|y| = 4 - x^2 और |y| = 3x द्वारा परिबद्ध छोटे | vedclass

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Question

(B) वक्र $|y| = 4 - x^2$ और $|y| = 3x$ हैं। चूंकि दोनों $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र पर विचार करते हैं जहाँ $y = 4 - x

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$2$

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(B) वक्र $|y| = 4 - x^2$ और $|y| = 3x$ हैं। चूंकि दोनों $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र पर विचार करते हैं जहाँ $y = 4 - x^2$ और $y = 3x$ है ($x \ge 0$ के लिए)।प्रतिच्छेदन बिंदु: $4 - x^2 = 3x \implies x^2 + 3x - 4 = 0 \implies (x+4)(x-1) = 0$. चूँकि $x \ge 0$,इसलिए $x = 1$. $x=1$ पर,$y=3$ प्राप्त होता है।प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $\int_0^1 (3x) dx + \int_1^2 (4 - x^2) dx$ है।$= \left[ \frac{3x^2}{2} ight]_0^1 + \left[ 4x - \frac{x^3}{3} ight]_1^2$$= \frac{3}{2} + \left( (8 - \frac{8}{3}) - (4 - \frac{1}{3}) ight) = \frac{3}{2} + ( \frac{16}{3} - \frac{11}{3} ) = \frac{3}{2} + \frac{5}{3} = \frac{9+10}{6} = \frac{19}{6}$.कुल क्षेत्रफल (छोटा क्षेत्र) $2 	imes \frac{19}{6} = \frac{19}{3} = 6 + \frac{1}{3}$ है।दिया गया क्षेत्रफल $3K + \frac{1}{3} = 6 + \frac{1}{3}$ है।तुलना करने पर,$3K = 6 \implies K = 2$.

$|y| = 4 - x^2$ और $|y| = 3x$ द्वारा परिबद्ध छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल $\left( 3K + \frac{1}{3} \right)$ वर्ग इकाई है,जहाँ $K$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\{(x, y) : y^2 \leq 2x \text{ और } y \geq 4x - 1\}$ द्वारा वर्णित क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

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