फलन f(x) = frac{log x}{x} किस अंतराल में वर्ध | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\log x}{x}$ है।वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)

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$(0, e)$

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(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\log x}{x}$ है।वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$$f'(x) = \frac{x \cdot (\frac{1}{x}) - \log x \cdot (1)}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।चूँकि सभी $x > 0$ के लिए $x^2 > 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$ का अर्थ है $1 - \log x > 0$।$1 > \log x \implies \log_e x चूँकि $\log x$ का प्रांत $x > 0$ है,इसलिए फलन अंतराल $(0, e)$ में वर्धमान है।

फलन $f(x) = \frac{\log x}{x}$ किस अंतराल में वर्धमान (increasing) है?

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