વક્રો $y = \log_e x$ અને $y = (\log_e x)^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

ધારો કે રેખાઓ $x + y = 2, y = 0, x = 0$ અને વક્ર $f(x) = \min \left\{x^2 + \frac{3}{4}, 1 + [x]\right\}$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ છે,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક $\leq x$ દર્શાવે છે. તો $12A$ નું મૂલ્ય $............$ છે.

પ્રદેશ $\{(x, y): x^2+4x+2 \leq y \leq |x+2|\}$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

વક્ર $y = \sin^{-1}(\cos x)$ અને $y = \cos^{-1}(\sin x)$ દ્વારા $x \in \left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]$ માટે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

ધારો કે $a$ અને $b$ એ વિધેય $f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-12 x$ ના અનુક્રમે સ્થાનિક મહત્તમ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓ છે. જો $A$ એ $y=f(x)$,$x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=a$ અને $x=b$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું કુલ ક્ષેત્રફળ હોય,તો $4 A$ ની કિંમત ..... થાય.

વક્રો $y=1+3x-2x^2$ અને $y=\frac{1}{x}$ ના છેદબિંદુઓ પૈકીનું એક બિંદુ $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ છે. ધારો કે આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{24}(\ell \sqrt{5}+m)-n \log_{e}(1+\sqrt{5})$ છે,જ્યાં $\ell, m, n \in N$. તો $\ell+m+n$ ની કિંમત શોધો.