यदि f(x) = x e^{x(1 - x)} है,तो f(x) है | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = x e^{x(1 - x)}$.अवकलन के लिए गुणन नियम लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:$f'(x) = 1 \cdot e^{x(1 - x)} + x \cdot e^{x(1 - x)}

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$\left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$ पर वर्धमान

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = x e^{x(1 - x)}$.अवकलन के लिए गुणन नियम लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:$f'(x) = 1 \cdot e^{x(1 - x)} + x \cdot e^{x(1 - x)} \cdot \frac{d}{dx}(x - x^2)$$f'(x) = e^{x(1 - x)} + x \cdot e^{x(1 - x)} \cdot (1 - 2x)$$f'(x) = e^{x(1 - x)} \{1 + x(1 - 2x)\}$$f'(x) = e^{x(1 - x)} \cdot (1 + x - 2x^2)$$f'(x) = e^{x(1 - x)} \cdot (1 - x)(1 + 2x)$चूंकि $e^{x(1 - x)}$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न द्विघात व्यंजक $(1 - x)(1 + 2x)$ पर निर्भर करता है।द्विघात समीकरण के मूल $x = 1$ और $x = -\frac{1}{2}$ हैं।अंतरालों की जांच करने पर:$x \in \left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$ के लिए,$f'(x) \ge 0$ है।अतः,$f(x)$ अंतराल $\left[ -\frac{1}{2}, 1 \right]$ पर वर्धमान है।

यदि $f(x) = x e^{x(1 - x)}$ है,तो $f(x)$ है

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