Properties of definite integration Questions in Hindi

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} d x$.
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x + \sin x)$.
$\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right) = \sin \left(\pi - (\frac{\pi}{4} - x)\right) = \sin (\frac{\pi}{4} - x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x - \sin x)$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x + \sin x) + \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x - \sin x)}{\cos x + \sin x} d x$.
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cos x}{\cos x + \sin x} d x = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} d x$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करते हुए:
$I = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\cos(\frac{\pi}{2}-x) + \sin(\frac{\pi}{2}-x)} d x = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + \sin x}{\cos x + \sin x} d x = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 d x = \sqrt{2} [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{2 \sqrt{2}}$.

(B) माना $I = \int_0^{2024 \pi} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x$ है।
चूंकि समाकल्य का आवर्तकाल $\pi$ है,हम लिख सकते हैं $I = 2024 \int_0^{\pi} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x$।
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करते हुए (यदि $f(2a-x) = f(x)$ है),हमें प्राप्त होता है $I = 2024 \times 2 \int_0^{\pi/2} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x$।
माना $J = \int_0^{\pi/2} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $J = \int_0^{\pi/2} \frac{2023^{\cos ^2 x}}{2023^{\cos ^2 x}+2023^{\sin ^2 x}} d x$।
$J$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर,$2J = \int_0^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}$,अतः $J = \frac{\pi}{4}$।
इस प्रकार,$I = 2024 \times 2 \times \frac{\pi}{4} = 1012 \pi$।
दिया गया है $k = I = 1012 \pi$,इसलिए $\frac{2k}{\pi} + 1 = \frac{2(1012 \pi)}{\pi} + 1 = 2024 + 1 = 2025$।

(A) माना $I = \int_0^\pi x \sin^3 x \cos^2 x \, dx$ ...$(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^3(\pi - x) \cos^2(\pi - x) \, dx$
चूँकि $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^3 x \cos^2 x \, dx$ ...(ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \pi \sin^3 x \cos^2 x \, dx = \pi \int_0^\pi (1 - \cos^2 x) \cos^2 x \sin x \, dx$
माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x \, dx$. सीमाएँ $0 \to \pi$ से बदलकर $1 \to -1$ हो जाएँगी:
$2I = \pi \int_1^{-1} (1 - t^2) t^2 (-dt) = \pi \int_{-1}^1 (t^2 - t^4) \, dt$
$2I = \pi \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_{-1}^1 = \pi \left( (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) - (-\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) \right) = \pi \left( \frac{2}{15} + \frac{2}{15} \right) = \frac{4\pi}{15}$
$I = \frac{2\pi}{15}$

(D) माना $I = \int_0^{2 \pi} |x \sin x| \, dx$. अंतराल $[0, 2 \pi]$ में $x \ge 0$ है,इसलिए $I = \int_0^{2 \pi} x |\sin x| \, dx$ होगा।
अंतराल $[0, \pi]$ में $\sin x \ge 0$ और अंतराल $[\pi, 2 \pi]$ में $\sin x \le 0$ है।
अतः,$I = \int_0^{\pi} x \sin x \, dx - \int_{\pi}^{2 \pi} x \sin x \, dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x$.
प्रथम समाकलन का मान: $\int_0^{\pi} x \sin x \, dx = [-x \cos x + \sin x]_0^{\pi} = (-\pi(-1) + 0) - (0 + 0) = \pi$.
द्वितीय समाकलन का मान: $\int_{\pi}^{2 \pi} x \sin x \, dx = [-x \cos x + \sin x]_{\pi}^{2 \pi} = (-2 \pi(1) + 0) - (-\pi(-1) + 0) = -2 \pi - \pi = -3 \pi$.
इसलिए,$I = \pi - (-3 \pi) = 4 \pi$.
दिया गया है कि $\int_0^{2 \pi} |x \sin x| \, dx = k \pi$,अतः $4 \pi = k \pi$,जिसका अर्थ है कि $k = 4$.

(D) माना $f(x) = \tan ^9 x \sin ^6 x \cos ^3 x$.
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = [\tan(-x)]^9 [\sin(-x)]^6 [\cos(-x)]^3$
चूँकि $\tan(-x) = -\tan x$,$\sin(-x) = -\sin x$,और $\cos(-x) = \cos x$,इसलिए:
$f(-x) = (-\tan x)^9 (-\sin x)^6 (\cos x)^3$
$f(-x) = -\tan^9 x \cdot \sin^6 x \cdot \cos^3 x = -f(x)$.
यहाँ $f(-x) = -f(x)$ है,अतः फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
इसलिए,$\int_{-4 \pi}^{4 \pi} \tan ^9 x \sin ^6 x \cos ^3 x \, dx = 0$.

(C) दिया गया है $S_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$.
तब $S_{n+1} = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n+1)x)}{\sin x} dx$.
अब,अंतर पर विचार करें:
$S_{n+1} - S_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \sin(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x) = 2 \cos(2nx) \sin(x)$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$S_{n+1} - S_n = \int_0^{\pi/2} \frac{2 \cos(2nx) \sin x}{\sin x} dx = \int_0^{\pi/2} 2 \cos(2nx) dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$S_{n+1} - S_n = [\frac{2 \sin(2nx)}{2n}]_0^{\pi/2} = [\frac{\sin(2nx)}{n}]_0^{\pi/2}$.
सीमाओं को रखने पर:
$S_{n+1} - S_n = \frac{\sin(n\pi) - \sin(0)}{n} = \frac{0 - 0}{n} = 0$,क्योंकि $n$ एक पूर्णांक है।

(A) दिया गया है कि $a=2n$ और $b=2m+1$ जहाँ $m, n \in N$ है।
माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = e^{\sin^a x} \cdot \cot^b((2n+1)x)$ है।
हम फलन $f(x)$ की समता (parity) की जाँच करते हैं:
$f(-x) = e^{\sin^a(-x)} \cdot \cot^b((2n+1)(-x))$।
चूँकि $a=2n$ एक सम संख्या है,$\sin^a(-x) = (\sin(-x))^a = (-\sin x)^a = \sin^a x$।
चूँकि $b=2m+1$ एक विषम संख्या है,$\cot^b((2n+1)(-x)) = (\cot(-(2n+1)x))^b = (-\cot((2n+1)x))^b = -\cot^b((2n+1)x)$।
अतः,$f(-x) = e^{\sin^a x} \cdot (-\cot^b((2n+1)x)) = -f(x)$।
चूँकि $f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए सममित अंतराल $[-\pi, \pi]$ पर इसका समाकलन शून्य होगा।
अतः,$I = 0$।

(A) माना $I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}} (|\cos t| \sin t + |\sin t| \cos t) dt$.
यहाँ $t \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$\cos t > 0$ और $\sin t > 0$,इसलिए $f(t) = \sin(2t)$.
$t \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ के लिए,$\cos t < 0$ और $\sin t > 0$,इसलिए $f(t) = 0$.
$t \in [\pi, \frac{5\pi}{4}]$ के लिए,$\cos t < 0$ और $\sin t < 0$,इसलिए $f(t) = -\sin(2t)$.
अतः,$I = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2t) dt + \int_{\pi}^{\frac{5\pi}{4}} -\sin(2t) dt$.
$I = \left[ -\frac{\cos(2t)}{2} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} + \left[ \frac{\cos(2t)}{2} \right]_{\pi}^{\frac{5\pi}{4}}$.
$I = (\frac{1}{2} - 0) + (0 - \frac{1}{2}) = 0$.

(C) माना $I = \int_{-1}^1 (x[1+\sin(\pi x)]+1) dx$.
फलन $f(x) = x[1+\sin(\pi x)]+1$ पर विचार करें।
जब $x \in [-1, 0]$ है,तब $\sin(\pi x) \in [-1, 0]$,इसलिए $1+\sin(\pi x) \in [0, 1]$। अतः,$x \in (-1, 0)$ के लिए $[1+\sin(\pi x)] = 0$ होगा।
जब $x \in [0, 1]$ है,तब $\sin(\pi x) \in [0, 1]$,इसलिए $1+\sin(\pi x) \in [1, 2]$। अतः,$x \in (0, 1)$ के लिए $[1+\sin(\pi x)] = 1$ होगा।
इसलिए,$I = \int_{-1}^0 (x \cdot 0 + 1) dx + \int_0^1 (x \cdot 1 + 1) dx$.
$I = \int_{-1}^0 1 dx + \int_0^1 (x+1) dx$.
$I = [x]_{-1}^0 + [\frac{x^2}{2} + x]_0^1$.
$I = (0 - (-1)) + ((\frac{1}{2} + 1) - 0)$.
$I = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.

(B) माना $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x(1+\sin x)}{1+\cos^2 x} dx$.
हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x}{1+\cos^2 x} dx + \int_{-\pi}^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx = I_1 + I_2$.
$I_1 = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x}{1+\cos^2 x} dx$ के लिए,माना $f(x) = \frac{2x}{1+\cos^2 x}$.
चूंकि $f(-x) = \frac{2(-x)}{1+\cos^2(-x)} = -\frac{2x}{1+\cos^2 x} = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है।
अतः,$I_1 = 0$.
$I_2 = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$ के लिए,माना $g(x) = \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x}$.
चूंकि $g(-x) = \frac{2(-x)\sin(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} = g(x)$,इसलिए $g(x)$ एक सम फलन है।
अतः,$I_2 = 2 \int_0^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx = 4 \int_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I_2 = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-x)\sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
$I_2$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I_2 = 4 \int_0^\pi \frac{\pi\sin x}{1+\cos^2 x} dx = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.
माना $u = \cos x$,तो $du = -\sin x dx$.
जब $x=0, u=1$; जब $x=\pi, u=-1$.
$2I_2 = 4\pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = 4\pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2} = 4\pi [\tan^{-1} u]_{-1}^1$.
$2I_2 = 4\pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = 4\pi (\frac{\pi}{2}) = 2\pi^2$.
इस प्रकार,$I_2 = \pi^2$.
अंत में,$I = I_1 + I_2 = 0 + \pi^2 = \pi^2$.

(D) माना $I = \int_{-1}^1 \frac{\sin x-x^2}{3-|x|} d x$.
हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{-1}^1 \frac{\sin x}{3-|x|} d x - \int_{-1}^1 \frac{x^2}{3-|x|} d x$.
चूंकि $f(x) = \frac{\sin x}{3-|x|}$ एक विषम फलन है (क्योंकि $\sin(-x) = -\sin x$ और $|-x| = |x|$),इसलिए $\int_{-1}^1 \frac{\sin x}{3-|x|} d x = 0$.
चूंकि $g(x) = \frac{x^2}{3-|x|}$ एक सम फलन है,इसलिए $\int_{-1}^1 \frac{x^2}{3-|x|} d x = 2 \int_0^1 \frac{x^2}{3-x} d x$.
अतः,$I = -2 \int_0^1 \frac{x^2}{3-x} d x = 2 \int_0^1 \frac{x^2}{x-3} d x$.
बहुपद विभाजन करने पर: $\frac{x^2}{x-3} = x + 3 + \frac{9}{x-3}$.
इसलिए,$I = 2 \int_0^1 (x + 3 + \frac{9}{x-3}) d x = 2 [\frac{x^2}{2} + 3x + 9 \ln|x-3|]_0^1$.
सीमाओं का मान रखने पर: $I = 2 [(\frac{1}{2} + 3 + 9 \ln 2) - (0 + 0 + 9 \ln 3)] = 2 [\frac{7}{2} + 9 \ln(\frac{2}{3})] = 7 + 18 \ln(\frac{2}{3}) = 7 - 18 \ln(\frac{3}{2})$.

(C) हम जानते हैं कि निश्चित समाकल का गुणधर्म है: $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx$.
प्रथम समाकल $\int_{-a}^0 f(x) dx$ में $x = -t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\int_a^0 f(-t) (-dt) = \int_0^a f(-t) dt = \int_0^a f(-x) dx$ प्राप्त होता है।
अतः,$\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(-x) dx + \int_0^a f(x) dx$.
इस मान को दिए गए व्यंजक में रखने पर: $(\int_0^a f(-x) dx + \int_0^a f(x) dx) - \int_0^a f(-x) dx = \int_0^a f(x) dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,परिणाम $\int_0^a f(a-x) dx$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_0^\pi \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}$ है।
चूंकि फलन $f(x) = \frac{1}{1+2 \sin ^2 x}$ के लिए $f(\pi - x) = f(x)$ सत्य है,हम लिख सकते हैं:
$I = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}$।
अंश और हर को $\cos ^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x}{\sec ^2 x + 2 \tan ^2 x} d x = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x}{1 + \tan ^2 x + 2 \tan ^2 x} d x = 2 \int_0^{\pi / 2} \frac{\sec ^2 x}{1 + 3 \tan ^2 x} d x$।
माना $\tan x = t$,तब $\sec ^2 x d x = d t$। जब $x = 0, t = 0$ और जब $x \to \pi / 2, t \to \infty$।
$I = 2 \int_0^{\infty} \frac{d t}{1 + 3 t^2} = 2 \int_0^{\infty} \frac{d t}{1 + (\sqrt{3} t)^2}$।
सूत्र $\int \frac{dx}{1+a^2x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(ax)$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\sqrt{3} t) \right]_0^{\infty} = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{\sqrt{3}}$।
दिया गया है $k = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \approx \frac{3.14159}{1.732} \approx 1.81$।
$k$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक $\lfloor 1.81 \rfloor = 1$ है।

(B) माना $I_n = \int_0^\pi \frac{\sin nx}{\sin x} dx$.
दिए गए पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करते हुए: $I_n - I_{n-2} = \int_0^\pi \frac{\sin nx - \sin(n-2)x}{\sin x} dx = \int_0^\pi \frac{2 \cos(n-1)x \sin x}{\sin x} dx = \int_0^\pi 2 \cos(n-1)x dx$.
$n > 1$ के लिए,$I_n - I_{n-2} = \left[ \frac{2 \sin(n-1)x}{n-1} \right]_0^\pi = 0$.
अतः,सभी $n > 1$ के लिए $I_n = I_{n-2}$ है।
$n=1$ के लिए,$I_1 = \int_0^\pi \frac{\sin x}{\sin x} dx = \int_0^\pi 1 dx = \pi$.
$n=2$ के लिए,$I_2 = \int_0^\pi \frac{\sin 2x}{\sin x} dx = \int_0^\pi 2 \cos x dx = [2 \sin x]_0^\pi = 0$.
यदि $n$ विषम है,तो $I_n = I_1 = \pi = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = (1 - (-1)^n) \frac{\pi}{2}$.
यदि $n$ सम है,तो $I_n = I_2 = 0 = (1 - (-1)^n) \frac{\pi}{2}$.
इसलिए,$k = 1 - (-1)^n$.

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \tan x) dx$ है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \tan (\frac{\pi}{4} - x)) dx$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan (\frac{\pi}{4} - x) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$ है,इसलिए:
$I = \int_{0}^{\pi / 4} \log (1 + \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}) dx = \int_{0}^{\pi / 4} \log (\frac{2}{1 + \tan x}) dx$ है।
$I = \int_{0}^{\pi / 4} (\log 2 - \log (1 + \tan x)) dx = \frac{\pi}{4} \log 2 - I$ है।
$2I = \frac{\pi}{4} \log 2 \implies I = \frac{\pi}{8} \log 2$ है।
दिया गया है कि $\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) dx = 8k$ है। हम जानते हैं कि $\int_{0}^{\pi} \log (\sin x) dx = -\pi \log 2$ होता है।
अतः,$8k = -\pi \log 2 \implies \pi \log 2 = -8k$ है।
इस मान को $I = \frac{\pi}{8} \log 2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \frac{1}{8} (-8k) = -k$ प्राप्त होता है।

(D) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{1} x^{m} (1 - x)^{n} dx$ दिया गया है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ का उपयोग करते हुए,हम $x$ को $(1 - x)$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)^{m} (1 - (1 - x))^{n} dx$
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)^{m} (x)^{n} dx$
$I = \int_{0}^{1} x^{n} (1 - x)^{m} dx$.
इसे दिए गए समीकरण $\int_{0}^{1} x^{m} (1 - x)^{n} dx = k \int_{0}^{1} x^{n} (1 - x)^{m} dx$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $I = k \cdot I$ है।
चूंकि समाकलन शून्य नहीं है,इसलिए $k = 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x \quad ...(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan(\pi-x)}{\sec(\pi-x)+\tan(\pi-x)} d x$
चूंकि $\tan(\pi-x) = -\tan x$ और $\sec(\pi-x) = -\sec x$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x)(-\tan x)}{-\sec x-\tan x} d x = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan x}{\sec x+\tan x} d x \quad ...(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \frac{x \tan x + (\pi-x) \tan x}{\sec x+\tan x} d x = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x+\tan x} d x$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\sin x} d x$
अंश और हर को $(1-\sin x)$ से गुणा करने पर:
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x(1-\sin x)}{1-\sin^2 x} d x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x - \sin^2 x}{\cos^2 x} d x$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (\sec x \tan x - \tan^2 x) d x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (\sec x \tan x - (\sec^2 x - 1)) d x$
$I = \frac{\pi}{2} [\sec x - \tan x + x]_0^\pi$
$I = \frac{\pi}{2} [(\sec \pi - \tan \pi + \pi) - (\sec 0 - \tan 0 + 0)]$
$I = \frac{\pi}{2} [(-1 - 0 + \pi) - (1 - 0 + 0)] = \frac{\pi}{2} (\pi - 2)$

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} x \tan \left(1+x^2\right) d x$ है।
यहाँ फलन $f(x) = x \tan \left(1+x^2\right)$ है।
यह जाँचने के लिए कि फलन विषम है या सम,हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-x) = (-x) \tan \left(1+(-x)^2\right) = -x \tan \left(1+x^2\right) = -f(x)$।
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) d x = 0$ होता है।
अतः,$I = 0$।

(B) हमारे पास $I = \int_0^\pi x \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \left\{ \sin^2(\sin(\pi - x)) + \cos^2(\cos(\pi - x)) \right\} dx$
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(-\cos x) \right\} dx$
$I = \int_0^\pi (\pi - x) \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$
$I$ के इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi \pi \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{\pi}{2} \cdot 2 \int_0^{\pi/2} \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) \right\} dx$
अब पुनः $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \left\{ \sin^2(\sin(\pi/2 - x)) + \cos^2(\cos(\pi/2 - x)) \right\} dx$
$I = \pi \int_0^{\pi/2} \left\{ \sin^2(\cos x) + \cos^2(\sin x) \right\} dx$
$I$ के इन दोनों रूपों को जोड़ने पर:
$2I = \pi \int_0^{\pi/2} \left\{ \sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x) + \sin^2(\cos x) + \cos^2(\sin x) \right\} dx$
$2I = \pi \int_0^{\pi/2} \left\{ (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\sin x)) + (\cos^2(\cos x) + \sin^2(\cos x)) \right\} dx$
$2I = \pi \int_0^{\pi/2} (1 + 1) dx = 2\pi \int_0^{\pi/2} dx = 2\pi \cdot \frac{\pi}{2} = \pi^2$
अतः,$I = \frac{\pi^2}{2}$।
चूँकि $\pi^2 \approx 9.869$,इसलिए $I \approx \frac{9.869}{2} = 4.9345$।
इसलिए,$[I] = [4.9345] = 4$।

(C) माना $f(x) = x^2 \sin x$ है।
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचें कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = (-x)^2 \sin(-x) = x^2 (-\sin x) = -x^2 \sin x = -f(x)$।
चूँकि $f(-x) = -f(x)$ है,इसलिए फलन $f(x) = x^2 \sin x$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin x \, dx = 0$।

(A) माना $I = \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} x^3 \sin^4(x) dx$ है।
हम जानते हैं कि निश्चित समाकलन के लिए,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,अर्थात $f(-x) = -f(x)$,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
यहाँ,$f(x) = x^3 \sin^4(x)$ है।
$f(-x)$ की गणना करने पर:
$f(-x) = (-x)^3 \sin^4(-x) = -x^3 (\sin(x))^4 = -x^3 \sin^4(x) = -f(x)$।
चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए सममित अंतराल $[-\pi/4, \pi/4]$ पर इसका समाकलन $0$ होगा।
अतः,$I = 0$।

(A) माना $I = \int_0^{b-c} f(x+c) dx$.
$x+c = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$ है,तो $t = c$ है।
जब $x = b-c$ है,तो $t = b$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_c^b f(t) dt$.
चूंकि समाकलन का चर एक डमी चर है,हम $\int_c^b f(t) dt = \int_c^b f(x) dx$ लिख सकते हैं।
अतः,$\int_0^{b-c} f(x+c) dx = 1 \cdot \int_c^b f(x) dx$.
दिए गए व्यंजक $\int_0^{b-c} f(x+c) dx = k \int_c^b f(x) dx$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 1$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+\tan ^{2020} x} d x$.
चूंकि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,हम लिख सकते हैं $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2020} x}{\cos ^{2020} x+\sin ^{2020} x} d x$ $(i)$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^{2020} x}{\sin ^{2020} x+\cos ^{2020} x} d x$ (ii).
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर,हमें मिलता है $2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2020} x + \sin ^{2020} x}{\cos ^{2020} x + \sin ^{2020} x} d x = \int_0^{\pi / 2} 1 d x$.
अतः,$2I = [x]_0^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $I = \frac{\pi}{4}$.
इसलिए,विकल्प $C$ सही है.

(B) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (2 \sin |x| + \cos |x|) dx$.
चूँकि $f(x) = 2 \sin |x| + \cos |x|$ एक सम फलन (even function) है क्योंकि $f(-x) = 2 \sin |-x| + \cos |-x| = 2 \sin |x| + \cos |x| = f(x)$,इसलिए हम गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ का उपयोग कर सकते हैं।
$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} (2 \sin x + \cos x) dx$.
पदों का समाकलन करने पर,हमें $I = 2 [-2 \cos x + \sin x]_{0}^{\pi / 2}$ प्राप्त होता है।
सीमाओं का मान रखने पर,$I = 2 [(-2 \cos(\pi / 2) + \sin(\pi / 2)) - (-2 \cos(0) + \sin(0))]$.
$I = 2 [(-2 \times 0 + 1) - (-2 \times 1 + 0)]$.
$I = 2 [1 - (-2)] = 2 [1 + 2] = 2 \times 3 = 6$.

(D) माना $I = \int_0^{2 \pi} \frac{x \cos x}{1+\cos x} d x$ ... $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{2 \pi} \frac{(2 \pi - x) \cos(2 \pi - x)}{1 + \cos(2 \pi - x)} d x$
चूंकि $\cos(2 \pi - x) = \cos x$,इसलिए:
$I = \int_0^{2 \pi} \frac{(2 \pi - x) \cos x}{1 + \cos x} d x$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{2 \pi} \frac{2 \pi \cos x}{1 + \cos x} d x = 2 \pi \int_0^{2 \pi} \frac{\cos x}{1 + \cos x} d x$
$I = \pi \int_0^{2 \pi} \frac{\cos x}{1 + \cos x} d x = 2 \pi \int_0^{\pi} \frac{\cos x}{1 + \cos x} d x$
$I = 2 \pi \int_0^{\pi} (1 - \frac{1}{1 + \cos x}) d x = 2 \pi \int_0^{\pi} (1 - \frac{1}{2 \cos^2(x/2)}) d x$
$I = 2 \pi \int_0^{\pi} (1 - \frac{1}{2} \sec^2(x/2)) d x$
$I = 2 \pi [x - \tan(x/2)]_0^{\pi}$
सीमाओं पर मान रखने पर: $I = 2 \pi [(\pi - \tan(\pi/2)) - (0 - \tan(0))]$। चूंकि $\tan(\pi/2)$ अपरिभाषित है,इसलिए समाकलन का मान अनंत है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} d x$ है।
हम समाकल्य को $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x$ $(i)$ के रूप में लिख सकते हैं।
गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}+\sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} d x = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}} d x$ (ii)।
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \left( \frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \right) d x = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} 1 d x$।
$2I = [x]_{\pi / 6}^{\pi / 3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$।
अतः,$I = \frac{\pi}{12}$।

(A) हम निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हैं: $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$.
इस गुणधर्म को समाकलन $I = \int_{0}^{\pi/2} \cos^{4}(x) \cdot \sin^{2}(x) dx$ पर लागू करने पर,हम $x$ को $(\frac{\pi}{2} - x)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$ और $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{4}(x) \cdot \cos^{2}(x) dx$.
यह दिया गया है कि $\int_{0}^{\pi/2} \sin^{4}(x) \cdot \cos^{2}(x) dx = \frac{\pi}{32}$,अतः $I = \frac{\pi}{32}$.

(D) माना $I = \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} dx$ है।
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -a$ और $b = a$ है,हमें $f(x) \rightarrow f(-a + a - x) = f(-x)$ प्राप्त होता है।
$I = \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a - (-x)}{a + (-x)}} dx = \int_{-a}^{a} \sqrt{\frac{a + x}{a - x}} dx$।
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-a}^{a} \left( \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} + \sqrt{\frac{a + x}{a - x}} \right) dx$।
$2I = \int_{-a}^{a} \frac{(a - x) + (a + x)}{\sqrt{(a + x)(a - x)}} dx = \int_{-a}^{a} \frac{2a}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$।
चूंकि फलन सम है,$2I = 2 \int_{0}^{a} \frac{2a}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$।
$I = 2a \int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$।
$I = 2a [\sin^{-1}(\frac{x}{a})]_{0}^{a}$।
$I = 2a (\sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0)) = 2a (\frac{\pi}{2} - 0) = a \pi$।

(C) माना कि $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{2 \sin (x)+3 \cos (x)}{\sin (x)+\cos (x)} d x$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{2 \sin (\pi/2-x)+3 \cos (\pi/2-x)}{\sin (\pi/2-x)+\cos (\pi/2-x)} d x = \int_0^{\pi / 2} \frac{2 \cos (x)+3 \sin (x)}{\cos (x)+\sin (x)} d x$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{(2 \sin x + 3 \cos x) + (2 \cos x + 3 \sin x)}{\sin x + \cos x} d x$.
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{5 \sin x + 5 \cos x}{\sin x + \cos x} d x = \int_0^{\pi / 2} 5 d x$.
$2I = [5x]_0^{\pi / 2} = 5(\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{5\pi}{2}$.
अतः,$I = \frac{5\pi}{4}$.

(A) हमें दिया गया व्यंजक है: $I = \int_0^{2a} f(x) dx - \int_a^{2a} f(x) dx$.
निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\int_0^{2a} f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_a^{2a} f(x) dx$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = (\int_0^a f(x) dx + \int_a^{2a} f(x) dx) - \int_a^{2a} f(x) dx$.
व्यंजक को सरल करने पर,$\int_a^{2a} f(x) dx$ पद कट जाता है।
अतः,$I = \int_0^a f(x) dx$.

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+e^x} dx$ ... $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -\frac{\pi}{2}$ और $b = \frac{\pi}{2}$,हमें $a+b = 0$ प्राप्त होता है।
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(-x)}{1+e^{-x}} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\frac{1}{e^x}} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^x \cos x}{e^x+1} dx$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + e^x \cos x}{1+e^x} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x(1+e^x)}{1+e^x} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$
$2I = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$
$I = 1$
अतः,$\tan^{-1}(I) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(D) माना $I = \int_0^{\alpha / 3} \frac{f(x)}{f(x)+f\left(\frac{\alpha-3 x}{3}\right)} d x$ $(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,हम $x$ को $(\frac{\alpha}{3} - x)$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int_0^{\alpha / 3} \frac{f(\frac{\alpha}{3} - x)}{f(\frac{\alpha}{3} - x) + f(\frac{\alpha - 3(\frac{\alpha}{3} - x)}{3})} dx$
$I = \int_0^{\alpha / 3} \frac{f(\frac{\alpha}{3} - x)}{f(\frac{\alpha}{3} - x) + f(x)} dx$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\alpha / 3} \frac{f(x) + f(\frac{\alpha}{3} - x)}{f(x) + f(\frac{\alpha}{3} - x)} dx$
$2I = \int_0^{\alpha / 3} 1 dx$
$2I = [x]_0^{\alpha / 3} = \frac{\alpha}{3}$
$I = \frac{\alpha}{6}$

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \log _e(\sin 2 x) d x$.
$2x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \frac{1}{2} dt$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $t = 0$ और जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t = \pi$.
अतः,$I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \log _e(\sin t) dt$.
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(2a-x) = f(x)$,हमें प्राप्त होता है कि $\int_0^{\pi} \log _e(\sin t) dt = 2 \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt$.
इस प्रकार,$I = \frac{1}{2} \times 2 \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt = \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt$.
यह एक मानक परिणाम है कि $\int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt = -\frac{\pi}{2} \log _e 2$.
अतः,$I = -\frac{\pi}{2} \log _e 2$.

(C) माना $I = \int_0^1 f(k-1+x) d x$.
$k-1+x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = d t$ प्राप्त होता है।
जब $x=0$,तब $t=k-1$.
जब $x=1$,तब $t=k$.
अतः,$I = \int_{k-1}^k f(t) d t = \int_{k-1}^k f(x) d x$.
अब,हमें योगफल का मान ज्ञात करना है:
$\sum_{k=1}^{10} \int_0^1 f(k-1+x) d x = \sum_{k=1}^{10} \int_{k-1}^k f(x) d x$.
योगफल को विस्तारित करने पर:
$= \int_0^1 f(x) d x + \int_1^2 f(x) d x + \dots + \int_9^{10} f(x) d x$.
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x + \int_b^c f(x) d x = \int_a^c f(x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \int_0^{10} f(x) d x$.
दिया गया है कि $\int_0^{10} f(x) d x = 5$,अतः अंतिम मान $5$ है।

(A) हमें दिया गया है कि $\int_{-1}^4 f(x) dx = 4$ है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम अंतराल को विभाजित कर सकते हैं:
$\int_{-1}^4 f(x) dx = \int_{-1}^2 f(x) dx + \int_2^4 f(x) dx = 4$।
हमें $\int_2^4 (3 - f(x)) dx = 7$ भी दिया गया है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\int_2^4 3 dx - \int_2^4 f(x) dx = 7$।
प्रथम भाग का मान ज्ञात करने पर:
$[3x]_2^4 - \int_2^4 f(x) dx = 7
(3 \times 4) - (3 \times 2) - \int_2^4 f(x) dx = 7
12 - 6 - \int_2^4 f(x) dx = 7
6 - \int_2^4 f(x) dx = 7
\int_2^4 f(x) dx = 6 - 7 = -1$।
अब,$\int_2^4 f(x) dx = -1$ को पहले समीकरण में रखने पर:
$\int_{-1}^2 f(x) dx + (-1) = 4
\int_{-1}^2 f(x) dx = 4 + 1 = 5$।

(D) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2x} dx$.
हम इसे दो समाकलों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{2-\cos 2x} dx + \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2x} dx$.
माना $f(x) = \frac{x}{2-\cos 2x}$. चूँकि $f(-x) = \frac{-x}{2-\cos(-2x)} = -f(x)$,$f(x)$ एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} f(x) dx = 0$.
अब,$I = \frac{\pi}{4} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2x} dx$. चूँकि समाकल्य एक सम फलन है,$I = 2 \times \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2x} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2x} dx$.
$\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\tan^2 x}{2(1+\tan^2 x) - (1-\tan^2 x)} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{1+3\tan^2 x} dx$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x dx$. सीमाएँ $[0, \frac{\pi}{4}]$ से बदलकर $[0, 1]$ हो जाएँगी।
$I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} \frac{dt}{1+3t^2} = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\sqrt{3}t) \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi^2}{6\sqrt{3}}$.

(C) माना $I = \int_{-1}^1 f(x) dx$,जहाँ $f(x) = \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}}$ है।
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \frac{\sqrt{1+(-x)+(-x)^2}-\sqrt{1-(-x)+(-x)^2}}{\sqrt{1+(-x)+(-x)^2}+\sqrt{1-(-x)+(-x)^2}}$
$f(-x) = \frac{\sqrt{1-x+x^2}-\sqrt{1+x+x^2}}{\sqrt{1-x+x^2}+\sqrt{1+x+x^2}}$
$f(-x) = -\left( \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}} \right) = -f(x)$.
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^1 f(x) dx = 0$।

(C) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin |x| \, dx$.
चूंकि $f(x) = \sin |x|$ एक सम फलन है क्योंकि $f(-x) = \sin |-x| = \sin |x| = f(x)$,हम गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \sin |x| \, dx$.
अंतराल $[0, \pi / 2]$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \sin x \, dx$.
समाकलन करने पर,$I = 2 [-\cos x]_{0}^{\pi / 2}$.
$I = 2 [-\cos(\pi / 2) - (-\cos(0))]$.
$I = 2 [0 - (-1)] = 2(1) = 2$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\tan ^3 x}$.
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x}{\sin ^3 x+\cos ^3 x} d x$ ...$(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^3(\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^3(\frac{\pi}{2}-x)} d x$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3 x}{\cos ^3 x+\sin ^3 x} d x$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x + \sin ^3 x}{\sin ^3 x+\cos ^3 x} d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} 1 d x = [x]_0^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) d \theta$.
$f(\theta) = \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right)$ लें।
अब,$f(-\theta)$ की गणना करके फलन की समता की जाँच करें:
$f(-\theta) = \log \left(\frac{2-\sin(-\theta)}{2+\sin(-\theta)}\right) = \log \left(\frac{2+\sin \theta}{2-\sin \theta}\right)$.
गुणधर्म $\log(x^{-1}) = -\log(x)$ का उपयोग करने पर:
$f(-\theta) = \log \left(\left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right)^{-1}\right) = -\log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) = -f(\theta)$.
चूँकि $f(-\theta) = -f(\theta)$,इसलिए $f(\theta)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है।
अतः,$I = 0$।

(B) फलन $f(x) = e^{x-[x]}$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 1$ है।
हम $[0, 1000]$ अंतराल पर समाकलन को $1$ लंबाई के $1000$ समाकलनों में विभाजित कर सकते हैं:
$\int_0^{1000} e^{x-[x]} dx = \sum_{k=0}^{999} \int_k^{k+1} e^{x-[x]} dx$.
$x \in [k, k+1)$ के लिए,$[x] = k$ होता है,इसलिए समाकल्य $e^{x-k}$ बन जाता है।
अतः,$\int_k^{k+1} e^{x-k} dx = [e^{x-k}]_k^{k+1} = e^{(k+1)-k} - e^{k-k} = e^1 - e^0 = e-1$.
चूंकि ऐसे $1000$ अंतराल हैं,इसलिए कुल योग $1000 \times (e-1)$ है।

(B) माना $I = \int_0^\pi x (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx$ है।
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) (\sin^2(\sin(\pi - x)) + \cos^2(\cos(\pi - x))) dx$
चूँकि $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi (\pi - x) (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx$
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \pi \int_0^\pi (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx$
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर:
$2I = 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx$
$I = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2(\sin x) + \cos^2(\cos x)) dx . . . (i)$
पुनः गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2(\cos x) + \cos^2(\sin x)) dx . . . (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} ((\sin^2(\sin x) + \cos^2(\sin x)) + (\sin^2(\cos x) + \cos^2(\cos x))) dx$
$2I = \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + 1) dx = 2\pi [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \pi^2$
$I = \frac{\pi^2}{2}$

(C) दिया गया है,$I = \int_0^T f(x) dx$।
चूंकि $f(x+T) = f(x)$,$f$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T$ है।
हमें $J = \int_0^{5T} f(2x) dx$ का मान ज्ञात करना है।
माना $2x = y$,तो $dx = \frac{1}{2} dy$।
जब $x = 0$,तो $y = 0$। जब $x = 5T$,तो $y = 10T$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$J = \int_0^{10T} f(y) \cdot \frac{1}{2} dy = \frac{1}{2} \int_0^{10T} f(y) dy$।
आवर्ती फलन के गुणधर्म $\int_0^{nT} f(x) dx = n \int_0^T f(x) dx$ का उपयोग करने पर:
$J = \frac{1}{2} \times 10 \int_0^T f(y) dy = 5 \int_0^T f(x) dx = 5I$।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int_0^{50\pi} \sqrt{1-\cos 2x} dx$ है।
सर्वसमिका $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{1-\cos 2x} = \sqrt{2\sin^2 x} = \sqrt{2}|\sin x|$।
चूंकि फलन $f(x) = \sqrt{2}|\sin x|$ का आवर्तकाल $T = \pi$ है,हम गुणधर्म $\int_0^{NT} f(x) dx = N \int_0^T f(x) dx$ का उपयोग कर सकते हैं।
यहाँ $N = 50$ और $T = \pi$ है,इसलिए $I = 50 \int_0^{\pi} \sqrt{2}|\sin x| dx$।
अंतराल $[0, \pi]$ में,$\sin x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin x| = \sin x$ होगा।
अतः,$I = 50\sqrt{2} \int_0^{\pi} \sin x dx$।
$I = 50\sqrt{2} [-\cos x]_0^{\pi}$।
$I = 50\sqrt{2} (-(\cos \pi - \cos 0)) = 50\sqrt{2} (-(-1 - 1)) = 50\sqrt{2} (2) = 100\sqrt{2}$।

(B) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{2 \pi} \sin ^{-1}(\sin x) d x$.
हम समाकलन को उन अंतरालों में विभाजित करते हैं जहाँ $\sin^{-1}(\sin x)$ का रूप रैखिक होता है:
$I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x d x + \int_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} (\pi - x) d x + \int_{3 \pi / 2}^{2 \pi} (x - 2 \pi) d x$
प्रत्येक समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} x d x = 0$ (क्योंकि यह एक सममित अंतराल पर विषम फलन है)।
$\int_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} (\pi - x) d x = [\pi x - \frac{x^2}{2}]_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} = (\frac{3 \pi^2}{2} - \frac{9 \pi^2}{8}) - (\frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi^2}{8}) = \frac{3 \pi^2}{8} - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
$\int_{3 \pi / 2}^{2 \pi} (x - 2 \pi) d x = [\frac{x^2}{2} - 2 \pi x]_{3 \pi / 2}^{2 \pi} = (2 \pi^2 - 4 \pi^2) - (\frac{9 \pi^2}{8} - 3 \pi^2) = -2 \pi^2 - (-\frac{15 \pi^2}{8}) = -2 \pi^2 + \frac{15 \pi^2}{8} = -\frac{\pi^2}{8}$.
अतः,$I = 0 + 0 - \frac{\pi^2}{8} = -\frac{\pi^2}{8}$.

(D) माना $I = \int_{-1/24}^{1/24} \sec x \log \left(\frac{1-x}{1+x}\right) dx$ है।
फलन $f(x) = \sec x \log \left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ को परिभाषित करें।
हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके जांचते हैं कि फलन विषम है या सम:
$f(-x) = \sec(-x) \log \left(\frac{1-(-x)}{1+(-x)}\right) = \sec x \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$।
गुणधर्म $\log(a^{-1}) = -\log a$ का उपयोग करने पर:
$f(-x) = \sec x \log \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{-1} = -\sec x \log \left(\frac{1-x}{1+x}\right) = -f(x)$।
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है।
एक विषम फलन के लिए,सममित अंतराल $[-a, a]$ पर समाकलन का मान हमेशा $0$ होता है।
अतः,$\int_{-1/24}^{1/24} f(x) dx = 0$।