Properties of definite integration Questions in Hindi

(A) फलन $f(x) = e^{x-[x]}$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T = 1$ है,क्योंकि $[x+1] = [x]+1$ होता है।
अतः,$f(x+1) = e^{(x+1)-[x+1]} = e^{x+1-[x]-1} = e^{x-[x]} = f(x)$।
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_0^{nT} f(x) \, dx = n \int_0^T f(x) \, dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $n = 1000$ और $T = 1$:
$I = \int_0^{1000} e^{x-[x]} \, dx = 1000 \int_0^1 e^{x-[x]} \, dx$।
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$ होता है,इसलिए $e^{x-[x]} = e^x$।
$I = 1000 \int_0^1 e^x \, dx$।
$I = 1000 [e^x]_0^1 = 1000(e^1 - e^0) = 1000(e-1)$।

(A) फलन $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ पर विचार करें।
$x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ के लिए,अवकलज $f'(x) = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} = \frac{\cos x (x - \tan x)}{x^2}$ है।
चूंकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $\tan x > x$ होता है,इसलिए $f'(x) < 0$ है,अतः $f(x)$ एक ह्रासमान फलन है।
इसलिए,सभी $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ के लिए $f(\frac{\pi}{3}) \leq f(x) \leq f(\frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।
मानों की गणना करने पर: $f(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sin(\pi/3)}{\pi/3} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$ और $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}$।
असमिका का समाकलन करने पर: $\int_{\pi/4}^{\pi/3} f(\frac{\pi}{3}) dx \leq \int_{\pi/4}^{\pi/3} f(x) dx \leq \int_{\pi/4}^{\pi/3} f(\frac{\pi}{4}) dx$।
$\frac{3\sqrt{3}}{2\pi} (\frac{\pi}{12}) \leq I \leq \frac{2\sqrt{2}}{\pi} (\frac{\pi}{12})$।
$\frac{\sqrt{3}}{8} \leq I \leq \frac{\sqrt{2}}{6}$।

(C) हमारे पास $I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 3} \frac{\sin x}{x} dx$ है।
चूंकि $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ अंतराल $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}]$ पर एक घटता हुआ फलन है,इसलिए न्यूनतम मान $x = \frac{\pi}{3}$ पर और अधिकतम मान $x = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।
अंतराल की लंबाई $\Delta x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$ है।
एक मोनोटोनिक फलन के लिए निश्चित समाकल के गुण का उपयोग करते हुए:
$(\text{अंतराल की लंबाई}) \times f(\text{ऊपरी सीमा}) \leq I \leq (\text{अंतराल की लंबाई}) \times f(\text{निचली सीमा})$.
मान रखने पर:
$\frac{\pi}{12} \times \frac{\sin(\pi/3)}{\pi/3} \leq I \leq \frac{\pi}{12} \times \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4}$.
$\frac{\pi}{12} \times \frac{\sqrt{3}/2}{\pi/3} \leq I \leq \frac{\pi}{12} \times \frac{1/\sqrt{2}}{\pi/4}$.
$\frac{\pi}{12} \times \frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \leq I \leq \frac{\pi}{12} \times \frac{4}{\pi\sqrt{2}}$.
$\frac{3\sqrt{3}}{24} \leq I \leq \frac{4}{12\sqrt{2}}$.
$\frac{\sqrt{3}}{8} \leq I \leq \frac{\sqrt{2}}{6}$.

(A) दिया गया है $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} dx$.
चूंकि $-1 \leq \cos 3x \leq 1$,इसलिए $-x^{3} \leq x^{3} \cos 3x \leq x^{3}$ है।
$2+x^{2} > 0$ से भाग देने पर,$\frac{-x^{3}}{2+x^{2}} \leq \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} \leq \frac{x^{3}}{2+x^{2}}$ प्राप्त होता है।
$x \in [0, 1]$ के लिए $2+x^{2} > x^{2}$ है,इसलिए $\frac{x^{3}}{2+x^{2}} < \frac{x^{3}}{x^{2}} = x$ होगा।
अतः,$-\int_{0}^{1} x dx < I < \int_{0}^{1} x dx$।
समाकलन करने पर,$-\left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1} < I < \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{1}$।
जिससे $-\frac{1}{2} < I < \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) हमें समाकलन $I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{\pi / 2}}$ दिया गया है।
चूंकि $1 < \pi / 2 < 2$,इसलिए $x \in (0, 1)$ के लिए,$x^2 < x^{\pi / 2} < x^1$ होता है।
सभी पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$1+x^2 < 1+x^{\pi / 2} < 1+x$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर असमिका बदल जाती है: $\frac{1}{1+x^2} > \frac{1}{1+x^{\pi / 2}} > \frac{1}{1+x}$।
$0$ से $1$ तक $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2} > \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{\pi / 2}} > \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x}$।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$[\tan^{-1}(x)]_{0}^{1} > I > [\log_{e}(1+x)]_{0}^{1}$।
$\frac{\pi}{4} > I > \log_{e}(2)$।
अतः,सही संबंध $\log_{e} 2 < I < \pi / 4$ है।

(D) माना $I = \int_0^{2 \pi} \theta \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta \quad \dots (1)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{2 \pi} (2 \pi - \theta) \sin ^6 (2 \pi - \theta) \cos (2 \pi - \theta) \, d\theta$
चूंकि $\sin(2 \pi - \theta) = -\sin \theta$ और $\cos(2 \pi - \theta) = \cos \theta$,इसलिए:
$I = \int_0^{2 \pi} (2 \pi - \theta) \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$
$I = 2 \pi \int_0^{2 \pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta - \int_0^{2 \pi} \theta \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$
$I = 2 \pi \int_0^{2 \pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta - I$
$2I = 2 \pi \int_0^{2 \pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$
$I = \pi \int_0^{2 \pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$
माना $f(\theta) = \sin ^6 \theta \cos \theta$. तब $f(2 \pi - \theta) = \sin ^6 (2 \pi - \theta) \cos (2 \pi - \theta) = (-\sin \theta)^6 \cos \theta = \sin ^6 \theta \cos \theta = f(\theta)$.
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो:
$I = \pi \cdot 2 \int_0^{\pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta = 2 \pi \int_0^{\pi} \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$
माना $u = \sin \theta$,तो $du = \cos \theta \, d\theta$.
जब $\theta = 0, u = 0$. जब $\theta = \pi, u = 0$.
$I = 2 \pi \int_0^0 u^6 \, du = 0$.

(C) मान लीजिए $I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+f(x)} \quad \dots (i)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} g(x) dx = \int_{0}^{a} g(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+f(a-x)}$
दिया गया है कि $f(x) f(a-x) = 1$,इसलिए $f(a-x) = \frac{1}{f(x)}$।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+\frac{1}{f(x)}} = \int_{0}^{a} \frac{f(x) dx}{f(x)+1} \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{a} \frac{dx}{1+f(x)} + \int_{0}^{a} \frac{f(x) dx}{1+f(x)}$
$2I = \int_{0}^{a} \frac{1+f(x)}{1+f(x)} dx = \int_{0}^{a} 1 dx$
$2I = [x]_{0}^{a} = a$
$I = \frac{a}{2}$

(B) दिया गया है: $I_1 = \int_0^{\pi / 4} \sin^2 x \, dx$ और $I_2 = \int_0^{\pi / 4} \cos^2 x \, dx$।
अंतराल $x \in (0, \pi / 4)$ में,हम जानते हैं कि $\sin x < \cos x$ होता है।
चूंकि इस अंतराल में $\sin x$ और $\cos x$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर असमिका बनी रहती है: $\sin^2 x < \cos^2 x$।
अंतराल $[0, \pi / 4]$ पर दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_0^{\pi / 4} \sin^2 x \, dx < \int_0^{\pi / 4} \cos^2 x \, dx$।
अतः,$I_1 < I_2$।

(B) मान लीजिए $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{12(3+[x])}{3+[\sin x]+[\cos x]} dx$.
अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में $[x]$,$[\sin x]$,और $[\cos x]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं।
$x \in [-\frac{\pi}{2}, -1)$ के लिए,$[x] = -2$,$[\sin x] = -1$,$[\cos x] = 0$. अतः,समाकल्य $\frac{12(3-2)}{3-1+0} = \frac{12}{2} = 6$ है।
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$,$[\sin x] = -1$,$[\cos x] = 0$. अतः,समाकल्य $\frac{12(3-1)}{3-1+0} = \frac{24}{2} = 12$ है।
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,$[\sin x] = 0$,$[\cos x] = 0$. अतः,समाकल्य $\frac{12(3+0)}{3+0+0} = \frac{36}{3} = 12$ है।
$x \in [1, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$[x] = 1$,$[\sin x] = 0$,$[\cos x] = 0$. अतः,समाकल्य $\frac{12(3+1)}{3+0+0} = \frac{48}{3} = 16$ है।
अतः,$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-1} 6 dx + \int_{-1}^{0} 12 dx + \int_{0}^{1} 12 dx + \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} 16 dx$.
$I = 6(-1 - (-\frac{\pi}{2})) + 12(0 - (-1)) + 12(1 - 0) + 16(\frac{\pi}{2} - 1)$.
$I = 6(-1 + \frac{\pi}{2}) + 12(1) + 12(1) + 16(\frac{\pi}{2} - 1)$.
$I = -6 + 3\pi + 12 + 12 + 8\pi - 16$.
$I = 11\pi + 2$.

(B) माना $I_r = \int_0^r x |\sin \pi x| dx$ ...$(1)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I_r = \int_0^r (r-x) |\sin \pi (r-x)| dx = \int_0^r (r-x) |\sin \pi x| dx$ ...$(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I_r = \int_0^r r |\sin \pi x| dx \Rightarrow I_r = \frac{r}{2} \int_0^r |\sin \pi x| dx$
चूंकि $\int_0^n |\sin \pi x| dx = \frac{2n}{\pi}$,इसलिए $I_r = \frac{r}{2} \cdot \frac{2r}{\pi} = \frac{r^2}{\pi}$.
अतः व्यंजक $\sum_{r=1}^{20} \sqrt{\pi \cdot \frac{r^2}{\pi}} = \sum_{r=1}^{20} r$ हो जाता है।
योग $= \frac{20(21)}{2} = 210$.

(C) माना $I = \int_{0}^{1} \cot^{-1}(1-x+x^{2}) dx$.
$z > 0$ के लिए $\cot^{-1}(z) = \tan^{-1}(\frac{1}{z})$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$I = \int_{0}^{1} \tan^{-1}(\frac{1}{1+x(x-1)}) dx$ प्राप्त होता है।
$\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ का उपयोग करने पर,$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(x-1)) dx$ प्राप्त होता है।
$\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(1-x) - \tan^{-1}(-x)) dx = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(1-x) + \tan^{-1}(x)) dx$.
चूँकि $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(1-x) = \tan^{-1}(\frac{1}{1+x-x^2})$,यह समाकलन $2 \int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) dx$ के बराबर है।
खंडशः समाकलन करने पर: $2 [x \tan^{-1}(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2)]_{0}^{1} = 2 [(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2) - 0] = \frac{\pi}{2} - \ln 2$.
दिए गए समीकरण $4I = a \tan^{-1}(2) - b \ln(5)$ से तुलना करने पर,$a=4, b=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$2a+b = 2(4)+1 = 9$.

(B) सबसे पहले,हम $\alpha = \int_{0}^{64} (x^{1/3} - [x^{1/3}]) dx = \int_{0}^{64} x^{1/3} dx - \int_{0}^{64} [x^{1/3}] dx$ की गणना करते हैं।
$\int_{0}^{64} x^{1/3} dx = \left[ \frac{3}{4} x^{4/3} \right]_{0}^{64} = \frac{3}{4} \times 256 = 192$.
$\int_{0}^{64} [x^{1/3}] dx$ के लिए,हम $[x^{1/3}]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:
$= \int_{0}^{1} 0 dx + \int_{1}^{8} 1 dx + \int_{8}^{27} 2 dx + \int_{27}^{64} 3 dx = 0 + (8-1) + 2(27-8) + 3(64-27) = 7 + 38 + 111 = 156$.
अतः,$\alpha = 192 - 156 = 36$.
अब,हम $E = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{36\pi} \frac{\sin^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta$ का मान ज्ञात करते हैं।
चूंकि फलन का आवर्तकाल $\pi$ है,$E = \frac{36}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta = \frac{36 \times 2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta$.
मान लीजिए $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta$. किंग के गुणधर्म के अनुसार,$J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta$.
दोनों को जोड़ने पर,$2J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sec^6 \theta}{\tan^6 \theta + 1} d\theta$.
मान लीजिए $\tan \theta = t$,तो $dt = \sec^2 \theta d\theta$. $2J = \int_{0}^{\infty} \frac{(1+t^2)^2}{t^6+1} dt = \int_{0}^{\infty} \frac{1+t^2}{t^4-t^2+1} dt = \pi$.
अतः $J = \pi/2$.
अंत में,$E = \frac{72}{\pi} \times \frac{\pi}{2} = 36$.

(B) माना $I = \int_{0}^{x} t^{2} \sin(x-t) dt$. गुणधर्म $\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} f(x-t) dt$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $I = \int_{0}^{x} (x-t)^{2} \sin(t) dt$.
इसका विस्तार करने पर,$I = \int_{0}^{x} (x^{2} - 2xt + t^{2}) \sin(t) dt = x^{2} \int_{0}^{x} \sin(t) dt - 2x \int_{0}^{x} t \sin(t) dt + \int_{0}^{x} t^{2} \sin(t) dt$.
समाकलनों का मूल्यांकन करने पर:
$1. \int_{0}^{x} \sin(t) dt = [-\cos(t)]_{0}^{x} = 1 - \cos(x)$.
$2. \int_{0}^{x} t \sin(t) dt = [-t \cos(t)]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} \cos(t) dt = -x \cos(x) + \sin(x)$.
$3. \int_{0}^{x} t^{2} \sin(t) dt = [-t^{2} \cos(t)]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t \cos(t) dt = -x^{2} \cos(x) + 2(t \sin(t) + \cos(t))_{0}^{x} = -x^{2} \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I = x^{2}(1 - \cos(x)) - 2x(-x \cos(x) + \sin(x)) + (-x^{2} \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 2) = x^{2} + 2 \cos(x) - 2$.
दिया गया है कि $I = x^{2}$,अतः $x^{2} + 2 \cos(x) - 2 = x^{2}$,जो सरल होकर $2 \cos(x) = 2$ या $\cos(x) = 1$ हो जाता है।
$x \in [0, 100]$ के लिए,$\cos(x) = 1$ का अर्थ है $x = 2n\pi$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$.
चूँकि $2n\pi \le 100$,इसलिए $n \le \frac{100}{2\pi} \approx 15.92$.
अतः,$n$ के मान $0, 1, 2, \dots, 15$ हो सकते हैं,जो कुल $16$ मान देते हैं।

(A) माना $I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{dx}{1+\sqrt[3]{\tan 2x}}$ ...$(1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{24} + \frac{5\pi}{24} = \frac{6\pi}{24} = \frac{\pi}{4}$.
$I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{dx}{1+\sqrt[3]{\tan(2(\frac{\pi}{4}-x))}}$
$I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{dx}{1+\sqrt[3]{\tan(\frac{\pi}{2}-2x)}}$
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{2}-\theta) = \cot \theta$,इसलिए:
$I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{dx}{1+\sqrt[3]{\cot 2x}} = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{\sqrt[3]{\tan 2x} dx}{\sqrt[3]{\tan 2x} + 1}$ ...$(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{1+\sqrt[3]{\tan 2x}}{1+\sqrt[3]{\tan 2x}} dx = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} 1 dx$
$2I = [x]_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} = \frac{5\pi}{24} - \frac{\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$
$I = \frac{\pi}{12}$

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{[x]+4} dx$. चूँकि $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ और $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$,हम $[x]$ के मानों के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-1} \frac{1}{[x]+4} dx + \int_{-1}^{0} \frac{1}{[x]+4} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{[x]+4} dx + \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{[x]+4} dx$
$x \in [-\frac{\pi}{2}, -1)$ के लिए,$[x] = -2$. $x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$. $x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$. $x \in [1, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$[x] = 1$.
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-1} \frac{1}{-2+4} dx + \int_{-1}^{0} \frac{1}{-1+4} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{0+4} dx + \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+4} dx$
$I = \frac{1}{2} [-1 - (-\frac{\pi}{2})] + \frac{1}{3} [0 - (-1)] + \frac{1}{4} [1 - 0] + \frac{1}{5} [\frac{\pi}{2} - 1]$
$I = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 1) + \frac{1}{3} (1) + \frac{1}{4} (1) + \frac{1}{5} (\frac{\pi}{2} - 1)$
$I = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{\pi}{10} - \frac{1}{5}$
$I = (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{10}) + (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5})$
$I = \frac{7\pi}{20} + \frac{-30+20+15-12}{60} = \frac{7\pi}{20} - \frac{7}{60} = \frac{21\pi - 7}{60} = \frac{7}{60}(3\pi - 1)$

(B) माना $I = \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \frac{\pi}{1 - \sin(|x| + \pi/6)} dx + \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \frac{4x^{11}}{1 - \sin(|x| + \pi/6)} dx$.
चूंकि $f(x) = \frac{4x^{11}}{1 - \sin(|x| + \pi/6)}$ एक विषम फलन है,इसलिए दूसरा समाकलन $0$ होगा।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\pi/6} \frac{\pi}{1 - \sin(x + \pi/6)} dx = 2\pi \int_{0}^{\pi/6} \frac{1}{1 - \sin(x + \pi/6)} dx$.
माना $x + \pi/6 = t$,तो $dx = dt$। जब $x=0, t=\pi/6$; जब $x=\pi/6, t=\pi/3$।
$I = 2\pi \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{1 - \sin t} dt = 2\pi \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1 + \sin t}{\cos^2 t} dt$.
$I = 2\pi \int_{\pi/6}^{\pi/3} (\sec^2 t + \sec t \tan t) dt = 2\pi [\tan t + \sec t]_{\pi/6}^{\pi/3}$.
$I = 2\pi [(\tan(\pi/3) + \sec(\pi/3)) - (\tan(\pi/6) + \sec(\pi/6))]$.
$I = 2\pi [(\sqrt{3} + 2) - (1/\sqrt{3} + 2/\sqrt{3})] = 2\pi [\sqrt{3} + 2 - 3/\sqrt{3}] = 2\pi [\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}] = 4\pi$.
अतः,मान $4$ है।

(A) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx$.
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sqrt{\sin(\pi/2-x)}}{\sqrt{\sin(\pi/2-x)} + \sqrt{\cos(\pi/2-x)}} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \left( \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} + \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \right) dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} 1 dx$.
$2I = [x]_{\pi/6}^{\pi/3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
इसलिए,$I = \frac{\pi}{12}$.

(B) माना $I = \int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$.
$x = 2t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 dt$. जब $x \to 0, t \to 0$ और जब $x \to \infty, t \to \infty$.
$I = \int_0^\infty \frac{\log_e(2t)}{4t^2+4} (2 dt) = \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\log_e(2) + \log_e(t)}{t^2+1} dt$.
$I = \frac{\log_e(2)}{2} \int_0^\infty \frac{1}{t^2+1} dt + \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt$.
दूसरे समाकल के लिए,$t = 1/u$ लेने पर,$dt = -1/u^2 du$. सीमाएँ $\infty$ से $0$ में बदल जाएँगी।
$\int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt = \int_\infty^0 \frac{\log_e(1/u)}{(1/u)^2+1} (-1/u^2) du = \int_0^\infty \frac{-\log_e(u)}{1+u^2} du = -\int_0^\infty \frac{\log_e(u)}{u^2+1} du$.
इसका अर्थ है कि $\int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt = 0$.
अतः,$I = \frac{\log_e(2)}{2} [\arctan(t)]_0^\infty = \frac{\log_e(2)}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi \log_e(2)}{4}$.

(B) माना $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{32 \cos^4 x}{1 + e^{\sin x}} dx$.
गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a+b=0$,हमें प्राप्त होता है $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{32 \cos^4 (-x)}{1 + e^{\sin (-x)}} dx = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{32 \cos^4 x}{1 + e^{-\sin x}} dx$.
$I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{32 \cos^4 x e^{\sin x}}{e^{\sin x} + 1} dx$.
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{32 \cos^4 x (1 + e^{\sin x})}{1 + e^{\sin x}} dx = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 32 \cos^4 x dx$.
चूँकि $\cos^4 x$ एक सम फलन है,अतः $2I = 64 \int_0^{\pi/4} \cos^4 x dx$.
सर्वसमिका $\cos^4 x = \frac{1}{8}(3 + 4\cos 2x + \cos 4x)$ का उपयोग करने पर:
$I = 32 \int_0^{\pi/4} \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8} dx = 4 \int_0^{\pi/4} (3 + 4\cos 2x + \cos 4x) dx$.
$I = 4 [3x + 2\sin 2x + \frac{1}{4}\sin 4x]_0^{\pi/4} = 4(3(\pi/4) + 2\sin(\pi/2) + \frac{1}{4}\sin(\pi)) - 4(0)$.
$I = 4(3\pi/4 + 2(1) + 0) = 3\pi + 8$.

(C) चूंकि गुणांक $a, b, c$ वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं। यदि $\beta = 1 + i\sqrt{2}$ एक मूल है,तो इसका संयुग्मी $\bar{\beta} = 1 - i\sqrt{2}$ भी एक मूल होगा।
त्रिघात समीकरण के मूल $1, 1 + i\sqrt{2}$,और $1 - i\sqrt{2}$ हैं।
बहुपद को $(x - 1)(x - (1 + i\sqrt{2}))(x - (1 - i\sqrt{2}))$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$= (x - 1)((x - 1)^2 - (i\sqrt{2})^2) = (x - 1)((x - 1)^2 + 2) = (x - 1)(x^2 - 2x + 1 + 2) = (x - 1)(x^2 - 2x + 3)$.
$= x^3 - 2x^2 + 3x - x^2 + 2x - 3 = x^3 - 3x^2 + 5x - 3$.
इसे $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -3, b = 5, c = -3$ प्राप्त होता है।
हमें $\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 5x - 3) dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $x^3$ और $5x$ विषम फलन हैं,इसलिए सममित अंतराल $[-1, 1]$ पर उनका समाकलन $0$ होता है।
अतः,समाकलन $\int_{-1}^{1} (-3x^2 - 3) dx = 2 \int_{0}^{1} (-3x^2 - 3) dx$ हो जाएगा।
$= 2 [-x^3 - 3x]_0^1 = 2(-1 - 3) = 2(-4) = -8$.

(B) मान लीजिए $I = \int_{-2}^2 (|\sin x| + [x \sin x]) dx$.
चूँकि $|\sin x|$ एक सम फलन है,$\int_{-2}^2 |\sin x| dx = 2 \int_0^2 \sin x dx = 2 [-\cos x]_0^2 = 2(1 - \cos 2)$.
अब,$f(x) = x \sin x$ पर विचार करें। चूँकि $f(x)$ सम है,$\int_{-2}^2 [x \sin x] dx = 2 \int_0^2 [x \sin x] dx$.
$x \in [0, 2]$ के लिए,$x \sin x$ का मान $0$ से $2 \sin 2 \approx 1.818$ तक बढ़ता है।
अतः,$[x \sin x] = 0$ जब $x \in [0, x_0)$ जहाँ $x_0 \sin x_0 = 1$,और $[x \sin x] = 1$ जब $x \in [x_0, 2]$।
इसलिए,$2 \int_0^2 [x \sin x] dx = 2 \int_{x_0}^2 1 dx = 2(2 - x_0) = 4 - 2x_0$.
अतः,$I = 2(1 - \cos 2) + 4 - 2x_0 = 2 - 2\cos 2 + 4 - 2x_0 = 2(3 - \cos 2) - 2x_0$.
इसकी तुलना $2(3 - \cos 2) + \beta$ से करने पर,हमें $\beta = -2x_0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x_0 \sin x_0 = 1$,इसलिए $\beta \sin(\frac{\beta}{2}) = -2x_0 \sin(-x_0) = 2x_0 \sin x_0 = 2(1) = 2$.

(B) मान लीजिए $I = \int_{-2}^{2} (\sin |x| + [x \sin x]) dx$.
चूँकि $\sin |x|$ और $[x \sin x]$ दोनों सम फलन हैं,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{2} (\sin x + [x \sin x]) dx$.
सबसे पहले,$\int_{0}^{2} \sin x dx = [-\cos x]_0^2 = 1 - \cos 2$.
इसके बाद,$[0, 2]$ अंतराल पर $[x \sin x]$ के लिए,$x \sin x$ का मान $x=0$ पर $0$ से शुरू होकर $x=\pi/2 \approx 1.57$ पर अधिकतम होता है। $[x \sin x] = 1$ के लिए $x \in [1, 2]$ लेने पर,$\int_{0}^{2} [x \sin x] dx = 1$.
अतः,$I = 2(1 - \cos 2) + 2(1) = 4 - 2 \cos 2$.
$4 - 2 \cos 2$ की तुलना $2(3 - \cos 2) + \beta = 6 - 2 \cos 2 + \beta$ से करने पर,$\beta = -2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\beta \sin(\beta/2) = -2 \sin(-1) = 2 \sin(1)$।