વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે,ધારો કે [x] એ x થી નાન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_1^n [x]\{x\} dx$.કારણ કે $x \in [k, k+1)$ માટે $[x] = k$ થાય,તેથી સંકલનને આ રીતે લખી શકાય:$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_k^{k+1} k\{

Vedclass · Accepted Answer

$91$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_1^n [x]\{x\} dx$.કારણ કે $x \in [k, k+1)$ માટે $[x] = k$ થાય,તેથી સંકલનને આ રીતે લખી શકાય:$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_k^{k+1} k\{x\} dx = \sum_{k=1}^{n-1} k \int_k^{k+1} (x-k) dx$.ધારો કે $u = x-k$,તો $du = dx$. જ્યારે $x=k, u=0$ અને જ્યારે $x=k+1, u=1$.તેથી,$\int_k^{k+1} (x-k) dx = \int_0^1 u du = \left[ \frac{u^2}{2} ight]_0^1 = \frac{1}{2}$.આમ,$I = \sum_{k=1}^{n-1} k \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{1}{2} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n-1)}{4}$.આપણને આપેલ છે કે $I > 2013$,તેથી $\frac{n(n-1)}{4} > 2013$.$n(n-1) > 8052$.કારણ કે $90 	imes 89 = 8010$ અને $91 	imes 90 = 8190$ થાય છે,તેથી અસમતાનું પાલન કરતો નાનામાં નાનો પૂર્ણાંક $n = 91$ છે.

Similar Questions

જો $a \in Z^{+}$,$[x]$ એ $x$ થી વધુ ન હોય તેવો મહત્તમ પૂર્ણાંક હોય અને $\int_0^a 2^{[x]} dx = 127$ હોય,તો $a =$

$\int_0^1 x^{5/2} (1-x)^{3/2} \, dx =$

જો $\int_{0}^{a} \frac{dx}{4 + x^2} = \frac{\pi}{8}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

વિધેય $L(x) = \int_1^x \frac{dt}{t}$ એ કયું સમીકરણ સંતોષે છે?

$\int_{-4}^{4} |x + 2| \, dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module