यदि f(x) = 2x + cot^{-1}x + log(sqrt{1 + x^2} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = 2x + \cot^{-1}x + \log(\sqrt{1 + x^2} - x)$।सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:$f'(x) = 2 - \frac{1}{1 + x^2

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$[0, \infty)$ में वर्धमान है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = 2x + \cot^{-1}x + \log(\sqrt{1 + x^2} - x)$।सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:$f'(x) = 2 - \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{\sqrt{1 + x^2} - x} \cdot \left( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} - 1 ight)$तीसरे पद को सरल करने पर:$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2} - x} \cdot \left( \frac{x - \sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}} ight) = -\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$अतः,$f'(x) = 2 - \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$$f'(x) = \frac{2(1 + x^2) - 1 - \sqrt{1 + x^2}}{1 + x^2} = \frac{2x^2 + 1 - \sqrt{1 + x^2}}{1 + x^2}$चूंकि $x 
eq 0$ के लिए $\sqrt{1 + x^2} > 1$ और सभी $x$ के लिए $2x^2 + 1 > \sqrt{1 + x^2}$ है,इसलिए $f'(x) > 0$ है।अतः,$f(x)$ अंतराल $[0, \infty)$ पर एक वर्धमान फलन है।

यदि $f(x) = 2x + \cot^{-1}x + \log(\sqrt{1 + x^2} - x)$ है,तो $f(x)$

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