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Question

(D) दिया गया है $f(x) = (a + 2)x^3 - 3ax^2 + 9ax - 1$. फलन $f(x)$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए निरंतर ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) \le 0$ होना चाहि

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$-\infty < a \le -3$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = (a + 2)x^3 - 3ax^2 + 9ax - 1$. फलन $f(x)$ के सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए निरंतर ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) \le 0$ होना चाहिए। $f'(x) = 3(a + 2)x^2 - 6ax + 9a \le 0$. $3$ से भाग देने पर,$(a + 2)x^2 - 2ax + 3a \le 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए। द्विघात व्यंजक $Ax^2 + Bx + C \le 0$ के लिए $A यहाँ,$A = a + 2 विविक्तकर $D = (-2a)^2 - 4(a + 2)(3a) = 4a^2 - 12a^2 - 24a = -8a^2 - 24a$. $D \le 0 \implies -8a(a + 3) \le 0 \implies a(a + 3) \ge 0$. यह असमिका $a \le -3$ या $a \ge 0$ के लिए सत्य है। $a अतः,सही विकल्प $(-\infty, -3]$ है।

$a$ के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए फलन $f(x) = (a + 2)x^3 - 3ax^2 + 9ax - 1$ सभी वास्तविक $x$ के लिए निरंतर ह्रासमान है:

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मान लीजिए $f(x) = \int e^x (x - 1)(x - 2) dx$ है। $f$ किस अंतराल में एक ह्रासमान (decreasing) फलन है?

समीकरण $x^3+x-1=0$ के

सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = \log |\cos x|$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ में ह्रासमान है और $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$ में वर्धमान है।

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