2(x-a) + 2(y-b)\frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $(x-a) + (y-b)\frac{dy}{dx} = 0$,जिसे $\frac{y-b}{x-a} = -\frac{1}{dy/dx}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$\frac{y-b}{x-a}$ रेखाखंड $PC$ की ढाल है और $\frac{dy}{dx}$ $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल है।
चूँकि उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ है,इसलिए रेखाखंड $PC$,$P$ पर स्पर्शरेखा के लंबवत है।

(B) दिया गया वक्र $y^{2}=2x^{3}$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 6x^{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2}}{y}$।
बिंदु $P(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{1} = \frac{3h^{2}}{k}$ है।
दी गई रेखा $4x=3y$ है,अर्थात $y=\frac{4}{3}x$,जिसकी ढाल $m_{2} = \frac{4}{3}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा रेखा के लंबवत है,$m_{1} \times m_{2} = -1$।
अतः,$\left(\frac{3h^{2}}{k}\right) \times \left(\frac{4}{3}\right) = -1 \Rightarrow \frac{4h^{2}}{k} = -1 \Rightarrow k = -4h^{2}$।
चूंकि बिंदु $P(h, k)$ वक्र पर स्थित है,$k^{2} = 2h^{3}$।
$k = -4h^{2}$ को वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-4h^{2})^{2} = 2h^{3} \Rightarrow 16h^{4} = 2h^{3}$।
इससे $2h^{3}(8h - 1) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $h=0$ या $h=\frac{1}{8}$।
यदि $h=0$ है,तो $k=0$ होता है। हालाँकि,$(0,0)$ पर अवकलज $\frac{dy}{dx}$ अपरिभाषित है (वक्र में वहां एक नोक है),इसलिए स्पर्श रेखा मानक रूप में परिभाषित नहीं है।
यदि $h=\frac{1}{8}$ है,तो $k = -4(\frac{1}{8})^{2} = -4(\frac{1}{64}) = -\frac{1}{16}$।
अतः,बिंदु $\left(\frac{1}{8}, -\frac{1}{16}\right)$ है।

(D) दिया गया वक्र $y^{2} = x^{3}$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 3x^{2}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2}}{2y}$।
बिंदु $(m^{2}, m^{3})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $T_{1} = \frac{3(m^{2})^{2}}{2(m^{3})} = \frac{3m^{4}}{2m^{3}} = \frac{3m}{2}$ है।
$(m^{2}, m^{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - m^{3} = \frac{3m}{2}(x - m^{2})$ है,जिसे सरल करने पर $3mx - 2y - m^{3} = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(M^{2}, M^{3})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{3M}{2}$ है। अतः,अभिलंब की ढाल $N_{2} = -\frac{2}{3M}$ होगी।
$(M^{2}, M^{3})$ पर अभिलंब का समीकरण $y - M^{3} = -\frac{2}{3M}(x - M^{2})$ है,जिसे सरल करने पर $2x + 3My - (3M^{4} + 2M^{2}) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि स्पर्श रेखा और अभिलंब समान हैं,इसलिए गुणांक समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{3m}{2} = \frac{-2}{3M} \Rightarrow 9mM = -4 \Rightarrow mM = -\frac{4}{9}$।

(B) दिया गया वक्र $y = b e^{-\frac{x}{a}}$ है।
अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = b e^{-\frac{x}{a}} \cdot (-\frac{1}{a}) = -\frac{y}{a}$.
वक्र पर किसी भी बिंदु $(x_0, y_0)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m = -\frac{y_0}{a}$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_0 = -\frac{y_0}{a}(x - x_0)$ है।
$y_0$ से विभाजित करने पर: $\frac{y}{y_0} - 1 = -\frac{x}{a} + \frac{x_0}{a}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{x}{a} + \frac{y}{y_0} = 1 + \frac{x_0}{a}$.
इसे $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $y_0 = b$ और $1 + \frac{x_0}{a} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x_0 = 0$.
$x_0 = 0$ पर,$y_0 = b e^0 = b$. अतः,स्पर्श बिंदु $(0, b)$ है।
चूंकि वक्र $y$-अक्ष को $x = 0$ पर काटता है,इसलिए $y$-अक्ष पर स्पर्शरेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।

(C) दिया गया वक्र $y = x^2 - x + 1$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x - 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{2x-1} = \frac{1}{1-2x}$ है।
$1$. $x_1 = 0$ पर,$y_1 = 1$. ढाल $m_1 = \frac{1}{1-0} = 1$.
समीकरण: $y - 1 = 1(x - 0) \Rightarrow x - y + 1 = 0$ $(i)$.
$2$. $x_2 = -1$ पर,$y_2 = (-1)^2 - (-1) + 1 = 3$. ढाल $m_2 = \frac{1}{1-2(-1)} = \frac{1}{3}$.
समीकरण: $y - 3 = \frac{1}{3}(x + 1) \Rightarrow 3y - 9 = x + 1 \Rightarrow x - 3y + 10 = 0$ (ii).
$3$. $x_3 = 5/2$ पर,$y_3 = (5/2)^2 - 5/2 + 1 = 19/4$. ढाल $m_3 = \frac{1}{1-2(5/2)} = -\frac{1}{4}$.
समीकरण: $y - 19/4 = -\frac{1}{4}(x - 5/2) \Rightarrow 2x + 8y - 43 = 0$ (iii).
$(i)$ और (ii) का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x - y = -1$ और $x - 3y = -10$. घटाने पर $2y = 9 \Rightarrow y = 9/2$. अतः $x = 7/2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(7/2, 9/2)$ है।
यह बिंदु (iii) को संतुष्ट करता है: $2(7/2) + 8(9/2) - 43 = 7 + 36 - 43 = 0$.
अतः,तीनों अभिलंब एक ही बिंदु से गुजरते हैं,इसलिए वे संगामी हैं।

(D) दिया गया वक्र $y=x^{2}+2ax+b$ है।
$x=\alpha$ पर बिंदु $P(\alpha, \alpha^{2}+2a\alpha+b)$ है।
$x=\beta$ पर बिंदु $Q(\beta, \beta^{2}+2a\beta+b)$ है।
जीवा $PQ$ की ढाल $m_{chord} = \frac{(\beta^{2}+2a\beta+b) - (\alpha^{2}+2a\alpha+b)}{\beta-\alpha}$ है।
$m_{chord} = \frac{(\beta^{2}-\alpha^{2}) + 2a(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha} = \frac{(\beta-\alpha)(\beta+\alpha) + 2a(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha} = \alpha+\beta+2a$.
किसी भी बिंदु $x$ पर वक्र की स्पर्शरेखा की ढाल $m_{tangent} = \frac{dy}{dx} = 2x+2a$ है।
चूंकि जीवा स्पर्शरेखा के समानांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$2x+2a = \alpha+\beta+2a$.
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $2x = \alpha+\beta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{\alpha+\beta}{2}$.

(B) दिया गया वक्र $xy = 1 - 2x$ है।
समीकरण को $y = \frac{1 - 2x}{x} = \frac{1}{x} - 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x \neq 0$ के लिए $\frac{dy}{dx} < 0$ है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल हमेशा ऋणात्मक होती है।
रेखा $ax + by + c = 0$ को $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{a}{b}$ है।
चूंकि रेखा वक्र की स्पर्श रेखा है,इसलिए इसकी ढाल स्पर्श बिंदु पर अवकलज के बराबर होनी चाहिए,जो कि ऋणात्मक है।
अतः,$-\frac{a}{b} < 0$,जिसका अर्थ है $\frac{a}{b} > 0$।
यह स्थिति $\frac{a}{b} > 0$ तभी सत्य है जब $a$ और $b$ दोनों का चिह्न समान हो।
अतः,या तो $a > 0, b > 0$ या $a < 0, b < 0$।

(A) प्रतिच्छेदन बिंदुओं के लिए,हम दोनों समीकरणों को बराबर रखते हैं: $e^{x^{2}} = e^{x^{2}} \sin x$.
चूंकि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $e^{x^{2}} \neq 0$ होता है,इसलिए $e^{x^{2}}$ से भाग देने पर हमें $\sin x = 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
मान लीजिए $f(x) = e^{x^{2}}$ और $g(x) = e^{x^{2}} \sin x$ है।
$f(x)$ का अवकलज $f'(x) = 2x e^{x^{2}}$ है।
$g(x)$ का अवकलज $g'(x) = 2x e^{x^{2}} \sin x + e^{x^{2}} \cos x$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु पर जहाँ $\sin x = 1$ और $\cos x = 0$ है,हमें प्राप्त होता है:
$f'(x) = 2x e^{x^{2}}$
$g'(x) = 2x e^{x^{2}}(1) + e^{x^{2}}(0) = 2x e^{x^{2}}$.
चूंकि प्रतिच्छेदन बिंदु पर $f'(x) = g'(x)$ है,इसलिए स्पर्श रेखाओं की ढाल समान है।
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $0$ है।

(B) दिया गया वक्र $y = x^2 - 3x + 2$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 2x - 3$।
दी गई रेखा $y = x$ है,जिसकी ढाल $m_1 = 1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा $y = x$ के लंबवत है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ की शर्त को पूरा करना होगा।
अतः,$1 \times (2x - 3) = -1$,जिसका अर्थ है $2x - 3 = -1$।
$x$ के लिए हल करने पर: $2x = 2$,इसलिए $x = 1$।
$y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $x = 1$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $y = (1)^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$।
अतः,बिंदु $(1, 0)$ है।