मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2+x-1=0$ के भिन्न मूल हैं। समुच्चय $T=\{1, \alpha, \beta\}$ पर विचार करें। एक $3 \times 3$ आव्यूह $M=(a_{ij})$ के लिए,$R_i=a_{i1}+a_{i2}+a_{i3}$ और $C_j=a_{1j}+a_{2j}+a_{3j}$ को परिभाषित करें,जहाँ $i=1,2,3$ और $j=1,2,3$ है। $List-I$ की प्रत्येक प्रविष्टि का $List-II$ की सही प्रविष्टि से मिलान करें।
$List-I$ $List-II$ $(P)$ $T$ में सभी प्रविष्टियों वाले $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ आव्यूहों की संख्या ताकि सभी $i, j$ के लिए $R_i=C_j=0$ हो $(1)$ $1$ $(Q)$ $T$ में सभी प्रविष्टियों वाले सममित आव्यूहों $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ की संख्या ताकि सभी $j$ के लिए $C_j=0$ हो $(2)$ $2$ $(R)$ मान लीजिए $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ एक विषम-सममित आव्यूह है ताकि $i>j$ के लिए $a_{ij} \in T$ हो। तो समुच्चय $\{\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}: x, y, z \in \mathbb{R}, M\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{12} \\ 0 \\ -a_{23} \end{bmatrix}\}$ में तत्वों की संख्या है $(3)$ $\text{अनंत}$ $(S)$ मान लीजिए $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ एक आव्यूह है जिसकी सभी प्रविष्टियाँ $T$ में हैं ताकि सभी $i$ के लिए $R_i=0$ हो। तो $M$ के सारणिक का निरपेक्ष मान है $(4)$ $6$ $(5)$ $0$
| $List-I$ | $List-II$ |
| $(P)$ $T$ में सभी प्रविष्टियों वाले $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ आव्यूहों की संख्या ताकि सभी $i, j$ के लिए $R_i=C_j=0$ हो | $(1)$ $1$ |
| $(Q)$ $T$ में सभी प्रविष्टियों वाले सममित आव्यूहों $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ की संख्या ताकि सभी $j$ के लिए $C_j=0$ हो | $(2)$ $2$ |
| $(R)$ मान लीजिए $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ एक विषम-सममित आव्यूह है ताकि $i>j$ के लिए $a_{ij} \in T$ हो। तो समुच्चय $\{\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}: x, y, z \in \mathbb{R}, M\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{12} \\ 0 \\ -a_{23} \end{bmatrix}\}$ में तत्वों की संख्या है | $(3)$ $\text{अनंत}$ |
| $(S)$ मान लीजिए $M=(a_{ij})_{3 \times 3}$ एक आव्यूह है जिसकी सभी प्रविष्टियाँ $T$ में हैं ताकि सभी $i$ के लिए $R_i=0$ हो। तो $M$ के सारणिक का निरपेक्ष मान है | $(4)$ $6$ |
| $(5)$ $0$ |
- A$(P) \rightarrow (4), (Q) \rightarrow (2), (R) \rightarrow (5), (S) \rightarrow (1)$
- B$(P) \rightarrow (2), (Q) \rightarrow (4), (R) \rightarrow (1), (S) \rightarrow (5)$
- C$(P) \rightarrow (2), (Q) \rightarrow (4), (R) \rightarrow (3), (S) \rightarrow (5)$
- D$(P) \rightarrow (1), (Q) \rightarrow (5), (R) \rightarrow (3), (S) \rightarrow (4)$
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$(i)$ $AB=0 \Rightarrow A=0$ या $B=0$
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यदि $a, b, c$ और $d$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं,तो सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & a+b+c+d & ab+cd \\ a+b+c+d & 2(a+b)(c+d) & ab(c+d)+cd(a+b) \\ ab+cd & ab(c+d)+cd(a+b) & 2abcd \end{vmatrix}$ है
Difficult
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