Properties of definite integration Questions in Hindi

(A) माना $f(x) = a x^3 + b x$.
चूंकि $f(-x) = a(-x)^3 + b(-x) = -(a x^3 + b x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकल के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ होता है।
वैकल्पिक रूप से,समाकल का मूल्यांकन करने पर:
$\int_{-1}^1 (a x^3 + b x) dx = \left[ a \frac{x^4}{4} + b \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^1$
$= \left( \frac{a(1)^4}{4} + \frac{b(1)^2}{2} \right) - \left( \frac{a(-1)^4}{4} + \frac{b(-1)^2}{2} \right)$
$= \left( \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \right) - \left( \frac{a}{4} + \frac{b}{2} \right) = 0$.
यह परिणाम $a$ और $b$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए सत्य है।

(C) दिया गया है $9 > m > l > s > n > r > 2$ ... $(i)$
$\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^m x \cos ^n x \, dx = 4 \int_0^\pi \sin ^m x \cos ^n x \, dx$ के लिए,$[-2\pi, 2\pi]$ पर समाकलन $4 \int_0^{\pi} f(x) dx$ तभी होता है यदि $m$ सम संख्या हो। अतः,$m = 8$.
$\int_{-\pi}^\pi \sin ^r x \cos ^s x \, dx = 4 \int_0^{\pi / 2} \sin ^r x \cos ^s x \, dx$ के लिए,यह तभी संभव है यदि $r$ और $s$ दोनों सम संख्याएँ हों। शर्तों $9 > m > l > s > n > r > 2$ और $m=8$ को देखते हुए,हमारे पास $8 > l > s > n > r > 2$ है।
$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^l x \cos ^m x \, dx = 0$ के लिए,फलन विषम होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $l$ एक विषम संख्या है।
$m=8$ के साथ,शेष पूर्णांक $7, 6, 5, 4, 3$ हैं।
चूंकि $l$ विषम है और $l < 8$,इसलिए $l=7$.
चूंकि $s$ सम है और $s < 7$,इसलिए $s=6$.
चूंकि $n < 6$ और $n > r > 2$,इसलिए $n=5, r=4$ प्राप्त होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(s-2)(s+2) = (6-2)(6+2) = 4 \times 8 = 32$.
$ln - 3 = (7 \times 5) - 3 = 35 - 3 = 32$.
अतः,$(s-2)(s+2) = ln - 3$ सत्य है।

(B) माना $I = \frac{3}{25} \int_0^{25 \pi} \sqrt{|\cos x - \cos^3 x|} \, dx$ है।
चूंकि फलन $f(x) = \sqrt{|\cos x - \cos^3 x|}$ का आवर्तकाल $\pi$ है,हम लिख सकते हैं:
$I = \frac{3}{25} \times 25 \int_0^{\pi} \sqrt{|\cos x(1 - \cos^2 x)|} \, dx = 3 \int_0^{\pi} \sqrt{|\cos x| \sin^2 x} \, dx = 3 \int_0^{\pi} \sin x \sqrt{|\cos x|} \, dx$।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर समाकलन को विभाजित करने पर:
$I = 3 \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sqrt{\cos x} \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \sqrt{-\cos x} \, dx \right)$।
पहले भाग के लिए,$u = \cos x$ लें,$du = -\sin x \, dx$:
$3 \int_0^1 u^{1/2} \, du = 3 \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_0^1 = 3 \times \frac{2}{3} = 2$।
दूसरे भाग के लिए,$u = \cos x$ लें,$du = -\sin x \, dx$:
$3 \int_{-1}^0 \sqrt{-u} \, du = 3 \int_0^1 \sqrt{v} \, dv = 3 \left[ \frac{v^{3/2}}{3/2} \right]_0^1 = 2$।
अतः,$I = 2 + 2 = 4$।

(C) दिया गया समाकलन $I = \int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x$ है।
समाकलन को $x=0$ पर विभाजित करने पर:
$I = \int_{-1}^0 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x + \int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x$.
माना $I_1 = \int_{-1}^0 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x$.
$x = -t$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = -d t$. जब $x = -1, t = 1$ और जब $x = 0, t = 0$.
$I_1 = \int_1^0 \frac{\log (1-t)}{1+(-t)^2} (-d t) = \int_0^1 \frac{\log (1-t)}{1+t^2} d t$.
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_a^b f(t) d t = \int_a^b f(x) d x$ के अनुसार,$I_1 = \int_0^1 \frac{\log (1-x)}{1+x^2} d x$.
दिए गए समीकरण $\int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x = \int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x + \int_0^1 f(x) d x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{\log (1-x)}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int_{-1}^{3/2} |x \sin(\pi x)| dx$.
चूँकि $x \in [-1, 0]$ और $x \in [1, 3/2]$ के लिए $x \sin(\pi x) \ge 0$ है,और $x \in [0, 1]$ के लिए $x \sin(\pi x) \le 0$ है,हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$I = \int_{-1}^{0} -x \sin(\pi x) dx + \int_{0}^{1} x \sin(\pi x) dx + \int_{1}^{3/2} -x \sin(\pi x) dx$.
सम फलन के लिए $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,ध्यान दें कि $f(x) = x \sin(\pi x)$ एक सम फलन है।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{1} x \sin(\pi x) dx - \int_{1}^{3/2} x \sin(\pi x) dx$.
खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए:
$\int x \sin(\pi x) dx = -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2}$.
पहले भाग का मूल्यांकन: $2 \left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{0}^{1} = 2 \left[ (\frac{1}{\pi} + 0) - (0 + 0) \right] = \frac{2}{\pi}$.
दूसरे भाग का मूल्यांकन: $-\left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{1}^{3/2} = -\left[ (0 - \frac{1}{\pi^2}) - (\frac{1}{\pi} + 0) \right] = \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{\pi}$.
दोनों को जोड़ने पर: $I = \frac{2}{\pi} + \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi^2} = \frac{3}{\pi} + \frac{1}{\pi^2}$.

(C) माना $I = \int_0^{1/2} |\sin(4\pi x)| \, dx$.
चूंकि $|\sin(4\pi x)|$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{4\pi} = \frac{1}{4}$ है,हम निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग कर सकते हैं।
$I = 2 \int_0^{1/4} |\sin(4\pi x)| \, dx$.
अंतराल $[0, 1/4]$ में,$\sin(4\pi x) \ge 0$ है,इसलिए $|\sin(4\pi x)| = \sin(4\pi x)$.
$I = 2 \int_0^{1/4} \sin(4\pi x) \, dx$.
$I = 2 \left[ -\frac{\cos(4\pi x)}{4\pi} \right]_0^{1/4}$.
$I = -\frac{1}{2\pi} [\cos(\pi) - \cos(0)]$.
$I = -\frac{1}{2\pi} [-1 - 1] = -\frac{1}{2\pi} (-2) = \frac{1}{\pi}$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{200 \sin x+100 \cos x}{\sin x+\cos x} d x$ है।
हम अंश को $100(\sin x + \cos x) + 100 \sin x$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{100(\sin x + \cos x) + 100 \sin x}{\sin x + \cos x} d x = 100 \int_0^{\pi / 2} 1 d x + 100 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$ है।
माना $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$ ... $(i)$।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin(\pi/2 - x)}{\sin(\pi/2 - x) + \cos(\pi/2 - x)} d x = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} d x$ ... (ii)।
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} d x = \int_0^{\pi / 2} 1 d x = [x]_0^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2}$।
अतः,$I_1 = \frac{\pi}{4}$।
अब,$I$ के व्यंजक में मान रखने पर:
$I = 100 \times [x]_0^{\pi / 2} + 100 \times I_1 = 100 \times \frac{\pi}{2} + 100 \times \frac{\pi}{4} = 50\pi + 25\pi = 75\pi$।

(B) माना $I = \int_{\frac{-3}{4}}^{\frac{\pi-6}{8}} \log (\sin (4 x+3)) \, dx$ है।
$t = 4x + 3$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 4 \, dx$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{4}$।
जब $x = \frac{-3}{4}$,तब $t = 4(\frac{-3}{4}) + 3 = 0$।
जब $x = \frac{\pi-6}{8}$,तब $t = 4(\frac{\pi-6}{8}) + 3 = \frac{\pi-6}{2} + 3 = \frac{\pi}{2} - 3 + 3 = \frac{\pi}{2}$।
अतः,समाकलन $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin t) \frac{dt}{4} = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin t) \, dt$ हो जाता है।
मानक निश्चित समाकलन गुणधर्म $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin t) \, dt = -\frac{\pi}{2} \log 2$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{4} \times (-\frac{\pi}{2} \log 2) = -\frac{\pi}{8} \log 2$।

(A) माना $I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{\sec^2 x + (\tan^{2022} x - 1)(\sec^2 x - 1)}$.
चूंकि $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ और $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$,हमारे पास है:
$I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{1 + \tan^2 x + (\tan^{2022} x - 1)\tan^2 x}$
$I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{1 + \tan^2 x + \tan^{2024} x - \tan^2 x} = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{1 + \tan^{2024} x}$ ... $(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \pi/5$ और $b = 3\pi/10$,$a+b = \pi/2$:
$I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{1 + \tan^{2024}(\pi/2 - x)} = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{dx}{1 + \cot^{2024} x}$
$I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{\tan^{2024} x}{1 + \tan^{2024} x} dx$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} \frac{1 + \tan^{2024} x}{1 + \tan^{2024} x} dx = \int_{\pi/5}^{3\pi/10} dx = \frac{3\pi}{10} - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{10}$
अतः,$I = \frac{\pi}{20}$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{16 x \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} d x$ $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{16(\frac{\pi}{2}-x) \sin(\frac{\pi}{2}-x) \cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin^4(\frac{\pi}{2}-x)+\cos^4(\frac{\pi}{2}-x)} dx$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(8\pi - 16x) \cos x \sin x}{\cos^4 x + \sin^4 x} dx$ (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{8\pi \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$
$I = 4\pi \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx$
अंश और हर को $\cos^4 x$ से भाग देने पर:
$I = 4\pi \int_0^{\pi / 2} \frac{\tan x \sec^2 x}{\tan^4 x + 1} dx$
माना $u = \tan^2 x$,तब $du = 2 \tan x \sec^2 x dx$:
$I = 2\pi \int_0^{\infty} \frac{du}{u^2 + 1} = 2\pi [\tan^{-1}(u)]_0^{\infty}$
$I = 2\pi [\frac{\pi}{2} - 0] = \pi^2$

(A) हमारे पास है,$f(x) = \int_1^x \frac{1}{2+t^4} dt$।
अतः,$f(2) = \int_1^2 \frac{1}{2+t^4} dt$।
अंतराल $t \in [1, 2]$ के लिए,फलन $g(t) = \frac{1}{2+t^4}$ एक ह्रासमान फलन है।
इसलिए,न्यूनतम मान $t = 2$ पर और अधिकतम मान $t = 1$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{2+2^4} \leq \frac{1}{2+t^4} \leq \frac{1}{2+1^4}$।
$\frac{1}{18} \leq \frac{1}{2+t^4} \leq \frac{1}{3}$।
$1$ से $2$ तक समाकलन करने पर:
$\int_1^2 \frac{1}{18} dt < \int_1^2 \frac{1}{2+t^4} dt < \int_1^2 \frac{1}{3} dt$।
$\frac{1}{18}(2-1) < f(2) < \frac{1}{3}(2-1)$।
$\frac{1}{18} < f(2) < \frac{1}{3}$।

(B) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{15}}^{\frac{\pi}{15}} \frac{\cos 5 x}{1+e^{5 x}} d x$.
गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)] dx$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{15}} \left( \frac{\cos 5x}{1+e^{5x}} + \frac{\cos(-5x)}{1+e^{-5x}} \right) dx$.
चूंकि $\cos(-5x) = \cos(5x)$ और $\frac{1}{1+e^{-5x}} = \frac{e^{5x}}{e^{5x}+1}$,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{15}} \left( \frac{\cos 5x}{1+e^{5x}} + \frac{e^{5x} \cos 5x}{1+e^{5x}} \right) dx$.
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{15}} \frac{\cos 5x (1+e^{5x})}{1+e^{5x}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{15}} \cos 5x dx$.
$I = \left[ \frac{\sin 5x}{5} \right]_{0}^{\frac{\pi}{15}} = \frac{1}{5} \left( \sin \frac{\pi}{3} - \sin 0 \right)$.
$I = \frac{1}{5} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{10}$.

(B) $I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx \quad ... (i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\cos x + \sin x} dx \quad ... (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x + \cos x} dx = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin x + \cos x} dx$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin(x + \pi/4)} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\pi/2} \operatorname{cosec}(x + \pi/4) dx$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} [\log|\operatorname{cosec}(x + \pi/4) - \cot(x + \pi/4)|]_0^{\pi/2}$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} [\log|\operatorname{cosec}(3\pi/4) - \cot(3\pi/4)| - \log|\operatorname{cosec}(\pi/4) - \cot(\pi/4)|]$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} [\log(\sqrt{2} + 1) - \log(\sqrt{2} - 1)] = \frac{1}{\sqrt{2}} \log\left(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}\right)$
चूंकि $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2$,इसलिए $2I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log(\sqrt{2} + 1)^2 = \frac{2}{\sqrt{2}} \log(\sqrt{2} + 1)$
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log(\sqrt{2} + 1)$

(I-D, II-A, III-E, IV-C) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$I. \int_{-1}^1 x|x| dx = 0$ (क्योंकि $f(x) = x|x|$ एक विषम फलन है,अर्थात $f(-x) = -x|-x| = -x|x| = -f(x)$)। अतः,$I \rightarrow (d)$।
$II. \text{माना } I = \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right) dx$।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \frac{4+3\cos x}{4+3\sin x}\right) dx$।
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi/2} \left(2 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x} \cdot \frac{4+3\cos x}{4+3\sin x}\right)\right) dx = \int_0^{\pi/2} (2 + \log 1) dx = \int_0^{\pi/2} 2 dx = \pi$।
इसलिए,$I = \frac{\pi}{2}$। अतः,$II \rightarrow (a)$।
$III. \int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ निश्चित समाकलनों का एक मानक गुणधर्म है। अतः,$III \rightarrow (e)$।
$IV. \int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx$। पहले समाकलन में $x = -t$ रखने पर,$dx = -dt$।
$\int_{-a}^0 f(x) dx = \int_a^0 f(-t) (-dt) = \int_0^a f(-t) dt = \int_0^a f(-x) dx$।
अतः,$\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(-x) dx + \int_0^a f(x) dx = \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$। अतः,$IV \rightarrow (c)$।

(C) माना $I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(1)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi e^{\cos^2(\pi-x)} \cos^3((2n+1)(\pi-x)) \, dx$
चूँकि $\cos(\pi-x) = -\cos x$,इसलिए $\cos^2(\pi-x) = \cos^2 x$ होता है।
साथ ही,$\cos((2n+1)(\pi-x)) = \cos((2n+1)\pi - (2n+1)x)$।
$(2n+1)$ एक विषम पूर्णांक है,इसलिए $\cos((2n+1)\pi - \theta) = -\cos \theta$ होता है।
अतः,$\cos^3((2n+1)\pi - (2n+1)x) = (-\cos((2n+1)x))^3 = -\cos^3((2n+1)x)$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} (-\cos^3((2n+1)x)) \, dx$
$I = -\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3((2n+1)x) \, dx \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$I + I = 0 \implies 2I = 0 \implies I = 0$.

(D) फलन $f(x) = \sin x$ पर विचार करें। अंतराल $[0, \pi/2]$ पर,जॉर्डन की असमिका के अनुसार हम जानते हैं कि $\sin x \geq \frac{2x}{\pi}$ है।
चूंकि $R > 0$ है,हमारे पास $-R \sin x \leq -R \frac{2x}{\pi}$ है।
अतः,$e^{-R \sin x} \leq e^{-2Rx/\pi}$ है।
दोनों पक्षों का $0$ से $\pi/2$ तक समाकलन करने पर $\int_0^{\pi/2} e^{-R \sin x} dx \leq \int_0^{\pi/2} e^{-2Rx/\pi} dx = \frac{\pi}{2R}(1 - e^{-R})$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,समाकलन $I(R)$ को $0$ से $R$ तक परिभाषित किया गया है। बड़े $R$ के लिए,समाकलन का व्यवहार $x=0$ के निकट के क्षेत्र द्वारा निर्धारित होता है जहाँ $\sin x \approx x$ होता है।
विकास दरों और समाकलन की सीमाओं की तुलना करने पर,यह देखा गया है कि सामान्य $R > 0$ के लिए,$I(R)$ और व्यंजक $\frac{\pi}{2R}(1 - e^{-R})$ के मान सभी $R$ के लिए एक सुसंगत असमिका नहीं बनाए रखते हैं,जिससे वे सीधे तौर पर तुलना करने योग्य नहीं हैं।

(C) सबसे पहले,ध्यान दें कि $f(a) + f(-a) = \frac{e^a}{1+e^a} + \frac{e^{-a}}{1+e^{-a}} = \frac{e^a}{1+e^a} + \frac{1}{e^a+1} = \frac{e^a+1}{e^a+1} = 1$।
मान लीजिए $t = f(-a)$,तो $f(a) = 1-t$।
अब,$l_1 = \int_{t}^{1-t} x g(x(1-x)) dx$।
गुणधर्म $\int_{A}^{B} h(x) dx = \int_{A}^{B} h(A+B-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$l_1 = \int_{t}^{1-t} (t + (1-t) - x) g((t + (1-t) - x)(1 - (t + (1-t) - x))) dx$
$l_1 = \int_{t}^{1-t} (1-x) g((1-x)(1-(1-x))) dx = \int_{t}^{1-t} (1-x) g(x(1-x)) dx$।
$l_1$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2l_1 = \int_{t}^{1-t} (x + 1 - x) g(x(1-x)) dx = \int_{t}^{1-t} g(x(1-x)) dx$।
चूंकि $l_2 = \int_{t}^{1-t} g(x(1-x)) dx$,इसलिए $2l_1 = l_2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{l_2}{l_1} = 2$।

(C) माना $I = \int_{a-1}^{a} \frac{e^{-t}}{t-a-1} dt$ है।
$u = t - a + 1$ प्रतिस्थापन लेने पर,$t = u + a - 1$ और $dt = du$ प्राप्त होता है।
जब $t = a-1$ तब $u = 0$ और जब $t = a$ तब $u = 1$ होता है।
अतः,$I = \int_{0}^{1} \frac{e^{-(u+a-1)}}{u-2} du$।
इस समाकलन को हल करने पर $-b e^{-a}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ $(i)$
प्रतिस्थापन $x = \frac{1}{t}$ का उपयोग करने पर,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 1/2014$,तब $t = 2014$ और जब $x = 2014$,तब $t = 1/2014$ होता है।
$I = \int_{2014}^{1/2014} \frac{\tan^{-1}(1/t)}{1/t} (-\frac{1}{t^2}) dt = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\cot^{-1} t}{t} dt = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\cot^{-1} x}{x} dx$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\tan^{-1} x + \cot^{-1} x}{x} dx$
चूंकि $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$:
$2I = \int_{1/2014}^{2014} \frac{\pi/2}{x} dx = \frac{\pi}{2} [\ln x]_{1/2014}^{2014}$
$2I = \frac{\pi}{2} (\ln 2014 - \ln(1/2014)) = \frac{\pi}{2} (\ln 2014 + \ln 2014) = \frac{\pi}{2} (2 \ln 2014) = \pi \ln 2014$
अतः,$I = \frac{\pi}{2} \log 2014$.

(B) माना $I = \int_{\pi / 2}^{5 \pi / 2} \frac{e^{\tan^{-1}(\sin x)}}{e^{\tan^{-1}(\sin x)} + e^{\tan^{-1}(\cos x)}} dx$ है।
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,यहाँ $f(x)$ एक $\frac{\pi}{2}$ आवर्तकाल वाला फलन है।
समाकलन की सीमा $\frac{\pi}{2}$ से $\frac{5\pi}{2}$ तक है,जिसकी लंबाई $2\pi$ है।
$I = \int_{0}^{2\pi} f(x) dx = 4 \int_{0}^{\pi/2} f(x) dx$ होगा।
माना $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{e^{\tan^{-1}(\sin x)}}{e^{\tan^{-1}(\sin x)} + e^{\tan^{-1}(\cos x)}} dx$ है।
$\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,$J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{e^{\tan^{-1}(\cos x)}}{e^{\tan^{-1}(\cos x)} + e^{\tan^{-1}(\sin x)}} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों को जोड़ने पर,$2J = \int_{0}^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}$,जिससे $J = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = 4 \times \frac{\pi}{4} = \pi$।

(B) माना $I = \int_{0}^{1} \log \left(\frac{1-x}{x}\right) d x$ है।
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{1} \log \left(\frac{1-(1-x)}{1-x}\right) d x$
$I = \int_{0}^{1} \log \left(\frac{x}{1-x}\right) d x$
$I = \int_{0}^{1} \log \left(\left(\frac{1-x}{x}\right)^{-1}\right) d x$
$I = -\int_{0}^{1} \log \left(\frac{1-x}{x}\right) d x$
$I = -I$
$2I = 0 \implies I = 0$.

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\tan x)^{-101}} dx$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\tan(\frac{\pi}{2}-x))^{-101}} dx$
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\cot x)^{-101}} dx$
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\frac{1}{\tan x})^{-101}} dx = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{1+(\tan x)^{101}} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} (\frac{1}{1+(\tan x)^{-101}} + \frac{1}{1+(\tan x)^{101}}) dx$
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} (\frac{(\tan x)^{101}}{(\tan x)^{101}+1} + \frac{1}{1+(\tan x)^{101}}) dx$
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1+(\tan x)^{101}}{1+(\tan x)^{101}} dx = \int_{0}^{\pi / 2} 1 dx = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) d x$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin(\pi/2 - x)}{4+3 \cos(\pi/2 - x)}\right) d x$
$I = \int_0^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x}\right) d x$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \left[ \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right) + \log \left(\frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x}\right) \right] d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \log \left( \frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x} \times \frac{4+3 \cos x}{4+3 \sin x} \right) d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \log(1) d x = \int_0^{\pi / 2} 0 d x = 0$.
अतः,$I = 0$.

(B) माना $I = \int_{-1}^1 \frac{x^3+|x|+1}{x^2+2|x|+1} dx$.
हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-1}^1 \frac{x^3}{x^2+2|x|+1} dx + \int_{-1}^1 \frac{|x|+1}{x^2+2|x|+1} dx$.
माना $f(x) = \frac{x^3}{x^2+2|x|+1}$. चूंकि $f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2+2|-x|+1} = -\frac{x^3}{x^2+2|x|+1} = -f(x)$,यह फलन विषम (odd) है। इसलिए,$\int_{-1}^1 f(x) dx = 0$.
अब,दूसरे भाग $I_2 = \int_{-1}^1 \frac{|x|+1}{x^2+2|x|+1} dx$ पर विचार करें। चूंकि समाकल्य एक सम (even) फलन है,$I_2 = 2 \int_0^1 \frac{x+1}{x^2+2x+1} dx$.
समाकल्य को सरल करने पर: $I_2 = 2 \int_0^1 \frac{x+1}{(x+1)^2} dx = 2 \int_0^1 \frac{1}{x+1} dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $I_2 = 2 [\ln |x+1|]_0^1 = 2 (\ln 2 - \ln 1) = 2 \ln 2$.
अतः,$I = 0 + 2 \ln 2 = 2 \ln 2$.

(B) माना $I = \int_3^6 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{x}} d x$ $(1)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_3^6 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-(9-x)}+\sqrt{9-x}} d x$
$I = \int_3^6 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{9-x}} d x$ $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_3^6 \frac{\sqrt{x}+\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{x}} d x$
$2I = \int_3^6 1 d x$
$2I = [x]_3^6 = 6-3 = 3$
$I = \frac{3}{2}$

(C) माना $f(x) = \frac{x+x^3+x^5}{1+x^2+x^4+x^6}$.
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि क्या $f(x)$ एक विषम फलन है:
$f(-x) = \frac{(-x)+(-x)^3+(-x)^5}{1+(-x)^2+(-x)^4+(-x)^6} = \frac{-x-x^3-x^5}{1+x^2+x^4+x^6} = -\left(\frac{x+x^3+x^5}{1+x^2+x^4+x^6}\right) = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-100}^{100} \frac{x+x^3+x^5}{1+x^2+x^4+x^6} dx = 0$।

(B) अवकलन के लाइबनीज नियम का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = \sin^{-1}(\sqrt{\sin^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^2 x) = x \cdot (2 \sin x \cos x) = x \sin(2x)$
$g'(x) = \cos^{-1}(\sqrt{\cos^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos^2 x) = x \cdot (-2 \cos x \sin x) = -x \sin(2x)$
अतः,$f'(x) + g'(x) = x \sin(2x) - x \sin(2x) = 0$.
चूंकि अवकलज शून्य है,इसलिए $f(x) + g(x) = C$ (एक स्थिरांक)।
$C$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{\pi}{4}$ रखें:
$f(\frac{\pi}{4}) + g(\frac{\pi}{4}) = \int_0^{1/2} (\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t}) \, dt$
चूंकि $\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t} = \frac{\pi}{2}$ होता है:
$C = \int_0^{1/2} \frac{\pi}{2} \, dt = \frac{\pi}{2} [t]_0^{1/2} = \frac{\pi}{4}$.

(A) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(\cos x)^{\sin x}}{(\cos x)^{\sin x} + (\sin x)^{\cos x}} dx$ --- $(1)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(\cos(\pi/2 - x))^{\sin(\pi/2 - x)}}{(\cos(\pi/2 - x))^{\sin(\pi/2 - x)} + (\sin(\pi/2 - x))^{\cos(\pi/2 - x)}} dx$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(\sin x)^{\cos x}}{(\sin x)^{\cos x} + (\cos x)^{\sin x}} dx$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(\cos x)^{\sin x} + (\sin x)^{\cos x}}{(\cos x)^{\sin x} + (\sin x)^{\cos x}} dx$
$2I = \int_0^{\pi / 2} 1 dx$
$2I = [x]_0^{\pi / 2} = \pi / 2$
$I = \pi / 4$

(C) माना $I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \sqrt{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2}-2} d x$.
सर्वसमिका $a^2 + b^2 - 2 = (a-b)^2$ का उपयोग करने पर,हमें $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \left| \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right| d x$.
मापांक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x}{x^2-1}$.
इसलिए,$I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \left| \frac{4x}{x^2-1} \right| d x$.
चूंकि फलन सम है,$I = 2 \int_{0}^{1 / 2} \left| \frac{4x}{x^2-1} \right| d x$.
$x \in [0, 1/2]$ के लिए,$x^2-1 < 0$,इसलिए $|\frac{4x}{x^2-1}| = -\frac{4x}{x^2-1} = \frac{4x}{1-x^2}$.
$I = 2 \int_{0}^{1 / 2} \frac{4x}{1-x^2} d x = 4 \int_{0}^{1 / 2} \frac{2x}{1-x^2} d x$.
माना $u = 1-x^2$,तो $du = -2x dx$.
$I = 4 [-\ln|1-x^2|]_{0}^{1/2} = 4 [-\ln(3/4) + \ln(1)] = 4 \ln(4/3)$.

(D) माना $I = \sum_{n=1}^{10} \int_{-2n-1}^{-2n} \sin^{27} x \, dx + \sum_{n=1}^{10} \int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx$.
प्रथम समाकलन पद पर विचार करें: $J_n = \int_{-2n-1}^{-2n} \sin^{27} x \, dx$.
माना $x = -t$,तो $dx = -dt$. जब $x = -2n-1$,तब $t = 2n+1$. जब $x = -2n$,तब $t = 2n$.
अतः,$J_n = \int_{2n+1}^{2n} \sin^{27}(-t) (-dt) = \int_{2n}^{2n+1} -\sin^{27} t \, dt = -\int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} t \, dt$.
इस मान को योग में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \sum_{n=1}^{10} (-\int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx) + \sum_{n=1}^{10} \int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx$.
$I = -\sum_{n=1}^{10} \int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx + \sum_{n=1}^{10} \int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx = 0$.

(B) माना $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\lambda|\sin x| + \frac{\mu \sin x}{1+\cos x} + \gamma) \, dx$.
हम समाकलन को तीन भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$I = \lambda \int_{-\pi/4}^{\pi/4} |\sin x| \, dx + \mu \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{\sin x}{1+\cos x} \, dx + \gamma \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 1 \, dx$.
दूसरे समाकलन $J = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{\sin x}{1+\cos x} \, dx$ पर विचार करें।
माना $f(x) = \frac{\sin x}{1+\cos x}$.
तब $f(-x) = \frac{\sin(-x)}{1+\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{1+\cos x} = -f(x)$.
चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन है और अंतराल $[-\pi/4, \pi/4]$ $0$ के सापेक्ष सममित है,इसलिए समाकलन $J = 0$ होगा।
अतः,$I = \lambda \int_{-\pi/4}^{\pi/4} |\sin x| \, dx + \gamma \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 1 \, dx$.
चूंकि $\mu$ वाला पद शून्य हो जाता है,इसलिए समाकलन का मान $\mu$ से स्वतंत्र है।

(D) माना $I = \int_{-1}^{1} \left\{ \frac{x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)} + \frac{1}{e^{|x|}} \right\} dx$.
समाकल को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int_{-1}^{1} \frac{x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)} dx + \int_{-1}^{1} \frac{1}{e^{|x|}} dx$.
माना $f(x) = \frac{x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)}$ और $g(x) = \frac{1}{e^{|x|}}$.
सममिति की जाँच करें: $f(-x) = \frac{(-x)^{2015}}{e^{|-x|}((-x)^2 + \cos(-x))} = \frac{-x^{2015}}{e^{|x|}(x^2 + \cos x)} = -f(x)$. अतः,$f(x)$ एक विषम फलन है।
$g(-x) = \frac{1}{e^{|-x|}} = \frac{1}{e^{|x|}} = g(x)$. अतः,$g(x)$ एक सम फलन है।
चूँकि $f(x)$ विषम है,$\int_{-1}^{1} f(x) dx = 0$.
चूँकि $g(x)$ सम है,$\int_{-1}^{1} g(x) dx = 2 \int_{0}^{1} g(x) dx$.
इसलिए,$I = 0 + 2 \int_{0}^{1} e^{-x} dx = 2 [-e^{-x}]_{0}^{1}$.
$I = 2 (-e^{-1} - (-e^{0})) = 2(1 - e^{-1})$.

(D) दिया गया है,$M = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x+2} dx$ और $N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$.
सर्वसमिका $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ का उपयोग करते हुए,$N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2x}{2(x+1)^{2}} dx$.
माना $2x = t$,तब $dx = \frac{dt}{2}$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{4}, t=\frac{\pi}{2}$.
इन मानों को $N$ में प्रतिस्थापित करने पर,$N = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{2(\frac{t}{2}+1)^{2}} \cdot \frac{dt}{2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{(t+2)^{2}} dt$.
अब,$M - N = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x+2} dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$.
प्रथम समाकलन के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \frac{1}{x+2}$ और $dv = \cos x dx$ लें। तब $du = -\frac{1}{(x+2)^{2}} dx$ और $v = \sin x$.
$M = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \left( -\frac{1}{(x+2)^{2}} \right) dx = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$.
अतः,$M - N = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2 + 2} - \frac{\sin(0)}{0+2} = \frac{1}{\frac{\pi+4}{2}} = \frac{2}{\pi+4}$.

(D) दिया गया है,$M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ और $N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$।
सर्वसमिका $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ का उपयोग करने पर,$N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin 2x}{2(x+1)^{2}} dx$।
मान लीजिए $2x = t$,तो $dx = \frac{dt}{2}$। जब $x=0, t=0$ और जब $x=\pi/4, t=\pi/2$।
$N = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin t}{2(t/2 + 1)^{2}} \cdot \frac{dt}{2} = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin t}{2(\frac{t+2}{2})^{2}} dt = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin t}{(t+2)^{2}} dt = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$।
अब,$M - N = \int_{0}^{\pi / 2} \left( \frac{\cos x}{x+2} - \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} \right) dx$।
$\int \frac{\cos x}{x+2} dx$ पर खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,$u = \frac{1}{x+2}$ और $dv = \cos x dx$ लेने पर,$du = -\frac{1}{(x+2)^{2}} dx$ और $v = \sin x$ प्राप्त होता है।
$M = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\pi / 2} - \int_{0}^{\pi / 2} \sin x \left( -\frac{1}{(x+2)^{2}} \right) dx = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\pi / 2} + \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$।
अतः,$M - \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\pi / 2} = \frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2 + 2} - \frac{\sin(0)}{0+2} = \frac{1}{\frac{\pi+4}{2}} = \frac{2}{\pi+4}$।

(D) माना $I = \int_{-1}^{1} \left\{ \frac{x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)} + \frac{1}{e^{|x|}} \right\} dx$.
हम समाकल को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{-1}^{1} \frac{x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)} dx + \int_{-1}^{1} \frac{1}{e^{|x|}} dx$.
माना $f(x) = \frac{x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)}$. चूँकि $f(-x) = \frac{(-x)^{2013}}{e^{|-x|}((-x)^{2}+\cos(-x))} = \frac{-x^{2013}}{e^{|x|}(x^{2}+\cos x)} = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-1}^{1} f(x) dx = 0$.
माना $g(x) = \frac{1}{e^{|x|}} = e^{-|x|}$. चूँकि $g(-x) = e^{-|-x|} = e^{-|x|} = g(x)$,इसलिए $g(x)$ एक सम फलन है। अतः,$\int_{-1}^{1} g(x) dx = 2 \int_{0}^{1} e^{-x} dx$.
समाकल की गणना करने पर: $2 \int_{0}^{1} e^{-x} dx = 2 [-e^{-x}]_{0}^{1} = 2 (-e^{-1} - (-e^{0})) = 2(1 - e^{-1})$.
अतः,$I = 0 + 2(1 - e^{-1}) = 2(1 - e^{-1})$.

(D) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [\sin x \cos x] dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [\frac{1}{2} \sin 2x] dx$ है।
$\theta = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर,$d\theta = 2dx$ या $dx = \frac{1}{2} d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = -\frac{\pi}{2}$ है,तो $\theta = -\pi$ और जब $x = \frac{\pi}{2}$ है,तो $\theta = \pi$ होता है।
अतः,$I = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} [\frac{1}{2} \sin \theta] d\theta$।
चूँकि $[\frac{1}{2} \sin \theta]$ एक विषम फलन है,अंतरालों की जाँच करने पर:
$\theta \in [-\pi, 0]$ के लिए,$\sin \theta \in [-1, 0]$,अतः $\frac{1}{2} \sin \theta \in [-\frac{1}{2}, 0]$,इसलिए $[\frac{1}{2} \sin \theta] = -1$ होगा।
$\theta \in [0, \pi]$ के लिए,$\sin \theta \in [0, 1]$,अतः $\frac{1}{2} \sin \theta \in [0, \frac{1}{2}]$,इसलिए $[\frac{1}{2} \sin \theta] = 0$ होगा।
अतः,$I = \frac{1}{2} [\int_{-\pi}^{0} (-1) d\theta + \int_{0}^{\pi} (0) d\theta] = \frac{1}{2} [-\theta]_{-\pi}^{0} = \frac{1}{2} [0 - (\pi)] = -\frac{\pi}{2}$।

(C) माना $I = \int_{-2}^{2}(1+2 \sin x) e^{|x|} d x$.
हम समाकल को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{-2}^{2} e^{|x|} d x + 2 \int_{-2}^{2} \sin x e^{|x|} d x$.
पहले भाग पर विचार करें: $f(x) = e^{|x|}$. चूँकि $f(-x) = e^{|-x|} = e^{|x|} = f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक सम फलन है।
अतः,$\int_{-2}^{2} e^{|x|} d x = 2 \int_{0}^{2} e^{x} d x = 2[e^{x}]_{0}^{2} = 2(e^{2}-1)$.
दूसरे भाग पर विचार करें: $g(x) = \sin x e^{|x|}$. चूँकि $g(-x) = \sin(-x) e^{|-x|} = -\sin x e^{|x|} = -g(x)$,इसलिए $g(x)$ एक विषम फलन है।
अतः,$\int_{-2}^{2} \sin x e^{|x|} d x = 0$.
इसलिए,$I = 2(e^{2}-1) + 2(0) = 2(e^{2}-1)$.

(D) माना $I = \int_{-2}^2(x \cos x+\sin x+1) d x$.
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-2}^2 x \cos x d x + \int_{-2}^2 \sin x d x + \int_{-2}^2 1 d x$.
निश्चित समाकलन का गुणधर्म याद करें: यदि $f(x)$ एक विषम फलन है तो $\int_{-a}^a f(x) d x = 0$ और यदि $f(x)$ एक सम फलन है तो $2 \int_0^a f(x) d x$ होता है।
माना $f_1(x) = x \cos x$. चूंकि $f_1(-x) = (-x) \cos(-x) = -x \cos x = -f_1(x)$,इसलिए $f_1(x)$ एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-2}^2 x \cos x d x = 0$.
माना $f_2(x) = \sin x$. चूंकि $f_2(-x) = \sin(-x) = -\sin x = -f_2(x)$,इसलिए $f_2(x)$ एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-2}^2 \sin x d x = 0$.
इसलिए,$I = 0 + 0 + \int_{-2}^2 1 d x = [x]_{-2}^2 = 2 - (-2) = 4$.

(A) माना $I = \int_0^\pi \sin^{50} x \cos^{49} x \, dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \sin^{50}(\pi - x) \cos^{49}(\pi - x) \, dx$.
चूंकि $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi \sin^{50} x (-\cos x)^{49} \, dx$.
$I = -\int_0^\pi \sin^{50} x \cos^{49} x \, dx$.
$I = -I$.
दोनों पक्षों में $I$ जोड़ने पर,$2I = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $I = 0$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} |\sin x| \, dx$ है।
चूंकि $|\sin x|$ एक सम फलन है,हम गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} |\sin x| \, dx$.
अंतराल $[0, \pi / 2]$ में,$\sin x \geq 0$ होता है,इसलिए $|\sin x| = \sin x$ है।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \sin x \, dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $I = 2 [-\cos x]_{0}^{\pi / 2}$.
$I = 2 [-\cos(\pi / 2) - (-\cos(0))]$.
$I = 2 [0 - (-1)] = 2(1) = 2$.

(C) माना $I = \int_0^a x f(x) dx$.
गुणधर्म $\int_0^a g(x) dx = \int_0^a g(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^a (a-x) f(a-x) dx$.
चूंकि $f(a-x) = f(x)$,यह इस प्रकार हो जाता है:
$I = \int_0^a (a-x) f(x) dx = \int_0^a a f(x) dx - \int_0^a x f(x) dx$.
$I = a \int_0^a f(x) dx - I$.
दोनों पक्षों में $I$ जोड़ने पर,हमें मिलता है:
$2I = a \int_0^a f(x) dx$.
अतः,$I = \frac{a}{2} \int_0^a f(x) dx$.

(D) दिया गया है कि $\int_{-1}^4 f(x) dx = 4$ और $\int_2^4 \{3 - f(x)\} dx = 7$ है।
सबसे पहले,दूसरे समाकल को हल करें:
$\int_2^4 3 dx - \int_2^4 f(x) dx = 7$
$[3x]_2^4 - \int_2^4 f(x) dx = 7$
$3(4 - 2) - \int_2^4 f(x) dx = 7$
$6 - \int_2^4 f(x) dx = 7$
$\int_2^4 f(x) dx = 6 - 7 = -1$।
अब,निश्चित समाकल के गुणधर्म का उपयोग करें:
$\int_{-1}^4 f(x) dx = \int_{-1}^2 f(x) dx + \int_2^4 f(x) dx$
$4 = \int_{-1}^2 f(x) dx + (-1)$
$\int_{-1}^2 f(x) dx = 4 + 1 = 5$।

(B, D) $T$ आवर्तकाल वाले आवर्ती फलन $f(x)$ के लिए,$T$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर समाकलन स्थिर होता है,अर्थात $\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx$। अतः,कथन $(B)$ सत्य है और $(A)$ असत्य है।
डिरिचलेट फलन $f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ के लिए,$f(x+T) = f(x)$ किसी भी परिमेय $T$ के लिए सत्य है क्योंकि यदि $x$ परिमेय है,तो $x+T$ परिमेय है,और यदि $x$ अपरिमेय है,तो $x+T$ अपरिमेय है। इस प्रकार,$f$ सभी परिमेय $T$ के लिए आवर्ती है। कथन $(D)$ सत्य है।

(B) $T$ आवर्तकाल वाले आवर्ती फलन $f(x)$ के लिए,$T$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर समाकलन स्थिर होता है।
मान लीजिए $I(a) = \int_{a}^{a+T} f(x) \, dx$.
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dI}{da} = f(a+T) \cdot \frac{d}{da}(a+T) - f(a) \cdot \frac{d}{da}(a)$
चूंकि $f(x)$ का आवर्तकाल $T$ है,इसलिए $f(a+T) = f(a)$.
अतः,$\frac{dI}{da} = f(a) - f(a) = 0$.
चूंकि अवकलज $0$ है,इसलिए $I$,$a$ से स्वतंत्र है और $I = \int_{0}^{T} f(x) \, dx$ है।

(C) माना $I = \int_{0}^{100} e^{x-[x]} d x$ है।
चूंकि $f(x) = x - [x]$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 1$ है,हम गुणधर्म $\int_{0}^{nT} f(x) d x = n \int_{0}^{T} f(x) d x$ का उपयोग कर सकते हैं।
यहाँ,$n = 100$ और $T = 1$ है,इसलिए $I = 100 \int_{0}^{1} e^{x-[x]} d x$ होगा।
$0 < x < 1$ के लिए,महत्तम पूर्णांक फलन $[x] = 0$ होता है,इसलिए $x - [x] = x$ होगा।
अतः,$I = 100 \int_{0}^{1} e^{x} d x$ होगा।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर,$I = 100 [e^{x}]_{0}^{1}$ प्राप्त होता है।
$I = 100 (e^{1} - e^{0}) = 100 (e - 1)$।

(B) दिया गया है $I = \int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx$.
सर्वसमिका $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int_{0}^{100 \pi} \sqrt{2 \sin^2 x} \, dx$.
$I = \sqrt{2} \int_{0}^{100 \pi} |\sin x| \, dx$.
चूंकि $|\sin x|$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\pi$ है,हम लिख सकते हैं $I = \sqrt{2} \times 100 \int_{0}^{\pi} |\sin x| \, dx$.
अंतराल $[0, \pi]$ में,$\sin x \geq 0$,इसलिए $|\sin x| = \sin x$.
$I = 100 \sqrt{2} \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$.
$I = 100 \sqrt{2} [-\cos x]_{0}^{\pi}$.
$I = 100 \sqrt{2} [-\cos \pi - (-\cos 0)]$.
$I = 100 \sqrt{2} [-(-1) - (-1)]$.
$I = 100 \sqrt{2} [1 + 1] = 100 \sqrt{2} \times 2 = 200 \sqrt{2}$.

(C) फलन $f(x) = |\sin x|$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\pi$ है।
हम जानते हैं कि $\int_{a}^{a+nT} f(x) dx = n \int_{0}^{T} f(x) dx$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
यहाँ,अंतराल की लंबाई $16\pi - \pi = 15\pi$ है।
अतः,$\int_{\pi}^{16\pi} |\sin x| dx = 15 \int_{0}^{\pi} |\sin x| dx$.
चूँकि $x \in [0, \pi]$ के लिए $\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin x| = \sin x$ होगा।
अतः,$15 \int_{0}^{\pi} \sin x dx = 15 [-\cos x]_{0}^{\pi}$.
$= 15 [-\cos(\pi) - (-\cos(0))] = 15 [-(-1) - (-1)] = 15 [1 + 1] = 15 \times 2 = 30$.

(C) माना $g(x) = f(\cos^2 x)$ है।
चूँकि $\cos^2(x + \pi) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x$,फलन $g(x)$ का आवर्तकाल $\pi$ है।
निश्चित समाकलन के आवर्ती फलनों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\int_0^{n T} g(x) dx = n \int_0^T g(x) dx$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
यहाँ,$T = \pi$ और $n = 3$ है।
इसलिए,$I_1 = \int_0^{3 \pi} f(\cos^2 x) dx = 3 \int_0^\pi f(\cos^2 x) dx$।
चूँकि $I_2 = \int_0^\pi f(\cos^2 x) dx$ है,इसलिए $I_1 = 3 I_2$ प्राप्त होता है।