y = cos^{-1}(cos x), x in [2pi, 4pi], x-अक्ष | vedclass

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Question

(A) $x \in [2\pi, 4\pi]$ के लिए फलन $y = \cos^{-1}(\cos x)$ इस प्रकार परिभाषित है:$y = \begin{cases} x - 2\pi, & x \in [2\pi, 3\pi] \ 4\pi - x, & x \

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$\frac{3}{4}\pi^2$

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(A) $x \in [2\pi, 4\pi]$ के लिए फलन $y = \cos^{-1}(\cos x)$ इस प्रकार परिभाषित है:$y = \begin{cases} x - 2\pi, & x \in [2\pi, 3\pi] \ 4\pi - x, & x \in [3\pi, 4\pi] \end{cases}$$x > 0$ के लिए फलन $y = 	an^{-1} x + 	an^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ है।यह क्षेत्रफल $x$-अक्ष $(y=0)$, रेखा $y = \frac{\pi}{2}$ और वक्र $y = \cos^{-1}(\cos x)$ द्वारा घिरा हुआ है।ग्राफ को देखने पर, यह क्षेत्र एक समलंब (trapezoid) है।$y = \cos^{-1}(\cos x)$ और $y = \frac{\pi}{2}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:$x - 2\pi = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{5\pi}{2}$$4\pi - x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{7\pi}{2}$समलंब का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes (	ext{समांतर भुजाओं का योग}) 	imes 	ext{ऊंचाई}$.समांतर भुजाएं $x$-अक्ष पर $2\pi$ से $4\pi$ (लंबाई $2\pi$) और $y = \frac{\pi}{2}$ पर $\frac{5\pi}{2}$ से $\frac{7\pi}{2}$ (लंबाई $\pi$) हैं।क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes (2\pi + \pi) 	imes \frac{\pi}{2} = \frac{1}{2} 	imes 3\pi 	imes \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi^2}{4}$.

$y = \cos^{-1}(\cos x)$, $x \in [2\pi, 4\pi]$, $x$-अक्ष और $y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x}$ द्वारा घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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