वह अंतराल जिसमें फलन f(x) = {x^2}{e^{ - x}} व | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = {x^2}{e^{ - x}}$.वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं और $f'(x) \ge 0$ रखते हैं।गुणन नियम

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$[0, 2]$

Vedclass · Answer

(B) माना $f(x) = {x^2}{e^{ - x}}$.वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं और $f'(x) \ge 0$ रखते हैं।गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $f'(x) = \frac{d}{dx}({x^2}) \cdot {e^{ - x}} + {x^2} \cdot \frac{d}{dx}({e^{ - x}})$.$f'(x) = 2x{e^{ - x}} - {x^2}{e^{ - x}} = {e^{ - x}}(2x - {x^2}) = x{e^{ - x}}(2 - x)$.फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) \ge 0$ होना चाहिए।चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए ${e^{ - x}} > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $x(2 - x)$ पर निर्भर करता है।$x(2 - x) \ge 0 \implies x(x - 2) \le 0$.यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$,$0$ और $2$ के बीच (सहित) स्थित हो।अतः,अंतराल $[0, 2]$ है।

वह अंतराल जिसमें फलन $f(x) = {x^2}{e^{ - x}}$ वर्धमान (non-decreasing) है,वह है:

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$K$ के किन मानों के लिए फलन $f(x) = Kx^3 + 9x^2 + 9x + 3$,$R$ पर एक वर्धमान फलन है?

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