Maxima and Minima Questions in Hindi

(C) एक त्रिघात फलन $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ जिसका कोई चरम मान नहीं है,के लिए इसका अवकलज $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ अपना चिह्न नहीं बदलना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $f'(x)$ सभी $x \in R$ के लिए या तो हमेशा $\ge 0$ होना चाहिए या हमेशा $\le 0$ होना चाहिए।
यह इंगित करता है कि द्विघात व्यंजक $g(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ चिह्न नहीं बदलता है।
एक द्विघात समीकरण $g(x) = Ax^2 + Bx + C$ के लिए एक स्थिर चिह्न बनाए रखने हेतु,इसका विविक्तकर $D = B^2 - 4AC$ का मान $\le 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$D = (2b)^2 - 4(3a)(c) = 4b^2 - 12ac \le 0$,जो यह दर्शाता है कि $b^2 \le 3ac$ है।
यदि $f'(x)$ चिह्न नहीं बदलता है,तो किसी भी $x_1, x_2 \in R$ के लिए $f'(x_1)$ और $f'(x_2)$ का चिह्न समान होना चाहिए।
विशेष रूप से,$f'(1) = 3a + 2b + c$ और $f'(0) = c$ का चिह्न समान होना चाहिए या शून्य होना चाहिए।
अतः,उनका गुणनफल अ-ऋणात्मक होना चाहिए: $(3a + 2b + c)c \ge 0$।

(A) एक लंबवृत्तीय बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ होता है।
दिए गए संबंध $r^2 + h = 6$ से,हम $h = 6 - r^2$ लिख सकते हैं।
इसे आयतन के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $V = \pi r^2 (6 - r^2) = \pi (6r^2 - r^4)$।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dr} = \pi (12r - 4r^3)$।
$\frac{dV}{dr} = 0$ रखने पर,$12r - 4r^3 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4r(3 - r^2) = 0$।
चूँकि $r > 0$,इसलिए $r^2 = 3$,जिसका अर्थ है $r = \sqrt{3}$।
$r^2 = 3$ को $h = 6 - r^2$ में रखने पर,$h = 6 - 3 = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{r}{h} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(D) $x \in (0, 1)$ के लिए,$\ln x < 0$ है,इसलिए $x \ln x < 0$ होता है।
अतः,$f(x) = |x \ln x| = -x \ln x$.
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = -(1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = -(1 + \ln x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$1 + \ln x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln x = -1$,इसलिए $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
चूंकि $x < \frac{1}{e}$ के लिए $f'(x) > 0$ और $x > \frac{1}{e}$ के लिए $f'(x) < 0$ है,इसलिए फलन का $x = \frac{1}{e}$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान $f(\frac{1}{e}) = -(\frac{1}{e}) \ln(\frac{1}{e}) = -(\frac{1}{e})(-1) = \frac{1}{e} = e^{-1}$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x^2 - 2}{\sqrt{1 + x^2}}$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{\sqrt{1+x^2}(2x) - (x^2-2)\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}(2x)}{1+x^2}$
$f'(x) = \frac{2x(1+x^2) - x(x^2-2)}{(1+x^2)^{3/2}}$
$f'(x) = \frac{2x + 2x^3 - x^3 + 2x}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{x^3 + 4x}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{x(x^2 + 4)}{(1+x^2)^{3/2}}$.
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^2 + 4 > 0$ और $(1+x^2)^{3/2} > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न केवल $x$ पर निर्भर करता है।
$x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$ (फलन ह्रासमान है)।
$x > 0$ के लिए,$f'(x) > 0$ (फलन वर्धमान है)।
$x = 0$ पर,$f'(x) = 0$ है और चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,जो दर्शाता है कि $x = 0$ एक स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है।
अतः,फलन का ठीक एक निम्निष्ठ बिंदु है।

(B) दिया गया है कि $f''(x) > 0$,अतः $f'(x)$ एक वर्धमान फलन है।
$g'(x) = 2f'(2x^3 - 3x^2) \cdot (6x^2 - 6x) + f'(6x^2 - 4x^3 - 3) \cdot (12x - 12x^2)$
$g'(x) = 12x(x - 1) [f'(2x^3 - 3x^2) - f'(6x^2 - 4x^3 - 3)]$
चूंकि $f'(x)$ वर्धमान है,$f'(A) > f'(B) \iff A > B$।
यहाँ $A - B = 3(x - 1)^2(2x + 1)$ है।
अतः,$f'(A) - f'(B) > 0$ तब होता है जब $x > -\frac{1}{2}$ ($x \neq 1$ के लिए)।
$g'(x) > 0$ के लिए $12x(x - 1)$ और $(f'(A) - f'(B))$ के चिह्न समान होने चाहिए।
स्थिति $I$: $x(x - 1) > 0$ और $x > -\frac{1}{2}$,जो $x \in (1, \infty)$ देता है।
स्थिति $II$: $x(x - 1) < 0$ और $x < -\frac{1}{2}$,जो $x \in (-\frac{1}{2}, 0)$ देता है।
अतः,$g'(x) > 0$ के लिए $x \in (-\frac{1}{2}, 0) \cup (1, \infty)$।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x + \sin x$ है।
स्थानीय उच्चिष्ठ ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज $f'(x) = 1 + \cos x$ प्राप्त करते हैं।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $1 + \cos x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos x = -1$।
यह $x = (2n + 1)\pi$ पर होता है,जहाँ $n$ कोई भी पूर्णांक है।
अब,हम इन क्रांतिक बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ के चिह्न की जाँच करते हैं। चूँकि सभी $x$ के लिए $\cos x \geq -1$ है,इसलिए $f'(x) = 1 + \cos x \geq 0$ होता है।
चूँकि $f'(x)$ किसी भी बिंदु $x = (2n + 1)\pi$ पर धनात्मक से ऋणात्मक में अपना चिह्न नहीं बदलता है,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है और इसका कोई स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं है।
अतः,स्थानीय उच्चिष्ठ के बिंदुओं की संख्या $0$ है।

(C) माना $AF = x$ है। आकृति के अनुसार,$\Delta AFE \sim \Delta ABC$ होने के कारण,$\frac{FE}{BC} = \frac{AF}{AB} = \frac{AE}{AC}$ होता है।
अतः,$FE = \frac{c}{b}(b-x)$। समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई $h = x \sin A$ है।
क्षेत्रफल $A(x) = FE \cdot h = \frac{c}{b}(b-x) \cdot x \sin A = \frac{c \sin A}{b} (bx - x^2)$।
अधिकतम करने के लिए,$\frac{dA}{dx} = \frac{c \sin A}{b} (b - 2x) = 0 \Rightarrow x = \frac{b}{2}$।
अधिकतम क्षेत्रफल $= \frac{c \sin A}{b} (b(\frac{b}{2}) - (\frac{b}{2})^2) = \frac{c \sin A}{b} (\frac{b^2}{4}) = \frac{bc}{4} \sin A$।

(B) दिया गया वक्र $y = e^x + e^{-x}$ है।
हमें मूल बिंदु $(0,0)$ से इस वक्र की न्यूनतम दूरी ज्ञात करनी है।
माना $f(x) = e^x + e^{-x}$ है। $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$e^x + e^{-x} \ge 2\sqrt{e^x \cdot e^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2$ है।
$y$ का न्यूनतम मान $2$ है,जो $x = 0$ पर प्राप्त होता है।
अतः,वक्र पर मूल बिंदु के सबसे निकटतम बिंदु $(0,2)$ है।
$(0,0)$ और $(0,2)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4} = 2$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^3 - 12x + \lambda$ है।
स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज की गणना करते हैं:
$f'(x) = 3x^2 - 12$.
$f'(x) = 0$ रखने पर $3(x^2 - 4) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 2$ या $x = -2$.
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:
$f''(x) = 6x$.
$x = -2$ पर,$f''(-2) = 6(-2) = -12 < 0$,जो दर्शाता है कि $x = -2$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है।
$x = 2$ पर,$f''(2) = 6(2) = 12 > 0$,जो दर्शाता है कि $x = 2$ पर स्थानीय निम्निष्ठ है।
चूंकि त्रिघात बहुपद $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ के लिए स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ का अस्तित्व केवल उसके अवकलज $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ पर निर्भर करता है,और यहाँ $f'(x) = 3x^2 - 12$ है जो $\lambda$ से स्वतंत्र है,इसलिए फलन $f(x)$ का $\lambda$ के सभी मानों के लिए एक स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु होगा।
दिया गया है $\lambda \in [0, 20]$,तो $\lambda$ के पूर्णांक मान $\{0, 1, 2, \dots, 20\}$ हैं।
ऐसे मानों की कुल संख्या $20 - 0 + 1 = 21$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = -1 + \frac{2}{2^{x^2} + 1}$ है।
$f(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें पद $\frac{2}{2^{x^2} + 1}$ को अधिकतम करना होगा।
एक भिन्न तब अधिकतम होता है जब उसका हर (denominator) न्यूनतम हो।
हर $2^{x^2} + 1$ तब न्यूनतम होता है जब $2^{x^2}$ न्यूनतम हो।
सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^2 \ge 0$ होता है,इसलिए $x^2$ का न्यूनतम मान $0$ है,जो $x = 0$ पर प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,$2^{x^2} = 2^0 = 1$ होता है।
अतः,हर का न्यूनतम मान $1 + 1 = 2$ है।
इसलिए,भिन्न का अधिकतम मान $\frac{2}{2} = 1$ है।
परिणामस्वरूप,$f(x)$ का अधिकतम मान $f(0) = -1 + 1 = 0$ है।

(A) दिया गया फलन $y = a \ln |x + 1| + b(x + 1)^2 + x$ है।
चूंकि फलन का $x = 0$ पर चरम मान है,इसलिए $x = 0$ पर फलन का मान $4$ है।
समीकरण में $x = 0$ और $y = 4$ रखने पर:
$4 = a \ln |0 + 1| + b(0 + 1)^2 + 0$
$4 = a \ln(1) + b(1)^2 + 0$
चूंकि $\ln(1) = 0$,इसलिए $4 = 0 + b + 0$,जिसका अर्थ है $b = 4$।
अब,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x + 1} + 2b(x + 1) + 1$।
चरम बिंदु पर,अवकलज शून्य होता है। अतः $x = 0$ पर,$\frac{dy}{dx} = 0$:
$\frac{a}{0 + 1} + 2b(0 + 1) + 1 = 0$
$a + 2b + 1 = 0$।
समीकरण में $b = 4$ रखने पर:
$a + 2(4) + 1 = 0$
$a + 8 + 1 = 0$
$a + 9 = 0 \Rightarrow a = -9$।
अतः,$(a, b) = (-9, 4)$।

(B) $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होने के लिए,फलन को $f(1) \le f(1 - h)$ और $f(1) \le f(1 + h)$ शर्तों को पूरा करना चाहिए,जहाँ $h > 0$ एक बहुत छोटा मान है।
सबसे पहले,$x = 1$ पर बाएँ पक्ष की सीमा (left-hand limit) ज्ञात करते हैं:
$f(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (3 - x) = 3 - 1 = 2$.
अब,$x = 1$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(1) = 1^2 + \log_e b = 1 + \log_e b$.
$x > 1$ के लिए,$f(x) = x^2 + \log_e b$ है। चूँकि $f'(x) = 2x > 0$ है,इसलिए $x > 1$ के लिए फलन वर्धमान है। अतः,$x = 1$ के पड़ोस में $x > 1$ के लिए $f(x) \ge f(1)$ होगा।
$x < 1$ के लिए,$f(x) = 3 - x$ है। चूँकि $f'(x) = -1 < 0$ है,इसलिए $x < 1$ के लिए फलन ह्रासमान है। अतः,$x = 1$ के पड़ोस में $x < 1$ के लिए $f(x) > f(1^-) = 2$ होगा।
$x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान के लिए,हमें $f(1) \le f(1^-)$ की आवश्यकता है:
$1 + \log_e b \le 2$
$\log_e b \le 1$
$b \le e^1 = e$.
चूँकि लघुगणक $\log_e b$ केवल $b > 0$ के लिए परिभाषित है,इसलिए $b$ के मानों का समुच्चय $(0, e]$ है।

(A) माना $R$ त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित शंकु की ऊँचाई $h$ है। गोले का केंद्र $O$ है। केंद्र $O$ से शंकु के आधार की दूरी $|h-R|$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,शंकु के आधार की त्रिज्या $r$ के लिए $r^2 + (h-R)^2 = R^2$,अतः $r^2 = R^2 - (h^2 - 2hR + R^2) = 2hR - h^2$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2hR - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (2h^2R - h^3)$ है।
$V$ को अधिकतम करने के लिए,हम $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (4hR - 3h^2)$।
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,$h(4R - 3h) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $h \neq 0$,इसलिए $h = \frac{4R}{3}$ है।
गोले का व्यास $D = 2R$ है।
शंकु की ऊँचाई और गोले के व्यास का अनुपात $\frac{h}{D} = \frac{4R/3}{2R} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।

(D) $x = 2$ पर फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 3$ का प्रथम और द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं।
चरण $1$: प्रथम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 12x - 3) = 3x^2 - 12x + 12$.
चरण $2$: $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।
$3x^2 - 12x + 12 = 0 \implies 3(x^2 - 4x + 4) = 0 \implies 3(x - 2)^2 = 0$.
इससे हमें $x = 2$ क्रांतिक बिंदु प्राप्त होता है।
चरण $3$: द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें।
$f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 12) = 6x - 12$.
चरण $4$: $x = 2$ पर $f''(x)$ का मान ज्ञात करें।
$f''(2) = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0$.
चूंकि $f''(2) = 0$ है,इसलिए द्वितीय अवकलज परीक्षण अनिर्णायक है। हम $x = 2$ के आसपास $f'(x)$ के चिह्न की जांच करते हैं।
$f'(x) = 3(x - 2)^2$। चूंकि $(x - 2)^2$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा गैर-ऋणात्मक (non-negative) है,इसलिए $f'(x) \geq 0$ है।
चूंकि $x$ के $2$ से गुजरने पर अवकलज अपना चिह्न नहीं बदलता है,इसलिए $x = 2$ एक नति परिवर्तन बिंदु (point of inflection) है,न कि स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ बिंदु।

(B) माना $y = (\frac{1}{x})^{2x^2} = x^{-2x^2}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln y = -2x^2 \ln x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -4x \ln x - 2x^2 (\frac{1}{x}) = -4x \ln x - 2x = -2x(2 \ln x + 1)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -2x(2 \ln x + 1) y$ है।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर। चूँकि $x > 0$ और $y > 0$ है,इसलिए $2 \ln x + 1 = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $\ln x = -\frac{1}{2}$,अतः $x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$ है।
$x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ पर फलन अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।
मूल व्यंजक में $x = e^{-1/2}$ रखने पर:
$y_{max} = (\frac{1}{e^{-1/2}})^{2(e^{-1/2})^2} = (e^{1/2})^{2(e^{-1})} = e^{(1/2) \times (2/e)} = e^{1/e} = \sqrt[e]{e}$।

(C) अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं।
$f(x) = (7-x)^4 (2+x)^5$
गुणनफल नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = 4(7-x)^3(-1)(2+x)^5 + 5(7-x)^4(2+x)^4$
$f'(x) = (7-x)^3(2+x)^4 [-4(2+x) + 5(7-x)]$
$f'(x) = (7-x)^3(2+x)^4 [-8 - 4x + 35 - 5x]$
$f'(x) = (7-x)^3(2+x)^4 [27 - 9x]$
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु $x = 7, x = -2, x = 3$ प्राप्त होते हैं।
$x \in (-2, 7)$ के लिए,फलन धनात्मक है। $x = 3$ पर,अवकलज धनात्मक से ऋणात्मक में बदल जाता है,जो स्थानीय अधिकतम को दर्शाता है।
अधिकतम मान $f(3) = (7-3)^4 (2+3)^5 = 4^4 \times 5^5$ है।

(D) मान लीजिए वर्ग की भुजा की लंबाई $2 \ cm$ है। एक कोने से उसकी आसन्न भुजा पर एक बिंदु तक कट लगाया जाता है,जिससे एक समकोण त्रिभुज और एक चतुर्भुज (समलंब) बनता है।
मान लीजिए कट की लंबाई $L$ है। त्रिभुज की भुजाएँ $x$,$2$ और $L$ हैं,जहाँ $L = \sqrt{x^2 + 2^2}$ है।
त्रिभुज का परिमाप $P_1 = x + 2 + L$ है।
शेष आकृति एक चतुर्भुज है जिसकी भुजाएँ $2$,$2$,$(2-x)$ और $L$ हैं।
चतुर्भुज का परिमाप $P_2 = 2 + 2 + (2-x) + L = 6 - x + L$ है।
परिमापों का योग $S = P_1 + P_2 = (x + 2 + L) + (6 - x + L) = 8 + 2L$ है।
$S$ को अधिकतम करने के लिए,हमें $L$ को अधिकतम करना होगा। $2$ भुजा वाले वर्ग के कोने से काटे जा सकने वाले सीधे रेखाखंड $L$ की अधिकतम लंबाई वर्ग का विकर्ण है।
अतः,$L = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
परिमापों का अधिकतम योग $S_{max} = 8 + 2(2\sqrt{2}) = 8 + 4\sqrt{2} \ cm$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \int_{x}^{x^2} (t - 1) \, dt$.
लीबनीज़ समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = (x^2 - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) - (x - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$f'(x) = (x^2 - 1)(2x) - (x - 1)(1)$
$f'(x) = 2x^3 - 2x - x + 1 = 2x^3 - 3x + 1$.
हम $f'(x)$ का गुणनखंड कर सकते हैं क्योंकि $x=1$ इसका एक मूल है:
$f'(x) = (x - 1)(2x^2 + 2x - 1)$.
$x \in [1, 3]$ के लिए,$f'(x) \ge 0$ है,इसलिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।
अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x = 3$ पर प्राप्त होता है।
$f(3) = \int_{3}^{9} (t - 1) \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} - t \right]_{3}^{9}$
$f(3) = \left( \frac{81}{2} - 9 \right) - \left( \frac{9}{2} - 3 \right) = \frac{72}{2} - 6 = 36 - 6 = 30$.

(C) माना $f(x) = x^2 - x \sin x - \cos x$ है।
अतः,अवकलज $f'(x) = 2x - (\sin x + x \cos x) - (-\sin x) = 2x - x \cos x = x(2 - \cos x)$ है।
चूँकि $-1 \le \cos x \le 1$,इसलिए $2 - \cos x > 0$ सभी वास्तविक $x$ के लिए सत्य है।
अतः,$f'(x) = 0$ केवल $x = 0$ पर होता है।
जब $x < 0$ है,तो $f'(x) < 0$ है,इसलिए $f(x)$ निरंतर ह्रासमान है।
जब $x > 0$ है,तो $f'(x) > 0$ है,इसलिए $f(x)$ निरंतर वर्धमान है।
इसलिए,$x = 0$ वैश्विक न्यूनतम बिंदु है।
न्यूनतम मान $f(0) = 0^2 - 0 \sin(0) - \cos(0) = -1$ है।
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to \infty$ है।
चूँकि $f(x)$ एक सतत फलन है,यह $(-\infty, 0)$ में एक बार और $(0, \infty)$ में एक बार $x$-अक्ष को काटता है।
अतः,ऐसे कुल $2$ बिंदु हैं जहाँ $f(x) = 0$ है।

(D) माना $f(x) = x^4 e^{-x^2}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = 4x^3 e^{-x^2} + x^4 e^{-x^2}(-2x)$
$f'(x) = 2x^3 e^{-x^2}(2 - x^2)$
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$ या $x^2 = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 0, \pm \sqrt{2}$.
$f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:
$x < -\sqrt{2}$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$-\sqrt{2} < x < 0$ के लिए,$f'(x) < 0$.
$0 < x < \sqrt{2}$ के लिए,$f'(x) > 0$.
$x > \sqrt{2}$ के लिए,$f'(x) < 0$.
अतः,$f(x)$ का स्थानीय अधिकतम मान $x = \pm \sqrt{2}$ पर है।
अधिकतम मान $f(\pm \sqrt{2}) = (\pm \sqrt{2})^4 e^{-(\pm \sqrt{2})^2} = 4 e^{-2}$ है।

(B) माना कि $g(x) = 4x^3 - 12x^2 + 11x - 3$ है।
तब $g'(x) = 12x^2 - 24x + 11$ होगा।
हम इसे $g'(x) = 12(x - 1)^2 - 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
$x \in [2, 3]$ के लिए,$(x - 1) \in [1, 2]$,इसलिए $(x - 1)^2 \in [1, 4]$ होगा।
अतः,सभी $x \in [2, 3]$ के लिए $g'(x) \geq 12(1) - 1 = 11 > 0$ है।
चूंकि $g'(x) > 0$ है,इसलिए $g(x)$ अंतराल $[2, 3]$ पर एक वर्धमान फलन है।
परिणामस्वरूप,$f(x) = \log_{10}(g(x))$ भी $[2, 3]$ पर वर्धमान फलन है।
अतः,वैश्विक अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x = 3$ पर प्राप्त होता है।
$f(3) = \log_{10}(4(3)^3 - 12(3)^2 + 11(3) - 3) = \log_{10}(108 - 108 + 30) = \log_{10}(30)$।
$f(3) = \log_{10}(10 \times 3) = \log_{10}10 + \log_{10}3 = 1 + \log_{10}3$।

(A) माना $R = a/2$ गोले की त्रिज्या है। माना $h$ शंकु की ऊँचाई है और $r$ शंकु के आधार की त्रिज्या है।
ज्यामिति के अनुसार,यदि $x$ गोले के केंद्र से शंकु के आधार तक की दूरी है,तो $h = R + x = a/2 + x$ होगा।
शंकु के आधार की त्रिज्या $r^2 = R^2 - x^2 = (a/2)^2 - x^2$ द्वारा दी जाती है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi ((a/2)^2 - x^2)(a/2 + x)$ है।
इसका विस्तार करने पर,$V = \frac{\pi}{3} (a^2/4 - x^2)(a/2 + x) = \frac{\pi}{3} (a^3/8 + a^2x/4 - ax^2/2 - x^3)$ प्राप्त होता है।
आयतन को अधिकतम करने के लिए,$dV/dx = 0$ रखें:
$dV/dx = \frac{\pi}{3} (a^2/4 - ax - 3x^2) = 0$.
$3x^2 + ax - a^2/4 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4(3)(-a^2/4)}}{2(3)} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 + 3a^2}}{6} = \frac{-a \pm 2a}{6}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = a/6$ है।
अतः,ऊँचाई $h = a/2 + a/6 = (3a + a)/6 = 4a/6 = (2/3)a$ है।

(A) माना गोले की त्रिज्या $R = 3 \, cm$ है।
माना शंकु की ऊँचाई $h$ और आधार की त्रिज्या $b$ है।
गोले की ज्यामिति के अनुसार,$h, b,$ और $R$ के बीच संबंध $(h-R)^2 + b^2 = R^2$ है।
अतः,$b^2 = R^2 - (h-R)^2 = 2hR - h^2$.
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi b^2 h = \frac{1}{3} \pi (2hR - h^2) h = \frac{\pi}{3} (2Rh^2 - h^3)$ है।
आयतन को अधिकतम करने के लिए,हम $\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{3} (4Rh - 3h^2) = 0$ ज्ञात करते हैं।
इससे $h(4R - 3h) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $h \neq 0$,इसलिए $h = \frac{4R}{3} = \frac{4(3)}{3} = 4 \, cm$ है।
अब,$b^2 = 2(4)(3) - (4)^2 = 24 - 16 = 8$,इसलिए $b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, cm$.
तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{h^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \, cm$.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = \pi b l = \pi (2\sqrt{2}) (2\sqrt{6}) = 4\pi \sqrt{12} = 4\pi (2\sqrt{3}) = 8\sqrt{3} \pi \, cm^2$ है।

(D) माना कि $f(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E$ घात $4$ का एक बहुपद है।
दिया गया है कि $\lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{x^2} + 1 \right) = 3$,इसलिए $\lim_{x \to 0} \left( \frac{Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E}{x^2} + 1 \right) = 3$.
इसका अर्थ है कि $\lim_{x \to 0} \left( Ax^2 + Bx + C + \frac{D}{x} + \frac{E}{x^2} + 1 \right) = 3$.
सीमा का मान निश्चित होने के लिए,$D = 0$ और $E = 0$ होना चाहिए। अतः,$C + 1 = 3$,जिससे $C = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$f(x) = Ax^4 + Bx^3 + 2x^2$. अवकलन करने पर $f'(x) = 4Ax^3 + 3Bx^2 + 4x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x)$ के चरम मान $x = 1$ और $x = 2$ पर हैं,इसलिए $f'(1) = 0$ और $f'(2) = 0$.
$f'(1) = 4A + 3B + 4 = 0 \implies 4A + 3B = -4$ (समीकरण $1$).
$f'(2) = 4A(8) + 3B(4) + 4(2) = 32A + 12B + 8 = 0 \implies 8A + 3B = -2$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(8A + 3B) - (4A + 3B) = -2 - (-4) \implies 4A = 2 \implies A = \frac{1}{2}$.
$A = \frac{1}{2}$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $4(\frac{1}{2}) + 3B = -4 \implies 2 + 3B = -4 \implies 3B = -6 \implies B = -2$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$.
अंत में,$f(-1) = \frac{1}{2}(-1)^4 - 2(-1)^3 + 2(-1)^2 = \frac{1}{2} + 2 + 2 = \frac{9}{2}$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5$ है।
स्थानीय उच्चतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$6(x^2 - 3x + 2) = 0 \Rightarrow 6(x - 1)(x - 2) = 0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = 2$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = 12x - 18$ की जाँच करते हैं।
$x = 1$ पर,$f''(1) = 12(1) - 18 = -6 < 0$,इसलिए $x = 1$ स्थानीय उच्चतम है।
$M = f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) + 5 = 2 - 9 + 12 + 5 = 10$.
$x = 2$ पर,$f''(2) = 12(2) - 18 = 6 > 0$,इसलिए $x = 2$ स्थानीय न्यूनतम है।
$m = f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) + 5 = 16 - 36 + 24 + 5 = 9$.
अतः,$M - m = 10 - 9 = 1$.

(A) मान लीजिए $f(x) = \frac{(1 + x)^{3/5}}{1 + x^{3/5}}$,जहाँ $x \in [0, 1]$.
अवकलन $f'(x)$ लेने पर:
$f'(x) = \frac{(1 + x^{3/5}) \cdot \frac{3}{5}(1 + x)^{-2/5} - (1 + x)^{3/5} \cdot \frac{3}{5}x^{-2/5}}{(1 + x^{3/5})^2}$
$f'(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{1 + x^{3/5}}{(1 + x)^{2/5}} - \frac{(1 + x)^{3/5}}{x^{2/5}} \right]$
$f'(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{x^{2/5}(1 + x^{3/5}) - (1 + x)^{3/5}(1 + x)^{2/5}}{x^{2/5}(1 + x)^{2/5}} \right]$
$f'(x) = \frac{3}{5} \left[ \frac{x^{2/5} + x - (1 + x)}{x^{2/5}(1 + x)^{2/5}} \right] = \frac{3}{5} \left[ \frac{x^{2/5} - 1}{x^{2/5}(1 + x)^{2/5}} \right]$
चूंकि $x \in [0, 1]$,इसलिए $x^{2/5} \le 1$,अतः $f'(x) \le 0$। फलन ह्रासमान (decreasing) है।
इसलिए,अधिकतम मान $K = f(0) = \frac{(1+0)^{0.6}}{1+0^{0.6}} = 1$ है।
न्यूनतम मान $k = f(1) = \frac{(1+1)^{0.6}}{1+1^{0.6}} = \frac{2^{0.6}}{2} = 2^{0.6 - 1} = 2^{-0.4}$ है।
अतः,क्रमित युग्म $(k, K) = (2^{-0.4}, 1)$ है।

(C) माना गोले की त्रिज्या $R = \sqrt{3}$ है। माना बेलन की ऊँचाई $h$ और त्रिज्या $r$ है।
गोले की त्रिज्या,बेलन की त्रिज्या और बेलन की आधी ऊँचाई से बने समकोण त्रिभुज में:
$R^2 = r^2 + (h/2)^2$
$(\sqrt{3})^2 = r^2 + \frac{h^2}{4}$
$3 = r^2 + \frac{h^2}{4} \Rightarrow r^2 = 3 - \frac{h^2}{4}$
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi (3 - \frac{h^2}{4})h = 3\pi h - \frac{\pi h^3}{4}$ है।
आयतन को अधिकतम करने के लिए,हम $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dV}{dh} = 3\pi - \frac{3\pi h^2}{4} = 0$
$3\pi = \frac{3\pi h^2}{4} \Rightarrow h^2 = 4 \Rightarrow h = 2$.
$h = 2$ को आयतन के सूत्र में रखने पर:
$V = \pi (3 - \frac{2^2}{4})(2) = \pi (3 - 1)(2) = 4\pi$.

(D) माना आधार $b$ है और कर्ण $h$ है।
तब शीर्षलंब (लंब) $\sqrt{h^2 - b^2}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{शीर्षलंब} = \frac{1}{2} b \sqrt{h^2 - b^2}$ है।
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $A$ का $b$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{db} = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{h^2 - b^2} + b \cdot \frac{-2b}{2\sqrt{h^2 - b^2}} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{h^2 - b^2 - b^2}{\sqrt{h^2 - b^2}} \right] = \frac{h^2 - 2b^2}{2\sqrt{h^2 - b^2}}$.
$\frac{dA}{db} = 0$ रखने पर,हमें $h^2 - 2b^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{h^2}{2}$,या $b = \frac{h}{\sqrt{2}}$.
इस मान को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:
$A_{max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{h^2 - \frac{h^2}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2}} = \frac{h^2}{4}$.

(C) माना लागत फलन $C(v) = av + \frac{b}{v}$ है।
दिया गया है कि $v = 30 \text{ km/h}$ पर,$C = 75$,इसलिए $30a + \frac{b}{30} = 75 \implies 900a + b = 2250 \quad (i)$.
दिया गया है कि $v = 40 \text{ km/h}$ पर,$C = 65$,इसलिए $40a + \frac{b}{40} = 65 \implies 1600a + b = 2600 \quad (ii)$.
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर,हमें $700a = 350$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 0.5$.
$a = 0.5$ को $(i)$ में रखने पर,हमें $900(0.5) + b = 2250 \implies 450 + b = 2250 \implies b = 1800$ प्राप्त होता है।
सबसे किफायती गति ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dC}{dv} = 0$ रखकर $C(v)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
$\frac{dC}{dv} = a - \frac{b}{v^2} = 0 \implies v^2 = \frac{b}{a}$.
$v^2 = \frac{1800}{0.5} = 3600 \implies v = 60 \text{ km/h}$.

(D) माना तिर्यक ऊँचाई $l = 3 \, m$,त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 = r^2 + h^2$,इसलिए $r^2 = l^2 - h^2 = 9 - h^2$.
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$r^2$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $V(h) = \frac{1}{3} \pi (9 - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (9h - h^3)$.
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (9 - 3h^2)$.
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,$9 - 3h^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h^2 = 3$,इसलिए $h = \sqrt{3}$.
अब,अधिकतम आयतन की गणना करने पर:
$V = \frac{1}{3} \pi (9 - 3) \sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi (6) \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\pi \, m^3$.

(A) माना $P(x, y)$ वक्र $y = \sqrt{x}$ पर एक बिंदु है। अतः $P$ को $(t^2, t)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $t > 0$ है।
$P(t^2, t)$ और $\left( \frac{3}{2}, 0 \right)$ के बीच की दूरी का वर्ग $D^2$ इस प्रकार है:
$f(t) = (t^2 - \frac{3}{2})^2 + (t - 0)^2 = t^4 - 3t^2 + \frac{9}{4} + t^2 = t^4 - 2t^2 + \frac{9}{4}$.
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $f(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$f'(t) = 4t^3 - 4t = 4t(t^2 - 1) = 0$.
चूँकि $t > 0$ है,इसलिए $t^2 = 1$,जिसका अर्थ है $t = 1$.
$t = 1$ के लिए,बिंदु $P$ का मान $(1^2, 1) = (1, 1)$ है।
न्यूनतम दूरी $(1, 1)$ और $\left( \frac{3}{2}, 0 \right)$ के बीच की दूरी है:
$d = \sqrt{(\frac{3}{2} - 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

(C) माना वक्र पर बिंदु $P(x, x^{3/2} + 7)$ है। सैनिक $A(1/2, 7)$ पर है।
दूरी का वर्ग $D^2 = (x - 1/2)^2 + (x^{3/2} + 7 - 7)^2 = (x - 1/2)^2 + x^3$ है।
माना $f(x) = (x - 1/2)^2 + x^3$ है। न्यूनतम दूरी के लिए,$f'(x) = 0$ होगा।
$f'(x) = 2(x - 1/2) + 3x^2 = 3x^2 + 2x - 1 = 0$ है।
$(3x - 1)(x + 1) = 0$। चूंकि $x \geq 0$,इसलिए $x = 1/3$ है।
बिंदु $P$ का मान $(1/3, 7 + \frac{1}{3\sqrt{3}})$ है।
दूरी $AD = \sqrt{(1/3 - 1/2)^2 + (\frac{1}{3\sqrt{3}})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{27}} = \sqrt{\frac{7}{108}} = \frac{1}{6}\sqrt{\frac{7}{3}}$ है।

(C) माना परवलय पर आयत के शीर्ष $(\alpha, 12 - \alpha^2)$ और $(-\alpha, 12 - \alpha^2)$ हैं,जहाँ $\alpha > 0$ है।
आयत का आधार $x-$अक्ष पर स्थित है,इसलिए आधार की लंबाई $2\alpha$ और ऊँचाई $12 - \alpha^2$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = \text{लंबाई} \times \text{ऊँचाई} = 2\alpha(12 - \alpha^2) = 24\alpha - 2\alpha^3$ द्वारा दिया गया है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{d\alpha} = 24 - 6\alpha^2$।
$\frac{dA}{d\alpha} = 0$ रखने पर,हमें $24 - 6\alpha^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha^2 = 4$,इसलिए $\alpha = 2$ (चूँकि $\alpha > 0$)।
यह सत्यापित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2A}{d\alpha^2} = -12\alpha$। $\alpha = 2$ पर,$\frac{d^2A}{d\alpha^2} = -24 < 0$,इसलिए यह अधिकतम है।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = 2(2)(12 - 2^2) = 4(12 - 4) = 4(8) = 32$ वर्ग इकाइयाँ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 - 3(a - 2)x^2 + 3ax + 7$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = 3x^2 - 6(a - 2)x + 3a$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x)$ अंतराल $(0, 1]$ में वर्धमान और $[1, 5)$ में ह्रासमान है,इसलिए $x = 1$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maximum) होगा।
अतः,$f'(1) = 0$.
$f'(1) = 3(1)^2 - 6(a - 2)(1) + 3a = 3 - 6a + 12 + 3a = 15 - 3a = 0$.
इसे हल करने पर $a = 5$ प्राप्त होता है।
$a = 5$ को $f(x)$ में रखने पर,$f(x) = x^3 - 3(5 - 2)x^2 + 3(5)x + 7 = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$ प्राप्त होता है।
हमें $\frac{f(x) - 14}{(x - 1)^2} = 0$ को हल करना है,जिसका अर्थ है $f(x) - 14 = 0$ ($x \neq 1$ के लिए)।
$x^3 - 9x^2 + 15x + 7 - 14 = x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = 0$.
चूँकि $x = 1$,$f(x) - 14 = 0$ का एक मूल है,हम $(x - 1)^2$ से विभाजित कर सकते हैं:
$x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = (x - 1)^2(x - 7) = 0$.
अतः,समीकरण $\frac{f(x) - 14}{(x - 1)^2} = 0$ का मूल $x = 7$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 9x^4 + 12x^3 - 36x^2 + 25$ है।
स्थानीय न्यूनतम और अधिकतम बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = 36x^3 + 36x^2 - 72x$
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$36x(x^2 + x - 2) = 0$
$36x(x - 1)(x + 2) = 0$
अतः क्रांतिक बिंदु $x = -2, 0, 1$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए $f''(x) = 108x^2 + 72x - 72$:
$x = -2$ के लिए: $f''(-2) = 108(4) + 72(-2) - 72 = 216 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$x = 0$ के लिए: $f''(0) = -72 < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
$x = 1$ के लिए: $f''(1) = 108 + 72 - 72 = 108 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
इस प्रकार,स्थानीय न्यूनतम बिंदुओं का समुच्चय $S_1 = \{-2, 1\}$ और स्थानीय अधिकतम बिंदुओं का समुच्चय $S_2 = \{0\}$ है।

(C) माना गोले की त्रिज्या $R=3$ है। माना बेलन की ऊँचाई $h$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है।
गोले और बेलन की ज्यामिति से,हमारे पास $r^2 + (h/2)^2 = R^2 = 3^2 = 9$ है।
अतः,$r^2 = 9 - \frac{h^2}{4}$।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi (9 - \frac{h^2}{4}) h = \pi (9h - \frac{h^3}{4})$ है।
आयतन को अधिकतम करने के लिए,हम $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dV}{dh} = \pi (9 - \frac{3h^2}{4}) = 0$।
$9 = \frac{3h^2}{4} \Rightarrow h^2 = 12 \Rightarrow h = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$।
इस प्रकार,अधिकतम आयतन वाले बेलन की ऊँचाई $2\sqrt{3}$ है।

(C) चूँकि $f(x)$ $4$ घात का एक बहुपद है और इसके स्थानीय चरम बिंदु $x = -1, 0, 1$ पर हैं,इसलिए इसका अवकलज $f'(x)$ $3$ घात का एक बहुपद होगा जिसके मूल $-1, 0, 1$ हैं।
अतः,$f'(x) = \lambda(x + 1)(x)(x - 1) = \lambda(x^3 - x)$,जहाँ $\lambda \neq 0$ है।
$f'(x)$ का समाकलन करने पर,हमें $f(x) = \lambda(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) + \mu$ प्राप्त होता है,जहाँ $\mu$ समाकलन स्थिरांक है।
हमें समुच्चय $S = \{x \in R; f(x) = f(0)\}$ दिया गया है।
$f(0) = \mu$ को समीकरण $f(x) = f(0)$ में रखने पर,हमें $\lambda(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) + \mu = \mu$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\lambda(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) = 0$ हो जाता है।
चूँकि $\lambda \neq 0$,इसलिए $\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} = 0$,जिसका अर्थ है $x^2(\frac{x^2}{4} - \frac{1}{2}) = 0$ है।
इससे $x^2 = 0$ या $x^2 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x = 0, 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ हैं।
समुच्चय $S$ में भिन्न अवयव $0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ हैं।
यहाँ,$0$ एक परिमेय संख्या है,और $\sqrt{2}, -\sqrt{2}$ अपरिमेय संख्याएँ हैं।
इसलिए,समुच्चय $S$ में दो अपरिमेय और एक परिमेय संख्या शामिल है।

(D) दिया गया है $f(x) = x\sqrt{kx - x^2}$।
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$kx - x^2 \geq 0$,जिसका अर्थ है $x(k - x) \geq 0$। $x \in [0, 3]$ के लिए,इसके लिए $k \geq 3$ आवश्यक है।
अवकलन $f'(x) = \sqrt{kx - x^2} + x \cdot \frac{k - 2x}{2\sqrt{kx - x^2}} = \frac{2(kx - x^2) + kx - 2x^2}{2\sqrt{kx - x^2}} = \frac{3kx - 4x^2}{2\sqrt{kx - x^2}}$ है।
$f(x)$ को $[0, 3]$ पर वर्धमान होने के लिए,हमें सभी $x \in (0, 3)$ के लिए $f'(x) \geq 0$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है $3kx - 4x^2 \geq 0$,या $x(3k - 4x) \geq 0$।
चूंकि $x > 0$,हमें $3k - 4x \geq 0$,या $k \geq \frac{4x}{3}$ की आवश्यकता है।
यह शर्त $[0, 3]$ में सभी $x$ के लिए सत्य होने के लिए,$k$ का मान $[0, 3]$ पर $\frac{4x}{3}$ के अधिकतम मान के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए,जो $\frac{4(3)}{3} = 4$ है।
अतः,$m = 4$ है।
अब,$k = 4$ के लिए,$f(x) = x\sqrt{4x - x^2}$ है।
$[0, 3]$ पर अधिकतम मान $M$ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन $f'(x) = \frac{12x - 4x^2}{2\sqrt{4x - x^2}} = \frac{2x(3 - x)}{\sqrt{4x - x^2}}$ की जाँच करते हैं।
क्रांतिक बिंदु $x = 3$ है। चूंकि $f(0) = 0$ और $f(3) = 3\sqrt{4(3) - 3^2} = 3\sqrt{12 - 9} = 3\sqrt{3}$ है,इसलिए अधिकतम मान $M = 3\sqrt{3}$ है।
अतः,$(m, M) = (4, 3\sqrt{3})$।

(B) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0}\left(2+\frac{f(x)}{x^{3}}\right)=4$,अतः $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{3}}=2$ है। चूँकि $f(x)$ घात $5$ का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + g$ है। सीमा के अस्तित्व और $2$ होने के लिए,$g=e=d=0$ और $c=2$ होना चाहिए। अतः,$f(x) = ax^5 + bx^4 + 2x^3$ है।
$f'(x) = 5ax^4 + 4bx^3 + 6x^2$ है।
चूँकि $x=\pm 1$ क्रांतिक बिंदु हैं,$f'(1) = 5a + 4b + 6 = 0$ और $f'(-1) = 5a - 4b + 6 = 0$ है।
दोनों को जोड़ने पर $10a + 12 = 0 \Rightarrow a = -6/5$ प्राप्त होता है। घटाने पर $8b = 0 \Rightarrow b = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = 2x^3 - \frac{6}{5}x^5$ है।
$f'(x) = 6x^2 - 6x^4 = 6x^2(1-x^2) = 6x^2(1-x)(1+x)$ है।
$x < -1$ के लिए,$f'(x) < 0$ है। $-1 < x < 0$ के लिए,$f'(x) > 0$ है। $0 < x < 1$ के लिए,$f'(x) > 0$ है। $x > 1$ के लिए,$f'(x) < 0$ है।
$x = -1$ पर,$f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए यह स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है।
$x = 1$ पर,$f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए यह स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है।
विकल्प $B$ कहता है कि $x=1$ निम्निष्ठ का बिंदु है और $x=-1$ उच्चिष्ठ का बिंदु है,जो गलत है।

(B) चूंकि $f(x)$ घात $3$ का बहुपद है,इसलिए $f^{\prime \prime}(x)$ एक रैखिक फलन है। दिया गया है कि $f^{\prime}(x)$ का $x=1$ पर क्रांतिक बिंदु है,अतः $f^{\prime \prime}(1)=0$ है। इसलिए,$f^{\prime \prime}(x) = \lambda(x-1)$।
$f^{\prime \prime}(x)$ का समाकलन करने पर,$f^{\prime}(x) = \frac{\lambda x^2}{2} - \lambda x + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x)$ का $x=-1$ पर क्रांतिक बिंदु है,इसलिए $f^{\prime}(-1) = 0$ है। $x=-1$ रखने पर $\frac{\lambda}{2} + \lambda + C = 0$ मिलता है,अतः $C = -\frac{3\lambda}{2}$।
इस प्रकार,$f^{\prime}(x) = \frac{\lambda x^2}{2} - \lambda x - \frac{3\lambda}{2}$।
$f^{\prime}(x)$ का समाकलन करने पर,$f(x) = \frac{\lambda x^3}{6} - \frac{\lambda x^2}{2} - \frac{3\lambda x}{2} + d$ प्राप्त होता है।
$f(1) = -6$ का उपयोग करने पर: $\frac{\lambda}{6} - \frac{\lambda}{2} - \frac{3\lambda}{2} + d = -6 \Rightarrow -\frac{11\lambda}{6} + d = -6 \Rightarrow -11\lambda + 6d = -36 \dots (i)$।
$f(-1) = 10$ का उपयोग करने पर: $-\frac{\lambda}{6} - \frac{\lambda}{2} + \frac{3\lambda}{2} + d = 10 \Rightarrow \frac{5\lambda}{6} + d = 10 \Rightarrow 5\lambda + 6d = 60 \dots (ii)$।
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर: $16\lambda = 96 \Rightarrow \lambda = 6$।
$\lambda = 6$ को $(ii)$ में रखने पर: $5(6) + 6d = 60 \Rightarrow 30 + 6d = 60 \Rightarrow d = 5$।
अतः,$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$।
$f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$।
$f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर क्रांतिक बिंदु $x=3$ और $x=-1$ प्राप्त होते हैं।
$f^{\prime \prime}(x) = 6x - 6$। $x=3$ पर,$f^{\prime \prime}(3) = 18 - 6 = 12 > 0$,इसलिए $f(x)$ का स्थानीय न्यूनतम मान $x=3$ पर है।

(A) दिया गया है $F(x) = \int_{1}^{x} t^{2} g(t) dt$. कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = x^{2} g(x) = x^{2} \int_{1}^{x} f(u) du$.
$x=1$ पर,$F'(1) = 1^{2} \int_{1}^{1} f(u) du = 0$. अतः,$x=1$ एक क्रांतिक बिंदु है।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $F''(x) = \frac{d}{dx} [x^{2} g(x)] = x^{2} g'(x) + 2x g(x)$.
चूँकि $g(t) = \int_{1}^{t} f(u) du$,इसलिए $g'(t) = f(t)$.
अतः,$F''(x) = x^{2} f(x) + 2x \int_{1}^{x} f(u) du$.
$x=1$ पर मान रखने पर: $F''(1) = 1^{2} f(1) + 2(1) \int_{1}^{1} f(u) du = f(1) + 0 = 3$.
चूँकि $F'(1) = 0$ और $F''(1) = 3 > 0$,द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,$x=1$ स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है।

(N/A) फलन $f(x) = x^{2}$ है।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $x^{2} \geq 0$ होता है,इसलिए फलन का निम्नतम मान $0$ है,जो $x = 0$ पर प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $x \to \infty$ या $x \to -\infty$,$f(x) = x^{2} \to \infty$ होता है।
अतः,फलन $f(x) = x^{2}$ का $R$ में कोई उच्चतम मान नहीं है।

(N/A) दिए गए फलन के आलेख से,ध्यान दें कि:
सभी $x \in R$ के लिए $f(x) \geq 0$ है और यदि $x=0$ है तो $f(x)=0$ है।
इसलिए,फलन $f$ का न्यूनतम मान $0$ है और $f$ के न्यूनतम मान का बिंदु $x=0$ है।
साथ ही,आलेख स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि $R$ में $f$ का कोई अधिकतम मान नहीं है और इसलिए $R$ में अधिकतम मान का कोई बिंदु भी नहीं है।

(NONE) दिया गया फलन $f(x) = x$ विवृत अंतराल $(0, 1)$ में एक निरंतर वर्धमान फलन है।
फलन के आलेख से,ऐसा प्रतीत होता है कि न्यूनतम मान $0$ के दाईं ओर उसके निकटतम बिंदु पर होना चाहिए,और अधिकतम मान $1$ के बाईं ओर उसके निकटतम बिंदु पर होना चाहिए।
हालाँकि,ऐसे बिंदु विवृत अंतराल $(0, 1)$ में मौजूद नहीं हैं।
किसी भी बिंदु $x_0 \in (0, 1)$ के लिए,हम हमेशा एक छोटा बिंदु $\frac{x_0}{2} \in (0, 1)$ पा सकते हैं ताकि $\frac{x_0}{2} < x_0$ हो। अतः,कोई न्यूनतम मान नहीं है।
इसी प्रकार,किसी भी बिंदु $x_1 \in (0, 1)$ के लिए,हम हमेशा एक बड़ा बिंदु $\frac{x_1 + 1}{2} \in (0, 1)$ पा सकते हैं ताकि $\frac{x_1 + 1}{2} > x_1$ हो। अतः,कोई अधिकतम मान नहीं है।
इसलिए,फलन $f(x) = x$ का अंतराल $(0, 1)$ में न तो कोई अधिकतम मान है और न ही कोई न्यूनतम मान है।

(A) हमारे पास $f(x) = x^3 - 3x + 3$ है।
अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ प्राप्त होता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 1$ और $x = -1$ पर क्रांतिक बिंदु प्राप्त होते हैं।
इन बिंदुओं की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं:
$x = 1$ के लिए:
- $1$ के निकट और दाईं ओर,$f'(x) > 0$ है।
- $1$ के निकट और बाईं ओर,$f'(x) < 0$ है।
चूंकि चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $x = 1$ एक स्थानीय निम्नतम बिंदु है और स्थानीय निम्नतम मान $f(1) = 1 - 3 + 3 = 1$ है।
$x = -1$ के लिए:
- $-1$ के निकट और बाईं ओर,$f'(x) > 0$ है।
- $-1$ के निकट और दाईं ओर,$f'(x) < 0$ है।
चूंकि चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए $x = -1$ एक स्थानीय उच्चतम बिंदु है और स्थानीय उच्चतम मान $f(-1) = -1 + 3 + 3 = 5$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x + 5$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 + 6x + 5) = 6x^2 - 12x + 6$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$6(x^2 - 2x + 1) = 0$
$6(x - 1)^2 = 0$
इससे $x = 1$ एकमात्र क्रांतिक बिंदु प्राप्त होता है।
अब,$x = 1$ के आसपास $f'(x)$ के चिह्न की जाँच करते हैं:
$x < 1$ के लिए,$x = 0$ लेने पर,$f'(0) = 6(0-1)^2 = 6 > 0$.
$x > 1$ के लिए,$x = 2$ लेने पर,$f'(2) = 6(2-1)^2 = 6 > 0$.
चूंकि $x$ के $1$ से गुजरने पर $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है (यह धनात्मक रहता है),इसलिए $x = 1$ न तो स्थानीय उच्चतम बिंदु है और न ही स्थानीय निम्नतम बिंदु।
अतः,फलन का कोई स्थानीय उच्चतम और कोई स्थानीय निम्नतम बिंदु नहीं है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 3 + |x|$ है।
ध्यान दें कि फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए द्वितीय अवकलज परीक्षण लागू नहीं किया जा सकता है।
हम प्रथम अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं। क्रांतिक बिंदु $x = 0$ है।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = 3 - x$,इसलिए $f'(x) = -1 < 0$ है।
$x > 0$ के लिए,$f(x) = 3 + x$,इसलिए $f'(x) = 1 > 0$ है।
चूंकि अवकलज $x = 0$ पर ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $x = 0$ स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है।
स्थानीय न्यूनतम मान $f(0) = 3 + |0| = 3$ है।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 12$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करने पर $f'(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x$ प्राप्त होता है।
अवकलज का गुणनखंड करने पर,$f'(x) = 12x(x^2 + x - 2) = 12x(x - 1)(x + 2)$ मिलता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु $x = 0, x = 1, x = -2$ प्राप्त होते हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = 36x^2 + 24x - 24$ ज्ञात करें।
क्रांतिक बिंदुओं पर द्वितीय अवकलज का मान जाँचने पर:
$f''(0) = -24 < 0$,अतः $x = 0$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है। स्थानीय उच्चतम मान $f(0) = 12$ है।
$f''(1) = 36(1)^2 + 24(1) - 24 = 36 > 0$,अतः $x = 1$ स्थानीय निम्नतम का बिंदु है। स्थानीय निम्नतम मान $f(1) = 3(1)^4 + 4(1)^3 - 12(1)^2 + 12 = 7$ है।
$f''(-2) = 36(-2)^2 + 24(-2) - 24 = 72 > 0$,अतः $x = -2$ स्थानीय निम्नतम का बिंदु है। स्थानीय निम्नतम मान $f(-2) = 3(-2)^4 + 4(-2)^3 - 12(-2)^2 + 12 = -20$ है।

(NONE) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x + 5$ है।
सबसे पहले,हम प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 6x^2 - 12x + 6 = 6(x^2 - 2x + 1) = 6(x - 1)^2$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $6(x - 1)^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$।
अब,हम $x = 1$ के आसपास $f'(x)$ के चिह्न की जाँच करते हैं।
$x < 1$ के लिए,$(x - 1)^2 > 0$,इसलिए $f'(x) > 0$।
$x > 1$ के लिए,$(x - 1)^2 > 0$,इसलिए $f'(x) > 0$।
चूंकि $x = 1$ से गुजरते समय $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है (यह दोनों तरफ धनात्मक रहता है),इसलिए फलन $f(x)$,$x = 1$ पर निरंतर वर्धमान है।
अतः,$x = 1$ न तो स्थानीय उच्चतम बिंदु है और न ही स्थानीय निम्नतम बिंदु। यह एक नतिपरिवर्तन बिंदु (point of inflexion) है।

(A) माना कि दो धनात्मक संख्याएँ $x$ और $y$ हैं। दिया गया है कि $x + y = 15$,इसलिए $y = 15 - x$ है।
माना $S$ संख्याओं के वर्गों का योग है,इसलिए $S = x^2 + y^2$ है।
$y = 15 - x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S(x) = x^2 + (15 - x)^2 = x^2 + 225 - 30x + x^2 = 2x^2 - 30x + 225$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज $S'(x) = 4x - 30$ निकालते हैं।
$S'(x) = 0$ रखने पर,हमें $4x = 30$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{30}{4} = 7.5$ है।
अब,द्वितीय अवकलज $S''(x) = 4$ ज्ञात करते हैं।
चूँकि $S''(7.5) = 4 > 0$ है,इसलिए फलन $S(x)$ का $x = 7.5$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
अतः,वे दो संख्याएँ $x = 7.5$ और $y = 15 - 7.5 = 7.5$ हैं।